上海市黄浦区2016届高三上学期期末调研测试数学文试题(解析版)

2015学年第二学期高三教学调研 (2016.03）数 学 试 卷（文史类）考生注意：1。

答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。

2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一。

填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。

1. 方程1421x x +=-的解是 ．2.行列式143309212--中元素3的代数余子式的值为 ．3.在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数是 ． 4. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ,则实数m ＝ ．5.若22()log (2)(0)f x xx =+≥,则它的反函数是=-)(1x f．6.若抛物线22(0)xpy p =>的焦点与双曲线1322=-x y 的一个焦点重合，则p 的值为 ．7.若数列1(n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数）（为偶数），则123499100a aa a a a ++++++= ．8.若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈⎧=⎨∉⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ．9.执行下面的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．10. 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1321lim ()n n a a a -→∞+++= ．11.若边长为6的等边三角形ABC ，M 是其外接圆上任一点，O 为圆心，则AB OM ⋅的最大值为 ．12.从正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是 ．(用数值表示结果）13.在北纬60圈上有B A 、两地，它们在此纬度圈上的弧长等于2Rπ（R 是地球的半径)，则B A 、两地的球面距离为 . 14. 设数列{}n a 是首项为0的递增数列,函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根,则{}n a 的通项公式是n a = ．二。

2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷(文科）一、填空题（本大题满分56分,共14题,每题4分）1．不等式|x﹣1|＜1的解集用区间表示为．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T= ．3．直线=3的一个方向向量可以是．4．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球,这个大球的半径为．5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．若函数y=a+sinx在区间［π,2π］上有且只有一个零点，则a= ．7．若函数f(x）=+为偶函数且非奇函数,则实数a的取值范围为．8．若对任意不等于1的正数a，函数f（x)=a x+2的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是．9．在（a+b)n的二项展开式中，若二项式系数的和为256,则二项式系数的最大值为（结果用数字作答）．10．在△ABC中，若cos（A+2C﹣B)+sin（B+C﹣A）=2，且AB=2，则BC= ．11．为强化安全意识,某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）．12．已知k∈N＊，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k= ．13．已知点M(m，0）,m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且｜｜=｜|,则m= ．14．若非零向量,，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为．二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分)15．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数"的（)A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件16．已知x∈R,下列不等式中正确的是( ）A．＞B．＞C．＞ D．＞17．已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧,则k,b满足的条件分别为（）A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞2 18．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1,a2，a3，a4，则( ）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1,l2,l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2,l3，l4为三边的三角形D．对任意的d,均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共74分，共有5题）19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面,求该三棱柱的表面积;（2)若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．20．如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α,将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1)用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点,若MA⊥MB,求点M横坐标的取值范围．21．如图,某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F 分别在AB，BC边上，OA=5米,OC=4米，∠EOF=，设CF=x，AE=y．（1)试用解析式将y表示成x的函数；(2)求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．22．已知a1，a2,…,a n是由m（n∈N＊）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列,数列｛b n｝满足b n=n+1﹣a k(k=1，2，…，n）．（1）当n=3时，写出数列{a n｝和{b n｝，使得a2=3b2;（2）证明：当n为正偶数时,不存在满足a k=b k（k=1,2，…,n）的数列｛a n｝；(3）若c1,c2,…，c n是1，2，…,n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出c k(k=1，2，…，n）,并用含n的式子表示c1+2c2+…+nc n．