初中数学 浙教版九年级上册 1.3 《二次函数的性质》综合练习

《1.3二次函数的性质》同步练习一、基础过关1.如果抛物线y =－x 2+2(m －1)x +m +1与x 轴交于A 、B 两点，且A 点在x 轴正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，则m 的取值范围应是A.m >1B.m >－1C.m <－1D.m <12.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y (万元)与新增加的投资额x (万元)之间函数关系为A.y =25x +15B.y =2.5x +1.5C.y =2.5x +15D.y =25x +1.53.某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m 4.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是①当c =0时，函数的图象经过原点 ②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称 ③函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根A.0个B.1个C.2个D.3个5.某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为A.130元B.120元C.110元D.100元6.已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c －8=0的根的情况是A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根7.如图2所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为A.424 mB.6 mC.15 mD.25 m 8.无论m 为任何实数，二次函数y =x 2+(2－m )x +m 的图象总过的点是A.(－1，0)B.(1，0)C.(－1，3)D.(1，3)二、综合训练9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系).(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条)(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.10.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？三、拓展应用11.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？参考答案一、基础过关1.B2.C3.B4.B5.C6.C7.D8.D二、综合训练9 解：(1)信息：①1、2月份亏损最多达2万元.②前4月份亏盈吃平.③前5月份盈利2.5万元.④1~2月份呈亏损增加趋势.⑤2月份以后开始回升.(盈利)⑥4月份以后纯获利.……(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为 y =21(x －2)2－2, 当x =6时，y =6(万元)(问题不唯一)10.解：(1)y =－2x 2+180x －2800.(2) y =－2x 2+180x －2800=－2(x 2－90x )－2800=－2(x －45)2+1250.当x =45时，y 最大=1250.∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.三、拓展应用11解：(1)依题意得鸡场面积y =－.350312x x +- ∵y =－31x 2+350x =31-(x 2－50x ) =－31(x －25)2+3625, ∴当x =25时，y 最大=3625, 即鸡场的长度为25 m 时，其面积最大为3625m 2. (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为nx -50m. ∴y =n x -50·x =－n 1x 2+n50x =－n 1(x 2－50x ) =－n 1(x －25)2+n625, 当x =25时，y 最大=n625, 即鸡场的长度为25 m 时，鸡场面积为n 625 m 2. 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.（2）证明：∵点P 在抛物线y =14x 2上， ∴可设点P 的坐标为（x ，14x 2）， 过点P 作P B ⊥y 轴于点B ，则BF =14x 2﹣1，PB =x ， ∴Rt △BPF 中，PF 2114x =+， ∵PM ⊥直线y =﹣1，∴PM =14x 2+1， ∴PF =PM ，∴∠PFM =∠PMF ，又∵PM ∥x 轴，∴∠MFH =∠PMF ，∴∠PFM =∠MFH ，∴FM 平分∠OFP ；（3）解：当△FPM 是等边三角形时，∠PMF =60°，∴∠FMH =30°，在Rt △MFH 中，MF =2FH =2×2=4，∵PF =PM =FM ，∴14x 2+1=4，解得：x =±∴14x2=14×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（3）或（﹣3）．。

