等腰三角形基础练习题

【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A．16 B．17C．16或17D．10或122.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80° C．50°或80°D．40°或65°3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 已知实数x，y满足|x−4|+(y−8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对∆沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若5. 如图，D是AB边上的中点，将ABC∠度数是（）∠=︒，则BDFB50A．60° B．70° C．80° D．不确定6. （2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51°C．51.5°D．52.5°二.填空题7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．8.（2016•泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于．9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB ＝_________cm．10.在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将三角形的周长分成了15和18两个部分，则底边长BC= ．11. 如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=______度．12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 .三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14. 如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E．AE平分∠BAC．设∠B=x（单位：度），∠C=y（单位：度）．请讨论当△ABC为等腰三角形时，∠B为多少度？15.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上任意一点，过D 分别向AB ，AC 引垂线，垂足分别为E ，F ，CG 是AB 边上的高．DE ，DF ，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】注意分类讨论.2. 【答案】C ；【解析】解：如图所示，△ABC 中，AB=AC ．有两种情况：①顶角∠A=50°；②当底角是50°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故选：C ．3. 【答案】B ；4. 【答案】B ；【解析】根据题意得4080x y -⎧⎨-⎩＝＝,解得48x y =⎧⎨=⎩. （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B ．5. 【答案】C ；【解析】AD ＝DF ＝BD ，∠B ＝∠BFD ＝50°，BDF ∠＝180°－50°－50°＝80°.6. 【答案】D ；【解析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB ，∠BDE=∠BED ，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE ，根据平角的定义即可求出选项．二.填空题7. 【答案】20；【解析】∠A ＝∠ABD ＝40°，∠BDC ＝∠C ＝80°，所以∠CBD ＝20°.8.【答案】20°；【解析】解：过点A 作AD ∥l 1，如图，则∠BAD=∠β．∵l 1∥l 2，∴AD ∥l 2，∵∠DAC=∠α=40°．∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠β=∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．故答案为20°．9. 【答案】8；【解析】DE ＝DC ，AC ＝BC ＝BE ，△ADE 的周长＝AD ＋DE ＋AE ＝AC ＋AE ＝AB ＝8.10.【答案】9或13；【解析】解：设等腰三角形的底边长为x ，腰长为y ，则根据题意，得或，解得或，经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．故答案为：9或13．11.【答案】40；【解析】解：∵AB=BC ，∴∠ACB=∠BAC∵∠ACD=110°∴∠ACB=∠BAC=70°∴∠B=∠40°，∵AE ∥BD ，∴∠EAB=40°，故答案为40．12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=DC ．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．三.解答题13.【解析】证明：ED ⊥BC ；延长ED ，交BC 边于H ，∵AB ＝AC ，AE ＝AD ．∴设∠B ＝∠C ＝x ，则∠EAD ＝2x ，∴∠ADE ＝1802902xx ︒-=︒-即∠BDH ＝90°－x∴∠B ＋∠BDH ＝x ＋90°－x ＝90°，∴∠BHD ＝90°，ED ⊥BC.14.【解析】 解：由题意可知，AC ≠BC ，若 AB=AC ，此时，x=y ，即：180-3x=x ，得：x=45°；若 AB=BC ，此时，2x=y ，即：180-3x=2x ，得：x=36°．∴当△ABC 为等腰三角形时，∠B 分别为45°或36°．15.【解析】解：CG=DE+DF．理由如下：如图，连接AD，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴AB•CG=AC•DE+AB•DF，∴AB=AC，∴CG=DE+DF．。