（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1))23．已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0),过原点的两条直线l1和l2分别与C交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）若a=4，b=3,且ACBD为正方形时,求该正方形的面积S;（2）若直线l1的方程为bx﹣ay=0，l1和l2关于y轴对称,Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，证明:d12+d22=；(3）当ACBD为菱形,且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b 满足的关系式．2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分56分,共14题，每题4分）1．不等式|x﹣1|＜1的解集用区间表示为（0,2）．【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题;转化思想;不等式的解法及应用．【分析】直接将不等式|x﹣1|＜1等价为：﹣1＜x﹣1＜1，解出后再用区间表示即可．【解答】解：不等式｜x﹣1｜＜1等价为：﹣1＜x﹣1＜1，解得，0＜x＜2，即原不等式的解集为{x｜0＜x＜2｝，用区间表示为：(0,2），故答案为：（0，2)．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及解集的表示方法，属于基础题．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T= π．【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】先利用二倍角的余弦化简,再求出函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期．【解答】解:y=cos2x﹣sin2x=cos2x,∴函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T==π．故答案为：π．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力,属于基础题．3．直线=3的一个方向向量可以是（﹣2，﹣1）．．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题;转化思想;综合法；直线与圆；矩阵和变换．【分析】平面中，直线方程Ax+By+C=0它的一个方向向量是(B,﹣A），由此利用二阶行列式展开式能求出直线的一个方向向量．【解答】解:∵直线=3，∴x﹣2y﹣3=0．∴直线=3的一个方向向量可以是（﹣2，﹣1）．故答案为：(﹣2，﹣1）．【点评】本题考查直线的方向向量的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】利用熔化前后球的体积的不变性，建立等式关系进行求解即可．【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同,可知，即．故答案为：．【点评】本题主要考查球的体积公式的计算和应用，利用体积相等是解决本题的关键，比较基础．5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题;极限思想；数学模型法;等差数列与等比数列．【分析】设数列中的任意一项为a,利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和列方程，即可求得公比．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和,得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限,解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式，是基础的计算题．6．若函数y=a+sinx在区间[π,2π］上有且只有一个零点，则a= 1 ．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题;数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作函数y=sinx在区间［π,2π]上的图象，从而结合图象解得．【解答】解：作函数y=sinx在区间［π,2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间［π,2π］上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．【点评】本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想应用．7．若函数f（x)=+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为a＞1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题;方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数f（x)=+为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f(x)=+为偶函数且非奇函数，∴f（﹣x）=f（x），且f(﹣x）≠﹣f（x），又，∴a≥1．a=1，函数f（x）=+为偶函数且奇函数，故答案为:a＞1．【点评】本题考查函数的奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．8．若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=a x+2的反函数的图象都经过点P,则点P的坐标是（1，﹣2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由指数函数可知图象经过点（﹣2,1），再由反函数可得．【解答】解:∵当x+2=0，即x=﹣2时,总有a0=1，∴函数f（x）=a x+2的图象都经过点（﹣2,1)，∴其反函数的图象必经过点P（1,﹣2）故答案为：（1，﹣2）【点评】本题考查指数函数的单调性和特殊点，涉及反函数，属基础题．9．在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为70 （结果用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题;方程思想;综合法；二项式定理．【分析】利用二项展开式的二项式系数的性质:二项式系数和为2n，展开式中中间项的二项式系数最大．【解答】解：据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n,∴2n=256，解得n=8，展开式共n+1=8+1=9项,据中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为=70．故答案为：70．【点评】本题考查二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和是2n；展开式中中间项的二项式系数最大．10．在△ABC中，若cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A)=2，且AB=2，则BC= 2．