数学-2019浦东高三数学二模

上海浦东新区2019年高考预测（二模）数学（理）试题数学〔理〕试卷【一】填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分.1. 全集{}U=1,2,3,4,5，假设集合{}A=2,3，那么U A ð＝＿＿{}1,4,5＿＿＿2. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =± . 3.函数()31cos 4sin xx x f =的最大值为＿＿5＿＿＿＿＿4.直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，假设12l l ⊥，那么a =13.5.函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y f x -=+的图像一定过点＿＿＿(2,3)-＿＿＿.6. 数列{}n a 为等差数列，假设134a a +=，2410a a +=，那么{}n a 的前n 项的和n S =＿＿23522n n-＿＿＿.7.π，那么球的体积为 ＿＿323π＿＿ 、8.（理） 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，那么一小时内有机床需要维护的概率为＿＿＿＿＿0.989.设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，那么2lim()nn a a a →∞+++=L ＿＿13-＿＿、10.（理）在平面直角坐标系xoy 中，假设直线:x tl y t a =⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕过椭圆3cos C:2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数〕的右顶点，那么常数a ＝＿3＿＿.11.（理）随机变量ξ的分布列如右表，假设3E ξ=，那么D ξ＝＿＿1 、 12.在ABC ∆中， 角B 所对的边长6b =，ABC ∆的面积为15，外接圆半径R 5=，那么ABC ∆的周长为＿＿＿＿＿6+13、抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，那么PFPA 的最小值为2 .14.（理）函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，ABC ∆的外接圆圆心为M ，且MA MC MB()R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，那么满足条件的函数()f x 有＿12＿个、【二】选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.15. “1x >”是“11x <”的（ A ）〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件16. 〔理〕z x yi =+，,x y R ∈， i 是虚数单位.假设复数+1z i i +是实数，那么z 的最小值为（ D ）〔A 〕0 〔B 〕52 〔C 〕 5 〔D17.能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，以下函数不是椭圆的“可分函数”为〔 D 〕〔A 〕3()4f x x x =+〔B 〕5()ln5x f x x -=+〔C 〕()arctan 4xf x =〔D 〕()x xf x e e -=+18. 〔理〕方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为〔 B 〕〔A 〕2 〔B 〕4 〔C 〕6 〔D 〕8【三】解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19、〔此题总分值12分〕此题共有2个小题，第〔1〕小题总分值6分，第〔2〕小题总分值6分.〔理〕如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.〔1〕求异面直线MN 与AC 所成角的大小； 〔2〕求点M 到平面ADN 之间的距离.解：〔1〕设AB 的中点为E ，连接EN ，那么//EN AC ，且12EN AC =，所以MNE ∠或其补角即为异面直线MN与AC 所成的角。

二模真题汇编-向量一、填空题1.在平面直角坐标系xOy 中，a 在x 轴、y 轴正方向上的投影分别是3-、4，则a 的单位向量是________【答案】34(,)55-【解析】单位向量是与之同向，模为1的向量 2.已知O 为△ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为________【答案】23【解析】设外接圆半径为R ，BO BA BC λμ=+两边同除以u λ+，1u BO BA BC u u u λλλλ=++++； 设1BO BK uλ=+，可得,,K A B 三点共线， BO R BKR OKλμ+==+，当且仅当OK AC ⊥时，即min12OKR =，此时max 2()3λμ+= 3. 已知点(0,0)O ，(2,0)A ，(1,B -，P 是曲线y =OP BA ⋅的取值范围是【答案】[]2,4- 【解析】()()]4,2[)4sin(4sin 32cos 2)32,1(sin ,cos 2],,0[,sin ,cos 2-∈+=+=⋅=⋅∈πθθθθθπθθθp 设4.已知点C 是平面ABD 上一点，3π=∠BAD ，1=CB ，3=CD ，若AP AB AD =+，则AP 的最大值为________________.【答案】34【解析】由题意知，4≤BD 。

设a AB =→，b AD =→，BD 中点为Q 。

因为AP AB AD =+，所以ab ab b a ab b a AP 33cos 222222≥++=⋅++=→π。

根据ab BD b a 23cos 222-+=π，可得16222≤-+=ab b a BD ，而ab ab b a ≥-+22，所以16≤ab 。

即482≥→AP ，34≥→AP5. 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则c o s C 的最小值为【答案】45【解析】0GA GB ⋅=90AGB ⇒∠=︒，如图，CD 为AB 边上中线，设GD k =，则AD BD k ==，3CD k =，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据平行四边形的性质（四条边的平方和等于两条对角线的平方和），可得()()222222CA CB AB CD +=+，即()222221436202a b k k k +=+=， 所以222220ab a b k ≤+=， 在ABC ∆中由余弦定理得2222222044cos 2205a b c k k C ab k +--==≥， 所以()min 4cos 5C =．6. 设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP x AB y AC =+，x y xy ++的取值范围为 .【答案】[]1,3【解析】以A 为原点建立直角坐标系，(1,0)B，1(,22C -，设2(c o s ,s i n ),0,3P αααπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 代入AP x AB y AC =+，可得：cos 3x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入化简可得[]1,37.过点1(,2)2P -作圆224:()(1)13C x m y m -+-+=（m ∈R ）的切线，切点分别为A 、 B ，则PA PB ⋅的最小值为【答案】322- 【解析】设ACP θ∠=，(0,)2πθ∈，2ACB θ∠=，1cos CP θ=， ∴()()PA PB PC CA PC CB ⋅=+⋅+2PC PC CB CA PC CA CB =+⋅+⋅+⋅2111cos2cos θθ=--+2212cos 33cos θθ=+-≥，当2cos 2θ=时等号成立.8.已知正方形ABCD 边长为8，BE EC =,3DF FA =,若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使PE PF λ∙= ,则λ 的取值范围_____________【答案】-1,8（） 【解析】以BC 为x 轴，BA 为y 轴建立空间直角坐标系。