等腰三角形的判定练习题等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。

判定一个三角形是否是等腰三角形有多种方法，下面将介绍几个常用的练习题，帮助读者加深对等腰三角形的判定方法的理解。

练习题1：判定三角形的三边是否相等判定一个三角形是否是等腰三角形的最基本方法就是判断三边是否相等。

请读者根据给定的三条边，判断哪些是等腰三角形。

请注意，给定的三条边是任意长度的实数。

练习题2：判定三角形的两个角是否相等判定一个三角形是否是等腰三角形的另一种方法是判断两个角是否相等。

在等腰三角形中，两个底边的对角是相等的。

给定一个三角形的三个角度，请读者判断哪些是等腰三角形。

请注意，给定的角度是任意度数的实数。

练习题3：结合两种判定方法练习题1和练习题2是等腰三角形判定的两种基本方法，但单独使用一个方法可能不够准确。

在实际应用中，结合两种方法可以提高判定的准确性。

给定一个三角形的三边长度和三个角度，请读者结合两种方法并判断哪些是等腰三角形。

练习题4：拓展思考亲自画出不同形状的等腰三角形，并对这些三角形进行判定。

观察不同等腰三角形的性质，思考如何通过形状或者角度的特点更准确地判定一个三角形是否是等腰三角形。

补充练习题：1. 给定一个三角形的边长分别为a、b、c，判断是否为等腰三角形。

2. 给定一个三角形的内角度数分别为α、β、γ，判断是否为等腰三角形。

3. 给定一个三角形的两条底边分别为a、b，判断是否为等腰三角形。

4. 通过观察等腰三角形的形状特点，提供一种更准确的判定方法。

答案及解析：1. 三角形abc是等腰三角形的条件是a=b或者b=c或者a=c。

只要满足这三个条件中的任意一个，那么该三角形就是等腰三角形。

2. 三角形的内角都是180度。

给定的三角形的内角度数为α、β、γ，那么如果α=β或者β=γ或者α=γ，那么该三角形就是等腰三角形。

3. 在等腰三角形中，两条底边对应的顶角相等。

给定的三角形的两条底边为a、b，那么如果a与b对应的顶角相等，那么该三角形就是等腰三角形。

等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础练习1、已知等腰三角形的一个内角为 70°，则它的另外两个内角的度数分别是（）A 55°，55°B 70°，40°C 55°，55°或 70°，40°D 以上都不对解析：当 70°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 70°）÷ 2 ＝55°；当 70°的角为底角时，另一个底角也是 70°，顶角的度数为 180°70°× 2 ＝ 40°。

所以答案选择 C。

2、等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（）A 12B 15C 12 或 15D 18解析：当腰长为 3 时，3 ＋ 3 ＝ 6，不能构成三角形；当腰长为 6 时，周长为 6 ＋ 6 ＋ 3 ＝ 15。

所以答案选择 B。

（二）提高练习1、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，AD 是∠BAC 的平分线，点 E 在 AD 上。

求证：△EBC 是等腰三角形。

证明：因为 AB ＝ AC，AD 是∠BAC 的平分线，所以 AD⊥BC，BD ＝ CD。

又因为点 E 在 AD 上，所以 EB ＝ EC，即△EBC 是等腰三角形。

2、已知等腰三角形一腰上的中线将其周长分成 9 和 15 两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长。

设腰长为 2x，底边长为 y，则有两种情况：情况一：＼（＼begin{cases}2x ＋ x ＝ 9 ＼＼ x ＋ y ＝ 15\end{cases}＼），解得\（＼begin{cases}x ＝ 3 ＼＼ y ＝ 12\end{cases}＼），此时腰长为 6，底边长为 12，因为 6 ＋ 6 ＝ 12，不符合三角形三边关系，舍去。

情况二：＼（＼begin{cases}2x ＋ x ＝ 15 ＼＼ x ＋ y ＝ 9\end{cases}＼），解得\（＼begin{cases}x ＝ 5 ＼＼ y ＝ 4\end{cases}＼），此时腰长为 10，底边长为 4，符合三角形三边关系。

等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础巩固1、已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另外两个内角分别是多少度？解：当 80°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°，所以另外两个内角分别是 50°，50°。

当 80°的角为底角时，顶角的度数为：180° 80°× 2 ＝ 20°，所以另外两个内角分别是 80°，20°。

2、等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则其周长是多少？解：当腰长为 6 时，三边长分别为 6，6，8，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 6 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 20。

当腰长为 8 时，三边长分别为 8，8，6，因为 8 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 8 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 22。

综上，其周长为 20 或 22。

3、一个等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，求另外两边的长。

解：当 8 为腰长时，底边长为 20 8× 2 ＝ 4，因为 8 ＋ 4＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 8，4。

当 8 为底边时，腰长为(20 8)÷ 2 ＝ 6，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 6，6。

（二）能力提升1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为多少？解：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为 60°。