【考点】两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由cos（A+2C﹣B）+sin(B+C﹣A）=2，可得cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，由范围A,B,C∈(0，π)，结合三角形内角和定理，三角函数的图象和性质可得：①,或②,可解得A，B，C，利用正弦定理可得BC的值．【解答】解：∵cos（A+2C﹣B)+sin（B+C﹣A)=2,cos(A+2C﹣B)≤1，sin（B+C﹣A)≤1，∴cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，∵A，B,C∈（0,π），∴A+2C﹣B∈（﹣π，3π),B+C﹣A∈（﹣π，2π），∴由正弦函数，余弦函数的图象和性质可得：A+2C﹣B=0或2π，B+C﹣A=，∴结合三角形内角和定理可得:①,或②,由①可得：A=,B=，C=，由②可得:A=，B=﹣,C=,（舍去）,∴由AB=2，利用正弦定理可得：,解得：BC=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了正弦定理，正弦函数，余弦函数的图象和性质，三角形内角和定理的综合应用，考查了转化思想和计算能力,利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角是解题的关键，属于中档题．11．为强化安全意识,某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题;转化思想；综合法；概率与统计．【分析】某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，先求出基本事件总数，再求出选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数，由此能求出选择的2天恰好为连续2天的概率．【解答】解：某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练,基本事件总数为n==10,选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数m=4,∴选择的2天恰好为连续2天的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．已知k∈N＊,若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k= 1 ．【考点】曲线与方程．【专题】计算题;转化思想；综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】曲线x2+y2=k2与曲线xy=k联立,可得x4﹣k2x2+k2=0，利用△=0，求出k，结合k∈N＊,若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，即可求出k．【解答】解：曲线x2+y2=k2与曲线xy=k联立,可得x4﹣k2x2+k2=0∴△=k4﹣4k2=0，∴k=2，∵k∈N＊，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，∴k=1．故答案为：1．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．13．已知点M（m,0），m＞0和抛物线C:y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且｜｜=|｜，则m= ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，利用已知条件求出A,B的坐标，通过向量关系求出m值即可．【解答】解：由题意可知:F（1，0），由抛物线定义可知A(x1,y1）,可知B（x2，y2），∵=2，可得:2（x2﹣1，y2）=(1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，,解得x1=2，y1=±2．｜|=||,可得|m﹣1｜=，解得m=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．14．若非零向量,,满足+2+3=,且•=•=•,则与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想;向量法;平面向量及应用．【分析】由+2+3=，把用含有的式子表示，结合•=•=•，可得，．然后代入数量积求夹角公式求解．【解答】解：由+2+3=，得，代入•=•，得，即．再代入•=•,得，即．∴cos===﹣．∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）15．已知复数z,“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型;对应思想；分析法；数系的扩充和复数．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之,若z为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选:B．【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．16．已知x∈R，下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．＞ D．＞【考点】不等式比较大小．【专题】函数思想;综合法；不等式的解法及应用．【分析】举反例可排除A、B、D，再证明C正确即可．【解答】解:取x=0可得=1=，故A错误；取x=0可得=1=，故B错误；取x=1可得==,故D错误;选项C，∵x2+2＞x2+1＞0，∴＞，故正确．故选：C【点评】本题考查不等式比较大小,举反例是解决问题的关键，属基础题．17．已知P为直线y=kx+b上一动点,若点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧,则k,b满足的条件分别为（）A．k=1,b＜2 B．k=1,b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1,b＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】设出P的坐标,根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式的关系,结合不等式恒成立进行求解即可．【解答】解:∵P为直线y=kx+b上一动点，∴设P（x，kx+b)，∵点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，∴（x﹣kx﹣b+2）（0﹣0+2)＞0，即2［(1﹣k)x+2﹣b］＞0恒成立,即(1﹣k)x+2﹣b＞0恒成立，则1﹣k=0，此时2﹣b＞0，得k=1且b＜2，故选:A．【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用条件转化为不等式关系是解决本题的关键．18．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零,若线段l1,l2，l3,l4的长分别为a1,a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1,l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形【考点】等差数列的通项公式；三角形中的几何计算．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边,即可判断出结论．