浙教新版九年级上学期《1.3 二次函数的性质》同步练习卷一．选择题（共12小题）1．已知函数y＝，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0B．1C．2D．32．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝（x＞0）；④y＝x2（x＜﹣1）．其中，y随x的增大而减小的函数是（）A．①②B．①③C．②④D．②③④3．将y＝（2x﹣1）•（x+2）+1化成y＝a（x+m）2+n的形式为（）A．B．C．D．4．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m5．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（）A．t＝0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对6．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是（）A．14B．15C．16D．不能确定7．给出下列命题：①对于实数u，v，定义一种运算“*“为：u*v＝uv+v．若关于x的方程x*（a*x）＝﹣没有实数根，则满足条件的实数a的取值范围是0＜a＜1；②设直线kx+（k+1）y﹣1＝0（k为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k，则S1+S2+S3+…+S2008＝；③函数y＝﹣+的最大值为2；④甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有48种．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．下面说法错误的是（）A．直线y＝x就是一、三象限的角平分线B．函数y＝3x﹣10的图象经过点（3，﹣1）C．函数中y随x的增大而减小D．抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线x＝19．已知：二次函数y＝x2+2x+a（a为大于0的常数），当x＝m时的函数值y1＜0；则当x＝m+2时的函数值y2与0的大小关系为（）A．y2＞0B．y2＜0C．y2＝O D．不能确定10．下列函数：①y＝2x﹣3，②y＝﹣6x，③，④，⑤y＝4x2+2x，其中y随着x的增大而减小有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，它们的图象与任意一条直线x＝a（a是任意实数）交点的个数为（）A．必有一个B．一个或两个C．至少一个D．至多一个12．若二次函数y＝ax2+bx+1的图象与平行于x轴的直线交于二点的横坐标分别为m、n．则：当x＝m+n时，二次函数y的值是（）A．1B．2C．﹣1D．O二．填空题（共12小题）13．已知抛物线y＝x2，过其对称轴上一点P的直线AB交抛物线于A，B两点，且∠AOB＝Rt∠，试写出满足条件的直线AB的解析式（只要写出一个即可）14．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y＝﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．15．若的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为．16．若直线y＝b（b为实数）与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是．17．已知函数y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2在0≤x≤2上有最小值3，则a的值．18．若二次函数y＝x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数y＝的交点是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则正整数a的值是．19．老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象不经过第三象限；乙：函数的图象经过第一象限；丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；丁：当x＜2时，y＞0．已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数．20．已知函数y＝x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，则实数a的值为．21．分式的最小值是．22．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于．23．设a，b满足a2+b2﹣2a﹣4＝0，则2a﹣b的最大值与最小值之差为．24．设x、y、z满足关系式x﹣1＝＝，则x2+y2+z2的最小值为．三．解答题（共3小题）25．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求的最大值．26．当﹣1≤x≤2时，求函数y＝f（x）＝2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．27．求函数y＝2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值．浙教新版九年级上学期《1.3 二次函数的性质》2018年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知函数y＝，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】大致画出两抛物线，注意取值范围，可得到它们的交点为（3，3），所以直线y＝3与两抛物线有三个交点，则得到k＝3．【解答】解：如图，当y＝k成立的x值恰好有三个，即直线y＝k与两抛物线有三个交点，而当x＝3，两函数的函数值都为3，即它们的交点为（3，3），所以k＝3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x ＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．2．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝（x＞0）；④y＝x2（x＜﹣1）．其中，y随x的增大而减小的函数是（）A．①②B．①③C．②④D．②③④【分析】根据正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质解答．【解答】解：①y＝2x，正比例函数，k＞0，故y随着x的增大而增大；②y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小；③y＝（x＞0），反比例函数，k＞0在第一象限内y随x的增大而减小；④y＝x2（x＜﹣1），图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小．