等腰三角形(基础)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A．16 B．17C．16或17D．10或122.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80° C．50°或80°D．40°或65°3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 已知实数x，y满足|x−4|+(y−8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对∆沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若5. 如图，D是AB边上的中点，将ABC∠度数是（）∠=︒，则BDFB50A．60° B．70° C．80° D．不确定6. （2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50° B．51°C．51.5°D．52.5°二.填空题7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．8.（2016•泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于．9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB ＝_________cm．10.在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将三角形的周长分成了15和18两个部分，则底边长BC= ．11. 如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=______度．12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 .三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14. 如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E．AE平分∠BAC．设∠B=x（单位：度），∠C=y（单位：度）．请讨论当△ABC为等腰三角形时，∠B为多少度？15.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上任意一点，过D 分别向AB ，AC 引垂线，垂足分别为E ，F ，CG 是AB 边上的高．DE ，DF ，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】注意分类讨论.2. 【答案】C ；【解析】解：如图所示，△ABC 中，AB=AC ．有两种情况：①顶角∠A=50°；②当底角是50°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故选：C ．3. 【答案】B ；4. 【答案】B ；【解析】根据题意得4080x y -⎧⎨-⎩＝＝,解得48x y =⎧⎨=⎩. （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B ．5. 【答案】C ；【解析】AD ＝DF ＝BD ，∠B ＝∠BFD ＝50°，BDF ∠＝180°－50°－50°＝80°.6. 【答案】D ；【解析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB ，∠BDE=∠BED ，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE ，根据平角的定义即可求出选项．二.填空题7. 【答案】20；【解析】∠A ＝∠ABD ＝40°，∠BDC ＝∠C ＝80°，所以∠CBD ＝20°.8.【答案】20°；【解析】解：过点A 作AD ∥l 1，如图，则∠BAD=∠β．∵l 1∥l 2，∴AD ∥l 2，∵∠DAC=∠α=40°．∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠β=∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．故答案为20°．9. 【答案】8；【解析】DE ＝DC ，AC ＝BC ＝BE ，△ADE 的周长＝AD ＋DE ＋AE ＝AC ＋AE ＝AB ＝8.10.【答案】9或13；【解析】解：设等腰三角形的底边长为x ，腰长为y ，则根据题意，得或，解得或，经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．故答案为：9或13．11.【答案】40；【解析】解：∵AB=BC ，∴∠ACB=∠BAC∵∠ACD=110°∴∠ACB=∠BAC=70°∴∠B=∠40°，∵AE ∥BD ，∴∠EAB=40°，故答案为40．12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=DC ．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，∴AC+DC=16∴AC+DC+AD=24∴AD=8．故填8．三.解答题13.【解析】证明：ED ⊥BC ；延长ED ，交BC 边于H ，∵AB ＝AC ，AE ＝AD ．∴设∠B ＝∠C ＝x ，则∠EAD ＝2x ，∴∠ADE ＝1802902xx ︒-=︒-即∠BDH ＝90°－x∴∠B ＋∠BDH ＝x ＋90°－x ＝90°，∴∠BHD ＝90°，ED ⊥BC.14.【解析】 解：由题意可知，AC ≠BC ，若 AB=AC ，此时，x=y ，即：180-3x=x ，得：x=45°；若 AB=BC ，此时，2x=y ，即：180-3x=2x ，得：x=36°．∴当△ABC 为等腰三角形时，∠B 分别为45°或36°．15.【解析】解：CG=DE+DF．理由如下：如图，连接AD，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴AB•CG=AC•DE+AB•DF，∴AB=AC，∴CG=DE+DF．。

等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。

2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。

3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。

4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。

5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。

6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。

证明：DE=DF。

第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。

2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。

3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。

4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。

5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。

证明：AB=AC。

6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。

证明：△EFG是等腰三角形。

等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。

2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。

能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。

3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。

等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础巩固1、已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另外两个内角分别是多少度？解：当 80°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°，所以另外两个内角分别是 50°，50°。

当 80°的角为底角时，顶角的度数为：180° 80°× 2 ＝ 20°，所以另外两个内角分别是 80°，20°。

2、等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则其周长是多少？解：当腰长为 6 时，三边长分别为 6，6，8，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 6 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 20。

当腰长为 8 时，三边长分别为 8，8，6，因为 8 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 8 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 22。

综上，其周长为 20 或 22。

3、一个等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，求另外两边的长。

解：当 8 为腰长时，底边长为 20 8× 2 ＝ 4，因为 8 ＋ 4＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 8，4。

当 8 为底边时，腰长为(20 8)÷ 2 ＝ 6，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 6，6。

（二）能力提升1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为多少？解：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为 60°。

当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的外角为 60°，所以顶角为 120°。

综上，顶角的度数为 60°或 120°。

2、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1 和∠ADC 的度数。

等腰三角形的性质一、基础能力平台1．选择题：（1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）A．底角大于相邻外角B．底角小于相邻外角C．底角大于或等于相邻外角D．底角小于或等于相邻外角（2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．100°，20°C．50°，50°D．40°，40°或100°，20°（3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．50°，50°，80°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°（4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（）A．45°B．40°C．55°D．50°（5）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角B．顶角的一半C．顶角的2倍D．底角的一半（6）已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．72°（1）（2）（3）2．填空题：（1）如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠________=∠______；②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=_____，_____⊥______．（2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______．（3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______．（4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC 的面积为________．（5）如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=______．3．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．4．如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC•以a和c为两边，这样的三角形能作几个？ac5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．6．如图所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．（1）AF与CD垂直吗？请说明理由；（2）在你接连BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个．（不要求说明理由）7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE．AH与2BD•相等吗？请说明理由．二、拓展延伸训练右下图是人字型层架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D．如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是（）A．AC和BC，焊接点B B．AB和AC，焊接点AC．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A三、自主探究提高如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，且DA=DB=DC．（1）已知∠A=30°，求∠ACB的度数；（2）已知∠A=40°，求∠ACB的度数；（3）试改变∠A的度数，计算∠ACB的度数，你有什么发现吗？答案：【基础能力平台】1．（1）B（2）A（3）D（4）D（5）B（6）C 2．（1）①B C•②DC（或BC）AD⊥BC（2）40°（3）80°或20°（4）12cm2（5）40°3．80°80•° 20°或120°30°30°4．略5．108°6．（1）略（2）①BE∥CD②AF•⊥BE③△ACF≌△ADF④∠BCF=∠EDF等7．说明△BCE≌△AHE，得AH=BC，由等腰三角形的“三线合一”性质得BC=2BD，所以AH=2BD【拓展延伸训练】C【自主探究提高】（1）∠ACB=90°（2）∠ACB=90°（3）猜想：不论∠A•等于多少度（小于90°），∠ACB总等于90°。

