浙江新昌中学.浦江中学.富阳中学2019届高三三校联考数学试题

12019－2020学年第一学期半期考试三校联考高三理科数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CADBDBCCCDAA二、填空题（每小题5分，共20分）13.-2；14.31；15.17-；16.①③⑤.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）xbax x f +='2)(由题意⎪⎩⎪⎨⎧='=,0)1(,21)1(f f ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+⇒,02,2101ln b a a b a ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒121b a ；………..............................5分（Ⅱ）函数定义域为),0(+∞（写x >0也可以得分）………...................................…6分令010)(>-⇒>'x x x f 102>⇒>-⇒x x x ，∴单增区间为),1(+∞；...........8分令010)(<-⇒<'xx x f 1002<<⇒<-⇒x x x ，∴单减区间为)1,0(.….........10分18.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A BB A -=．…..........1分即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=，…..............................................................................................3分…..............................................................................................4分又因为()0,πA ∈，…...........................................................................................................5分…......................................................................................................................6分2（Ⅱ）在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，….........................................................................................7分即2160c--=．…....................................................................................................8分解得c =-c =….............................................................................10分所以122422S =⨯⨯=．….................................................................................12分19.（本小题满分12分）（Ⅱ）13n n b n -=⋅…..............................................................7分0111323...3n n T n -=⨯+⨯++⨯①….................8分11313...(1)33n nn T n n -=⨯++-⨯+⨯②….....................9分①－②得：1213...33n nn T n --=+++-⨯13113()3222n n n n n -=-⨯=---….......11分11(244n n n T ∴=-+.…......................................................12分320.（本小题满分12分）【解析】若命题p 为真，则m m m m +-≤-+-22222，12022≤≤-⇒≤-+⇒m m m …..........................................................................................2分所以若命题p 为假，则1>m 或2-<m …..............................................................................3分若命题q 为真，则0≤m …........................................................................................................5分所以若命题q 为假，0>m …....................................................................................................6分由题意知：q p ,两个命题一真一假，即p 真q 假或p 假q 真…..........................................8分所以⎩⎨⎧>≤≤-012m m 或⎩⎨⎧≤-<>021m m m 或….................................................................................10分所以10≤<m 或2-<m .…....................................................................................................12分21.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由题意知41cos )cos 21sin 23(cos )(2+-+⋅=x x x x x f 41)2cos 1(412sin 4341cos 21cos sin 232++-=+-⋅=x x x x x 62sin(21cos 412sin 43π-=-=x x x …...............................................................................4分∴)(x f 的最小正周期ππ==22T …......................................................................................6分（Ⅱ） 62sin(21)(π-=x x f ，∴4,4[ππ-∈x 时，2,2[2ππ-∈x ∴3,32[62πππ-∈-x ，…………8分∴当22[,]632x πππ-∈--时，即[,]46x ππ∈--时，()f x 单调递减；…......................10分当2[,]623x πππ-∈-时，即[,]64x ππ∈-时，()f x 单调递增..…..................................12分422.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）23()2,(0)x p x e x x '=->，由223[()]'40x p x e x'=+>，可知'()p x 在[1,2]内单调递增，…............................................................................................................................2分2()(1)230p x p e ''≥=->，故)(x p 单调递增.