故选：D．【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．3．将y＝（2x﹣1）•（x+2）+1化成y＝a（x+m）2+n的形式为（）A．B．C．D．【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝（2x﹣1）（x+2）+1＝2x2+3x﹣1＝2（x2+x+）﹣﹣1＝2（x+）2﹣．故选：C．【点评】考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．4．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m【分析】根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a﹣1＜0，因为当x 是y随x的增大而减小，所以当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．【解答】解：∵对称轴是x＝，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x＝a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x时y随x的增大而减小，当x＝0时函数值是m．因而当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数的对称轴，以及增减性．5．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（）A．t＝0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对【分析】将标准式化为顶点式为y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，由t≤x≤t+2＝﹣（t﹣3）2+2，当x≥3时，y随x的增大而减小，由此即可求出时，y最大值此题．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，y max＝f（3）＝2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，y max＝f（t+2）＝﹣（t﹣1）2+2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≤t，即t≥3时，y max＝f（t）＝﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值，难度较大，关键是判断出当x≥3时，y 随x的增大而减小，由此此解决这类题．6．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是（）A．14B．15C．16D．不能确定【分析】由已知得y2＝﹣2x2+6x，代入x2+y2+2x中，用配方法求最大值．【解答】解：由已知得：y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x，＝﹣x2+8x，＝﹣（x﹣4）2+16，又y2＝﹣2x2+6x≥0，解得：0≤x≤3，∴当x＝3时，y＝0，所以x2+y2+2x的最大值为15．故选：B．【点评】根据已知条件将所求式子消元，转化为二次函数求最大值．关键是根据自变量的取值范围确定式子的最大值．7．给出下列命题：①对于实数u，v，定义一种运算“*“为：u*v＝uv+v．若关于x的方程x*（a*x）＝﹣没有实数根，则满足条件的实数a的取值范围是0＜a＜1；②设直线kx+（k+1）y﹣1＝0（k为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k，则S1+S2+S3+…+S2008＝；③函数y＝﹣+的最大值为2；④甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有48种．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据新定义整理出一元二次方程，然后根据判别式△＜0，方程没有实数根列式得到关于a的不等式，求解不等式即可判断；②求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据直角三角形的面积公式列式得到S k的表达式，然后利用拆项法整理求解；③先配方，再根据二次函数的最值问题求解；④求出每一名同学的可能选修方法的种数，然后相乘即可得解．【解答】解：①根据新定义，x*（a*x）＝x*（ax+x），＝x（ax+x）+（ax+x），＝（a+1）x2+（a+1）x，所以，（a+1）x2+（a+1）x+＝0，∵方程没有实数根，∴△＝（a+1）2﹣4（a+1）×＜0，即a（a+1）＜0，解得﹣1＜a＜0，故本小题错误；②当y＝0时，kx﹣1＝0，解得x＝，当x＝0时，（k+1）y﹣1＝0，解得y＝，所以，与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，），∵k为正整数，∴S k＝××＝＝（﹣），∴S1+S2+S3+…+S2008＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），＝（1﹣），＝×，＝，故本小题正确；③∵y＝﹣+＝﹣（﹣+）+＝﹣（﹣）2+，∴当＝，即x＝时，函数有最大值，故本小题错误；④设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，所以，不同的选修方案共有6×4×4＝96种，故本小题错误；综上所述，真命题有②共1个．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值问题，排列组合，综合性较强，难度较大，对同学们的能力要求比较高．8．下面说法错误的是（）A．直线y＝x就是一、三象限的角平分线B．函数y＝3x﹣10的图象经过点（3，﹣1）C．函数中y随x的增大而减小D．抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线x＝1【分析】根据二次函数、一次函数和反比例函数的性质进行解答，对于反比例函数，首先系数k的正负，然后判断图象所在象限和单调性，判断二次函数的对称轴，要把二次函数化成顶点式的形式进行判断．【解答】解：A、直线y＝x就是一、三象限的角平分线，正确，B、把点（3，﹣1）代入y＝3x﹣10中，式子成立，正确，C、反比例函数系数k＝2，函数图象经过一三象限，在各个象限内，y随x增大而减小，在整个定义域内y不是随x增大而减小，故本选项错误，D、抛物线y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故可得对称轴为x＝1，正确．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数、反比例函数和一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握这些函数的性质，本题是道基础性比较强的习题，同学们做题时需要细心．9．已知：二次函数y＝x2+2x+a（a为大于0的常数），当x＝m时的函数值y1＜0；则当x＝m+2时的函数值y2与0的大小关系为（）A．y2＞0B．y2＜0C．y2＝O D．不能确定【分析】根据抛物线与x轴的交点情况，判断a的取值范围，即0＜a＜1，已知对称轴是x＝﹣1，则﹣2＜m＜0，0＜m+2＜2，可判断当x＝m+2时，函数值y2与0的大小关系为y2＞0．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点∴△＝22﹣4a＞0，即a＜1又a＞0，对称轴为x＝﹣1据题意画草图可知当﹣2＜x＜0时，y＜0而当x＝m时的函数值y1＜0故﹣2＜m＜0则当x＝m+2时，函数值y2与0的大小关系为y2＞0．故选A．【点评】此题采用数形结合思想求解比较简单，此题考查了学生的分析能力．10．下列函数：①y＝2x﹣3，②y＝﹣6x，③，④，⑤y＝4x2+2x，其中y随着x的增大而减小有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据k的取值范围，再确定函数的增减性，据此作答，注意二次函数不是纯粹的增加或减小．【解答】解：①因为k＞0，可知函数随x的增大而增大，此选项错误；②由于k＜0，可知函数随x的增大而减小，此选项正确；③是反比例函数，有两个象限，此选项错误；④是反比例函数，有两个象限，此选项错误；⑤函数是二次函数，故以对称轴为分界线，两边既有增大而减小的，也有增大而增大的，此选项错误．故选：A．【点评】本题考查了一次函数性质、正比例函数性质、反比例函数性质、二次函数性质，解题的关键是掌握有关函数的增减性．11．在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，它们的图象与任意一条直线x＝a（a是任意实数）交点的个数为（）A．必有一个B．一个或两个C．至少一个D．至多一个【分析】根据直线x＝a（a是任意实数）的性质，得出一次函数、反比例函数和二次函数等函数中与它的关系，直接得出答案．【解答】解：∵任意一条直线x＝a（a是任意实数）是平行于y轴的一条直线，∴在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，只有反比例函数与x＝0时，没有交点，其他只有一个交点．∴它们的图象与任意一条直线x＝a交点的个数至多有一个．故选：D．【点评】此题主要考查了函数图象与直线x＝a（a是任意实数）的性质，根据已知得出任意一条直线x＝a（a是任意实数）是平行于y轴的一条直线是解决问题的关键．12．若二次函数y＝ax2+bx+1的图象与平行于x轴的直线交于二点的横坐标分别为m、n．则：当x＝m+n时，二次函数y的值是（）A．1B．2C．﹣1D．O【分析】根据二次函数的对称性用m、n表示出二次函数图象的对称轴，再根据x与y轴关于抛物线对称轴对称可得x＝m+n的函数值与x＝0时的函数值相等，然后求解即可．【解答】解：∵过横坐标分别为m、n的两点的直线与x轴平行，∴m+n＝﹣×2，∴＝﹣，∴＝﹣，即x＝m+n与x＝0关于对称轴对称，∴x＝m+n时，二次函数y的函数值与x＝0时的函数值相等，当x＝0时，y＝a×02+b×0+1＝1，∴当x＝m+n时，二次函数y的值是1．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数的对称性，根据题意用m、n表示出抛物线的对称轴并判断出x＝m+n时的函数值与x＝0时的函数值相等是解题的关键，此题灵活度较高，是难得的好题．二．填空题（共12小题）13．已知抛物线y＝x2，过其对称轴上一点P的直线AB交抛物线于A，B两点，且∠AOB＝Rt∠，试写出满足条件的直线AB的解析式y＝x+2（只要写出一个即可）【分析】设A（x1，x12）、B（x2，x22），根据∠AOB＝Rt∠利用勾股定理可得x1x2＝﹣4，由待定系数法设直线AB解析式为y＝kx+b，则，两式相减可得k＝（x1+x2），，b＝2，可取k＝1，即可得．【解答】解：设A（x1，x12）、B（x2，x22），∵∠AOB＝Rt∠，∴OA2+OB2＝AB2，即x12+x14+x2+x24＝（x1﹣x2）2+（x12﹣x22）2，整理可得x1x2＝﹣4，设直线AB解析式为y＝kx+b，则，两式相减可得k＝（x1+x2），，b＝2，取k＝1，∴y＝x+2，故答案为：y＝x+2【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理、待定系数法求函数解析式．14．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y＝﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为（±，）．【分析】根据反比例函数和一次函数的性质解题．【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b＝①，a+3＝b②，∴ab＝，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝11，a+b＝±，∴y＝﹣x2±x，∴顶点坐标为（＝±，＝），即（±，）．故答案为：（±，）．