上海市浦东新区2019届高三二模数学试卷 2019.4 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 若集合{|5}A x x =>，集合{|7}B x x =≤，则A B =I2. 若行列式128012x -=，则x = 3. 复数12i iz +=的虚部为 （其中i 为虚数单位） 4. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上，如果任取3点作为顶点作三角 形，那么一共可作 个三角形（结果用数值表示）5. 如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的5倍，那么它的底面半径应该扩大 为原来的 倍6. 已知函数()sin 2()f x x ϕ=+（0ϕ>）是偶函数，则ϕ的最小值是7. 焦点在x 轴上，焦距为6，且经过点(5,0)的双曲线的标准方程为8. 已知无穷数列{}n a 满足11201831201921n n a n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩，则lim n n a →∞= 9. 二项式61(2)2x x-展开式的常数项为第 项 10. 已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则这6个数方差的最大值为 （精确到小数点后一位）11. 已知正方形ABCD 边长为8，BE EC =u u u r u u u r ，3DF FA =u u u r u u u r ，若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使PE PF λ⋅=u u u r u u u r ，则λ的取值范围为12. 已知2()22f x x x b =++是定义在[1,0]-上的函数，若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）A. B. C. D.14. 点(2,0)P 到直线1423x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离为（ ） A. 35 B. 45 C. 65 D. 11515. 已知点(,)P x y 满足约束条件50252000400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =-的最小值为（ ） A. 40 B. 40- C. 30 D. 30-16. 已知()||f x a x b c =-+，则对任意非零实数a 、b 、c 、m ，方程2()()0mf x nf x t ++=的解集不可能为（ ）A. {2019}B. {2018,2019}C. {1,2,2018,2019}D. {1,9,81,729}三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知正三棱柱111ABC A B C -中，122AA AC ==，延长CB 至D ，使CB BD =.（1）求证：1CA DA ⊥；（2）求二面角1B AD C --的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 已知向量(2sin ,cos 2)m x x ωω=u r ，(3cos ,1)n x ω=r ，其中0ω>，若函数()f x m n =⋅u r r 的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在△ABC 中，若()2f B =-，3BC =，sin 3sin B A =，求BA BC ⋅u u u r u u u r 的值.19. 浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习，2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假设地球（设为质点P ，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为700R =万米）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知地球的近木星点A （轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远木星点B （轨道上离木星表面最远的点）到木星表面距离为2500万米.（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）若地球在流浪的过程中，由A 第一次逆时针流浪到与轨道中心O 的距离为ab 万米时（其中a 、b 分别为椭圆长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线L ，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求“变轨系数”k 的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞.（精确到小数点后一位）20. 已知各项均不为零的数列{}n a 满足11a =，前n 项的和为n S ，且22212n n nS S n a --=， *n ∈N ，2n ≥，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，*n ∈N .（1）求2a 、3a ；（2）求2019S ；（3）已知等式11k k n n kC n C --=⋅对1k n ≤≤，*,k n ∈N 成立，请用该结论求有穷数列{}k k n b C ，1,2,,k n =⋅⋅⋅的前n 项和n T .21. 已知函数()y f x =的定义域D ，值域为A .（1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）① 1()tan[()]2f x x π=-，(0,1)x ∈；② 1()lg(1)g x x =-，(0,1)x ∈；（2）已知12()log (21)f x x =+，()sin 2g x x =，函数[lg()]f x 的值域[1,0]A =-，试求出满 足条件的函数[lg()]f x 一个定义域D ；（3）若D A ==R ，且对任意的,x y ∈R ，有|()||()()|f x y f x f y -=-，证明：()()()f x y f x f y +=+.参考答案一. 填空题1. (5,7]2. 33. 1-4. 2205. 6. 4π 7. 22154x y -= 8. 0 9. 4 10. 12.3 11. (1,8)- 12. 13[,)28--二. 选择题13. B 14. D 15. B 16. D三. 解答题17.（1）略；（2）arctan418.（1）()2sin(2)6f x x πω=+，1ω=；（2）23B π=，32- 19.（1）2222120001600x y +=；（2）( 1.8,1.1)- 20.（1）26a =，34a =；（2）(1)(1)n n S n n =++-，20194078379S =（3）42n b n =+，2n ≥，(22)22n n T n n =+⋅+-21.（1）①；（2）可以为[0,]12π；（3）略.。

2019年上海各区高三二模汇编——解析几何专题一、 填空题 1、（宝山2）圆22266x y x y +-+=的半径r =__________【答案】4【解析】写出圆的标准方程：22222266(1)(3)4xy x y x y +-+=⇒-++=2、 （宝山3）过点()2,4A -，且开口向左的抛物线的标准方程是___________【答案】28yx =-【解析】设抛物线为22,0ypx p =->，代入点()2,4A -，则28y x =-3、 （宝山6）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1P ，若(),Qxy 为平面区域221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上一个动点，则OP OQ 的取值范围是_____________ 【答案】[]3,5【解析】数形结合，画出平面区域，则()()2,1,2OP OQ x y x y ==+，令2x y z +=则即求z 的取值范围，2y x z =-+，线性规划得到分别在点()1,1和()2,1P 取到最值，为[]3,5 4、（崇明5）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点（0,2），则该椭圆的标准方程为_________.【答案】14522=+y x【解析】由题意可知，1=c ，2=b ，则522=+=c b a ，所以，椭圆方程为14522=+y x5、 （崇明7）已知直线:1l 01)4()3=+-+-y a x a （与:2l 032-)32=+-y x a （平行，则=a _____. 【答案】3或5【解析】当两直线中一条斜率为0，另一条斜率不存在时，轻易可知3=a ；当两条直线斜率都存在时，两直线方向向量或法向量平行，以法向量为例，)4,3(a a --与)2,62(--a 为共线向量，计算可得5=a6、 （奉贤4）参数方程2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）表示的普通方程为【答案】()1222=+-y x【解析】由圆的参数方程可知()1222=+-y x .7、（奉贤6）若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为【答案】2-【解析】由线性规划，画图可知，直线过点()2-4，时，取到最小值2-. 8、（奉贤8）双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，它的两条渐近线的夹角为2π，则双曲线的标准 方程为【答案】1212122=-y x【解析】设双曲线的标准方程，为12222=-by a x 。

