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第七讲 矩形波导

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电磁波与天线---矩形波导

电磁波与天线---矩形波导

mπ 当x=0时，A2=0.当x=a时, k x = a 同理可得， nπ 当y=0时，B2=0,当y=b时， y = k b
最后得： 最后得
mπ x nπ y − j β z H z = H 0 cos e cos a b
ˆ ax ∂ ∂x Hx ˆ ay ∂ ∂y Hy
(9) ( n = 0 ,1, 2 , L )
（1） TE10 模的场结构
• 在（10）式中，令 m=1, n=0, 并注意到 ）式中， • 那么， 那么，
mπ 2 nπ 2 π 2 kc = ( ) +( ) =( ) a b a
2
H z = H 0 cos( x)e− j β z a π a H x = j β H 0 sin( x)e − j β z π a a π E y = − jωµ H 0 sin( x)e − j β z π a
−
∂H
y
= jω ε E
x
同理，可得 在直角坐标系中展开可得 在直角坐标系中展开可得： 同理，可得E在直角坐标系中展开可得：
解式中的变量Z因 解式中的变量 因 − jβ z 为e ，所以上面 的两式可以对Z的偏 的两式可以对 的偏 导数化解。 导数化解。我们仅 对其中的4个式子进 对其中的 个式子进 行化解
2 2
∇ H =0
利用公式：∇×(∇×H) =∇∇•H)−∇ H (
2
• 得：
∇ H + ω µε H = ∇ H + k H = 0
2
2
2
2
• 式中： • 同理
k = ω µε
2
∇ E+k E =0
2 2
• 导波系统中，我们用直角坐标系，在 直角坐标系中，我们以E为例分解：

矩形波导的模式(3篇)

矩形波导的模式(3篇)