【点评】主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．解题关键是先求出ab，a+b的值，整体代入求出函数的解析式．15．若的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为．【分析】根据二次根式的性质，可以确定x的取值范围，再将方程两边平方，得出y2的最大值与最小值，从而得出a2+b2的值．【解答】解：由1﹣x≥0，且≥0，得≤x≤1．．由于，所以当时，y2取到最大值1，故a＝1．当或1时，y2取到最小值，故．所以：．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式的应用，将原式平方得出y2的最大值与最小值是解决问题的关键，这种方法经常运用于此类问题的运算．16．若直线y＝b（b为实数）与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0＜b≤1．【分析】先求x2﹣4x+3＝0时x的值，再求x2﹣4x+3＞0和x2﹣4x+3＜0时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的b 的值的范围．【解答】解：∵当x2﹣4x+3＝0时，x＝1或x＝3，∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y＝|x2﹣4x+3|，函数值大于0，当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y＝|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．【点评】本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的b值范围．17．已知函数y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2在0≤x≤2上有最小值3，则a的值1﹣或5+．【分析】分析函数图象的开口方向和对称轴，进而可分析出函数在0≤x≤2上的增减性，结合函数的最小值为3，分类讨论可求出满足条件的a值．【解答】解：配方得y＝4（x﹣）2﹣2a+2，故函数图象开口朝上，且对称轴为x＝．当≤0，即a≤0时，当x＝0时，y＝a2﹣2a+2＝3，解得a＝1﹣或a＝最小值1+（舍）；当0＜＜2，即0＜a＜4时，当x＝时，y＝﹣2a+2＝3，解得a＝﹣（舍）；最小值＝8﹣8a+a2﹣2a+2＝3，当≥2时，当x＝2时，y最小值解得a＝5+．综上所述，a的值是1﹣或5+．故答案是：1﹣或5+．【点评】本题考查的知识点是二次函数在定区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．18．若二次函数y＝x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数y＝的交点是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则正整数a的值是39或12．【分析】先联立两方程，得到关于x的一元二次方程，把此方程分解为两个因式积的形式，再根据一元二次方程根的判别式即可求解．【解答】解：联立方程组，消去y得，x2+（a+17）x+38﹣a＝，即x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56＝0，当x＝1时，x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56＝0，∴式子x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56中含有因式（x﹣1），分解因式得（x﹣1）[x2+（a+18）x+56]＝0，（1）显然x1＝1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点．因为a是正整数，所以关于x的方程x2+（a+18）x+56＝0，（2）其判别式△＝（a+18）2﹣224＞0，它一定有两个不同的实数根．而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式△＝（a+18）2﹣224应该是一个完全平方数．设（a+18）2﹣224＝k2（其中k为非负整数），则（a+18）2﹣k2＝224，即（a+18+k）（a+18﹣k）＝224．显然a+18+k与a+18﹣k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224＝112×2＝56×4＝28×8，所以或或，解得或或．而a是正整数，所以只可能或．故答案为：a＝39或a＝12．【点评】本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数的奇偶性，涉及面较广，难度较大．19．老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象不经过第三象限；乙：函数的图象经过第一象限；丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；丁：当x＜2时，y＞0．已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数y＝（x ﹣2）2（不唯一）．【分析】当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴可以是x＝2，开口向上的二次函数．函数的图象不经过第三象限，经过第一象限，且x＜2时，y＞0，二次函数的顶点可以在x轴上方．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．【解答】解：∵当x＜2时，y随x的增大而减小．当x＜2时，y＞0．∴可以写一个对称轴是x＝2，开口向上的二次函数就可以．∵函数的图象不经过第三象限．∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上方，设顶点是（2，0），并且二次项系数大于0的二次函数，就满足条件．如y＝（x﹣2）2，答案不唯一．