2019年上海市高三二模数学填选难题解析宝山11. 已知无穷等比数列1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅各项的和为92，且22a =-，若49||102n S --<，则n 的最小值为【解析】10. 根据题意，0||1q <<，1912a q =-，12a q =-，解得13q =-，16a =， ∴1(1)91[1()]123n n n a q S q -==---，∴49911||()22310n n S -=⨯<，且n ∈*N ，∴10n ≥， 即n 的最小值为10.12. 在线段12A A 的两端点各置一个光源，已知1A 、2A 光源的发光强度之比为1:2，则该线段上光照度最小的一点到1A 、2A 的距离之比为 （光学定律：P 点的光照度与P 到光源距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比）【解析】31:2. 设1PA a =，2PA b =，不妨设线段12A A 定长为d ，1A 光源的发光强度为定值1，则2A 光源的发光强度为2，即转化为“已知a b d +=，当2212a b+取得最小值时，求ab的值”，∵3221133a a a a a a ++≥⋅⋅⋅=，332222332b b b b b b ++≥⋅⋅⋅=，两不等式相加，即3221222332a b a b +++≥+，∵a b d +=，∴322123322d a b +≥+-，当且仅 当21a a =，22b b=时等号成立，即1a =，32b =，∴距离之比为31:2. 16. 设向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =，且22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是（ ） A. 向量v 与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关） B. u v ⋅的最大值为2 C. u 与v 夹角的最大值为34πD. ad bc -的最大值为1【解析】选B. 结合空间直角坐标系，u 、v 向量如图，由题意，u OU =，v OV =， 图中圆柱底面半径为1，高为1. A 选项，4VOz π∠=，即v 与z 轴正方向夹角为4π， 正确；B 选项，结合投影的几何意义，2||1u v u ⋅≤=，即u v ⋅的最大值为1，∴B 选项错误；C 选项，VOU ∠最大值为34π，正确；D 选项，∵111||222V OU S ad bc OV OU '∆'=-≤⋅⋅=，∴1ad bc -≤，正确；综上所述，选B. 杨浦11. 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的 最小值为【解析】45. 方法一：如左图构造，GA GB ⊥，根据题意，AA '、BB '均为中线， 设1GA '=，GB t '=，作CD BD ⊥，∴△AGB '与△CDB '全等， ∴2CD =，DB t '=，4BD t =，∴2tan tan 333tan tan()1tan tan 222/24BCD B CD t C BCD B CD BCD B CD t t t '∠-∠'=∠-∠===≤'+∠∠++， ∴tan C 的最大值为34，即cos C 的最小值为45.方法二：如右图构造，GA GB ⊥，点G 在以AB 中点O 为圆心的圆上，不妨设半径为1， 则3CO =，要求cos C 的最小值，即求C ∠的最大值，很明显CO AB ⊥时，C ∠会最大，此时1tan23C =，∴3tan 4C =，即4cos 5C =. 12. 定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列； 这样的不同函数()f x 的个数为【解析】155. 根据题意，当n 为奇数，()f n 也为奇数，当n 为偶数，()f n 也为偶数，且()f n n ≤，因为2(12)(6)f f =，∴(12)f 只能为平方数4，∴(6)2f =±.① (1)1f =，(6)2f =，(12)4f =；其中(1)(6)f f →的五步中有2步1-、3步1+，(6)(12)f f →的六步中有2步1-、4步1+，∴()f x 的个数为2256150C C =；② (1)1f =，(6)2f =-，(12)4f =；其中(1)(6)f f →的五步中有4步1-、1步1+，(6)(12)f f →的六步中有0步1-、6步1+，∴()f x 的个数为40565C C =； 综上所述，这样的不同函数()f x 的个数为1505155+=个16. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且7cos 8A =，I 为△ABC 内部的一点，且0aIA bIB cIC ++=，若AI x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A.54 B. 12C. 56D. 45【解析】选D. ∵()()a AI bIB cIC b IA AB c IA AC bIA cIA bAB cAC =+=+++=+++， ∴()a b c AI bAB cAC ++=+，即b c AI AB AC a b c a b c=+++++，∴b cx y a b c++=++，由余弦定理：22222152cos ()4a b c bc A a b c bc =+-⇒=+-，∵2()4b c bc +≤，∴2221511()()()4164a b c bc b c a b c =+-≥+⇒≥+，∴45x y +≤，故选D.奉贤11. 实系数一元二次方程210ax bx ++=(0)ab ≠的两个虚根1z 、2z ，1z 的实部1Re()0z <，则1220212020292020m m m z z +--的模等于1，则实数m =【解析】2. 设1i z x y =+，x ∈R ，y ∈R ，且0x <，则2i z x y =-，∴1220212020202120202020i2920202920202020im m m m m m z x y z x y +-+--=--+，其模为1，即20212020292020m m m x x +-=-或20212020202029m m m x x +-=-（由0x <舍），∴202129m m m +=，用计算器可求出2m =.12. 设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP x AB y AC =+，x y xy ++的取值范围为【解析】[1,3]. 以A 为原点，AB 为x 正半轴建立平面直角坐标系，∴(1,0)AB =，13(,)22AC =-，设(cos ,sin )P θθ，2[0,]3πθ∈，13(,)22AP xAB y AC x y y =+=-，∴1cos 2x y θ-=，3sin 2y θ=，即23sin 3y θ=，3cos sin 3x θθ=+， ∴31121cos 3sin sin 2cos22sin()sin(2)3336363x y xy ππθθθθθθ++=++-+=++-+∵1sin()6y πθ=+和2sin(2)6y πθ=-均在[0,]3π上单调递增，在2[,]33ππ上单调递减， 且3x π=为两个三角函数的对称轴，∴0θ=或23π时，min ()1x y xy ++=，3πθ=时，max ()3x y xy ++=，∴x y xy ++的取值范围为[1,3].16. 设有△000A B C ，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个新的三角形△111A B C ，再作 △111A B C 的内切圆，得到的三个切点又确定一个新的三角形△222A B C ，以此类推，一次一次不停地作下去可以得到一个三角形序列△n n n A B C （1,2,3,n =⋅⋅⋅），它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 与原三角形相似D. 以上均不对【解析】选A. 如右图所示，由△n n n A B C 内切圆的三个切点确定△111n n n A B C +++， ∵内切圆圆心为三条角平分线的交点，到三边距离相等， ∴12n n n B C A +∠+∠∠=，12n n n A C B +∠+∠∠=，12n nn A B C +∠+∠∠=， ∴△111n n n A B C +++内角为△n n n A B C 内角的均值，故三个内角会趋于相等，即等边三角形.虹口11. 若函数20()(1)(2)0x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩，则(2019)f 的值为【解析】1-. 0x >，(3)(2)(1)[(1)()](1)()f x f x f x f x f x f x f x +=+-+=+--+=-，∴(6)(3)()f x f x f x +=-+=，即0x >时，周期为6. 或者简单归纳，(1)2f -=，(0)1f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)2f =-，(3)1f =-，(4)1f =，(5)2f =， (6)1f =，…，观察可得，周期为6，∴(2019)(33663)(3)1f f f =⨯+==-12. 过点1(,2)2P -作圆224:()(1)13C x m y m -+-+=（m ∈R ）的切线，切点分别为A 、B ，则PA PB ⋅的最小值为【解析】223-. 设ACP θ∠=，(0,)2πθ∈，2ACB θ∠=，1cos CP θ=， ∴()()PA PB PC CA PC CB ⋅=+⋅+2PC PC CB CA PC CA CB =+⋅+⋅+⋅2111cos2cos θθ=--+2212cos 3223cos θθ=+-≥-，当22cos 2θ=时等号成立.16. 已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n ∈N ，均有13n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为（ ） A.72 B. 94 C. 114D. 136【解析】选B. 31[1()]23n n S =--，11()3n --取值依次为113+、119-、1127+、1181-、…， ∴21n S S S ≤≤，即423n S ≤≤，设1()3n n n f S S S =-，可知其在4[,2]3上单调递增，∴4()()(2)3n f f S f ≤≤，即1311()42n f S ≤≤，∴min 11139()244B A -=-=，故选B.普陀11. 《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖 臑，如图，若四面体ABCD 为鳖臑，且AB ⊥平面BCD ，AB BC CD ==，则AD 与平面ABC 所成角大小为（结果用反三角函数值表示） 【解析】2arctan2. 根据题意，CD ⊥平面ABC ，∴AD 与平面ABC 所成角即DAC ∠，设1AB BC CD ===，∴2AC =，∴12tan 22DAC ∠==，即所求角为2arctan 2. 12. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为【解析】(,4)(0,)-∞-+∞. 根据题意，()g x 为偶函数，由2(2)(2)4f x f x x+->+得，22(2)(2)(2)2f x x f +-+>-，即(2)(2)g x g +>，∵()g x 为偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，∴|2|2x +>，∴4x <-或0x >，即解集为(,4)(0,)-∞-+∞.方法二：取特殊情况，不妨设2()2f x x =，符合题意，解得解集为(,4)(0,)-∞-+∞.16. 设函数()sin()6f x x π=-，若对于任意5[,]62ππα∈--，在区间[0,]m 上总存在唯一确 定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）A.6π B. 2πC. 76πD. π【解析】选B. ∵5[,]62ππα∈--，∴3()[,0]2f α∈-，3()[0,]2f α-∈，设()t f α=-，即对任意3[0,]2t ∈，()f t β=在区间[0,]m 上有唯一解，结合图像可知， ∵53()()262f f ππ==， ∴526m ππ≤<，即m 的最小值为2π徐汇10. 已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈使得 121()()()()n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值是【解析】6. ∵当1[,4]4x ∈，1()[3,15]4f x ∈，11153544÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴n 的最大值为6 11. 