【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形,∵a1，a2,a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1,a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1,l2，l3三边的三角形，故不正确;B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C:对任意的d,由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2,l3，l4为三边的三角形,正确；D．由C可知不正确．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共74分，共有5题）19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形,两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面,求该三棱柱的表面积;(2)若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】整体思想；定义法;空间位置关系与距离．【分析】(1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可．(2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可．【解答】解：（1）因为侧棱AA′⊥底面ABC，所以三棱柱的高h 等于侧棱AA′的长，而底面三角形ABC的面积S=AC•BC=6,周长c=4+3+5=12,于是三棱柱的表面积S全=ch+2S△ABC=132．(2）如图,过A作平面ABC的垂线，垂足为H，A′H为三棱柱的高．因为侧棱AA′与底面ABC所长的角为60°,所以∠A′AH=60°,又底面三角形ABC的面积S=6，故三棱柱的体积V=S•A′H=6×=30．【点评】本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算，根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质，结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键．20．如图,已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限,以x轴的正半轴为始边,OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用三角函数的定义直接表示A,B坐标；(2）设出M,利用向量的数量积为0,得到关系式,然后求解点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1)点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，可得A（cosα，sinα）,将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B(cos（）,sin（））,即B（﹣sinα，cosα）．(2）设M（x，0）,x≠0,=(cosα﹣x，sinα）,=（﹣sinα﹣x，cosα)．MA⊥MB，可得(cosα﹣x)（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0,可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈［﹣,］．综上x∈［﹣，0)∪（0，］．点M横坐标的取值范围:[﹣，0）∪（0,］．【点评】本题考查平面向量的数量积，三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力．21．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E,F 分别在AB,BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=，设CF=x，AE=y．（1）试用解析式将y表示成x的函数；(2)求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想;数学模型法；函数的性质及应用;不等式的解法及应用．【分析】（1）由∠EOF=,可得∠COF+∠AOE=，则tan（∠COF+∠AOE）==1,化简可得函数的解析式,由0≤y≤4求得x的范围；(2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF，运用三角形的面积公式，设t=x+4，求得S的表达式,运用基本不等式可得最小值和x的值．【解答】解：（1）由∠EOF=,可得∠COF+∠AOE=,即有tan∠COF=,tan∠AOE=，则tan（∠COF+∠AOE)==1，即有y=，由y≤4,解得x≥，则函数的解析式为y=，(≤x≤4)；（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=4×5﹣×5y﹣×4x﹣×（4﹣y)（5﹣x）=20﹣•﹣2x﹣（5﹣x）•=20+（≤x≤4)，令t=x+4(≤t≤8），即有S=20+（5t+﹣80)≥20+（2﹣80）=20﹣20．当且仅当5t=即t=4,此时x=4﹣4，△OEF的面积取得最小值，且为20﹣20．【点评】本题考查函数的解析式的求法,注意运用两角和的正切公式，考查三角形的面积的最小值，注意运用间接法求面积，再由换元法和基本不等式，属于中档题．22．已知a1，a2，…，a n是由m（n∈N*）个整数1,2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列｛b n｝满足b n=n+1﹣a k(k=1，2，…，n）．（1）当n=3时，写出数列{a n｝和{b n｝，使得a2=3b2;（2）证明：当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列｛a n｝；（3）若c1，c2，…，c n是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出c k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+nc n．（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1)）【考点】数列递推式；数列的应用．【专题】综合题;函数思想;综合法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1)取n=3，可得数列｛a n｝,结合b k=n+1﹣a k求得数列｛b n},验证a2=3b2得答案；（2)若a k=b k，则有a k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n)，得到，由n 为正偶数，得n+1为大于1的正奇数，故不为正整数，结合a1,a2，…，a n是均为正整数,说明不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n｝;（3）由题意可得，c k=n﹣（k﹣1)=（n+1）﹣k，然后利用数列的分组求和得答案．【解答】（1）解：当n=3时，数列｛a n}为:1,2，3；1，3，2; 2,1,3；2,3，1；3，1，2；3，2，1．