…..............................................................3分)(x p ∴在]2,1[上的最大值为.4(2)3ln 2p e =-…..............................................................4分（Ⅱ）)0(,ln 4)()()(>--=+=x x xmmx x p x h x f ，22244)(xmx mx x x m m x f +-=-+='，由题意知：042=+-m x mx 在)2,0(有两个变号零点，即214xxm +=在)2,0(有两个变号零点….............................................................................6分令214)(x xx g +=，222222)1(44)1(24)1(4)(x x x x x x x g ++-=+⋅-+='，令10)(=⇒='x x g ，且)1,0(∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；)2,1(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减，….....................................................................7分又58)2(,2)1(,0)0(===g g g ，)2,58(∈∴m …................................................................8分（III ）x e x e x e x m mx x xln 3ln 222+-=--- 22ln 4)1(e x x x m +=-∴（ⅰ）1=x 时,20e =不成立；….....................................................................................9分（ⅱ）],1(e x ∈时,1ln 422-+=x e x x m ，设1ln 4)(22-+=x e x x x r ，5()()222222222212ln 844ln 4ln 412)ln 4()1)(1(ln 4)(----+-=-⋅+--+='xxe x x x x x x xxe x x x x x r ()22222142ln 4ln 44-----=xx e x x x x ()22221)4ln 4ln 4()24(-++--=xx x x e x x 0242422<-≤-e e e x 0)(<'∴x r ，)(x r 在],1(e 在上为单调递减；14)(22-+=e e e e r 当1→x 时，+∞→)(x r 时),14[)(22+∞-+∈∴e e e x r ),14[22+∞-+∈∴e e e m …..........................................................................................................12分X 1.c o m。

2019高三数学三校联考试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】求解一元二次不等式可得：，求解指数不等式可得：，据此可得：，本题选择D选项.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】由题意可得：，则.本题选择A选项.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】由题意可得：，则：，结合同角三角函数基本关系可得：.本题选择B选项.点睛：同角三角函数基本关系式的应用：(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知圆（），当变化时，圆上的点与原点的最短距离是双曲线（）的离心率，则双曲线的渐近线为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆E的圆心到原点的距离，据此可得，当m=4时，圆上的点与原点的最短距离是，即双曲线的离心率为，据此可得：，双曲线（）的渐近线为.本题选择C选项.6. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：.本题选择B选项.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即时推出循环，则①中应填.本题选择C选项.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用奇函数的性质可得：，即当时，函数的解析式为：，令，由函数的奇偶性的定义可得函数g(x)是定义域内的偶函数，且：，，即函数在区间上单调递减，且：，结合函数的单调性可得：.本题选择C选项.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为：.本题选择D选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10. 已知函数（）的部分图象如图所示，其中.即命题，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】C【解析】由可得：，解得：，结合可得：，结合可得：，函数的解析式为：，则命题p是真命题.将函数的图像上所有的点向右平移个单位，所得函数的解析式为：的图像，即命题q为假命题，则为假命题；为真命题；为真命题；为假命题.本题选择C选项.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线方程中：令可得，即，结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，据此可得：，且：，将代入可得，故，故,故△ABM的周长为,本题选择D选项.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A. B. 49 C. D.【答案】C【解析】当时，，解得：或(舍去)，且：，两式作差可得：，整理可得：，结合数列为正项数列可得：,数列是首项为3，公比为3的等差数列，，则：，据此裂项求和有：结合恒成立的条件可得：.本题选择C选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________.【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 在的展开式中，含项的为，的展开式中含项的为，则的最大值为__________.【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则，结合排列组合的性质可知，由，当且仅当时等号成立.综上可得：的最大值为.....................................(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15. 已知满足其中，若的最大值与最小值分别为1，，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由两两垂直，可知为和的斜边，故点到点的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由.得，解得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，，设函数.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.（1）若，求函数的值域；（2）已知分别为中角的对边，且满足，，，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合题意可得..结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域是；(2)由题意得到三角方程：.据此可得，然后利用余弦定理求得.最后利用面积公式可得的面积是.试题解析：（1）由题意，得.所以.因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.（2）因为，所以.因为，所以.所以，解得.所以.又，且，，所以.所以的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)当时，平面.证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.(2)①；②；.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为点，其离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数（），其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性及极值；（2）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得导函数的解析式，分类讨论可得：当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）分类讨论：当时，明显成立；当时，由（1），知在内单调递增，此时利用反证法可证得结论；当时，构造新函数，结合函数的单调性即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即时，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得极小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）当时，成立.当时，由（1），知在内单调递增，令为和中较小的数，所以，且，则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为，结合三角函数的性质可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.