等腰三角形的巩固训练学习目标：1、针对等腰三角形的性质、判定做以巩固训练，强化同学们对等腰三角形知识的扎实掌握。

2、通过训练提高同学们应用等腰三角形知识的熟练性，同时进一步训练同学们分析几何问题的方法和能力，规范几何问题分析思维的严谨重点：等腰三角形知识的熟练应用难点：同学们应用等腰三角形的知识训练严谨的分析问题的方法和思路一、自我基础训练1、△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．2、等腰直角三角形的斜边的长为2，则斜边上高线的长为________3、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有_______个．4、等腰△ABC 中，∠A=70°，则∠B 的度数是5、三角形三个内角度数之比为1:1:,2，则这个三角形是 三角形。

6、如图，已知AC ∥BD ，OA=OC ，则下列结论不一定成立的是（ ）A 、∠B=∠DB 、∠A=∠BC 、OA=OBD 、AD=BC7、下列命题中正确的是（ ）A 、等腰三角形中角的平分线平分对边并且垂直于对边B 、等腰三角形的顶角一定是锐角C 、两底角相等的三角形是等腰三角形D 、有一个角的平分线垂直于对边的三角形是等腰三角形8、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（ ）A 、∠B=∠CB 、AD ⊥BC C 、AD 平分∠BAC D 、AB=2BD9、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A 、锐角三角形．B 、直角三角形．C 、钝角三角形．D 、不能确定．以上训练再次提醒我们：（1）等腰三角形的等边与等角的相对性；（2）等腰三角形中三线合一的使用和条件设置特点；（3）线段中垂线与等腰三角形的紧密结合。

二、能力提高训练1、如图，△ABC 中，AC=AD=BD ，∠DAC=80°，则∠B= 。

2、如图，已知OC 平分∠AOB ，CDOB ，若OD=3cm ，则CD= 。

图1D C B A §1.5 等腰三角形的轴对称性（1）预习导学预习课本P 23 ——P 24 ，思考：1. 等腰三角形是否轴对称图形？对称轴是什么？2. 等腰三角形的两个底角有何数量关系？3. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高有何位置关系？三、问题探究1. 把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，你发现什么？结论：2. 根据等腰三角形是轴对称图形的性质，你能发现图1中哪些角、边相等吗？等腰三角形还有什么性质？结论： （简称 ）结论：几何语言：如图，∵AB=AC ∴ 理由是： ∵AB=AC 且AD 平分∠BAC ∴ ， 理由是： 。

∵AB=AC 且AD ⊥BC ∴ ， 理由是： 。

∵AB=AC 且BD=CD ∴ ， 理由是： 。

321D B A 1DA例1. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且AD=BD 。

找出图中相等的角并说明理由。

四、拓展延伸例2. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°。

求底角B 的大小。

五、检测反馈课本P 24 练习1、2、3 、P 24 4如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且AD=BD=BC ，求∠A 的度数。

六、学后记1. 等腰三角形的对称轴是什么？2. 等腰三角形有何性质。

随堂练习1.（1）如果等腰三角形的周长为10，底边长为4，那么腰长为。

（2）如果等腰三角形的周长为10，腰长为4，那么底边长为。

（3）如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为。

2. 在等腰三角形ABC中，∠A=4∠B.（1）若∠A是顶角，则∠C= °（2）若∠A是底角，则∠C= °3. 在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AB上。

（1）如果CD是角平分线，那么∠BCD= °（2）如果CD是高，那么∠BCD= °（3）如果CD=AD ，那么∠BCD= °（4）如果CD=CB ，那么∠BCD= °4．如图，AB⊥AC，点D在BC的延长线上，且AB=AC=CD.（1）∠ACB= °，∠ADB= °（2）画∠ABD的平分线叫AD于点E，则∠AEB= °。

等腰三角形性质及判定等腰三角形的性质知识点一：等腰三角形的定义1.等腰三角形的两边的长为3和5，则其周长为_____________2.等腰三角形的两边的长分别为2和4，则取周长为__________3.等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为________4.等腰三角形的一个角为40°，则其余角度为_____________5.等腰三角形的一个角为120°，则其余角为____________知识点二等边对等角6.△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是___________7.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=80°，则∠B的度数为_________。

第7题第8题第9题8.如图，在△ABC中，AB=AC,AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC=___________9.如图，△ABC中，AB=AC,∠B=40°，CD=AC,则∠DAC=_________，∠DAB=__________-10.如图，△ABC中，AB=AC,AE平分△ABC的外角∠DAC,求证：AE∥BC。

知识点三：等腰三角形的“三线合一”11.在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长为_________-12.在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，若∠BAD=20°，则∠C=_________13.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证：DE=DF14.如图，已知AB=AC=AD,且AD∥BC，求证：∠C=2∠D15.在△ABC中，AC=AB,点D在AB上，BC=BD,∠ACD=15°，求∠B的度数。

16.如图，AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数。

17.如图1.在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.(1)若∠A=50°，则∠DBC=__________,∠A= ,则∠DBC=____________(2)如图2，若∠BAC为钝角，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并给予证明。