当｛a n｝为：1,2,3时，此时对应的｛b n｝为:3，2，1，不满足题意；依次可得满足题意的数列｛a n｝和{b n}分别为:｛a n｝:1，3,2，｛b n｝：3，1,2；或｛a n}：2，3，1,{b n}：2,1，3．（2)证明：若a k=b k(k=1,2,…，n），则有a k=n+1﹣a k（k=1,2,…,n)，于是，当n为正偶数时,n+1为大于1的正奇数,故不为正整数，∵a1，a2,…,a n是均为正整数，∴不存在满足a k=b k（k=1,2，…，n）的数列｛a n｝；(3）解：由题意可得，c k=n﹣（k﹣1)=（n+1)﹣k,∴S n=c1+2c2+…+nc n=[（n+1）﹣1］+2［（n+1)﹣2]+…+n［（n+1）﹣n］=（1+2+…+n）（n+1）﹣（12+22+…+n2）==．【点评】本题考查数列递推式,考查了数列的应用,考查数列的函数特性,属难题．23．已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与C交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）若a=4,b=3，且ACBD为正方形时,求该正方形的面积S；（2）若直线l1的方程为bx﹣ay=0，l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，证明：d12+d22=；(3）当ACBD为菱形,且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时,求a，b满足的关系式．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意，直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x,利用，可得x12=x22=，根据对称性，求出正方形的面积;（2）利用距离公式，结合d12+d22为定值，即可证明结论;（3)设出切线AC的方程与椭圆方程联立，分类讨论，即可求a,b满足的关系式．【解答】解:（1）由题意,直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设A(x1,y1），B(x2,y2)为方程组的解,可得x12=x22=，根据对称性，正方形的面积S=4x12=；(2）设l1的方程为y=kx(k≠0），l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），d12+d22=+=为定值,∴k=±,∴d12+d22=;（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0)，于是切线AC 的方程为x0x+y0y=1A（x1，y1)，C(x2,y2)为x0x+y0y=1与椭圆联立的方程（b2y02+a2x02)x2﹣2x0a2x+a2（1﹣b2y02)=0的解,①x0=0或y0=0时，ACBD为正方形，椭圆过点(1，1),∴+=1；②x0≠0且y0≠0时，x1x2=，同理y1y2=，∵ACBD为菱形,∴AO⊥CO，∴x1x2+y1y2=0,∴+=0，∵x02+y02=1,∴a2+b2=a2b2，∴+=1．综上所述，+=1．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2016年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）一、填空题1．（5分）已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．2．（5分）计算：=．3．（5分）函数的反函数f﹣1（x）=．4．（5分）函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．5．（5分）直线x+2y﹣1=0与直线y=1的夹角为（结果用反三角函数值表示）6．（5分）已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．7．（5分）已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=．8．（5分）已知函数f（x）=x3+lg（+x，若f（x）的定义域中是a，b满足f（﹣a）+f（﹣b）=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=．9．（5分）数列{a n}中，若a1=3，=a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．10．（5分）在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于．11．（5分）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为．12．（5分）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最大值为．13．（5分）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．14．（5分）正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为．二、选择题15．（5分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）若1+2i（i为虚数单位）是实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=﹣3B．b=2，c=5C．b=﹣2，c=﹣3D．b=﹣2，c=5 17．（5分）若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形18．（5分）全集U={（x，y）|x∈R，y∈R}，集合S⊆U，若S中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y=x均对称，且（2，3）∈S，则S中元素个数至少有（）A．4个B．6个C．8个D．10个三、解答题19．（10分）如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）20．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．21．（10分）已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．22．（15分）对于双曲线C（a，b）：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，则称P在的C（a，b）外部；若若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称P在的C（a，b）内部：（1）证明：直线3x﹣y+1=0上的点都在C（1，1）的外部；（2）若点M的坐标为（0，﹣1），点N在C（1，1）的内部或C（1，1）上，求||的最小值；（3）若C（a，b）经过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围．23．（15分）已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．2016年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：1【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．2．（5分）计算：=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．【解答】解：故答案为：．