当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的外角为 60°，所以顶角为 120°。

综上，顶角的度数为 60°或 120°。

2、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1 和∠ADC 的度数。

等腰三角形的性质一、基础能力平台1．选择题：（1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）A．底角大于相邻外角B．底角小于相邻外角C．底角大于或等于相邻外角D．底角小于或等于相邻外角（2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．100°，20°C．50°，50°D．40°，40°或100°，20°（3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．50°，50°，80°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°（4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（）A．45°B．40°C．55°D．50°（5）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角B．顶角的一半C．顶角的2倍D．底角的一半（6）已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．72°（1）（2）（3）2．填空题：（1）如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠________=∠______；②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=_____，_____⊥______．（2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______．（3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______．（4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC 的面积为________．（5）如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=______．3．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．4．如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC•以a和c为两边，这样的三角形能作几个？ac5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．6．如图所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．（1）AF与CD垂直吗？请说明理由；（2）在你接连BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个．（不要求说明理由）7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE．AH与2BD•相等吗？请说明理由．二、拓展延伸训练右下图是人字型层架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D．如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是（）A．AC和BC，焊接点B B．AB和AC，焊接点AC．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A三、自主探究提高如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，且DA=DB=DC．（1）已知∠A=30°，求∠ACB的度数；（2）已知∠A=40°，求∠ACB的度数；（3）试改变∠A的度数，计算∠ACB的度数，你有什么发现吗？答案：【基础能力平台】1．（1）B（2）A（3）D（4）D（5）B（6）C 2．（1）①B C•②DC（或BC）AD⊥BC（2）40°（3）80°或20°（4）12cm2（5）40°3．80°80•° 20°或120°30°30°4．略5．108°6．（1）略（2）①BE∥CD②AF•⊥BE③△ACF≌△ADF④∠BCF=∠EDF等7．说明△BCE≌△AHE，得AH=BC，由等腰三角形的“三线合一”性质得BC=2BD，所以AH=2BD【拓展延伸训练】C【自主探究提高】（1）∠ACB=90°（2）∠ACB=90°（3）猜想：不论∠A•等于多少度（小于90°），∠ACB总等于90°。

等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50。

，则其顶角为________ ・2.如图，HABC中…13=∕C, BC=6cm, JD 平分ZBAC.则BD= _________________ c m.第3题图3.如图，'ABC中，-lδ=FC, D为EC中点，ZBAD=35。

,则ZC的度数为（）A.35oB. 45。

C・ 55。

D・ 60o4.已知等腰三角形的一个内角为50。

，则这个等腰三角形的顶角为（）A・ 50o B. 80oC. 50。

或80。

D・ 40。

或65。

5.如图，在Z∖J5C 中，D 是BC 边上一点，^AB=.-ID=DC, ZAW=40°,求ZC 的度数.6.如图，ΔJBCΦ, .IB=AC9 D 是EC 的中点，E, F分别是.1B. JC±的点，且AE=AF. 求证：DE=DF.1. 在 ∕∖ABC 中，ZJ=40% Z5 = 70o ,则 MBC 为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形2. 已知ΔJPC 中，Z5=50% ZJ = 80c , -lδ=5cm.则 AC= _________________ ・3. 如图，在ΛABC 中，-Q 丄BC 于点Zh 请你再添加一个条件，使苴可以确定AlSC 为等腰三角形，则添加的条件是 ________ ・第3题图4. 如图，已知NlBC 中，ZJ = 36% AB=AC, BD 为ZABC 的平分线，则图中共有 _______________ 个等腰三角形.5. 如图，D 是ZXJ5C 的BC 边上的中点，DE 丄AC. DFLAB.垂足分别是E, F,且DE=DF 求证:AB=AC.6.如图，肋〃 CZ λ直线/交,松于点E,交CD 于点F, FG 平分ZEFD 交直线曲于点G 求证：ZLEFG 是等腰三角形.第4题图13・3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1. ____________________________________________________________ 如图，a∕∕b.等边MBC的顶点D C在直线b上，则Zl的度数为_______________________第1题图第3题图2.在∕∖ABC中，ZJ=60°,现有下面三个条件：®ZB=ZC;③ZA=ZB.能判定Z∖J5C为等边三角形的有____________________________ .3・如图，在等边AABC中，BD丄AC于D∙若,松=4,则AD= ________________ ・4.如图，ΔJ J9C是等边三角形，ZCBD=90°. BD=BC.连接.10交BC于点求ZBAD 的度数.5・如图，E是等边AABC中JC边上的点，Z1 = Z2, BE=CD.求证: (I)ZUEE 竺ZUS⑵AADE为等边三角形.第2课时含30。