在平面直角坐标系中，设点(0,0)O ，(3,3)A ，点(,)P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA 在OP 上的投影的取值范围是 【解析】[3,3]-. 点P 在图中阴影部分（含边界），结合图像可知，5[,]66AOP ππ∠∈，OA 在OP 上的投影即||cos 23cos [3,3]OA AOP AOP ∠=∠∈-12. 函数()sin f x x ω=（0ω>）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为123,,,,,n A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、i A 、p A ，使得△k i p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=【解析】40372π. 先求1ω，如左图所示，11242T ππωω==⇒=；再分析2ω， 如右图所示，22233342T ππωω=⋅=⇒=； 归纳可得，2(21)(21)(21)42n n n n T n ππωω--=-⋅=⇒=.15. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.3716 B. 115 C. 2 D. 74【解析】选C. ∵动点P 到直线2:1l x =-的距离等于P 到焦点(1,0)F 的距离，∴所求的距离之和的最小值可以转化为焦点(1,0)F 到直线1:4360l x y -+=的距离，2d =，选C. 16. 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x ∈R ，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ① 10()00x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；② 3()f x x =；③ 2()|1|f x x =-；④ 2()f x x =；不具有性质P 的函数为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④【解析】选D. 函数()f x 要具有性质P ，即函数图像上存在两点，使它们中点也在图像上. 如图，对于①②，均为奇函数，存在12x x =-满足题意；对于③，存在1x =，2x =使之具有性质P ；对于④，函数图像上任意两点的中点都不在2y x =上，故选D.青浦10. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 【解析】22. 构造如图边长为3的正方体， 四棱锥P ABCD -即满足题意的四棱锥，可知PC 最长，22233222PC =++=11. 已知函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ），在区间(1,1)-内有两个零点，则22a b -的取值范围是【解析】(0,2). 由函数在(1,1)-内有两个零点，可得(1)0f >，(1)0f ->，(1,1)2a-∈-， 0∆>，即10a b ++>，10a b -+>，22a -<<，24a b >，转化为线性规划问题，画出可行域如图阴影部分所示，求目标函数22z a b =-的取值范围.结合图像可知，2z-为函数222a z b =-在y 轴上的截距，(1,0)2z-∈-，即(0,2)z ∈方法二：设两根为s 、t ，(1,1)s ∈-，(1,1)t ∈-，s t a +=-，st b =，∴22222()2(0,2)a b s t st s t -=+-=+∈. 12. 已知O 为△ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为【解析】23. 如图所示，作BD AC ⊥，OF BD ⊥，OE AC ⊥， BO BA BC BO BD BA BD BC BD λμλμ=+⇒⋅=⋅+⋅，∴22||||BF BD OEBF BD BD BD BD BDλμλμ-⋅=+⇒+==， 设外接圆半径为1，则32BD ≤，12OE =，即23λμ+≤.16. 等差数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅（3n ≥，*n ∈N ）满足121|||||||1|n a a a a ++⋅⋅⋅+=+2|1|a ++|1|n a +⋅⋅⋅++12|2||2||2|2019n a a a =-+-+⋅⋅⋅+-=，则（ ）A. n 的最大值为50B. n 的最小值为50C. n 的最大值为51D. n 的最小值为51【解析】选A. 构造函数()|||||2||(1)|f x x x d x d x n d =+++++⋅⋅⋅++-，可知方程()2019f x =至少有三个解1a 、11a +、12a -，∴该绝对值函数为平底型，∴n 为偶数，且3d ≥，不妨设2n k =，k ∈*N ， ∴12,,,k a a a ⋅⋅⋅均为负，122,,,k k k a a a ++⋅⋅⋅均为正， ∴12112||||||n k k k a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+211222()()()2019k k k k a a a a a a k d ++-+-+⋅⋅⋅+-==，3d ≥，∴220192019253k k d =≤⇒≤，250n k =≤.黄浦11. 设[0,2)ϕπ∈，若关于x 的方程sin(2)x a ϕ+=在区间[0,]π上有三个解，且它们的和为43π，则ϕ= 【解析】6π或76π. sin(2)y x ϕ=+周期π，且三解和为43π，∴(0)()()3f f f a ππ===， ∴2sin sin()3πϕϕ=+，∵[0,2)ϕπ∈，∴23πϕϕπ++=或3π，解得ϕ=6π或76π. 12. 已知复数集合{i |||1,||1,,}A x y x y x y =+≤≤∈R ，221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为【解析】72. 1i z x y =+，设2333333i (i)(i)()i 444444z m n x y x y x y =+=++=-++，∴3344m x y =-，3344n x y =+，∴2()3x m n =+，2()3y m n =-+，∵||1x ≤，||1y ≤，∴3||2m n +≤，3||2m n -≤，∴集合A 、B 图形如图为两个正方形，其公共部分面积为17422-=.16. 在△ABC 中，BC a =，CA b =，AB c =，下列说法中正确的是（ ）A. 为边长不可以作成一个三角形B. 为边长一定可以作成一个锐角三角形C. 为边长一定可以作成一个直角三角形D. 为边长一定可以作成一个钝角三角形【解析】选B. 不妨设a b c ≤≤，∴a b c +>为边长构成的三角形≤≤所对角，设其为C '，由余弦定理222cos 0C '==>，即最大角为锐角，故为锐角三角形.长宁、嘉定10. 在△ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+，若△ABC 3ACB π∠=，则||CP 的最小值为________【解析】43. 4293CP mCA CB mCA CD =+=+，由共线定理，13m =，由ABC S 4CA CB ⋅=，∴2CA CB ⋅=，222214148()()()393927CP CA CB CA CB CA CB =+=++⋅≥1416162()()39279CA CB ⋅⋅+=，∴||CP 43≥.11. 已知有穷数列{}n a 共有m 项，记数列{}n a 所有项的和为(1)S ，第二及以后所有项的和 为(2)S ，⋅⋅⋅ ，第n （1n m ≤≤）及以后所有项的和为()S n ，若()S n 是首项为1公差为2的等差数列前n 项的和，则当1n m ≤<时，n a =________ 【解析】21n --. 2(1)()122n n S n n n -=⋅+⋅=，根据题意，1()n n m S n a a a +=++⋅⋅⋅+， 12(1)n n m S n a a a +++=++⋅⋅⋅+，∴()(1)21n a S n S n n =-+=--，1n m ≤<.12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，2()log ()f x x a =+，若对于任意[0,1]x ∈，都有221()1log 32f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为________【解析】[0,3]. ∵()f x 为定义在R 上奇函数，∴(0)01f a =⇒=，∵(2)()f x f x +=-，∴周期为4，画出()f x 图像如图所示，∵22115()1log 3()()222f x tx f f -++≥-=-=， ∴211544222k x tx k -+≤-++≤+，k ∈Z ，∵对于任意[0,1]x ∈都成立，∴代入0x =，∴11544222k k -+≤≤+，即0k =，∴对于任意[0,1]x ∈，2115222x tx -≤-++≤成立， 当(0,1]x ∈，分离参数得12x t x x x -≤≤+恒成立，∴max min 12()()x t x x x-≤≤+，[0,3]t ∈15. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，过点(2,0)M -且与x 轴不重合的直线l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间，过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 【解析】选C. 如上右图，AC BC =，AC ∥MP ，B BAC BMP ∠=∠=∠，∴PM PB =，∴34PM PC PB PC BC MC -=-==<=，∴点P 的轨迹是双曲线的一部分. 16. 对于△ABC ，若存在△111A B C ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称△ABC 为“V 类三角形”，“V 类三角形”一定满足有一个内角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°【解析】选B. ∵△111A B C 中，1sin A 、1sin B 、1sin C 均为正，∴cos A 、cos B 、cos C 均为正，即△ABC 为锐角三角形. 假设△111A B C 也为锐角三角形，由1sin cos A A =可得，190A A ︒+=，同理190B B ︒+=，190C C ︒+=， 相加为111270A B C A B C ︒+++++=，明显不成立，故△111A B C 为钝角三角形. 不妨设1A 为钝角，∴118090A A ︒︒-+=，190B B ︒+=，190C C ︒+=，相加整理得，11190B C A ︒+-=-，∴1180290A ︒︒-=-，∴1135A ︒=，即45A ︒=.金山11、若集合{}2|(2)20,A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是 . 【答案】12,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】法一：由题意可知方程2(2)20x a x a -++-=存在两个不同的根1212,()x x x x <设， 韦达定理可知121222x x a x x a+=+⎧⎨⋅=-⎩121202,2a x x x x >∴+>⋅<，两根之间只存在一个整数∴1x 不可能为负，即120x x <<若11x >，则21x >，与 122x x ⋅<矛盾，故12012x x <<<≤，即存在的元素为1由求根公式可得012<<<≤解得12,23a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦法二：由2(2)20x a x a -++-<得222(1)x x a x -+<+数形结合：左边为抛物线()f x ，右边为过定点(1,0)-的直线()g x ，只存在一个整数解必为1；故(0)g(0)(2)g(2)(1)g(1)f f f ≥⎧⎪≥⎨⎪<⎩解得12,23a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12、正方形ABCD 的边长为2，对角线AC BD 、相交于点O ，动点P 满足22OP =若AP mAB nAD =+，其中,m n R ∈，则2122m n ++的最大值是 .【答案】1【解析】以点A 为原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴，建立直角坐标系。