【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．3．（5分）函数的反函数f﹣1（x）=（x﹣1）3．【考点】41：有理数指数幂及根式；4R：反函数；4V：幂函数的图象．【专题】11：计算题．【分析】欲求原函数f（x）=x3+1的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵=y，∴x=（y﹣1）3，∴x，y互换，得y=（x﹣1）3．故答案为（x﹣1）3．【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．4．（5分）函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简周期的求法，考查计算能力．5．（5分）直线x+2y﹣1=0与直线y=1的夹角为arctan（结果用反三角函数值表示）【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5B：直线与圆．【分析】由题意可得两直线倾斜角的正切值，由夹角公式可得直线夹角的正切值，由反正切函数可得．【解答】解：∵x+2y﹣1=0的斜率为﹣，故tanα=﹣，（α为直线的倾斜角）直线y=1的倾斜角为β=0，故tanβ=0，由夹角公式可得tanθ=||=，∴两直线的夹角θ=arctan【点评】本题考查两直线的夹角问题，涉及夹角公式，属基础题．6．（5分）已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】由题意作图辅助，解菱形，从而求得向量在上的投影．【解答】解：∵在菱形ABCD中，A=，∴∠CAB=，又∵||=1，∴||=2||cos=，∴向量在上的投影为||cos=，故答案为：．【点评】本题考查了数形结合的思想方法应用及平面向量的应用，属于中档题．7．（5分）已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】多面体为正六棱柱，底面边长和高都是1．【解答】解：由多面体的展开图可知此多面体为正六棱柱，底面边长和高均为1．正六棱柱的底面积S==．∴多面体的体积V=Sh==．故答案为．【点评】本题考查了棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=x3+lg（+x，若f（x）的定义域中是a，b满足f（﹣a）+f（﹣b）=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=﹣．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】函数的定义域为R，求f（﹣x）=﹣x3+（0﹣lg（+x））=﹣f（x），根据奇函数的性质可得结论．【解答】解：f（x）=x3+lg（+x），∴f（﹣x）=﹣x3+（0﹣lg（+x））=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵f（﹣a）+f（﹣b）=f（a）+f（b）+3，∴f（a）+f（b）=﹣．【点评】考查了奇函数的判断和对抽象函数的理解．9．（5分）数列{a n}中，若a1=3，=a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；36：整体思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意化简可得ln（a n）=2lna n，从而可得数列{lna n}是以ln3为首项，+12为公比的等比数列，从而求得．【解答】解：易知a n＞0，∵=a n，）=lna n，ln（a n+1）=2lna n，∴ln（a n+1∴数列{lna n}是以ln3为首项，2为公比的等比数列，∴lna n=ln3•2n﹣1=，∴a n=，故答案为：．【点评】本题考查了数列的性质的判断，同时考查了构造法的应用及转化思想的应用．10．（5分）在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于15．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；5P：二项式定理．==．令﹣2r=﹣2，【分析】（1+）5的展开式的通项公式T r+1﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解出即可得出．==．【解答】解：（1+）5的展开式的通项公式T r+1令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解得：r=1，r=（舍去），r=0．∴常数项=4﹣5=20﹣5=15．故答案为：15．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为10．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．利用已知可得a﹣c=5，a+c=15，解出即可得出．【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．∵椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，∴a﹣c=5，a+c=15，∴b2=a2﹣c2=5×15=75．∴b=5．则椭圆的短轴长为10．故答案为：10．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最大值为2．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合；4R：转化法；5T：不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点A（﹣2，0）时，直线y=x+z的截距最大，此时z也最大，代入目标函数z=0﹣（﹣2）=2，即目标函数的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．13．（5分）有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，共有C93=84，它们的颜色和号码均不相等的取法有A33=3×2×1=6种，故它们的颜色号码均不相等的概率是=，故答案为：【点评】本题考查了古典概率问题，关键是利用排列组合，属于基础题．14．（5分）正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为4031．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】化简可得4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得．【解答】解：由方程组消y可得，4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，当x≤﹣a时，4033﹣2x=1﹣x﹣x﹣a﹣x+b，故x=b﹣a﹣4032，故当x=b﹣a﹣4032≤﹣a，即b≤4032时，有一个解；即a≤4031时，有一个解；否则无解；当﹣a＜x≤1时，4033﹣2x=1﹣x+x+a﹣x+b，故x=4032﹣a﹣b，故当﹣a＜4032﹣a﹣b≤1，即b＜4032且a+b≥4301时，有一个解；即2015≤a≤4030，有一个解，否则无解；当1＜x≤b时，4033﹣2x=x+a+b﹣1，故3x=4034﹣a﹣b，故当3＜4034﹣a﹣b≤3b，即a+b＜4031且a+4b≥4304时，有一个解；即≤a≤2014，方程有一个解，否则无解；当x＞b时，4033﹣2x=3x+a﹣b﹣1，故5x=4034﹣a+b，故当4034﹣a+b＞5b，即a+4b＜4304时，有一个解；否则无解；综上所述，当a取最大值4031时，方程有一个解，故答案为：4031．