故答案为：y＝（x﹣2）2．【点评】解决本题的关键是能够根据图象的特点，得到函数应该满足的条件，转化为函数系数的特点．已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．20．已知函数y＝x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，则实数a的值为2或﹣5．【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，求出其对称轴，再根据二次函数的增减性及题目条件将顶点的横坐标的值分三种情况讨论，从而求出实数a 的值．【解答】解：配方y＝（x+a）2﹣1，函数的对称轴为直线x＝﹣a，顶点坐标为（﹣a，﹣1）．①当0≤﹣a≤3即﹣3≤a≤0时，函数最小值为﹣1，不合题意；②当﹣a＜0即a＞0时，∵当x＝3时，y有最大值；当x＝0时，y有最小值，∴，解得a＝2；③当﹣a＞3即a＜﹣3时，∵当x＝3时，y有最小值；当x＝0时，y有最大值，∴，解得a＝﹣5．∴实数a的值为2或﹣5．故答案为2或﹣5．【点评】本题考查了求二次函数的最大（小）值的方法．注意，只有当自变量x 在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值．而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值．21．分式的最小值是4．【分析】令分式y＝＝6﹣，问题转化为考虑函数z＝x2+2x+2的最小值，然后用配方法即可求解．【解答】解：令y＝＝6﹣，问题转化为考虑函数z＝x2+2x+2的最小值，∵z＝x2+2x+2＝（x+1）2+1∴当x＝﹣1时，z min＝1，∴y min＝6﹣2＝4，即分式分式的最小值是：4．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的最值及分式的化简求值，难度一般，关键是把分式化简后转化为求函数z＝x2+2x+2的最小值．22．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于14或8．【分析】已知了抛物线的顶点到x轴的距离为3，因此抛物线的顶点纵坐标为±3，即＝±3，可据此求出c的值．【解答】解：由题意，得：＝±3，当＝3时，c＝14，当＝﹣3时，c＝8．即c的值为14或8．故答案为：14或8．【点评】顶点到x轴的距离是3，即顶点的纵坐标是3或﹣3，比较容易忽视的﹣3的值．因此要细心求解，不要漏解．23．设a，b满足a2+b2﹣2a﹣4＝0，则2a﹣b的最大值与最小值之差为10．【分析】设t＝2a﹣b，故b＝2a﹣t，把b＝2a﹣t代入a2+b2﹣2a﹣4＝0，化简得到5a2﹣（4t+2）a+t2﹣4＝0，方程有根，利用根的判别式求出t的取值范围，进而求出2a﹣b的最大值与最小值之差．【解答】解：设t＝2a﹣b，故b＝2a﹣t，∵a2+b2﹣2a﹣4＝0，∴a2+4a2﹣4at+t2﹣2a﹣4＝0，即5a2﹣（4t+2）a+t2﹣4＝0，△＝（4t+2）2﹣20（t2﹣4）≥0，解得﹣3≤t≤7，故2a﹣b的最大值与最小值之差为7﹣（﹣3）＝10．故答案为10．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答本题的关键是设t＝2a﹣b，利用一元二次方程根的判别式求出t的最值，此题难度不大．24．设x、y、z满足关系式x﹣1＝＝，则x2+y2+z2的最小值为．【分析】用换元法把x、y、z的值用一个未知数表示出来，再求其最值即可．【解答】解：令x﹣1＝＝＝k，则x＝k+1，y＝2k﹣1，z＝3k+2，于是x2+y2+z2＝（k+1）2+（2k﹣1）2+（3k+2）2，＝k2+2k+1+4k2+1﹣4k+9k2+4+12k＝14k2+10k+6，其最小值为＝＝．【点评】本题考查的是用换元法求二次函数的最值问题，用此类方法可简化计算．三．解答题（共3小题）25．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求的最大值．【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）＝＝（﹣1≤m＜1）．∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△＝b2﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2＝，x1x2＝来化简代数式的值．26．当﹣1≤x≤2时，求函数y＝f（x）＝2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．【分析】先求出抛物线对称轴x＝a，然后分①a≤﹣1，②﹣1＜a＜2，③a≥2三种情况，根据二次函数的增减性解答；然后根据最小值为﹣1，分别代入求解关于a的一元二次方程即可．【解答】解：对称轴x＝﹣＝﹣＝a，①a≤﹣1时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，y最小，最小值y＝2×（﹣1）2﹣4a×（﹣1）+a2+2a+2＝a2+6a+4，②﹣1＜a＜2时，当x＝a时，有最小值，最小值y＝2×a2﹣4a×a+a2+2a+2＝﹣a2+2a+2，③a≥2时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，当x＝2时，y最小，最小值y＝2×22﹣4a×2+a2+2a+2＝a2﹣6a+10，综上所述，a≤﹣1时，最小值为a2+6a+4，﹣1＜a＜2时，最小值为﹣a2+2a+2，a≥2时，最小值为a2﹣6a+10；∵最小值为﹣1，∴a2+6a+4＝﹣1，整理得a2+6a+5＝0，解得a1＝﹣1，a2＝﹣5，﹣a2+2a+2＝﹣1，整理得，a2﹣2a﹣3＝0，解得a3＝﹣1，a4＝3（舍去），a2﹣6a+10＝﹣1，整理得，a2﹣6a+11＝0，△＝（﹣6）2﹣4×1×11＝﹣8＜0，方程无解，综上所述，a的所有可能值为﹣1、﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求解．27．求函数y＝2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值．【分析】先求出抛物线对称轴x＝，然后分①≤0，②0＜＜1，③≥1三种情况，根据二次函数的增减性解答．【解答】解：对称轴x＝﹣＝﹣＝，①≤0，即a≤0时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x＝0时，y最小，最小值y＝2×02﹣a×0+1＝1，②0＜＜1，即0＜a＜4时，当x＝时有最小值，最小值y＝2×（）2﹣a×+1＝1﹣，③≥1，即a≥4时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而减小，当x＝1时，y最小，最小值y＝2×12﹣a×1+1＝3﹣a，综上所述，a≤0时，最小值为1，0＜a＜4时，最小值为1﹣，a≥4时，最小值为3﹣a．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求解．。