等腰三角形存在性问题巩固练习1．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝21cm，点P从点B出发沿BC以2cm/s的速度移动到点C；同时，点Q从点A出发沿AD以1cm/s的速度移动到点D；当点P运动到点C时点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为ts是否存在点P，使△DPQ是等腰三角形？如果存在，求出所有符合条件的t的值；如果不存在，请说明理由．【分析】先表示出PQ，PD，DQ，再分三种情况讨论计算即可．【解答】解：如图，过点Q作QE⊥⊥BC，由题意得，AQ＝t，PE＝BP﹣BE＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，）∴DQ＝21﹣t，PC＝21﹣2t，QE＝12，（0＜t≤212在R t△PQE中，PQ2＝122+t2，在R t△PCD中，PD2＝（21﹣2t）2+122，∵△DPQ是等腰三角形，①当PQ＝PD时，即：122+t2＝（21﹣2t）2+122，∴t＝7或t＝21（舍）；②当PQ＝DQ时，即：122+t2＝21﹣t，此方程无解，③当PD＝DQ时，（21﹣2t）2+122＝21﹣t，∴此方程无解．即：t＝7时，△DPQ是等腰三角形．【点评】此题是矩形的性质，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是表示出PD，DQ，PQ．2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（m，0），B（n，0），点A位于点B的右侧，且m，n是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个根，与y轴交于C（0，3）．在抛物线上的对称轴上是否存在点P，使得△PAC 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】解方程求得A 和B 的坐标，求得对称轴，当A 是直角顶点时，求得过A 于AC 垂直的直线与抛物线的对称轴的交点，然后判断是否是等腰三角形；同理当C 是直角顶点时利用相同的方法判断；当AC 是等腰三角形的底边时，求得AC 的中垂线与对称轴的交点，然后判断是否是直角三角形即可．【解答】解：解方程x 2+2x ﹣3＝0得x 1＝﹣3，x 2＝1，则A 的坐标是（1，0），B 的坐标是（﹣3，0）．抛物线的对称轴是x ＝﹣1．设AC 的解析式是y ＝kx +b ，则{k +b =0b =3， 解得：{k =−3b =3， 则直线AC 的解析式是y ＝﹣3x +3．当A 是直角顶点时，过A 且垂直于AC 的直线解析式设是y =13x +c ， 把A 代入得：13+c ＝0，解得：c =−13，则解析式是y =13x −13． 令x ＝﹣1，则y =−13−13=−23，则交点是（﹣1，−23）．到A 的距离是√(−1−1)2+(−23)2=2√103，AC =√32+12=√10， 则三角形不是等腰三角形；同理，当C 时直角时，过C 于AC 垂直的直线的解析式是y =13x +3，与对称轴x ＝﹣1的交点是（﹣1，83）．到C 的距离是√(−1−1)2+(83)2=103≠AC ，则不是等腰直角三角形；当P 是直角，即AC 是斜边时，AC 的中点是（12，32），过这点且与AC 垂直的直线的解析式是y =13x +86．当x ＝﹣1时，y =−13+86=1．则与对称轴的交点是（﹣1，1）．则到A 的距离是√(−1−1)2+12=√5．∵（√5）2+（√5）2＝（√10）2，∴P 的坐标是（﹣1，1）．【点评】本题考查了二次函数与x 轴的交点以及等腰直角三角形的判定，正确进行讨论是关键．3．如图，直线l 1与直线l 2：y =34x 相交于点A （2a +1，3），且与y 轴交于点B （0，6）． （1）求a 的值；（2）求直线l 1的函数关系式；（3）直线l 平行于y 轴，分别交直线l 1，l 2、x 轴于点M 、N 、P ，设点P 的横坐标为t （t ＞0，t ≠4），在y 轴上是否存在点F ，使得△FMN 为等腰直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A （2a +1，3）代入y =34x ，即可求得a 的值；（2）利用待定系数法即可求得直线l 1的函数关系式；（3）分别利用t 表示出M 、N 的坐标，可表示出MN ，分∠FMN 、∠FNM 和∠MFN 为直角三种情况，分别求得F 点的坐标，表示出FM 、FN ，分别得到关于m 的方程可求得m ．【解答】解：（1）∵直线l 2：y =34x 经过点A （2a +1，3），∴3=34（2a +1），解得a =32；（2）设直线l 1的函数关系式y ＝kx +b ，∵点A （4，3），点B （0，6）．∴{4k +b =3b =6， 解得{k =−34b =6．∴直线l 1的函数关系式y =−34x +6；（3）∵P （t ，0）（t ＞0，t ≠4），则M （t ，−34t +6），N （t ，34t ）， ∴MN ＝|−32t +6|， Ⅰ）当∠FMN ＝90°且△FMN 为等腰三角形时，F （0，−34t +6），∴FM ＝MN ，即：t ＝|−32t +6|， 解得：t =125或t ＝12，Ⅱ）同理当∠FNM ＝90°且△FMN 为等腰三角形时，F （0，34t ），∴FN ＝MN ，即：t ＝|−32t +6|，解得：t =125或t ＝12，Ⅲ）当∠MFN ＝90°且△FMN 为等腰三角形时，F （0，3），∴FM 2＝t 2+（34t ﹣3）2， FN 2＝t 2+（34t ﹣3）2，MN 2＝（−32t +6）2，∴MN 2＝FM 2+FN 2，∴t 2+（34t ﹣3）2+t 2+（34t ﹣3）2＝（−32t +6）2，整理可得78t 2+18t ﹣18＝0，解得t =127或t ＝﹣12（舍去）； 综上可知存在使得△FMN 为等腰直角三角形的点F ，此时t 的值为125或127或12．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的判定、勾股定理等知识点的综合应用．掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，在（3）中利用t 表示出FN 、FM 和MN 得到关于t 的方程是解题的关键，注意分类讨论思想和方程思想的应用．4．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （−94，0），点C （0，3），点B 是x 轴上一点（位于点A 的右侧，以AB 为直径的圆恰好经过点C ）（1）求证△AOC ∽△COB ；（2）已知抛物线y ＝ax 2+bx +3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC 上是否存在D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB 是直角，再根据相似三角形的判定方法证明即可．（2）利用三角形相似求出点B 的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标，重新假设抛物线的解析式，代入点C 坐标求出a 即可．（3）分别以OB 为底边和腰求出等腰三角形中点D 的坐标．【解答】（1）证明：∵以AB 为直径的圆恰好经过 点C ，∴∠ACB ＝90°，∵∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠ACO +∠BCO ＝90°，∠BCO +∠CBO ＝90°，∴∠ACO ＝∠CBO ，∴△△AOC ∽△COB ．