【点评】本题考查了绝对值方程的解法及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．二、选择题15．（5分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】两条直线平行时，一定可以得到a1b2﹣a2b1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系【解答】解：若“=0则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2，若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，∴=0，故“=0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．16．（5分）若1+2i（i为虚数单位）是实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=﹣3B．b=2，c=5C．b=﹣2，c=﹣3D．b=﹣2，c=5【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴1﹣2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴，解得b=﹣2，c=5．故选：D．【点评】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题17．（5分）若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形【考点】HR：余弦定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求出a、b、c的值，再利用余弦定理求出最大角的余弦值，从而得出结论．【解答】解：∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求得a=4，b=3，c=6．再利用余弦定理可得cosC==﹣＜0，故C为钝角，故选：C．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．18．（5分）全集U={（x，y）|x∈R，y∈R}，集合S⊆U，若S中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y=x均对称，且（2，3）∈S，则S中元素个数至少有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】11：计算题；37：集合思想；44：数形结合法；5J：集合．【分析】由对称性画出图形得答案．【解答】解：由题意画出图形，∵（2，3）∈S，由题意可得（3，2），（3，﹣2），（2，﹣3），（﹣3，﹣2），（﹣2，﹣3），（﹣2，3），（﹣3，2）均在集合S中，∴S中元素个数至少有8个．故选：C．【点评】本题考查元素与集合间的关系的判断，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．三、解答题19．（10分）如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系；N3：平行线分线段成比例定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，推导出∠PAO=60°，AO=6，PO=18，由此能求出凳面的高度h及三根细钢管的总长度．【解答】解：连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，∵凳面与地面平行，∴∠PAO是PA与平面ABC所成的角，即∠PAO=60°，在等边三角形ABC中，AB=18，∴AO=6，在直角△PAO中，PO=AO=18，由，解得h≈47.13cm，三根钢管总长度为≈163.25cm．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间图形的基本知识和基本技能，是中档题，解题时要认真审题，注意理解和掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识．20．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；H2：正弦函数的图象；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）由f（）=，可得a+b=2，又f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=，f（x）的最大值为，可得：=，联立即可解出a，b 的值．（2）由a=1，可得f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=b，由题意+φ=kπ+，k∈z，可得φ，根据tan（kπ+）==b，可求φ，由f（x0）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，结合范围x0∈[0，2π]，即可得解．【解答】解：（1）∵f（）=（a+b）=，∴a+b=2，①∵f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx）=sin（x+φ），其中tanφ=，∴f（x）的最大值为，可得：=．②∴联立①②可得：，，（2）∵a=1，∴可得：f（x）=sinx+bcosx=sin（x+φ），其中tanφ=b，∵根据直线x=是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，可得φ=kπ+，∴tan（kπ+）=tan==b，故φ=，故f（x）=2sin（x+）．∵f（x0）=，可得：2sin（x0+）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，解得：x0=2kπ，或x0=2kπ+，k∈Z，又∵x0∈[0，2π]．∴x0=0或或2π．【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质，涉及辅助角公式和三角函数的最值，属中档题．21．（10分）已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．【分析】（1）令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，求出h（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性即可；（2）通过讨论x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＞0，x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，从而证明结论即可．【解答】证明：函数f（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），（1）函数f（x）=a x+，其中a＞1，令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，则h′（x）=＞0，∴函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；（2）x∈（﹣∞，﹣1）时，0＜a x＜1，=1﹣，x→﹣∞时：x+1→﹣∞，﹣→0，x→﹣1时，﹣→+∞，故x∈（﹣∞，﹣1）时：f（x）∈（1，+∞），x∈（﹣1，0）时，由（1）得：f（x）在（﹣1，0）递增，而f（0）=a0+=﹣2，∴f（x）＜0在（﹣1，0）恒成立，综上：不存在负实数x0使得f（x0）=0．