2019年浦东新区第二次高三数学质量检测数学试卷（理科）注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2.本试卷共23道试题，满分150，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式32x >的解为 ..2.设i 是虚数单位，复数()()31a i i +-是实数，则实数a = .3.已知一个关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= .4.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则该数列的通项公式n a = .5.已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为1024，则含2x 项的系数为 .06.已知直线3420x y ++=与()2221x y r -+=圆相切，则该圆的半径大小为 . 7.在极坐标系中，已知圆()2sin 0r r ρθ=>上的任意一点(),M ρθ与点()2,N π之间的最小距离为1，则r = .8.若对任意x R ∈，不等式2sin 22sin 0x x m +-<恒成立，则m 的取值范围是 .9.已知球的表面积为264cm π，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm10.已知随机变量ξ分别取1、2和3，其中概率()1p ξ=与()3p ξ=相等，且方差13D ξ=，则概率()2p ξ=的值为 .11.若函数()2234f x x x =+-的零点(),1m a a ∈+，a 为整数，则所以满足条件a 的值为 .12.若正项数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项k a 的值都大于从2k a +开始的各项和，则公比q 的取值范围是 .13.已知等比数列{}n a 的首项1a 、公比q 是关于x 的方程()()212210t x x t -++-=的实数解，若数列{}n a 有且只有一个，则实数t 的取值集合为 .14.给定函数()f x 和()g x ，若存在实常数,k b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域D 上的任何实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和1P 2P 3P 4P 1Q 2Q 3Q 4Q ()g x 的“隔离直线”.给出下列四组函数： ①()()11,sin 2x f x g x x =+=；②()()31,f x x g x x==-； ③()()1,lg f x x g x x x =+=；④()()12,2x x f x g x x =-=其中函数()f x 和()g x 存在“隔离直线”的序号是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分. 15.已知,a b 都是实数，那么“0a b <<”是“11a b>”的 ( )16.平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系是 ( )A. 平行B. 相交C. 平行或重合D. 平行或相交 17.若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(),a b ,那过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 1或218.如图，正方体12341234PP P P Q Q Q Q -的棱长为1，设{}(){}()11,,,,,1,2,3,4i j i j i j x PQ S T S T P Q i j =⋅∈∈， 对于下列命题：①当i j i i S T PQ =时，1x =；②当0x =时，(),i j 有12种不同取值；③当1x =-时，(),i j 有16种不同的取值； ④x 的值仅为1,0,1-.其中正确的命题是 ( )A. ①②B. ①④C. ①③④D. ①②③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19. （本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.已知函数()(),0,af x x x a x =+>为实数.（1）当1a =-时，判断函数()y f x =在()1,+∞上的单调性，并加以证明； （2）根据实数a 的不同取值，讨论函数()y f x =的最小值.20. （本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面正方形ABCD 为边长为2，PA ⊥底面ABCD ，E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为2arctan2.（1）求异面直线AE 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点B 到平面PCD 的距离.21. （本大题共有2个小题，满分14分）第（1）题满分6分，第（2）小题满分8分. 一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A 点的正上空'A ，12：03时卫星通过C 点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）(1)求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A 之间的距离.（精确到1千米） (2)求此时天线方向AC 与水平线的夹角（精确到1分）.'A A C OP AB C D22. （本大题共有3个小题，满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=2EB BD λ=（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值； （2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由.23. （本大题共有3个小题，满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分. 第（3）小题满分8分.记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,n n a a ++的最小项为n B ，令n n n b A B =-.（1）若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，写出12,b b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若数列{}n b 为公差大于零的等差数列，求证：{}1n n a a +-是否为等差数列.。