等腰三角形性质及判定等腰三角形的性质知识点一：等腰三角形的定义1.等腰三角形的两边的长为3和5，则其周长为_____________2.等腰三角形的两边的长分别为2和4，则取周长为__________3.等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为________4.等腰三角形的一个角为40°，则其余角度为_____________5.等腰三角形的一个角为120°，则其余角为____________知识点二等边对等角6.△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是___________7.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=80°，则∠B的度数为_________。

第7题第8题第9题8.如图，在△ABC中，AB=AC,AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC=___________9.如图，△ABC中，AB=AC,∠B=40°，CD=AC,则∠DAC=_________，∠DAB=__________-10.如图，△ABC中，AB=AC,AE平分△ABC的外角∠DAC,求证：AE∥BC。

知识点三：等腰三角形的“三线合一”11.在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长为_________-12.在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，若∠BAD=20°，则∠C=_________13.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证：DE=DF14.如图，已知AB=AC=AD,且AD∥BC，求证：∠C=2∠D15.在△ABC中，AC=AB,点D在AB上，BC=BD,∠ACD=15°，求∠B的度数。

16.如图，AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数。

17.如图1.在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.(1)若∠A=50°，则∠DBC=__________,∠A= ,则∠DBC=____________(2)如图2，若∠BAC为钝角，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并给予证明。

等腰三角形基础练习题一、填空题1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形.2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合.3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________.4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么BC=________.5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________.6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________.7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________.8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________.9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是_______.10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________.11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形.12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________.13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____.14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______..15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________.二、选择题1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2、如图，已知△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB于D，那么下列两角关系正确的是（）.（A）∠A=∠B（B）∠A=∠ACD（C）∠A=∠DCB（D）∠A=2∠BCD 3.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（）. （A）20cm（B）22cm（C）20cm或22cm（D）都不对4.如图，已知AB=AC，DE分别为AB、AC的中点，BE、CD交于G，AG的延长线交BC于F，那么图中全等三角形对数有（）.（A）4对（B）5对（C）6对（D）7对5.如图，AC=BC，∠1=∠2，那么AM是等腰三角形△ABC的（）. （A）顶角平分线（B）底角平分线（C）一腰的中线（D）底边上的中线6.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，AD、AE分别是BA、CA的延长线，∠D=20°，那么△DEA是（）.（A）等腰三角形（B）等边三角形（C）等腰直角三角形（D）以上结论都不对7.如图，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长是13cm，那么△ABC的周长是（）.（A）11.5cm(B)13cm(C)16cm(D)19cm8.下列图形中，不是轴对称图形的是（）.（A）等边三角形（B）等腰直角三角形（C）线段（D）三角形的内角平分线9.等腰三角形一底角的余角等于（）.（A）顶角（B）顶角的2倍（C）底边高与一腰所成的角（D）一腰上的高与另一腰所成的角10.如果三角形的三边a、b、c满足（a-b）(b-c)(c-a)=0，那么这个三角形是（）. （A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等边三角形（D）锐角三角形11.一个等腰三角形，但不是等边三角形，它的角平分线、高、中线总数共有（）.（A）9条（B）7条（C）6条（D）5条12.等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）. （A）25°（B）40°（C）25°或40°（D）以上都不对13.等腰三角形一边长为2，周长为4+7，那么，这个等腰三角形腰长为（）.（A）3.5+（B）2（C）3.52（D）以上都不对14.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）.（A）110°（B）55°（C）35°（D）以上都不对15.满足下列条件的图形是轴对称图形的是（）.（A）全等的两个图形（B）能互相重合的两个图形（C）沿一条直线对折，能互相重合的两图形（D）绕某点旋转180°后，能互相重合的两图形.三、计算、证明题1、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度数.2、如图，已知AD⊥BC，垂足为D，△BDE和△ADC都是等腰直角三角形，CE=5cm，求AB的长.3、如图，已知CE平分∠ACB，CE⊥DB.∠DAB=∠DBA，AC=18cm，△CDB的周长是28cm.求DB的长.4、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE.求：∠EDC的度数.5、如图，已知△ABC是等边三角形，在AC、BC上各取一点D、E，使AD=CE，AE，BD相交于O.求∠BOE的度数.6、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,DE垂直平分AC，DE=2cm.求BC的长.7、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2.求证：AD⊥BC.8、如图，已知△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，△ADE是等边三角形.求证：BD=BE.9.如图，已知在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点.求证：∠5=∠6.10.如图，已知AB=AC，∠ABD=∠ACD. 求证：AD垂直平分BC.11.如图，已知在三角形ABC中，AB=AC，以AB，AC向上作等边三角形△ABD 和△ACE.求证：DE∥BC.12.如图1-4-38,已知在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE,DE交BC于F.求证：DF=EF.。