（2）∵△AOC ∽△COB ，∴OC 2＝AO •OB ，∵A （−94，0），点C （0，3），∴AO =94，OC ＝3，又∵CO 2＝AO •OB ，∴32=94OB ，∴OB ＝4，∴B （4，0），∵抛物线经过B （4，0），A （−94，0），可以假设抛物线为y ＝a （x ﹣4）（x +94），把（0，3）代入得a =−13 ∴y =−13x 2+712x +3．（3）①OD ＝DB ，如图：D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB ，垂足是H ，则H 是OB 中点．ⅤDH =12OC ，OH =12OB ，∴D （2，32），②BD ＝BO ，如图：过D 作DG ⊥OB ，垂足是G ，∴BG OB =BD CB =DG OC ， ∵OB ＝4，CB ＝5，∴BD ＝OB ＝4，∴CD CB =15，∴BG 4=45=DG 3， ∴BG =165，DG =125， ∴OG ＝BO ﹣BG =45，∴D （ 45，125）．【点评】本题考查的是二次函数的综合题、圆的有关性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，1），动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴正半轴运动，同时动点B以每秒2个单位的速度从点O出发沿y轴正半轴运动，作直线AB．设运动的时间为t秒，是否存在t，使△ABC是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【分析】运动的时间是t，则OA＝t，OB＝2t，利用勾股定理把AB2，BC2和AC2用t表示出来，然后利用勾股定理列方程求得t的值，然后判断t是否满足条件，以及是否是等腰三角形即可．【解答】解：运动的时间是t，则OA＝t，OB＝2t．在直角△OAB中，AB2＝OA2+OB2＝t2+（2t）2＝5t2，过C作CD⊥x轴于点D，则D的坐标是（3，0）．在直角△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝1+（3﹣t）2＝t2﹣6t+10，BC2＝32+（2t﹣1）2＝4t2﹣4t+10，当AB是斜边时，AB2＝AC2+BC2，则5t2＝t2﹣6t+10+4t2﹣4t+10，解得：t＝2．此时AB2＝20，AC2＝2，BC2＝18，此时不是等腰三角形，故不符合条件；当AC是斜边时，AC2＝AB2+BC2，则t2﹣6t+10＝5t2+（4t2﹣4t+10），解得：t＝0或﹣4（不符合题意，舍去）；当BC是斜边时，AB2+AC2＝BC2，则5t2+（t2﹣6t+10）＝4t2﹣4t+10，解得：t＝0（舍去），或1．当t＝1时，AB2＝5，AC2＝1﹣6+10＝5，此时AB＝AC．总之，当t＝1时，△ABC是等腰直角三角形．【点评】本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，正确进行讨论，利用m表示出AB2，BC2和AC2是关键．6．如图，直线y＝7x+7交x轴于点A，交y轴于点B．（1）S△AOB；（2）第一象限内是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形且∠ACB＝90°？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由直线解析式，分别令x 与y 为0求出y 与x 的值，确定出A 与B 坐标，进而求出OA 与OB 的长，即可求出三角形AOB 面积；（2）第一象限内存在点C ，使△ABC 为等腰直角三角形且∠ACB ＝90°，理由为：设C （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），根据题意得BC 2＝AC 2，BC 2+AC 2＝AB 2，列出关于x 与y 的方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，即可确定出C 坐标．【解答】解：（1）对于直线y ＝7x +7，令x ＝0，得到y ＝7；令y ＝0，得到x ＝﹣1，∴A （﹣1，0），B （0，7），即OA ＝1，OB ＝7，则S △AOB =12OA •OB =72；（2）第一象限内存在点C ，使△ABC 为等腰直角三角形且∠ACB ＝90°，理由为：设C （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），根据题意得：BC 2＝AC 2，BC 2+AC 2＝AB 2，即{(−1−x)2+y 2=x 2+(y −7)2(−1−x)2+y 2+x 2+(y −7)2=12+72， 解得：{x =3y =3． 此时C （3，3）．【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，两点间的距离公式，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．7．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 1过点A （1，0）且与y 轴平行，直线l 2过点B （0，2）且与x 轴平行，直线l 1与l 2相交于P ．点E 为直线l 2上一点，反比例函数y =k x （k ＞0）的图象过点E 且与直线l 1相交于点F ．（1）若点E 与点P 重合，求k 的值；（2）连接OE 、OF 、EF ，若△OEF 的面积为△PEF 面积的2倍，求点E 的坐标；（3）当k ＞2时，在y 轴上是否存在一点G ，使△FEG 是等腰直角三角形？如果存在，求出G 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可解决．（2）分两种情形列方程解决问题：①如图2中，当E 在P 右边时，作EM ⊥x 轴于M ．设E （m ，2）则F （1，2m ），②如图3中，当E 在P 左边时，作EM ⊥x 轴于M ．设E （m ，2）则F （1，2m ），（3）分四种情形①如图4中，当E 在P 右边时，∠FEG ＝90°，EF ＝EG ，设E （m ，2），则F （1，2m ），②如图5中，当E 在P 右边时，∠GFE ＝90°，FG ＝FE ，作FM ⊥y 轴于M ．设E （m ，2），则F （1，2m ），③如图6中，当E在P左边时，∠FEG＝90°，EG＝EF．设E（m，2），则F（1，2m），④如图7中，当E在P 左边时，∠EFG＝90°，EF＝FG，作GM⊥PA于M．设E（m，2），则F（1，2m），利用全等三角形的性质，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，由题意P（1，2），把P（1，2）代入y=kx得到，k＝2，∴k的值为2．（2）①如图2中，当E在P右边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），∵S△OEF＝S△AOF+S梯形AMEF﹣S△OEM，S△AOF＝S△EOM，∴S△OEF＝S梯形AMEF，∵S△EOF＝2S△PEF，∴2+2m2•（m﹣1）＝2×12×（m﹣1）（2m﹣2），∴m＝3，此时E（3，2）②如图3中，当E在P左边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），同理可得，2+2m2×（1﹣m）＝2×12（1﹣m）×（2﹣2m），∴m=13，此时E（13，2）综上所述，当E（3，2）或（13，2）时，△OEF的面积为△PEF面积的2倍．（3）如图4中，①当E在P右边时，∠FEG＝90°，EF＝EG，设E（m，2），则F（1，2m），∵∠EPF＝∠EBG，EF＝EG，∠FEP＝∠BEG，∴△FEP≌△EGB，∴PF＝BE，BG＝PE，∴m＝2m﹣2，∴m＝2，∴BG＝PE＝1，∴G（0，1）．②如图5中，当E在P右边时，∠GFE＝90°，FG＝FE，作FM⊥y轴于M．