浦东新区2018学年度第二学期期中教学质量检测高三数学 试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸．2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应得区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸得相应位置直接填写结果．1. 若集合{}5A x x =>，集合{}7B x x =≤，则=B A I 、2. 若行列式128012x -=，则x = 、 3. 复数12i z i+=得虚部为 （其中i 为虚数单位）、 4. 平面上有12个不同得点，其中任何3点不在同一直线上、 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作 个三角形、（结果用数值表示）5. 如果一个圆柱得高不变，要使它得体积扩大为原来得5倍，那么它得底面半径应该扩大为原来得 倍、6. 已知函数()()()=sin20f x x ,ϕϕ+>就是偶函数，则ϕ得最小值就是 、7. 焦点在x 轴上，焦距为6，且经过点得双曲线得标准方程为 、8. 已知无穷数列{}n a 满足()()1,12018,31,2019,21n n a n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩则=∞→n n a lim 、 9. 二项式6)212(xx -展开式得常数项为第 项、 10. 已知6个正整数，它们得平均数就是5，中位数就是4，唯一众数就是3，则这6个数方差得最大值为 、（精确到小数点后一位）11、 已知正方形ABCD 边长为8，,3,BE EC DF FA ==u u u r u u u r u u u r u u u r 若在正方形边上恰有6个不同得点P ，使PE PF λ=u u u r u u u r g ，则λ得取值范围为_____________、12、 已知2()22f x x x b =++就是定义在[-1,0]上得函数, 若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 得取值范围就是D C 1B 1A 1C B A _____________、二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸得相应位置，将代表正确选项得小方格涂黑．13、 如图，水平放置得正三棱柱得俯视图就是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）14、 点()20P ,到直线1423x t,y t,=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t ∈R ）得距离为（ ）（A ）35 （B ）45 （C ）65 （D ）11515、 已知点(,)P x y 满足约束条件：5025200040x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =-得最小值为（ ） （A ）40 （B ）40- （C ）30 （D ）30-16、 已知()||f x a x b c =-+，则对任意非零实数,,,,,a b c m n t ，方程2()()0mf x nf x t ++= 得解集不可能为（ ）（A ）{2019} （B ）{2018,2019} （C ）{1,2,2018,2019} （D ）{1,9,81,729}三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸得相应位置写出 必要得步骤．17、 （本题14分，第1小题5分，第2小题9分）已知正三棱柱111C B A ABC -中，221==AC AA ，延长CB 至D ，使BD CB =、（1）求证：1CA DA ⊥；（2）求二面角C AD B --1得大小、（结果用反三角函数值表示）18、 （本题14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知向量(2sin ,cos 2)m x x ωω=u r ，,1)n x ω=r ，其中0ω>，若函数()f x m n =⋅u r r 得最小正周期为π、（1）求ω得值； （2）在△ABC 中，若()2f B =-，BC =，sin B A =，求BA BC ⋅u u u r u u u r 得值、19、 （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）浦东一模之后得“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习、 2019年春节档非常热门得电影《流浪地球》引发了她得思考：假定地球（设为质点P ，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪得轨道就是以木星（瞧作球体，其半径约为700R =万米）得中心F 为右焦点得椭圆C 、 已知地球得近木星点A （轨道上离木星表面最近得点）到木星表面得距离为100万米，远木星点B （轨道上离木星表面最远得点）到木星表面得距离为2500万米、（1）求如图给定得坐标系下椭圆C 得标准方程；（2）若地球在流浪得过程中，由A 第一次逆时针流浪到与轨道中心O时（其中,a b 分别为椭圆得长半轴、短半轴得长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后得轨道为一条直线L ，称该直线得斜率k 为“变轨系数”、 求“变轨系数”k 得取值范围，使地球与木星不会发生碰撞、20、 （本题16且22212,n n nS S n n a --=（1）求23,a a ；（2）求2019S ；（3）已知等式11k k n n kC n C --=⋅对0,,k n k n ≤≤∈N*成立、 请用该结论求有穷数列{},1,2,,,k k n b C k n =L 得前n 项与nT 、 21、 （本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数()y f x =得定义域D ，值域为A 、（1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）①()1tan[()],(0,1)2f x x x π=-∈，②()1lg(1),(0,1)g x x x=-∈、（2）已知12()log (21),()sin 2,f x x g x x =+=函数[()]f g x 得值域[1,0]A =-，试求出满足条件得函数[()]f g x 一个定义域D ；（3）若D A ==R ，且对任意得,x y ∈R ，有()()()f x y f x f y -=-，证明：()()()+=+、f x y f x f y。