等腰三角形练习题一题型研究题型一：等腰三角形的性质+=，则∠B的1．如图，在ABC中，105∠=︒，AD BCBAC⊥，垂足为D，若AB BD CD度数为（）A．20︒B．25︒C．45︒D．50︒2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=20，点D在边AB上，CA=CD，BD=8，则AD=（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，在ABC中，10==，8AB ACBC=，AD平分BAC∠交BC于点D，点E为AC的△的周长为（）中点，连接DE，则CDEA．12 B．13 C．14 D．18题型二：等腰三角形的判定4．点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CF与DE相交于点G．(1)求证∠E＝∠F；(2)若CF＝10，DG＝4，求EG的长．5．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，且MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ．求证：MN ＝BM +CN ．6．【问题提出】在ABC 中，2ACB B ∠=∠，AD 为BAC ∠的角平分线，探究线段AB ，AC ，CD 的数量关系．【问题解决】如图1，当90ACB ∠=︒，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，易得AB AC CD =+；由此，如图2，当90ACB ∠≠︒时，猜想线段AB ，AC ，CD 有怎样的数量关系？给出证明．【方法迁移】如图3，当90ACB ∠≠︒，AD 为ABC 的外角平分线时，探究线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明．题型三：等边三角形的性质7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，等边三角形ADE的顶点D在BC边上，连接CE，已知∠DCE=90°，CD=2，则AB的长为（）A．2B．31+C．22D．38．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．12AD=，E是高AD上的一个动点，F是边AB 9．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高8的中点，在点E运动的过程中，存在EB EF+的最小值，则这个最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8题型四：等边三角形的判定10．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，点E在AB上，将△BCE沿CE对折得到△FCE，EF恰好过点A，FC边与AD边交于点G，且DC=DG．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)试判断△F AG的形状，并说明理由．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，以AB为一边向上作等边三角形ABD，点E在BC垂直平分线上，且EB⊥AB，连接CE，AE，CD．(1)判断△CBE的形状，并说明理由；(2)求证：AE=DC；(3)若CD与AE相交于点F，CD与AB相交于点G，求∠AFD的度数．12．在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF，（1）求证：∠B＝∠DEF；（2）连接DF，当∠A的度数是多少时，△DEF是等边三角形．题型五：等腰和等边三角形的综合问题13．如图，ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，AD BE =，线段AE ，CD 交于点F ．作AEH CFE ∠=∠，交CF 于点H ．(1)求证：ACD BAE ∠=∠；(2)用等式表示线段AF ，DF ，CH 之间的数量关系，并证明．14．已知在ABC 中，BAC 45∠=︒，AE ，BF 是ABC 的高，分别交BC ，AC 于点E ，F ．(1)如图1，若ABC C ∠<∠，且75BDE ∠=︒，求BAE ∠的度数；(2)如图2，若ABC C ∠=∠．①求BAE ∠的度数；②求证：ADF BCF ≌△△．15．在等边△ABC中，D为BA延长线上一点，F为BC上一点，过B作BE∥AC，连接DE，EF，且∠DEF＝60°．(1)如图1，若BE＝2，BD＝5，求BF的长．(2)如图2，若F为CB延长线上一点，试探究BD、BE、BF的关系，并说明理由．(3)如图3，若F为BC延长线上一点，且AD：BE：AC＝1：2：3，请直接写出CF：BE的值．二随堂练习一、单选题16．如图，等边△ABC 中，AD 为BC 边上的高，点M 、N 分别在AD 、AC 上，且AM ＝CN ，连BM 、BN ，当BM +BN 最小时，∠MBN 的度数为（ ）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．47.5°17．如图，已知ABC 是等腰三角形，AB BC =，BD 平分ABC ∠，若6AC =，则AD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．818．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()2,0，若点A 在第一象限内，且AB OB =，60AOB ∠=︒，则点A 到y 轴的距离为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2 19．如图，30ABC ︒∠=，点D 是它内部一点，BD m =．点E ，F 分别是BA ，BC 上的两个动点，则DEF 周长的最小值为（ ）A ．0.5mB ．mC ．1.5mD ．2m20．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点D 的对应点为点,F CF 与AB 交于点E ，若长方形ABCD 的周长为16，则CBE △的周长为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．421．如图，ABC 中，AB BC =，60C ∠=°，AD 是BC 上的高，DE AC ∥，图中与BD （BD 除外）相等的线段共有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．422．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM +CN ＝9，则线段MN 的长（ ）A ．大于9B ．等于9C ．小于9D ．不能确定23．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且BD CE =，DC BF =，且60EDF ∠=︒．(1)求证：BDF CED △≌△；(2)判断ABC 的形状，并说明理由．24．△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且AD ＝CE ，连接AE 、BD 交于点F ．(1)如图1，求∠BFE 的度数；(2)如图2，连接CF ，当CF ⊥BD 时，求AF BF的值； (3)如图3，点P 在线段AE 上，连接CP ，且CP ＝AF ，在图中找出与线段 AP 相等的线段，并证明．高分突破一：选择题25．