设E（m，2），则F（1，2m），由△FPE ≌△FMG ，得到FM ＝PF ，MG ＝PE ，∴2m ﹣2＝1，∴m =32，∴PE ＝MG =12，BG =12，∴G （0，52）．③如图6中，当E 在P 左边时，∠FEG ＝90°，EG ＝EF ．设E （m ，2），则F （1，2m ），由△EFP ≌△GEB ，得到，EB ﹣PF ，BG ＝PE ，∴m ＝2﹣2m ，∴m =13， ∴BG ＝PE =23，OG =43， ∴G （0，43）．∵k ＞2，此时E （13，2），不符合题意．④如图7中，当E 在P 左边时，∠EFG ＝90°，EF ＝FG ，作GM ⊥PA 于M ．设E （m ，2），则F （1，2m ），由△EFP≌△FGM得到PE＝FM，PF＝GM，∴2﹣2m＝1，，∴m=12，∴BG＝PF+FM=32∴OG=1，2），∴G（0，12，2），不符合题意；∵k＞2，此时E（12综上所述，满足条件的点G左边为（0，1）或（0，5）．2【点评】本题考查反比例函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．（1）求a的值；（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S；若不存在，请说明理由．△ABC【分析】（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式y＝x2﹣2ax+a2，令其x＝0找出点B的坐标，根据△AOB 为等腰直角三角形即可得出关于a 的一元二次方程，解方程即可求出a 值；（2）作点B 关于抛物线对称轴对称的点C ，连接BC ，交抛物线的对称轴于点D ，根据等腰直角三角形的判定定理找出△ABC 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B 的坐标即可得出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出S △ABC 的值．【解答】解：（1）平移后的抛物线的解析式为y ＝（x ﹣a ）2＝x 2﹣2ax +a 2，令y ＝x 2﹣2ax +a 2中x ＝0，则y ＝a 2，∴B （0，a 2）．∵△AOB 为等腰直角三角形，∴a ＝a 2，解得：a ＝1或a ＝0（舍去）．故a 的值为1．（2）作点B 关于抛物线对称轴对称的点C ，连接BC ，交抛物线的对称轴于点D ，如图所示．∵△AOB 为等腰直角三角形，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴∠BAD ＝45°．∵AD 为抛物线的对称轴，∴AB ＝AC ，∠CAD ＝∠BAD ＝45°，∴△ABC 为等腰直角三角形．∵点B （0，1），抛物线对称轴为x ＝1，∴点C 的坐标为（2，1）． S △ABC =12AB •AC =12×√2×√2=1．故在图中的抛物线上存在点C ，使△ABC 为等腰直角三角形，点C 的坐标为（2，1）且S △ABC ＝1．【点评】本题考查了平移的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a 的一元二次方程；（2）找出点C 的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C 的位置．9．如图，OA 、OB 的长分别是关于x 的方程x 2﹣12x +32＝0的两根，且OA ＞OB ，点P 在AB 上，且PB ＝3PA ．请解答下列问题：（1）求点P 的坐标．（2）求直线AB 的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A 、P 、O 、Q 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）首先解x 2﹣12x +32＝0，即可求得点A 与B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB 的解析式；首先过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，由PB ＝3PA ，利用平行线分线段成比例定理，即可求得AH 的长，则可求得点P 的横坐标，代入一次函数解析式，即可求得点P 的坐标；（2）利用（1）的解题结果即可；（3）分别从PQ ∥AO ，AQ ∥PO ，AP ∥OQ 去分析，利用函数解析式与两点间的距离公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵x 2﹣12x +32＝0，∴（x ﹣4）（x ﹣8）＝0，解得：x 1＝4，x 2＝8．∵OA 、OB 的长分别是关于x 的方程x 2﹣12x +32＝0的两根，且OA ＞OB ，∴OA ＝8，OB ＝4．∴A （﹣8，0），B （0，4）．设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，则{−8k +b =0b =4， 解得：{k =12b =4， ∴直线AB 的解析式为：y =12x +4．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ．设P（x，y），∴AH＝|﹣8﹣x|＝x+8．∵PH∥y轴，∴APPB =13，∴AHHO =13，即x+8−x =13．解得x＝﹣6．∵点P在y=12x+4上，∴y=12×（﹣6）+4＝1．∴P（﹣6，1）．（2）由（1）知，直线AB的解析式为：y=12x+4；（3）存在．如图①，若PQ∥AO，过点Q作QG⊥AO于G，过点P作PH⊥AO于H，∵梯形OAPQ是等腰梯形，∴AH＝OG＝8﹣6＝2，QG＝PH＝1，∴点Q的坐标为（﹣2，1）；如图②，若AQ ∥PO ，∵OP 的解析式为：y =−16x ，设直线AQ 的解析式为：y =−16x +m ， ∵A （﹣8，0），∴−16×（﹣8）+m ＝0，解得：m =−43，∴直线AQ 的解析式为：y =−16x −43， 设点Q 的坐标为：（x ，−16x −43）， ∵梯形APOQ 是等腰梯形，∴PA ＝OQ ，∴x 2+（−16x −43）2＝[﹣8﹣（﹣6）]2+12， 整理得：37x 2+16x ﹣116＝0，即（37x ﹣58）（x +2）＝0，解得：x =5837或x ＝﹣2（舍去），∴y =−16×5837−43=−5937，∴点Q 的坐标为：（5837，−5937）； 如图③，若AP ∥OQ ，∵直线AP 的解析式为：y =12x +4，∴直线OQ 的解析式为：y =12x ，设点Q 的坐标为（x ，12x ），∵AQ ＝OP ，∴（x +8）2+（12x ）2＝12+（﹣6）2， 整理得：5x 2+64x +108＝0，即：（5x +54）（x +2）＝0，解得：x =−545或x ＝﹣2（舍去），∴y =12×（−545）=−275，∴点Q 的坐标为（−545，−275）．综上，点Q 的坐标为（﹣2，1）或（5837，−5937）或（−545，−275）．【点评】此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、平行线分线段成比例定理、因式分解法解一元二次方程以及等腰梯形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．10．如图，过点C （0，﹣2）的抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点M 坐标为（2，﹣3），过点C 作CB ∥x 轴交抛物线于点B ，点P 在线段BC 上，CP ＝m ．