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．22．（15分）对于双曲线C（a，b）：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，则称P在的C外部；若（a，b）若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称P在的C（a，b）内部：（1）证明：直线3x﹣y+1=0上的点都在C（1，1）的外部；（2）若点M的坐标为（0，﹣1），点N在C（1，1）的内部或C（1，1）上，求||的最小值；（3）若C（a，b）经过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设直线y=3x+1上点P（x0，3x0+1），求出x02﹣y02关于x0的二次函数，求得最大值，证明小于1即可；（2）由题意可得x02﹣y02≥1，即x02≥y02+1，运用两点的距离公式，配方即可得到MN的最小值；（3）将（2，1）代入双曲线的方程，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为r，联立圆的方程和双曲线的方程，求得交点坐标，可得弦长，化简整理可得b，r的关系式和r的范围【解答】解：（1）证明：设直线y=3x+1上点P（x0，3x0+1），即有x02﹣y02=x02﹣（3x0+1）2=﹣8x02﹣6x0﹣1=﹣8（x0+）2+，当x0=﹣时，取得最大值，即点P（x0，y0）满足﹣＜1，故直线3x﹣y+1=0上的点都在C（1，1）的外部；（2）点N（x0，y0）在C（1，1）的内部或C（1，1）上，可得x02﹣y02≥1，即x02≥y02+1，|MN|=≥=•=•，当y0=﹣时，|MN|取得最小值，且为；（3）若C过点（2，1），可得﹣=1，（a，b）即为a2=，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为r，联立，解得y=±，可得r=，化简可得r2====，令b2﹣3=t（t＞0），则r2=＞8，即有r＞2．【点评】本题考查双曲线的内部或外部的理解和运用，注意运用转化思想，考查二次函数的最值的求法，以及直线和圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23．（15分）已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题；33：函数思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）通过函数f（x）=（x﹣k1）（x﹣k2）是与x轴交于k1、k2两点且开口向上的抛物线可知，只需知k1、k2均在1的左边即可；（2）通过k1=1化简可知b n=n+﹣（1+k2），排除k2=1、2可知k2≥3，此时可知对于f（n）=n+而言，当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，进而解不等式组即得结论；（3）通过0＜k1＜k2及a n=（n﹣k1）（n﹣k2）可知c n=，结合c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）可知0＜i＜k1＜k2＜j，从而可知k1的最小值为5，通过S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等可知5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，进而可得k2的最小值为6．【解答】解：（1）k1=k2=0；（2）∵k1=1、k2∈N*，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴b n===n+﹣（1+k2），当k2=1、2时，f（n）=n+均单调递增，不合题意；当k2≥3时，对于f（n）=n+可知：当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，由题意可知b1＞b2＞b3、b3＜b4＜…，联立不等式组，解得：6＜k2＜12，∴k2=7，8，9，10，11；（3）∵0＜k1＜k2，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），∴c n=a n+|a n|=，∵c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j），∴i、j∉（k1，k2），又∵c n=2[n2﹣（k1+k2）n+k1k2]，∴=，∴0＜i＜k1＜k2＜j，此时i的四个值为1，2，3，4，故k1的最小值为5，又S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，不妨设S m=S m+1=S m+2=...，则c m+1=c m+2= 0∵当k1≤n≤k2时c n=0，∴5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，∴k2≥6，即k2的最小值为6．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．。

黄浦区2016学年度第一学期高三年级期终调研测试物理试卷2017年1月12日（本试卷共4页，满分100分，考试时间60分钟。

）考生注意：1、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。

2、第一大题的作答必须用2B铅笔涂在答题纸上相应区域内与试卷题号对应的位置，需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。

第二、第三大题的作答必须用黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上与试卷题号对应的位置（作图可用铅笔）。

3、第19、20题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一．单项选择题（共40分，1-8题每小题3分，9-12题每小题4分，每小题只有一个正确选项。

）1．在国际单位制（SI）中，下列属于基本单位的是（）（A）千克（B）牛顿（C）库仑（D）焦耳2．奥斯特首先通过实验（）（A）提出了单摆的周期公式（B）测出了万有引力恒量G（C）发现了电流周围存在磁场（D）发现了电磁感应现象3．质量为2kg的质点仅受两个力作用，两个力的大小分别为3N和5N。

则该质点的加速度的值可能为（）（A）0.5m/s2（B）0.75m/s2（C）3.5m/s2（D）4.5 m/s24．下列事例中属于利用静电现象的是（）（A）油罐车上连接地线（B）复印机复印文件资料（C）屋顶安装避雷针（D）印染厂车间保持湿度5．三段材质完全相同且不可伸长的细绳OA、OB、OC，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB水平，A端、B端固定。

若逐渐增加C端所挂重物的质量，则最先断的绳（）（A）必定是OA（B）必定是OB（C）必定是OC （D）可能是OB，也可能是OC6．根据分子动理论可知，在使两个分子间的距离由很远（r＞10-9m）变到很难再靠近的过程中，分子间的作用力的大小将（）（A）先减小后增大（B）先增大后减小（C）先增大后减小再增大（D）先减小后增大再减小fr/m 10-1010-9斥力引力分子力ABOC7．如图所示，P 为固定的点电荷，周围实线是其电场的电场线。