高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测(十二) 直线的参数方程

(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
)
(A)(6,0) (C)(6,-12π )
(B)(6,6π ) (D)(-π ,π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2

章末复习讲座知识系统整合规律方法收藏1．直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y －y 0＝k (x －x 0)，其中k ＝tan α，α为直线的倾斜角，代入上式得，y －y 0＝sin αcos α(x －x 0)，α≠π2，即x －x 0cos α＝y －y 0sin α．记上式的比值为t ，整理后得⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．3．椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点M 0(x 0，y 0)，相应的椭圆(x －x 0)2a 2＋(y －y 0)2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋a cos t ，y ＝y 0＋b sin t(t 为参数)．4．双曲线的参数方程双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．5．抛物线的参数方程抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．6．渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)．7．摆线的参数方程圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)．学科思想培优一、参数方程的求法(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为(x ，y )； (2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；(4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．例1 过点P (－2，0)作直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，设A ，B 的中点为M ，求M 的轨迹的参数方程．解 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝ty －2． 由⎩⎨⎧x ＝ty －2，x 2＋y 2＝1消去x 得(1＋t 2)y 2－4ty ＋3＝0． ∴y 1＋y 2＝4t 1＋t 2，则y ＝2t1＋t 2．x ＝ty －2＝2t 21＋t 2－2＝－21＋t 2，由Δ＝(4t )2－12(1＋t 2)>0得t 2>3．∴M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－21＋t 2，y ＝2t1＋t 2(t 为参数且t 2>3)．【跟踪训练1】 已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．点M 的直角坐标为(－1，0)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝8cos θ1－cos2θ．(1)求点M 的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点M 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，若M A →＝2M B →，求直线l 的参数方程．解 (1)点M 的极坐标为(1，π)． 由ρ＝8cos θ1－cos2θ，得ρ(1－cos2θ)＝8cos θ，即ρ·2sin 2θ＝8cos θ，即ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即y 2＝4x ，故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ．(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．将其代入曲线C 的直角坐标方程得t 2·sin 2α－4t ·cos α＋4＝0，其判别式Δ＝16cos 2α－16sin 2α．设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，① t 1t 2＝4sin 2α．②又M A →＝2M B →，则t 1＝2t 2．③从①②③中消掉t 1，t 2，得sin 2α＝89cos 2α，所以cos α＝±31717，sin α＝23417， 此时满足Δ＝16(2cos 2α－1)>0．所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1±31717t ，y ＝23417t (t 为参数)．二、参数方程与普通方程的互化参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M 的坐标x ，y 的另一种曲线方程的形式，它体现了x ，y 之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数．有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．例2 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ＋1，y ＝t 2－1(t 为参数)化为普通方程．解 由x ＝35t ＋1得t ＝53(x －1)，代入y ＝t 2－1，得y ＝259(x －1)2－1， 即为所求普通方程．【跟踪训练2】 参数方程⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2表示的曲线是什么？ 解 化为普通方程是：x 2＋y 2＝25， ∵－π2≤θ≤π2，∴0≤x ≤5，－5≤y ≤5． ∴表示以(0，0)为圆心，5为半径的右半圆．三、直线与圆的参数方程求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．例3 求直线⎩⎨⎧ x ＝－1＋2t ，y ＝－2t (t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝－1＋4sin θ(θ为参数)截得的弦长．解 直线⎩⎨⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－2t的普通方程为x ＋y ＋1＝0，曲线⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝－1＋4sin θ，即圆心为(1，－1)，半径为4的圆， 则圆心(1，－1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|1－1＋1|12＋12＝22． 设直线被曲线截得的弦长为t ，则t ＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝62，∴直线被曲线截得的弦长为62．【跟踪训练3】 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3．故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32．四、圆锥曲线的参数方程能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．例4 已知点P (3，2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长． 解 设弦AB 所在的直线方程为 ⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)， 代入方程y 2＝4x 整理得t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0．①∵点P (3，2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1、t 2满足关系t 1＋t 2＝0，sin α－cos α＝0， ∴0≤α<π，∴α＝π4．∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4·8sin 2π4＝8． 【跟踪训练4】 在双曲线x 2－2y 2＝2上求一点P ，使它到直线x ＋y ＝0的距离最短，并求这个最短距离．解 设双曲线x 22－y 2＝1上一点P (2sec α，tan α)0≤α<2π，且α≠π2，α≠32π，则它到直线x ＋y ＝0的距离为d ＝|2sec α＋tan α|2＝|2＋sin α|2|cos α|．于是d 2＝2＋22sin α＋sin 2α2cos 2α，化简，得 (1＋2d 2)sin 2α＋22sin α＋2(1－d 2)＝0． ∵sin α是实数，∴Δ＝(22)2－8(1＋2d 2)(1－d 2)≥0， ∴d ≥22．当d ＝22时，sin α＝－22，∴α＝54π或74π，这时x 0＝－2，y 0＝1． 或x 0＝2sec 74π＝2，y 0＝tan 74π＝－1． 故当双曲线上的点P 为(－2，1)或(2，－1)时， 它到直线x ＋y ＝0的距离最小，这个最小值为22． 五、极坐标、参数方程与普通方程的综合应用极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是热点与重点，掌握好极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化是解题的关键点．例5 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22．(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0．解⎩⎨⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝4或⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0． 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1． 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.【跟踪训练5】 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上．(1)求a 的值及直线的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线与圆的位置关系．解 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2． 所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0．(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心为(1，0)，半径r＝1，圆心到直线的距离d＝22<1，所以直线与圆相交．1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力．2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．。