（1）求B 点坐标，并用含m 的代数式表示PB 的长；（2）点A ，Q 分别为x 轴和抛物线上的动点，若恰好存在以CP 为边，点A ，C ，P ，Q 为顶点的平行四边形，求出所有符合条件的点Q 坐标；（3）是否存在m 值，使△MBP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的m 值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由C 与B 关于抛物线的对称轴x ＝2对称，C （0，﹣2），可得B 点坐标为（4，﹣2），那么BC ＝4，再根据PB ＝BC ﹣CP 可用含m 的代数式表示PB 的长；（2）分两种情况进行讨论：①当CP 为一边时，CP ∥AQ ，则点Q 为抛物线与x 轴的交点坐标；②当CP 为对角线时，根据平行四边形相对的两个顶点到另一条对角线的距离相等求解；（3）先由M 、B 、P 三点的坐标，利用两点间的距离公式求出MB 2＝5，MP 2＝（m ﹣2）2+1，BP ＝4﹣m ．再分三种情况进行讨论：①由MP ＝MB 列出方程（m ﹣2）2+1＝5，解方程求出m 的值；②由MP ＝BP 列出方程（m ﹣2）2+1＝（4﹣m ）2，解方程求出m 的值；③由BP ＝MB 列出方程（4﹣m ）2＝5，解方程求出m 的值．【解答】解：（1）∵C 与B 关于抛物线的对称轴x ＝2对称，C （0，﹣2），∴B 点坐标为（4，﹣2），∵CP ＝m ，∴PB ＝BC ﹣CP ＝4﹣m ；（2）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点M 坐标为（2，﹣3），∴y ＝a （x ﹣2）2﹣3，将C （0，﹣2）代入，得a （0﹣2）2﹣3＝﹣2，解得a =14， ∴y =14（x ﹣2）2﹣3，即y =14x 2﹣x ﹣2． ∴当y ＝0时，14（x ﹣2）2﹣3＝0，解得x ＝2±2√3，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（2﹣2√3，0）或（2+2√3，0）．点P 在线段BC 上，CB ∥x 轴，当CP 为一边时，CP ∥AQ ，则点Q 坐标为（2﹣2√3，0）或（2+2√3，0）；所以符合条件的点Q 坐标坐标为（2﹣2√3，0）或（2+2√3，0）；（3）∵M（2，﹣3），B（4，﹣2），P（m，﹣2），∴MB2＝（4﹣2）2+（﹣2+3）2＝5，MP2＝（m﹣2）2+（﹣2+3）2＝（m﹣2）2+1，BP＝4﹣m．当△MBP为等腰三角形时，分三种情况：①如果MP＝MB，那么（m﹣2）2+1＝5，解得m1＝0，m2＝4（不合题意舍去），所以m＝0；，②如果MP＝BP，那么（m﹣2）2+1＝（4﹣m）2，解得m=114；所以m=114③如果BP＝MB，那么（4﹣m）2＝5，解得m1＝4−√5，m2＝4+√5（不合题意舍去），所以m＝4−√5；综上所述，所有符合条件的m值为0或11或4−√5．4【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，平行四边形、等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．x+5与坐标轴交于A、B两点，直线L2：y＝﹣2x+10与坐标轴交于C、D两点，两直线11．已知直线L1：y=12交于点P．（1）求P点坐标；（2）判别△PAC的形状，并说明理由；（3）在x轴上是否存在点Q，使△PAQ是等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标．x+5和y＝﹣2x+10组成方程组，方程组的解就是交点坐标；【分析】（1）将y=12（2）根据系数的积的比为﹣1，判断出两直线垂直，得到△PAC为直角三角形．（3）过P作PE⊥x轴于E，E点坐标为（2，0），根据勾股定理求出PA的长，直接求出Q1，Q2，Q4，作GQ3⊥AP，求出GQ3解析式，得到Q3的坐标．【解答】解：如图：（1）将y =12x +5和y ＝﹣2x +10组成方程组得{y =12x +5y =−2x +10， 解得{x =2y =6， 可得P （2，6）．（2）∵L 1：y =12x +5的比例系数为k ，L 2：y ＝﹣2x +10的比例系数为﹣2， 可得12×（﹣2）＝﹣1，∴∠APC ＝90°，△PAC 为直角三角形．（3）过P 作PE ⊥x 轴于E ， E 点坐标为（2，0）．∵P （2，6），A （﹣10，0），∴PA =√62+122=6√5，∴可见，OQ 1＝6√5−10，Q 1（6√5−10，0），Q 2（﹣6√5−10，0），作GQ 3⊥AP ，设GQ 3解析式为y ＝﹣2x +b ，H 坐标为（﹣4，3），将H （﹣4，3）代入y ＝﹣2x +b 得，3＝﹣2×（﹣4）+b ，解得b ＝﹣5，∴y ＝﹣2x ﹣5，当y ＝0时，x =−52，Q 3（−52，0），Q 4（14，0）．【点评】本题考查了一次函数综合题，熟悉函数和方程的关系，充分利用图形，根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．12．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝3，直线MN过点A，∠BAN＝∠DBC，点P是直线MN上的一个动点（不与点A重合），点E在射线AD上，满足∠PBE＝∠BDC，设PA＝x，（1）如图①，若点P在射线AN上．求线段DE的长（用含x的代数式表示）并直接写出x的取值范围；（2）如图②．若点P在射线AM上，求BPEP的值；（3）设直线PE交直线AB于点F，是否存在x的值，使△PAF为等腰三角形？若存在，直接写出x的值：若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图①中，作BF⊥AN于F．只要证明△ABP∽△DBE，可得PAED =ABDB，即xDE=35，由此即可解决问题．（2）只要证明△ABD∽△PBE，可得ABPB =ADEP，推出PBEP=ABAD=34．（3）①如图①中，当FA＝FP时，由△ABE∽△ADB，可得BA2＝AE•AD，求出DE即可解决问题．②如图③当AP＝AF时，只要证明EB＝EF即可解决问题．【解答】解：（1）如图①中，作BF⊥AN于F．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠AFB＝90°，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，∠BAF＝∠ADB，∴∠ABF＝∠ABD＝∠PBE，∴∠PBF＝∠ABE，∴△PBF∽△EBA，∴PBBE =BFBA，∴∠BPF＝∠AEB，∠APB＝∠BED，∴PBBF =BEAB，∵∠ABF＝∠PBE，∴△ABF∽△EBP，∴∠EPB＝∠AFB＝90°＝∠BAE，∵∠ABP＝∠EBD，∠APB＝∠BED，∴△ABP∽△DBE，∴PAED =ABDB，∴xDE =35，∴DE=53x，∵点E在射线AD上，点P不与A重合，∴0＜53x≤4，∴0＜x≤125．（2）如图②中，由（1）可知∠BPE ＝90°，∵∠BAD ＝∠BPE ，∠ABD ＝∠PBE ，∴△ABD ∽△PBE ，∴AB PB =AD EP ， ∴PB EP =AB AD =34．（3）①如图①中，当FA ＝FP 时，∠FAP ＝∠FPA ，∵△PBE ∽ABD ，∴∠PAB ＝∠FEB ，∵∠AFP ＝∠BFE ，∴∠APF ＝∠FBE ，∴∠ABE ＝∠ADB ，∵∠BAE ＝∠BAD ，∴△ABE ∽△ADB ，∴BA 2＝AE •AD ，∴AE =94，DE ＝4−94=74，∵DE =53x ，∴53x =74，∴x=2120，∴PA=2120．②如图③中，当AP＝AF时，∵∠F＝∠F，∠FPB＝∠FAC，∴△FPB∽△FAC，∴FPAF =FBEF，∴FPFB =AFEF，∵∠F＝∠F，∴△FAP∽△FEB，∴∠FPA＝∠FBE，∵∠F＝∠APF，∴∠F＝∠ABE，∴EF＝EB，∵AE⊥BF，∴AF＝AB＝AP＝3，综上所述，当AP的值为2120或3时，△PAF是等腰三角形．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。