13二次函数的性质-培优练习浙教版九年级数学上册（含答案）1.3二次函数的性质一、选择题1．对于二次函数y＝－(某－1)2＋2的图象与性质，以下说法正确的选项是()A．对称轴是直线某＝1，最小值是2B．对称轴是直线某＝1，最大值是2C．对称轴是直线某＝－1，最小值是2D．对称轴是直线某＝－1，最大值是22．如图，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，那么函数值y随自变量某的增大而减小的某的取值范围是()A．某≥3B．某≤3C．某≥1D．某≤13．抛物线y＝a某2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，那么以下关系式一定正确的选项是()A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞04．如图，二次函数y＝－某2＋2某，当－1＜某＜a时，y随某的增大而增大，那么实数a的取值范围是()A．a＞1B．－1＜a≤1C．a＞0D．－1＜a＜25．二次函数y＝a某2＋b某＋c的图象如图K－5－3所示，那么()A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞06、两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，假设，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．7、二次函数y=a某2+b某+c〔a≠0〕的图象如下图，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．ac＞0 B．当某＞1时，y随某的增大而减小C．b﹣2a=0 D．某=3是关于某的方程a某2+b某+c=0〔a≠0〕的一个根二．填空题8．函数y＝－(某－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，那么y1与y2的大小关系是y1____y2(选填“＜”“＞”或“＝”)．9．a，b，c是实数，点A(a＋1，b)，B(a＋2，c)在二次函数y＝某2－2a某＋3的图象上，那么b，c的大小关系是b____c(填“＞”或“＜”)．10．定义：给定关于某的函数y，对于该函数图象上任意两点(某1，y1)，(某2，y2)，当某1＜某2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有____(填上所有正确答案的序号)．①y＝2某；②y＝－某＋1；③y＝某2(某＞0)；④y＝－.11．当某1＝a，某2＝b，某3＝c时，二次函数y＝某2＋m某对应的函数值分别为y1，y2，y3.假设正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a<b<c时，都有y1<y2<y3.那么实数m的取值范围是____．三．解答题12.函数y=某2+b某-1的图象经过点(3, 2)．(1)求这个函数的解析式；(2)当某>0时，求使y≥2的某的取值范围．13.如图，抛物线y=-18某2+b某+c与一次函数y=-12某+6的图象交于A(8, m)和y轴上的同一点B，P是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)求出抛物线顶点P的坐标及S△APB．14.如图，二次函数y=a某2+b某+c的图象过点A(-1, 0)和点C(0, 3)，对称轴为直线某=1．(1)求该二次函数的关系式和顶点坐标；(2)结合图象，解答以下问题：①当-1<某<2时，求函数y的取值范围．②当y<3时，求某的取值范围．15.抛物线的顶点是C(0，a)〔a>0，a为常数〕，并经过点(2a，2a)，点D(0，2a)为一定点．(1)求含有常数a的抛物线的解析式；(2)设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥某轴，垂足是H，求证：PD＝PH；(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点．假设DA＝2DB，且S△ABD＝4，求a的值．1．[解析]B 二次函数y＝－(某－1)2＋2的图象的对称轴是直线某＝1.∵－1<0，∴抛物线的开口向下，有最大值，最大值是 2.2．[解析]C 因为图象开口向下，顶点的横坐标为1，所以当某≥1时，y随某的增大而减小．应选C.3．[解析]C ∵a>0，∴抛物线y＝a某2的开口向上，对称轴为y轴，点A(－2，y1)在对称轴的左侧，点B(1，y2)在对称轴的右侧，点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1>y2>0.应选C.4．[答案]B5．[答案]B6.B7.D8【解析】∵二次项系数为－1，小于0，∴在对称轴某＝1的左侧，y随某的增大而增大；在对称轴某＝1的右侧，y随某的增大而减小，∵a＞2＞1，∴y1＞y2.9.＜【解析】由题意知函数图象的对称轴为－＝a，又∵图象开口向上，∴对称轴右侧的函数值随自变量增大而增大，又∵a＋2＞a＋1，∴c＞b.10.①③【解析】y＝－在每个象限是增函数，但当某1＜0＜某2时，y1＞y2，∴④不是增函数．综上所述，①③是增函数．11.m>－12.