如图，在ACD △中，60CAD ∠=︒，以AC 为底边向外作等腰ABC ，60BAC ADC ∠+∠=︒，在CD 上截取DE AB =，连接BE ．若30BEC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°26．如图，将一个等腰直角三角形△ABC 按如图方式折叠，若DE =a ，DC =b ，下列四个结论：①DC ′平分∠BDE ；②BC 长为2a +b ；③△BDC ′是等腰三角形；④△CED 的周长等于BC 的长．其中，正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．②③D ．②④27．如图，过边长为4的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A =CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．95B ．2C ．115D ．12528．已知：如图在ABC ∆，ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD CE =；②BD CE ⊥；③45ACE DBC ∠+∠=︒；④180BAE DAC ∠+∠=︒，其中结论正确的个数是（ ）（注:等腰三角形的两个底角相等）A ．1B ．2C ．3D ．429．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE =BD +CE ；③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF =CF ．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．①30．如图，∠EAF ＝18°，AB BC CD ==，则∠ECD 等于（ ）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°31．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB =90°，M 是AB 边上的中点，点D 、E 分别是AC 、BC 边上的动点，DE 与CM 相交于点F 且∠DME ＝90°．则下列5个结论：（1）图中共有两对全等三角形；（2）△DEM 是等腰三角形；（3）∠CDM ＝∠CFE ；（4）AD +BE ＝AC ；（5）四边形CDME 的面积发生改变．其中正确的结论有个（ ）A ．2B ．3C ．4D ．532．如图所示，△ABC 与△ADE 顶点A 重合，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且AB ＝AC ，AD ＝DE ，∠B ＝∠ADE ＝40°，则∠EDC 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．5033．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，把△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 上的点F 处，若点F 为BC 的中点，则CE AC 的值是（ ） A ．12B ．22C ．25D ．38 二、填空题 34．如图，1230∠=∠=︒，A B ∠=∠，AE BE =，点D 在边AC 上，AE 与BD 相交于点O ，则∠C 的度数为______．35．如图，在ABC 中，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，连结BD ．若AB BD =，BCD △的面积为10，则ABC 的面积为______．36．如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =10，BC =16，AD 是BC 边上的中线且AD =6，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF +EF 的最小值等于______．37．如图，已知等腰△ABC ，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP =OC ，下面结论：①∠ACO=15°；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC 是等边三角形；④AC=AO+AP ；其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．38．如图，在R △ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，点E 在AB 边上，连接DE ，过点D作DE 的垂线，交AC 于点F ．下列结论：①△AED ≌△CFD ；②EF ＝AD ；③BE +CF ＝AC ；④S 四边形AEDF ＝12AD 2，其中正确的结论是 _____（填序号）．三、解答题39．如图，在ABC 中，60ACB ∠=︒，点D 在AC 上，BC CD =，以AB 为边向左侧作等边三角形ABE ，连ED ．(1)求证：ABC EBD ≌△△；(2)过点B 作BF ED ⊥于点F ，2DF =，求BD 的长．40．如图，ABC 是等边三角形，过点B 作BD //AC ，点D 在直线AB 下方，在射线BD 上截取2BD BC =，连接AE ．(1)用无刻度的直尺和圆规按要求作图，并在图中标出相应字母（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）条件下，求证：AE AB ⊥．41．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，3AB AC ==，D 为BC 边的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 边上运动，且始终保持BE AF =，连接DE 、DF 、EF ．(1)求证：ADE ≌CDF ；(2)判断DEF 的形状，并说明理由；(3)求四边形AEDF 的面积；(4)若2BE =，求EF 的长．42．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD 是BC 的中线，AE BF =．(1)求证：DE DF =(2)DEF 是什么形状的三角形？请说明理由．43．在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且AD =BE ，BD =AC ，连接CD 、DE ．(1)如图1，求证：DE =CD ；(2)如图2，过E 作EF ⊥AB 于F ，求证：∠FED =∠CED ；(3)如图3，若延长ED 、CA 相交于G ，求证：D 为EG 的中点．44．如图1，在△ABC 中，AB AC =，点E 在线段BC 上，连接AE 并延长到G ，使得EG AE =，过点G 作GD BA ∥分别交BC ，AC 于点F ，D ．(1)求证：△≌△ABE GFE ；(2)若3GD =，1CD =，求AB 的长度；(3)如图2，过点D 作DH BC ⊥于H ，P 是直线DH 上的一个动点，连接AF ，AP ，FP ，若45C ∠=︒，2AF =，在（2）条件下，求△AFP 周长的最小值．45．已知△ABC ≌△ADE ，且它们都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°．(1)如图1，当点D在边AC上时，连接BD并延长交CE于点F，①求证：∠CBD=∠EDF；②求证：点F为线段CE的中点；(2)△ADE绕着点A顺时针旋转，如图2所示，连接BD并延长交CE于点F，点F还是线段CE的中点吗？请说明理由．。