第二讲 2.31．直线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t (t 为参数)，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则|t |的几何意义是( C )A ．M 0M →B ．MM 0→C ．||M 0M →D ．以上都不是 解析：由参数t 的几何意义及向量模的定义知选C ．2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t 为参数)的方向向量可以是( B ) A ．(－a ，b )B ．(－a ，－b )C ．(a ，－b )D ．⎝⎛⎭⎫1，b a 解析：由参数方程知直线的方向向量为(－a ，－b )，也可以是(a ，b )，不能选D ，原因是a 有可能等于0，故选B ．3．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33x (x ≥0)，x 2＋y 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1故曲线C 1与C 2交点的直角坐标是(3，1)． 4．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10.求l 的斜率．解析：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x ＋6)2＋y 2＝25 得ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)设直线l 的斜率为k ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α得l ：y ＝kx . 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，(x ＋6)2＋y 2＝25得(k 2＋1)x 2＋12x ＋11＝0 ∴x 1＋x 2＝－12k 2＋1，x 1x 2＝11k 2＋1， ∴|AB |＝10＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2＋12－4×11k 2＋1⇒k ＝±153.。

课时跟踪检测(四) 直线的极坐标方程一、选择题1．在极坐标系中，过点(1,0)而且与极轴垂直的直线方程是( )A ．ρ＝cos θB ．ρ＝sin θC ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1解析：选C 设P (ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1，即为此直线的极坐标方程．2．7cos θ＋2sin θ＝0表示( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选A 两边同乘ρ，得7ρcos θ＋2ρsin θ＝0.即7x ＋2y ＝0，表示直线．3．(陕西高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程别离为( )A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1解析：选B 在直角坐标系中，圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程别离为x ＝0，x ＝2，即θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.4．(安徽高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B. 4＋π29 C. 1＋π29解析：选D 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3对应的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)，故所求两点间距离d ＝1－12＋32＝ 3.二、填空题 5．把极坐标方程ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程是________________________． 解析：将极坐标方程变成32ρcos θ＋12ρsin θ＝1， 化为直角坐标方程为32x ＋12y ＝1， 即3x ＋y －2＝0.答案：3x ＋y －2＝06．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是________．解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，将点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫22，π4化为直角坐标为(2,2)， 由于22＋(2－2)2＝4，点(2,2)与圆心的连线的斜率k ＝2－22－0＝0， 故所求的切线方程为y ＝2，故切线的极坐标方程为ρsin θ＝2.答案：ρsin θ＝27．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2， C 1与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 答案：22三、解答题8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．解：由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)，即2x －y ＋7＝0.设M (ρ，θ)为直线上任意一点，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直角坐标方程2x －y ＋7＝0，得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程．9．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值． 解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1， 解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B 两点，且|AB |＝6.求直线AB 的极坐标方程．解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1.A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－2cos θ1＋π＝31＋2cos θ1. |AB |＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1， ∴11－4cos 2θ1＝±1， ∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π4.。