第1篇一、矩形波导的模式分类矩形波导中的电磁波模式主要分为TE（横电磁波）模式和TM（纵电磁波）模式。

1. TE模式TE模式是指电场只在波导的横向（垂直于传播方向）分量存在，而磁场则在纵向（沿传播方向）分量存在。

根据电场和磁场在波导横截面上的分布，TE模式又可以分为TE10、TE20、TE01等模式。

（1）TE10模式：TE10模式是矩形波导中最基本、最常用的模式。

其电场分布呈矩形，磁场分布呈椭圆。

TE10模式的截止频率最高，适用于高频传输。

（2）TE20模式：TE20模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈圆形。

其截止频率低于TE10模式，适用于中频传输。

（3）TE01模式：TE01模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈椭圆。

其截止频率最低，适用于低频传输。

2. TM模式TM模式是指磁场只在波导的横向分量存在，而电场则在纵向分量存在。

根据电场和磁场在波导横截面上的分布，TM模式又可以分为TM01、TM11、TM21等模式。

（1）TM01模式：TM01模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈圆形。

其截止频率最高，适用于高频传输。

（2）TM11模式：TM11模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈椭圆。

其截止频率低于TM01模式，适用于中频传输。

（3）TM21模式：TM21模式的电场分布呈矩形，磁场分布呈圆形。

其截止频率最低，适用于低频传输。

二、矩形波导的模式特性1. 截止频率截止频率是矩形波导中一个重要的参数，它决定了电磁波在波导中能否有效传输。

不同模式的截止频率不同，其中TE10模式的截止频率最高，适用于高频传输。

2. 相速度相速度是指电磁波在波导中传播的速度。

不同模式的相速度不同，TE模式的相速度比TM模式快。

3. 模式损耗模式损耗是指电磁波在波导中传播时，由于波导壁的吸收和辐射等原因，能量逐渐衰减的现象。

不同模式的损耗不同，TE模式的损耗比TM模式小。

4. 传输特性矩形波导中不同模式的传输特性不同，如TE模式的传输特性较好，适用于高频传输；TM模式的传输特性较差，适用于低频传输。

7.2.1矩形波导中的场分布

7.2.1矩形波导中的场分布
Em sin a
n z x sin y e b
由纵向场法，可得： m m n z Ex k 2 a Em cos a x sin b y e c E n E sin m x cos n y e z y m kc2 b a b m n z H x j n Em sin x cos y e 2 kc b a b m m n z H y j 2 Em cos x sin ye kc a a b
再加上边界条件
Ez |x 0 0 Ez |x a 0 E z | y 0 0 E z | y b 0
可以解得:
m k x a f ( x) A sin m x a
故
n k y b g ( y ) C sin n y b
两个常微分方程的通解为：f ( x)
A sin k x x B cos k x x,
g ( y ) C sin k y y D cos k y y
4
f ( x) A sin k x x B cos k x x, g ( y ) C sin k y y D cos k y y
③ 由于对相同的 m 和 n ， TMmn 模和 TEmn 模的截止波数 kcmn 相同，
这种情况称为模式的简并； ④ 对于 TEmn 模，其 m 和 n 可以为 0 ，但不能同时为 0 ；而对于 TMmn 模， 其m 和n不能为0，即不存在TM0n 模和TMm0模。
7
振幅Em=AC，其大小由激励源强度决定。

2.2 矩形波导

2.2 矩形波导

H10(即TE10）波的截止波长最大，它最容易在波导中传播。
为了保证单一的H10波传输，波导尺寸必须满足：
(c ) H20 (c ) H10
a 2a
(c ) H01
2b
§2.2 矩形波导
2.2.4 矩形波导的主模—TE10
1.场表达式
Ez 0
电力线只分布在波导的横截面内
基模：TE10(a>b)
a
横截面图
y z
Hx 窄边纵切面 Ey
§2.2 矩形波导
x z
g
立体图见图2-5
基模：TE10(a>b) 宽边纵切面
§2.2 矩形波导
3.传输参量
波导波长
g
vp f
1 ( / c )2
相移常数
2 2 g
1 ( / c )2
§2.2 矩形波导
相速
vp
v
1 ( / c )2
群速 vg v 1 ( / c )2
（3） 场量沿z轴为行波，沿x轴和y轴为纯驻波
（4） 主模：最低次模
TE10模
一般来说，用a表示波导宽边，b表示窄边，a>b，K10=π/a是所 有波型中波数最小的，因此TE波型的最低次波型是TE10模。
§2.2 矩形波导
3.传输条件
波导中不同模式的截止波长是不同的，对于特定尺寸的波导，
只有满足 c 的模才能得到传输。
§2.2 矩形波导
TE10单模传输条件：
a 2a
2b
兼顾所能够承受一定的传输功率：图(2-8)
a 1.8a
(2-97)
兼顾最小功率损耗：
a=0.7λ
b=(0.4～0.5)a
§2.2 矩形波导

第七讲 矩形波导[详版课资]

第七讲 矩形波导[详版课资]

2 Z 2
课堂优质
(12-3)
(12-4) (12-5)
2
一、矩形波导的求解思路
代入可知
t2E(x, y) E(x, y)
1 Z(z)
2Z (z)
z2
k2
0
(12-6)
由于其独立性，上式各项均为常数
1 Z (z)
2Z (z)
z2
2
t2
E
(
x,
y
)
E(x, y)
kc2
0
(12-7)
课堂优质
kc2 2 k 2
Ez E(x, y)ez
H z
H (x, y)ez
3
一、矩形波导的求解思路
并有
Ex
Ex
Ey
1
0
H H
x y
kc2
0
j
0
j
0
0
j
j
0
x Ex y
0
0
Hx x Hx
y
注意到Ez和Hz的横向函数课要堂优依质 赖具体的边界条件。 4
x
x
)cos(k y
y
y
)ez
课堂优质
9
二、矩形波导的横向解
边界条件
x=0， x=a， Ey=0 y=0， y=b， Ex=0
x 0, Ey 0, 可得x 0 x a, Ey 0, 可得kxa m
y 0, Ex 0, 可得 y 0 y a, Ex 0, 可得k y a n
kx
课堂优质
21
六、矩形波导中的简正波
Maxwell 方程通解
矩形波导
TEmn 波
TM
mn
波