等腰三角形专项练习30题1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，则AC的长度为（）A．16cm B．9cm C．8cm D．7cm2．在△ABC中，∠ABC=120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°4．如图，已知∠AOB=40°，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，CD交OA、OB于M、N两点，则∠MPN的度数是（）A．70°B．80°C．90°D．100°5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．7．如图所示，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③8．下列说法正确的是（）A．两个能重合的图形一定关于某条直线对称B．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧C．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上D．如果三角形一边的垂直平分线经过它的一个顶点，那么这个三角形一定是等腰三角形9．用一根长为a米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b平方米．现在这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为（）米．A．B．C．D．10．在等腰直角△ABC（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，BD+CD=10cm，则AB的长为_________．12．如图，若等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为16cm，则底边BC是_________cm．13．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_________．14．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有_________个．15．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为_________．16．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，则线段EB与线段EF的数量关系为_________．17．如图，在等腰在△ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若在△BCE的周长为50，则底边BC的长为_________．18．等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长为_________．19．如图，已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F．把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图示方式折叠，则图中阴影部分是_________三角形．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：_________．21．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，说明：BC=DE+EF成立的理由．23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．24．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．25．如图，∠1=∠2，AB=AD，∠B=∠D=90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．26．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．27．如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF．29．如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．30．如图，△ABE和△BCD都是等边三角形，且每个角是60°，那么线段AD与EC有何数量关系？请说明理由．参考答案：1．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，AC=AB，∴2AC+BC=25cm，BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16cm，即，解得：AC=9cm，故选B2．解：∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，∴AE=BE，BF=CF，∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=120°，∴∠A+∠C=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠EBF=120°﹣60°=60°，故选B3．解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B4．解：∵P关于OA、OB的对称∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD∴CM=PM，PN=DN∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，∵∠PRM=∠PTN=90°，∴在四边形OTPR中，∴∠CPD+∠O=180°，∴∠CPD=180°﹣40°=140°∴∠C+∠D=40°∴∠MPN=180°﹣40°×2=100°故选D．5．解：如图，延长AO交BC于点M，连接BO，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣50°）÷2=65°，∵AO是∠BAC的平分线，∴∠BAO=25°，又∵OD是AB的中垂线，∴∠OBA=∠OAB=25°，∴∠OBM=∠OCM=60°﹣25°=40°，∴∠BOM=∠COM=90°﹣40°=50°，由折叠性可知，∠OCM=∠COE，∴∠MOE=∠COM﹣∠COE=50°﹣40°=10°，∴∠OEM=90°﹣10°=80°，∵由折叠性可知，∠OEF=∠CEF，∴∠CEF=（180°﹣80°）÷2=50°．故选：B6．