等腰三角形基础练习题一、填空题1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形.2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合.3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________.4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么BC=________.5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________.6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________.7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________.8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________.9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是_______.10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________.11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形.12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________.13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____.14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______..15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________.二、选择题1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2、如图，已知△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB于D，那么下列两角关系正确的是（）.（A）∠A=∠B（B）∠A=∠ACD（C）∠A=∠DCB（D）∠A=2∠BCD 3.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（）. （A）20cm（B）22cm（C）20cm或22cm（D）都不对4.如图，已知AB=AC，DE分别为AB、AC的中点，BE、CD交于G，AG的延长线交BC于F，那么图中全等三角形对数有（）.（A）4对（B）5对（C）6对（D）7对5.如图，AC=BC，∠1=∠2，那么AM是等腰三角形△ABC的（）. （A）顶角平分线（B）底角平分线（C）一腰的中线（D）底边上的中线6.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，AD、AE分别是BA、CA的延长线，∠D=20°，那么△DEA是（）.（A）等腰三角形（B）等边三角形（C）等腰直角三角形（D）以上结论都不对7.如图，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长是13cm，那么△ABC的周长是（）.（A）11.5cm(B)13cm(C)16cm(D)19cm8.下列图形中，不是轴对称图形的是（）.（A）等边三角形（B）等腰直角三角形（C）线段（D）三角形的内角平分线9.等腰三角形一底角的余角等于（）.（A）顶角（B）顶角的2倍（C）底边高与一腰所成的角（D）一腰上的高与另一腰所成的角10.如果三角形的三边a、b、c满足（a-b）(b-c)(c-a)=0，那么这个三角形是（）. （A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等边三角形（D）锐角三角形11.一个等腰三角形，但不是等边三角形，它的角平分线、高、中线总数共有（）.（A）9条（B）7条（C）6条（D）5条12.等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）. （A）25°（B）40°（C）25°或40°（D）以上都不对13.等腰三角形一边长为2，周长为4+7，那么，这个等腰三角形腰长为（）.（A）3.5+（B）2（C）3.52（D）以上都不对14.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）.（A）110°（B）55°（C）35°（D）以上都不对15.满足下列条件的图形是轴对称图形的是（）.（A）全等的两个图形（B）能互相重合的两个图形（C）沿一条直线对折，能互相重合的两图形（D）绕某点旋转180°后，能互相重合的两图形.三、计算、证明题1、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度数.2、如图，已知AD⊥BC，垂足为D，△BDE和△ADC都是等腰直角三角形，CE=5cm，求AB的长.3、如图，已知CE平分∠ACB，CE⊥DB.∠DAB=∠DBA，AC=18cm，△CDB的周长是28cm.求DB的长.4、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE.求：∠EDC的度数.5、如图，已知△ABC是等边三角形，在AC、BC上各取一点D、E，使AD=CE，AE，BD相交于O.求∠BOE的度数.6、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,DE垂直平分AC，DE=2cm.求BC的长.7、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2.求证：AD⊥BC.8、如图，已知△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，△ADE是等边三角形.求证：BD=BE.9.如图，已知在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点.求证：∠5=∠6.10.如图，已知AB=AC，∠ABD=∠ACD. 求证：AD垂直平分BC.11.如图，已知在三角形ABC中，AB=AC，以AB，AC向上作等边三角形△ABD 和△ACE.求证：DE∥BC.12.如图1-4-38,已知在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE,DE交BC于F.求证：DF=EF.。