矩形波导

矩形波导

（二）壁电流分布
J s n Ht
JS
x 0
n H t x z H z y H z y j E0 cos a a
x e j (t z ) x 0
y j E0 e j (t z ) J y a j (t z ) J S x a n H t x z H z y H z y j a E0 cos a x e x a
2 c
• 根据TE波的边界条件 • x=0 ， ( x, y ) 0 ，得：C2=0
x • x=a ， ( x, y ) 0 ，得： k x x
m (m=0,1,2,┄) a
• y=0 ， ( x, y ) 0 ，得：C4=0 y n ( x, y ) • y=b ， (n=0,1,2,┄) 0 ，得： k y y b
TE01 TE11 TM11 TE20
TE30 TE21 TM21 TE31 TM31
TE40
lc(cm) 图3-2 BJ-100型波导不同波型截止波长的分布图
在矩形波导中实现TE10单模传输，则要求电磁 波的工作波长必须满足下列条件
lc (TE20 ) l lc (TE10 ) l lc (TE01 )
k 2 k
1 2 2 c

2 2 2 m n a b
1 2
H T I ( z ) T ( x, y )
ET U ( z ) T ( x, y ) z
z E0 sin a

矩形波导 PPT


m 场量沿x轴[0,a]出现的半周期（半个纯驻波）的数目；
n 场量沿y轴[0,b]出现的半周期的数目。
④j 相位关系 Ey－Hx、Ex－Hy
z轴有功率传输
Ez－Hx、Ez－Hy
x、y轴无功率传输
所以行波状态下，沿波导纵向（z轴）传输有功功率、横向（x、
y轴）无功功率。
2) 场结构
为了能形象和直观的了解场的分布（场结构），可以 利用电力线和磁力线来描绘它。电力线和磁力线遵循 的规律：
力线上某点的切线方向
该点处场的方向
力线的疏密程度
场的强弱
电力线 发自正电荷、止于负电荷，也可以环绕着交变磁场构 成闭合曲线，电力线之间不能相交。在波导壁的内表面（假设为 理想导体）电场的切向分量为零，只有法向分量（垂直分量）， 即在波导内壁处电力线垂直边壁。
磁力线 总是闭合曲线，或者围绕载流导体，或者围绕交变电 场而闭合，磁力线之间不能相交，在波导壁的内表面上只能存在 磁场的切向分量，法向分量为零。
3）相速和群速
TMmn和TEmn波型的相速和群速表示式相同：
vp
v
1(/c)2
vg v 1－c2
4）波型阻抗
TMmn和TEmn波型阻抗为：
ZTE
1
1c2
g
ZTM
1c2
g
5）尺寸选择——矩形波导的工作波型图
基于前面的定义，根据波导横截面尺寸、工作波长、 截止波长之间关系，构成矩形波导工作波型图。根据不 同要求，可利用波型图对波导的横截面尺寸和波导波长 作出选择。
TE0n和TEm0是非简并模；其余的TEmn和TMmn都存在简并模: 若a=b， 则TEmn 、TEnm、TMmn和TMnm是简并模；若a=2b，则TE01与TE20，TE02和 TE40，TE50、TE32和TM32是简并模。