解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D7．解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．所以∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正确；在△ABD中，AB=AD，∠BAO=∠DAO，所以BO=DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正确；不能推出∠ABO=∠CBO，故④不正确．故选B8．解：A、两个能重合的图形不一定关于某条直线对称，故错误；B、两个图形关于某条直线对称，它们的对应点有可能位于对称轴上，故错误；C、同一平面内，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故错误；D，正确，故选D9．解：等边三角形周长为a，则边长为，设P到等边三角形的三边分别为x、y、z，则等边三角形的面积为b=××（x+y+z）解得x+y+z=，故选C10．解：∵△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，∴有一个满足条件的点﹣斜边中点，∴符合条件的点有1个．故选A．11．解：∵ED是边AB边上的中垂线，∴AD=BD；又∵BD+CD=10cm，AB=AC，∴BD+CD=AD+DC=AC=AB=10cm，即AB=10cm．故答案是：10cm12．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴BD+CD=AC，∵AB=AC=10cm，BD+CD+BC=AB+BC=16cm，∴BC=16﹣AB=16﹣10=6cm．故答案为：6cm13．解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：2014．解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，∴△MEN，△MDG是等边三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个15．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC﹣EC=8﹣5=3，∴BE=3，∴BD=1.5．故选A．16．解：延长EF交AC于点Q，∵EF⊥AD，AD⊥BC∴EQ∥BC∴∠QEC=∠ECB∵CE平分∠ACB∴∠ECB=QCE∴∠QEC=∠QCE∴QE=QC∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形∴△AQE为等腰三角形∴AQ=AE，QE=2EF∴BE=CQ=2EF．故答案为：BE=2EF．17．解：∵DE垂直且平分AB，∴BE=AE．由BE+CE=AC=AB=27，∴BC=50﹣27=2318．解：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：1、当3X=15，且X+Y=6，解得，X=5，Y=1，∴三边长分别为10，10，1；2、当X+Y=15且3X=6时，解得，X=2，Y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，故这种情况不存在．∴腰长只能是10．故答案为1019．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵根据题意知道点B和点C经过折叠后分别落在了点I和点H处，∴∠DIH=∠B=60°，∠GHI=∠C=60°，∴∠HJI=60°，∴∠DIH=∠GHI=∠HJI=60°，∴阴影部分是等边三角形，故答案为：等边．20．答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）BE=CD，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形21．解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．22．解：∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，∠C是直角，∴CD=DF，∠DBC=∠DBE，∠DFB=∠C，∴△BCD≌△BFD，∴BC=BF，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，即∠DBC=∠DBE，∴△BDE是等腰三角形，∴BE=DE，∴BF=BC=DE+EF23．（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．（2）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．24．解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，∴∠BAP=∠CAQ=30°．∴∠BAC=120°．故∠BAC的度数是120°25．解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3，即∠BAC=∠DAE，又∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC=AE．即△AEC是等腰三角形26．①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）；②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形27．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=728．（1）证明：在等腰△ABC中，∵CH是底边上的高线，∴∠ACH=∠BCH，在△ACP和△BCP中，，∴△ACP≌△BCP（SAS），∴∠CAE=∠CBF（全等三角形对应角相等）；（2）在△AEC和△BFC中，∴△AEC≌△BFC（ASA），∴AE=BF（全等三角形对应边相等）．29．证明：∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，∵BQ⊥AD∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．30．解：AD=EC．证明如下：∵△ABC和△BCD都是等边三角形，每个角是60°∴AB=EB，DB=BC，∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC即∠ABD=∠EBC在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（SAS）∴AD=EC。