等腰三角形专项练习30题1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，则AC的长度为（）A．16cm B．9cm C．8cm D．7cm2．在△ABC中，∠ABC=120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°4．如图，已知∠AOB=40°，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，CD交OA、OB于M、N两点，则∠MPN的度数是（）A．70°B．80°C．90°D．100°5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．7．如图所示，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③8．下列说法正确的是（）A．两个能重合的图形一定关于某条直线对称B．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧C．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上D．如果三角形一边的垂直平分线经过它的一个顶点，那么这个三角形一定是等腰三角形9．用一根长为a米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b平方米．现在这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为（）米．A．B．C．D．10．在等腰直角△ABC（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，BD+CD=10cm，则AB的长为_________．12．如图，若等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为16cm，则底边BC是_________cm．13．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_________．14．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有_________个．15．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为_________．16．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，则线段EB与线段EF的数量关系为_________．17．如图，在等腰在△ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若在△BCE的周长为50，则底边BC的长为_________．18．等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长为_________．19．如图，已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F．把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图示方式折叠，则图中阴影部分是_________三角形．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：_________．21．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，说明：BC=DE+EF成立的理由．23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．24．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．25．如图，∠1=∠2，AB=AD，∠B=∠D=90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．26．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．27．如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF．29．如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．30．如图，△ABE和△BCD都是等边三角形，且每个角是60°，那么线段AD与EC有何数量关系？请说明理由．参考答案：1．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，AC=AB，∴2AC+BC=25cm，BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16cm，即，解得：AC=9cm，故选B2．解：∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，∴AE=BE，BF=CF，∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=120°，∴∠A+∠C=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠EBF=120°﹣60°=60°，故选B3．解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B4．解：∵P关于OA、OB的对称∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD∴CM=PM，PN=DN∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，∵∠PRM=∠PTN=90°，∴在四边形OTPR中，∴∠CPD+∠O=180°，∴∠CPD=180°﹣40°=140°∴∠C+∠D=40°∴∠MPN=180°﹣40°×2=100°故选D．5．解：如图，延长AO交BC于点M，连接BO，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣50°）÷2=65°，∵AO是∠BAC的平分线，∴∠BAO=25°，又∵OD是AB的中垂线，∴∠OBA=∠OAB=25°，∴∠OBM=∠OCM=60°﹣25°=40°，∴∠BOM=∠COM=90°﹣40°=50°，由折叠性可知，∠OCM=∠COE，∴∠MOE=∠COM﹣∠COE=50°﹣40°=10°，∴∠OEM=90°﹣10°=80°，∵由折叠性可知，∠OEF=∠CEF，∴∠CEF=（180°﹣80°）÷2=50°．故选：B6．解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D7．解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．所以∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正确；在△ABD中，AB=AD，∠BAO=∠DAO，所以BO=DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正确；不能推出∠ABO=∠CBO，故④不正确．故选B8．解：A、两个能重合的图形不一定关于某条直线对称，故错误；B、两个图形关于某条直线对称，它们的对应点有可能位于对称轴上，故错误；C、同一平面内，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故错误；D，正确，故选D9．解：等边三角形周长为a，则边长为，设P到等边三角形的三边分别为x、y、z，则等边三角形的面积为b=××（x+y+z）解得x+y+z=，故选C10．解：∵△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，∴有一个满足条件的点﹣斜边中点，∴符合条件的点有1个．故选A．11．解：∵ED是边AB边上的中垂线，∴AD=BD；又∵BD+CD=10cm，AB=AC，∴BD+CD=AD+DC=AC=AB=10cm，即AB=10cm．故答案是：10cm12．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴BD+CD=AC，∵AB=AC=10cm，BD+CD+BC=AB+BC=16cm，∴BC=16﹣AB=16﹣10=6cm．故答案为：6cm13．解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：2014．解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，∴△MEN，△MDG是等边三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个15．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC﹣EC=8﹣5=3，∴BE=3，∴BD=1.5．故选A．16．解：延长EF交AC于点Q，∵EF⊥AD，AD⊥BC∴EQ∥BC∴∠QEC=∠ECB∵CE平分∠ACB∴∠ECB=QCE∴∠QEC=∠QCE∴QE=QC∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形∴△AQE为等腰三角形∴AQ=AE，QE=2EF∴BE=CQ=2EF．故答案为：BE=2EF．17．解：∵DE垂直且平分AB，∴BE=AE．由BE+CE=AC=AB=27，∴BC=50﹣27=2318．解：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：1、当3X=15，且X+Y=6，解得，X=5，Y=1，∴三边长分别为10，10，1；2、当X+Y=15且3X=6时，解得，X=2，Y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，故这种情况不存在．∴腰长只能是10．故答案为1019．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵根据题意知道点B和点C经过折叠后分别落在了点I和点H处，∴∠DIH=∠B=60°，∠GHI=∠C=60°，∴∠HJI=60°，∴∠DIH=∠GHI=∠HJI=60°，∴阴影部分是等边三角形，故答案为：等边．20．答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）BE=CD，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形21．解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．22．解：∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，∠C是直角，∴CD=DF，∠DBC=∠DBE，∠DFB=∠C，∴△BCD≌△BFD，∴BC=BF，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，即∠DBC=∠DBE，∴△BDE是等腰三角形，∴BE=DE，∴BF=BC=DE+EF23．（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．（2）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．24．解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，∴∠BAP=∠CAQ=30°．∴∠BAC=120°．故∠BAC的度数是120°25．解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3，即∠BAC=∠DAE，又∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC=AE．即△AEC是等腰三角形26．①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）；②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形27．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=728．（1）证明：在等腰△ABC中，∵CH是底边上的高线，∴∠ACH=∠BCH，在△ACP和△BCP中，，∴△ACP≌△BCP（SAS），∴∠CAE=∠CBF（全等三角形对应角相等）；（2）在△AEC和△BFC中，∴△AEC≌△BFC（ASA），∴AE=BF（全等三角形对应边相等）．29．证明：∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，∵BQ⊥AD∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．30．解：AD=EC．证明如下：∵△ABC和△BCD都是等边三角形，每个角是60°∴AB=EB，DB=BC，∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC即∠ABD=∠EBC在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（SAS）∴AD=EC。