电磁场与电磁波


2 Ez 2 Ez k c2 E z 0 x 2 y 2
分离变量法求解，即 E z ( x , y , z ) X Y e
j t z
1 Ex 2 kc Ey 1 k c2
E z H z x j y

电磁场与电磁波 第8章 导行电磁波 ------- 矩形波导 波导中电磁波传播的 截止现象
电磁场与电磁波 第8章 导行电磁波 ------- 矩形波导 截止波长和截止频率 将
2
EE e j t z （ x , y）
a b
k c2 k 2 0
E ex E x e jt z e y E y e jt z ez E（ e jt z z x , y） （x , y） （x , y）
eT ET（x , y） e jt z ET（x , y） e j t z
[ ET（x , y） E （ ]e jt z z x , y）
E z H z y j x
1 k c2
E z H z j x y
电磁场与电磁波 第8章 导行电磁波 ------- 矩形波导 TM波纵向场分量的求解：求通解
电磁场与电磁波 第8章 导行电磁波 ------- 矩形波导 TM波纵向场分量的求解：应用边界条件，确定待定系数
（亥姆霍兹方程）
电磁场与电磁波 第8章 导行电磁波 ------- 矩形波导 算子和场矢量的横 向和纵向分离
电磁场与电磁波 第8章 导行电磁波 ------- 矩形波导 所谓纵横分离就是根据波的传播方向，将对横向和纵向 的偏微分进行分离，即
电磁场与电磁波 第8章 导行电磁波 ------- 矩形波导 同理，也可以将场矢量也表示成横向场分量和纵向分 量分离叠加的形式，即

微波技术与天线 矩形波导部分


ˆ T x
ˆ ,z z ˆ y x y z
H HT H z
横向场量与纵向场量关系：
ˆ T E z jk z T H z ( k 2 k z2 ) H T j z ˆ T H z jk z T E z ( k k ) ET j z
四、矩形波导设计
导体衰减
( ac )TE10
b [1 2 ( ) 2 ]( dB / m) 2 a 2a 120 b 1 2a 8.686 RS
传输功率
ab 2 P E0 / Z TE10 4
1 a 2 0 b 1 2
微波技术与天线-第三章波导与导波
3.2矩形波导
一、TE波
j n m n E x 2 ( ) H mn cos( x ) sin( y )e jk z z kc b a b m m m n jk z
akc2 （ a ）H mn sin( a x ) cos( b y )e
z
Ey j
Hy
jk z m m n Hx 2 ( ) H mn sin( x ) cos( y )e jk z z kc a a b jk z n m n jk z
kc2 ( b ) H mn cos( a x ) sin( b y )e
z
H z ( x, y, z ) H mn cos(
微波技术与天线-第三章波导与导波
3.2矩形波导
三、传播特性
k k k
2 c 2 2 z
m n k k k a b
2 c 2 x 2 y
2
2
kc2 kz k k k 1 2 k

矩形波导

微波技术基础考察小论文请讨论矩形波导TE 10模的截止波长、相速、波导波长、波阻抗；其外形结构尺寸的确定遵循什么原则？ 一、理论依据1） 通常将由金属材料制成的、矩形截面的、内充空气介质的规则金属波导称为矩形波导, 它是微波技术中最常用的传输系统之一 矩形波导TE 波的截止波数:22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b n a m K c ππ它与波导尺寸、传输波型有关。

m 和n 分别代表TE 波沿x 方向和y 方向分布的半波个数, 一组m 、n, 对应一种TE 波, 称作TE mn 模; 但m 和n 不能同时为零, 否则场分量全部为零。

因此，矩形波导能够存在TE m0模和TE 0n 模及TE mn (m,n ≠0)模; 其中TE 10模是最低次模（主模）, 其余称为高次模。

2）单模传输在传输过程中，如若我们需要传输TE 10模，我们需要抑制高次模的传输。

因此工作波长应该满足：1020TE TE λλλ<<1001TE TE λλλ<<二、问题解答对于TE 10模即m = 1, n = 01）TE 10模的截止波数c K 为：a K c π=2） 截止波长c λ：a aK cc 222===πππλ 3）相速p v 表示波的等相位面沿波导的轴向（z ）传播的速度， 其值：22211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a v v wv c p λλλβ4）波导波长g λ表示波导内沿其轴向传播的电磁波，它的相邻的两个同相位点之间的距离， 其值：21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==c p g fv λλλλ将截止波长代入，则： 波导波长：22211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a fv c p g λλλλλλ 5）在不计损耗的情况下，在行波状态下，电场的横向分量Et 和磁场的横向分量Ht 不仅构成了沿波导轴正Z 方向传播的波，而且对于同一波形而言，t E 和t H 的比值在波导横截面内处处相等，它与坐标Z 无关，并具有阻抗的量纲。