2019届上海市浦东新区高三下学期期中教学质量检测（二模）数学试题一、单选题1．如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选C.【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.2．点到直线（为参数，）的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．【详解】由消去参数t可得3x﹣4y+5＝0，根据点到直线的距离公式可得d．故选：D．【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．3．已知点满足约束条件：，则目标函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣y，得y＝x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，由，解得A（0，40）平移直线y＝x﹣z，当直线y＝x﹣z经过点A时，直线y＝x﹣z的截距最大，此时z最小，此时z min＝﹣40．故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．4．已知，则对任意非零实数，方程的解集不可能为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数f（x）的对称性，因为的解应满足y1＝，y2＝，进而可得到的根，应关于对称轴x对称，对于D 中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．【详解】∵，关于直线x对称.令方程的解为f1（x），f2（x）则必有f1（x）＝y1＝，f2（x）＝y2＝那么从图象上看，y＝y1，y＝y2是一条平行于x轴的直线它们与f（x）有交点，由于对称性，则方程y1＝的两个解x1，x2要关于直线x对称，也就是说x1+x2同理方程y2＝的两个解x3，x4也要关于直线x对称那就得到x3+x4，若方程有4个解，则必然满足x1+x2x3+x4而在D中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和.故答案D不可能故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质﹣﹣对称性，考查了函数与方程的思想，属于难题．二、填空题5．若集合，集合，则_______ .【答案】【解析】由集合交集的定义可直接得解.【详解】由集合，集合，得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.6．若行列式，则______ .【答案】3【解析】由行列式的定义列方程求解即可.【详解】行列式，所以.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了行列式的计算，属于基础题.7．复数的虚部为______（其中为虚数单位）.【答案】【解析】由复数的除法运算直接求解即可得虚部.【详解】复数. 虚部为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及虚部的概念，属于基础题.8．平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作_________个三角形.（结果用数值表示）【答案】220【解析】根据题意，由组合数公式计算总12个点中任选3个的取法，又由任何3点不在同一直线上，分析可得答案．【详解】根据题意，在12个点中，任取3个，有种取法，又由平面的12个点中，任何3点不在同一直线上，则可以做220个三角形；故答案为：220．【点睛】本题考查组合数公式的应用，注意“任何3点不在同一直线上”的条件．9．如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的_______倍.【答案】【解析】设圆柱的高为h，底面半径为r，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，根据圆柱的体积公式计算可得答案．【详解】设圆柱的高为h，底面半径为r，则体积V＝πr2h，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，则体积V′＝πR2h，由，得R2＝5r2，则R．∴它的底面半径应该扩大为原来的倍．故答案为：．【点睛】本题考查了圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是关键，是基础题．10．已知函数是偶函数，则的最小值是________.【答案】【解析】结合三角函数的奇偶性，建立方程关系2kπ，k∈Z,即可得解．【详解】是偶函数，则2kπ，k∈Z，即，k∈Z，当k＝0时，取得最小值，为，故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数对称性的应用，结合三角函数是偶函数，建立方程求出的表达式是解决本题的关键．11．焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线的标准方程为_______.【答案】【解析】利用已知条件求出c，a，然后求解b，即可得到双曲线方程．【详解】焦点在x轴上，焦距为6，c＝3，且经过点可得，所以.双曲线的标准方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12．已知无穷数列满足则_______.【答案】0【解析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可．【详解】无穷数列满足，0．故答案为：0．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，属于基础题．13．二项式展开式的常数项为第_________项.【答案】4【解析】由二项式展开式的通项公式得：T r+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2r x6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，4得解．【详解】由二项式展开式的通项公式得：T r+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2r x6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，故答案为：4．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题．14．已知个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一众数是，则这个数方差的最大值为__________.（精确到小数点后一位）【答案】12.3【解析】根据题意，由中位数、众数的概念分析，设这6个数为a，3，3，5，b，c；进而分析可得若这6个数方差的最大，则a＝1，b＝6，c＝12；由方差公式计算可得答案．【详解】根据题意，6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则可以设这6个数为a，3，3，5，b，c；若这6个数方差的最大，6个数据的波动幅度较大，此时a＝1，c＝12.由平均数为5，所以，则有b＝6其方差s2[（1﹣5）2+（3﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（12﹣5）2]≈12.3；故答案为：12.3．【点睛】本题考查数据的方差、中位数、众数、平均数的计算，关键是掌握数据的方差、中位数、众数、平均数的定义，属于基础题．15．已知正方形边长为，若在正方形边上恰有个不同的点，使，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】建立坐标系，逐段分析•的取值范围及对应的解得答案．【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图：则F（0，2），E（8，4）（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8∴（﹣x，2），（8﹣x，4）∴•x2﹣8x+8，∵x∈[0，8]，∴﹣8•8，∴当λ＝﹣8时有一解，当﹣8＜λ≤8时有两解；（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤8，∴（0，2﹣y），（8，4﹣y）∴•（2﹣y）（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y≤8，∴﹣1•24∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有唯一解；当﹣1＜λ≤8时有两解（3）若P在DC上，设P（x，8），0＜x≤8∴（﹣x，﹣6），（8﹣x，﹣4），∴•x2﹣8x+24，∵0＜x≤8，∴8•24，∴当λ＝8时有一解，当8＜λ≤24时有两解．（4）若P在BC上，设P（8，y），0＜y＜8，∴（﹣8，2﹣y），（0，4﹣y），∴•（2﹣y）•（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y＜8，∴﹣1•24，∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有一解，当﹣1＜λ≤8时有两解．综上，在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得•λ成立，那么λ的取值范围是（﹣1，8）故答案为：（﹣1，8）【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，分类讨论思想，属难题．16．已知是定义在上的函数, 若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是_______【答案】【解析】由函数定义域及复合函数的关系可得，解得，设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，由与抛物线联立，解得中点在得，从而在有两不等的实数根，利用二次函数根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为，，所以时满足；设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，令由设、为直线与抛物线的交点，线段中点为，所以，所以，而在上，所以，从而在有两不等的实数根，令，所以。