解：(1)∵函数y=某2+b某-1的图象经过点(3, 2)，∴9+3b-1=2，解得：b=-2，那么函数解析式为y=某2-2某-1；(2)当某=3时，y=2，根据二次函数性质当某≥3时，y≥2，那么当某>0时，使y≥2的某的取值范围是某≥3．13.解：(1)由直线y=-12某+6过点A(8, m)和y轴上的点B，知当某=8时，m=-12某8+6=2，当某=0时，y=6，故点A坐标为(8, 2)，点B坐标为(0, 6)，根据题意，将A坐标(8, 2)，点B坐标(0, 6)代入y=-18某2+b某+c得：-8+8b+c=2c=6，解得：b=12c=6，故抛物线的解析式为：y=-18某2+12某+6；(2)将抛物线y=-18某2+12某+6配方得：y=-18(某-2)2+132，那么顶点P的坐标为(2, 132)，过点P作PN⊥y轴，过点A作AM⊥y轴于点M，那么S△ABP=S梯形APNM-S△A BM-S△PBN=12某(2+8)某(132-2)-12某8某4-12某2某(132-6)=6．14.解：(1)根据题意得a-b+c=0c=3-b2a=1，解得a=-1b=2c=3，所以二次函数关系式为y=-某2+2某+3，因为y=-(某-1)2+4，所以抛物线的顶点坐标为(1, 4)；(2)①当某=-1时，y=0；某=2时，y=3；而抛物线的顶点坐标为(1, 4)，且开口向下，所以当-1<某<2时，0<y≤4；②当y=3时，-某2+2某+3=3，解得某=0或2，所以当y<3时，某<0或某>2．15.(1)(2)略(3)a＝2。

初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质同步练习一、单选题（共12题；共24分）1.已知二次函数y＝﹣+2x+3，则该函数的最大值为（）A. ﹣2B. 2C. ﹣3D. 52.某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800,则利润获得最多为( )A. 15元B. 400元C. 800元D. 1250元3.把一个小球以20米/秒的速度竖起向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t －5t ，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）A. 1秒B. 2秒C. 4秒D. 20秒4.已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示：那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（）A. （1，4）B. （2，0）C. （3，0）D. （4，0）5.已知抛物线(m是常数)，点A( ，)，B( ，)在抛物线上，若，，则m，y1，y2的大小关系的是（）A. B. C. D.6.对于二次函数，下列说法正确的是（）A. 当，随的增大而增大B. 当时，有最大值C. 图象的顶点坐标为D. 图象与轴有一个交点7.已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（）A. 9B. 8C. 1D.8.在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知二次函数(其中是自变量)，当x≥2时，随的增大而增大，且−2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A. 1或-2B.C. 或D. 110.已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），则代数式mn+1有（）A. 最小值-3B. 最小值3C. 最大值-3D. 最大值311.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A. B. 或 C. 2或 D. 2或或12.已知点（x0，y0）是二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的一个点，且x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项正确的是（）A. 对于任意实数x都有y≥y0B. 对于任意实数x都有y≤y0C. 对于任意实数x都有y＞y0D. 对于任意实数x都有y＜y0二、填空题（共6题；共8分）13.已知二次函数，当0≤x≤4，y的最小值是________,最大值是________.14.如果点A(－2，y1)和点B(2，y2)是抛物线y＝(x＋3)2上的两点，那么y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)．15.二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法：①抛物线的开口向下；②当x＞－3时，y随x的增大而增大；③二次函数的最小值是－2；④抛物线的对称轴是x＝－2.5.其中正确的是________.（填序号）16.对于实数，，，表示，两数中较小的数，如，.若关于的函数，的图象关于直线对称，则的取值范围是________，对应的值是________.17.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而减小，且-4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为________18.已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当1≤x≤5时，如果y在x＝1时取得最小值，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（共3题；共35分）19.抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且，求点A、B的坐标．20.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1,0)和点C(0,3)，对称轴为直线x=1.（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；（2）结合图象，解答下列问题：①当−1<x<2时，求函数y的取值范围。