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2
五、TE10波的参数
(3)相速υp
p
C 1 2a
2
＞C
(12-25)
(4)群速υg
g c 1 ＜C 2a p c
2 2
g p C 2
五、TE10波 的参数
(5)波型阻抗
Ey g Et 0 Ht Hx
六、矩形波导中的简正波
简正模(或简正波)理论包含三个方面： 1. 完备性 矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件，它 们里边存在的是 TEmn和 TMmn模式，而且，它们也只 能存在 TEmn和 TMmn模式，具体情况所不同的仅仅是 各种模式的比例与组合。
六、矩形波导中的简正波
2. 正交性
简正模中各个模式是相互正交的，也就是说， 它们之间没有功率和能量交换，即各模式相互独立， 在Fourier分析中表明
2 t
量只须讨论Hz，计及
t2 H ( x, y ) k c2 0 H ( x, y )
二、矩形波导的横向解
则矩形波导的横向解是
2 H ( x, y ) 2 H ( x, y ) 2 k c H ( x, y ) 2 2 x y
y
(12-17)
z b x em a 0
(12-18)
2 2 2 kx ky kc
二、矩形波导的横向解
一般可写出：
X A cos(k x x x )
Y B cos( k y y y )
总的可写出
H z H0 cos(k x x x )cos(k y y y )ez
(12-19)
下面的主要任务是利用边界条件确定kx，ky，和kc。 请注意：H0与激励强度有关。
H z H 0 cos x cos(t z ) a Ey


H sin x sin(t z ) 0 2 a a k
H x 2 H 0 sin x sin(t z ) a kc a
(12-3)
假定Ez(或Hz)可分离变量，也即
E z E ( x , y )Z ( z ) H z H ( x, y )W ( z )
(12-4)
(12-5)
且
2 2 t2 2 Z
一、矩形波导的求解思路
代入可知
t2 E ( x, y) 1 2 Z ( z) 2 k 0 2 E ( x, y ) Z (z) z
2 2
六、矩形波导中的简正波
传输模
e jz 2 1 c
2
E z 0
＜cmn
雕落模
e z
＞cmn

2
c
1 c
2
六、矩形波导中的简正波
注意到雕落模 ( 也称截止模 ) ，它是一种快速衰 减的振荡模式。也就是说，在不同的z处，有同一相 位。 当然，雕落模式没有功率和能量传播。 当模式不同，但却有相同的kc，我们称为简并模 式。最后显示的是TEmn和TMmn是简并(Degeneration) 的。

四、TE10波
场结构的画法上要注意： • 场存在方向和大小两个不同概念，场的大小是以 力线密度表示的 • 同一点不能有两根以上力线 • 磁力线永远闭合，电力线与导体边界垂直 • 电力线和磁力线相互正交
四、TE10波
y b a
x
y
x
x
0 Ey
0
z
0
z
Hx
x
a
0
0
z H
0
z
图 12-4 TE10波场结构
一、矩形波导的求解思路
并有
Ex E 0 1 y H x kc2 0 H j y 0 j 0 0 j 0 Ex x j Ex y 0 0 H x x H x y
七、TE10波单模存在条件
a m cos l x x dx 0 m l 0 sin a sin a b sin n y cos p y dy 0 m p 0 b sLeabharlann n b (12-20)
通过对偶可得到 TM 波的解：
三、矩形波导的解
其中，
m n k k k a b
2 c 2 x 2 y 2 2
(12-21)
上面称为TEmn波 m——表示x方向变化的半周期数 (即小→大→小) n——表示y方向变化的半周期数。
三、矩形波导的解
关于简正波的讨论： 以矩形波导为例，尽管在z方向它们只可能是入 射波加反射波 ( 即还是广义传输线 ) ，但是由于横向 边界条件它们由 TEmn 和 TMmn 波组成并且它们只能由 TEmn 和 TMmn 波组成 ( 后者，我们称之为完备性 ) ，矩形 波导中这些波的完备集合——即简正波。 任何情况的可能解，只能在简正波中去找，具 体场合所不同的仅仅是比例和组合系数，事实上， 这样就把求复杂场函数的问题变换成求各个模式的 系数。
注意到Ez和Hz的横向函数要依赖具体的边界条件。
二、矩形波导的横向解
在矩形波导中存在 TE 和 TM 两类波，请注意矩形波 导中不可能存在 TEM 波 ( 推而广之，任何空心管中都不 可能存在TEM波)。 这里以 TE 波为例作出讨论，即 Ez=0，对于纵向分
2 2 2 2 x y
二、矩形波导的横向解
边界条件
x=0， x=a， Ey=0 y=0， y=b， Ex=0
x 0, x a, E y 0, E y 0, 可得 x 0 可得k x a m
m kx , a
n ky , a
m整数
y 0, y a,
E x 0, E x 0,