2019年上海市高三二模数学填选难题解析1.宝山,一……，」一 ’9「八八一 9 , 一 411 .已知无穷等比数列 四，a2, a3,…各项的和为—，且a2 = —2 ,若| Sn —— | < 10一，22则n 的最小值为a 9 1【斛析】10.根据题忌，0 < | q | <1 , - =一，aq = -2 ,解得 q = -一 , a 1 = 6 ,1 -q2 3a1（1~q ）=9[1_（_l ）n ]? ... |0 —9| 旦（1）n <上1 -q 2322 3104即n 的最小值为10.12 .在线段AA 的两端点各置一个光源，已知 A 、A 2光源的发光强度之比为 1:2,则该线段上光照度最小的一点到 A 、A 2的距离之比为 （光学定律：P 点的光照度与 P 到 光源距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比）【解析】1: 3/2 .设PA 1 =a , PA, =b ,不妨设线段 A4定长为d , A 光源的发光强度为1 2 ......定值1,则A 2光源的发光强度为 2,即转化为“已知 a+b = d ,当 二十二取得最小值时，a b求a 的值"，: <+a +a 至3,工 w a =3,看r +b +b 至3 ■出"\ =版，两不等式1 2 。

, 12 o相加，即-2+=+2a +2b 之3+3底，: a+b = d ,，-2+不 之 3+ 3耳2—2d ,当且仅 a b a b 当］=a, 4 =b 时等号成立，即a=1, b=#2, ••・距离之比为1:3/2. a b...rT222216.设向量u =（a,b,0） , v=（c,d,1）,且a 叱 =c +d = 1 ,则下列判断错误的是 （）A.向量v 与z 轴正方向的夹角为定值（与 c 、d 之值无关）B.u v 的最大值为V2比3二C.u 与v 夹角的最大值为——4D. ad -bc 的最大值为1【解析】选B.结合空间直角坐标系，u 、V 向量如图，由题意,.n 7JI圆柱底面半径为1,高为1. A 选项，/VOz=一,即v 与z 轴正方向夹角为 一，正确;24 4B 选项，结合投影白^几何意义， u v< |u|2 = 1 , gp u v 的最大值为1, B 选项错误；2019-04-15S n..... 3 1 1 1 C选项，/VOU 最大值为—,正确；D 选项，S V O U=—|ad —bc|<- OV OU =—,4 2 2 2 -1•ad -bc <1,正确；综上所述，选 B.5A.一4 1B.一2 5C. 一64D.52.杨浦11.若^ ABC 的内角A 、B 、C ,其中6为^ ABC 的重心，且GA GB = 0 ,则cosC 的最小值为4 ................ ..................................【解析】一.方法一：如左图构造，GA_LGB,根据题意，AA'、BB'均为中线, 5GB'=t ，作 CD _LBD , . AGB'与△ CDB '全等，♦ . CD =2, DB' = t,方法二：如右图构造，GA_LGB ,点G 在以AB 中点。

浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C ．2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 ．3. 若函数()21x x f =，则()=-11f．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p ．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 ．7. 若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x 32lim ．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m ．10. 已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 ．11. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD上一点，且满足t 31+=，若ABC ∆的面积为233AP 的最小值为 .12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=++，221n n n n n b a b a b +=++，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在15. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( )A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④ 16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( ) A ． 711949⋅ B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列： ,,,,,54321； ② 等比数列： 1618141211,,,,--； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C {}2 ．2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 100 ．3. 若函数()21x x f =，则()-11f1 ．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则+q p 0 ．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为 81: ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 相交 ．7. 若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→nn xx x x 32lim 51．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是__12222=-y x __________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m 10 ．10. 已知函数()()22222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 {1} ．11. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，则AP 的最小值为 2 .12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n n b a b a b +=+-+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .【解】()112+2nn n n n n n a b a b a b +++=⇒+=，11122n n n n n n n a b a b a b -++=⇒+=，12333n n n n c +=⋅=-，2021202033S =-二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( B )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( C )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在16. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( D )A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④ 16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( C ) A ． 711949⋅ B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形．…………（4分） 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ．………（7分）（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C -．所以，()222--=,,FP ，()231--=,,AC .…………………（11分）设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则xyzACFP AC FP ⋅⋅=αcos()()()()()()()()()222222231222223212-++-⋅-++--⨯-+⨯+-⨯-=426+=.…………（13分） 所以，异面直线FP 与CA 所成角为426+=αarccos.…………（14分） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值． 【解答】（1）由已知31010255cos sin cos ααββ=………… (2分) 因而310251052cos(+)=cos cos sin sin 1051052αβαβαβ-=⨯-=…………（6分） （2）法一：（正弦定理）由已知，22,cos 422C C C π===………….(7分) 324272sin sin()sin()455B A C A π=+=+==…………(10分) 222291sin sin 1252=sin sin 5722a c A C bc B C λ---===-⋅ …………(14分) 法二：（余弦定理）2222cos a c b bc A -=-，因而由已知得247228sin 8815102cos =5sin 5552b cb B b bc A bc c c C λλ-⨯-⇒==-=-==- 法三：（余弦定理、正弦定理）2cos cos()4B C π=-+= 因而由余弦定理得：2222222cos 22cos cos 2cos b a c ac B a c B b C c a b ab C ⎧=+-⨯⇒=+=⎨=+-⨯⎩ 同理 2222222cos 42cos cos 52cos a b c bc A b c A a C c c a b ab C ⎧=+-⨯⇒=+=⎨=+-⨯⎩ 得327,5ca b =得221=2a c bc λ-=- 法四：（射影定理）可得22cos cos a c B b C =+=，42cos cos 5b c A a C c =+=+下同解法二19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围． 【解答】（1）法一：因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件②． …………（6分）法二：由条件②可知()[]12144,1242x f x x x x =-+≥⇔∈． 因为[]34,12∉，所以当12b =时不满足条件②．…………（6分） 法三：由条件②可知()2xf x ≥在[]3,6上恒成立，所以2max144b x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭， 解得394b ≤，所以当12b =时不满足条件②．…………（6分） (注：如果证明了当12b =时满足条件①得2分)（2）法一：由条件①可知，()f x 在[]3,6上单调递增，则对任意1236x x ≤<≤时，有1212121212124()()44()0444x x x x b b bf x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+--+=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 即1240x x b +>⇔1214b x x >-恒成立，所以94b ≥-；…………（10分） 由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式1442x b x x -+≥在[]3,6上恒成立，所以2max139444b x x ⎛⎫≤-+= ⎪⎝⎭…………（13分） 综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分） 法二：由条件①可知，()44x bf x x-+在[]3,6上单调递增， 所以当0b ≥时，满足条件；当0b <时，得23b -≤904b ⇔-≤<， 所以94b ≥-…………（10分）由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，所以34436446b b ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，得394b ≤ …………（13分） 综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【解答】（1）由12AF +AF =22可得222a =，从而2a =，椭圆方程为2212x y +=. ………… (4分) （2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. ………… (6分) 设:1l x my -=，与椭圆方程联立可得22(2)210m y my ++-=，设,因此12222m y y m +=-+，12212y y m =-+. ………… (8分) 由12120x x y y +=，可得22212122212(1)()11022m m m y y m y y m m +++++=--+=++，解得2m =±，即直线方程为210x -=.………… (10分) （3） 设:l y kx b =+，由122k k k +=，可得1212211y yk x x +=--， 即1212211kx b kx bk x x +++=--. 化简可得1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x +-+-=--， 即12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符，因此122x x +=.………… (12分) 联立直线与椭圆方程，222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+> ①由1224221kb x x k +=-=+，可得，2212k b k +=-② ………… (14分) 将②代入①，2221421,2k k k >+>；再由11(2)2b k k=-+， 可得，(,2)(22,)b ∈-∞-⋃+∞. ………… (16分)21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列： ,,,,,54321； ② 等比数列： 1618141211,,,,--； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【解答】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；………… (2分)② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列. ………… (4分) （2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列； 若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. ………… (6分)充分性：下面用数学归纳法证明：若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.（1）当1n =时，，112111aa a a a =>=， 213112aaa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=，231a a a ∴>>………… (8分)321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<，所以1n =命题成立………… (9分)（2）若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>， 则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立……… (10分)根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）()2111955n n n n a a a a +-=--， ()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----，………… (11分) ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----，………… (12分) [1]若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时510122n a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；………… (14分)[2]若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时5101n a ⎛+∈ ⎝⎭；………… (16分) 若51012n a ⎫-∈⎪⎪⎝⎭，则211951015nn a a +⎛-+=∈ ⎝⎭，所以()2,2n a ∈-. 若51013,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25nn a a +-=∈-，所以(21n a ∈. 所以()()12,23,21a ∈-，此时对任何正整数n ，均有()()2,23,21n a ∈-………… (18分)。