1 1 2a
2
(12-29)
注记：在TE10波各参数中唯独波型阻抗要特别讨论。
六、矩形波导中的简正波
Maxwell 方程通解
矩形波导 TE mn 波 TM mn 波
传输波 雕落波
六、矩形波导中的简正波
矩形波导的求解是典型的微分方程法，通解表明： 在 z 方向它有广义传输线功能，即是入射波和反射波 的迭加；在xy方向由于边界条件限制形成很多分立的 TEmn波(Ez=0)和 TMmn波( Hz=0)。在物理上称之为离 散谱。有限边界构成离散谱。 m—x方向变化的半周期数； n—y方向变化的半周期数。 矩形波导中 TE 波和 TM 波的全部集体构成简正波 。
二、矩形波导的横向解
根据横向分量可以用纵向分量表示，有
Ex j H z j z H k cos( k x )sin( k y ) e 0 y x x y y 2 2 y kc kc
j H z j Ey 2 H 0 2 k x sin( k x x x )cos( k y y y )e z k c x kc
由于其独立性，上式各项均为常数
2
(12-6)
2 2 2 1 Z ( z) 2 k k c Z ( z) z 2 (12-7) z 2 E E ( x , y ) e z E ( x , y ) 2 t z kc 0 H H ( x , y ) e z E ( x , y )
(14-1)
这就保证了每一模的独立性。
六、矩形波导中的简正波
3. 传输模和雕落模
由于频率的选择，每一种模都有可能成为传输模 或雕落模。
2 m n 截止波数 kc k k a b
2 x 2 y 2 2
截止波长
c
2 m n a b
矩形波导中频率最低模式，也即我们要工作的传输 主模式即TE10波，m=1，n=0，若传播常数无耗γ=jβ。
H z H 0 cos x e jz a E y j 2 H 0 sin x e jz a kc a j H x 2 H 0 sin a kc a x e jz
可得 y 0 可得k y a n
n整数
三、矩形波导的解
最后得到TE波的解
m n z H H cos cos e 0 z a b n m n z H 0 cos x sin y e E x j 2 a b kc b m m n z H 0 sin x cos y e E y j 2 a b kc a E 0 z m m n z H H sin x cos y e 0 x k2 a a b c n m n z H H cos x sin y e y 0 2 a b kc b
三、矩形波导的解
这种思想，最早起源于矢量分析，任何空间矢量 方向与大小均 z 不相同，但是 (x,y,z) 建立x，y，z r 坐标系之后， 任一(三维)矢 0 y 量即归结为三 个系数 x
yj zk r xi
图 12-3 Vector Analysis
四、TE10波
0
Hz
五、TE10波的参数
(1) TE10波的截止特性 截止波数
2 2 2
m n k k k a b a
2 c 2 x 2 y
截止波长
2 c 2a kc
fc kc 2

截止频率
2
其它分量用 E z , H , 表示 Ex Ey Hx H y f1 E z , H