(2)原问题等价于对，有恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是. 试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)将函数的解析式写成分段函数的形式，然后分类讨论可得不等式的解集为；(2)利用绝对值不等式的性质可得，g(x)的值域为.然后结合恒成立的条件即可证得题中的不等式. 试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2）当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于.∵，∴，.∴.∴.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2019学年第一学期期中考试高三（理）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.第 Ⅰ 卷 （选择题 共50分）注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. =︒330tan (A) 3 (B)3- (C)33 (D) 33-2.函数f (xlg(1)x -的定义域是(A ) [-1,4] (B ) [1,4] （C ） (1, 4] （D ）（-1, 4]3. 若b a ,为实数，则“1≤+b a ”是“21≤a 且21≤b ”的 (A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4. 函数)1ln()(xx x f -=的图象是5．已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则=α2sin (B)(C) (D)(A)(A) 2524- (B)2524(C) 257-(D) 2576. 在△ABC 中，点M 满足0=++MC MB MA ，若 0=++AM m AC AB ，则实数m 的值是 (A) 3 (B) 23 (C) 23- (D)3-7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且224,6a S ==，则64n nS a +的最小值是 (A) 7 (B)152(C) 8(D)1728. 若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+0033022m y x y x y x ，且x y +的最小值为1-，则实数m 的值是（A ）0 （B ）1- （C ）1 （D ）29．函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下：1(),()0(),M x M f x x M ∈⎧=⎨∉⎩（其中M 为非空数集且R M ⊆），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足AB =∅，则函数()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++的值域为(A) ∅ (B) {12} (C) {1} (D) {12,1}10．将函数1y =[])20(，∈x 图像绕原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值是(A)6π(B)4π (C)3π (D)2π第 Ⅱ 卷 （非选择题 共100分）注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.公差为1的等差数列{}n a 满足2469a a a ++=，则579a a a ++的值等于 ▲ ．12.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则实数k = ▲ .13．在直角三角形ABC 中，，1,==⊥AC AB AC ABDC BD21=，则⋅的值等于 ▲ ． 14．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如右图所示，则(0)f 的值是 ▲ .15.圆014222=+-++y x y x 关于直线 ),(022R b a by ax ∈=+-对称，则b a ⋅的取值范围 是_ __ ▲ ____ .16.等比数列{}n a 中，120121,9a a ==，函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+，则曲线()y f x = 在点(0,(0))f 处的切线方程为 ___ ▲ _____ .17.函数y ＝11－x 的图象与函数2sin y x π= (24x -≤≤)的图象所有交点的横坐标之和等于 ▲ .三、解答题：本大题共5小题．共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin cos b A B =． (Ⅰ)求角B 的值； (Ⅱ)若cos 2A =sin C 的值．19.（本题满分14分） 函数22x y -=和213y x =的图象如图所示，其 中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数数值相等，且1230x x x <<<，o 为坐标原点．(Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列三个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，22x -<213x ； ②2(1,2)x ∈；③3(4,5)x ∉， 请你选择两个结论判定其是否 成立，并说明理由．20. (本题满分14分)已知数列}{n a ，}{n b 满足：291=a ，n n n a a 2621⋅=-+, 12+-=n n n ab (∈n N *)． (Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有nn n b m T S ≤，求实数m 的最小值．21．(本题满分15分) 已知二次函数)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-．(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)设()()()1g x f x m f x =--+，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围；22．(本题满分15分)已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小值为1，当[0,)x ∈+∞时，()xf x ae =．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤．(注:e 为自然对数的底数)第19题图高三数学（理科）参考答案18. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin cos b A B =． (Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)若cos2A =sin C 的值．解：(Ⅰ)由正弦定理BbA a sin sin =及已知条件sin cos b AB 得…………………2分 B A A B cos sin 3sin sin =,………………………………………………4分 又因为0sin ≠A ,所以B B cos 3sin =，即3tan =B ，……………………6分又),0(π∈B ,所以3π=B ;…………………………………………………7分(Ⅱ)因为cos2A =5312cos2cos 2=-=A A ,………………………9分 又),0(π∈A ,所以54sin =A ，由(Ⅰ)知32π=+C A ，………………………11分 所以10334sin 32cos cos 32sin )32sin(sin +=-=-=A A A C πππ.…………14分 19．函数22x y -=和213y x =的图象如图所示，其 中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数数值相等，且1230x x x <<<，o 为坐标原点． (Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列三个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，22x -<213x ； ②2(1,2)x ∈；③3(4,5)x ∉， 请你选择两个结论判定其是否 成立，并说明理由．解：（Ⅰ）1C 为213y x =，2C 为22x y -=； ………………………………………5分 （Ⅱ）结论①成立，理由如下：函数22x y -=在(,1]-∞-上是增函数，∴(,1)x ∈-∞-时，2121228x ---<=.又函数213y x =在(,1]-∞-上是减函数， ∴(,1)x ∈-∞-时，22111(1)333x >⨯-=而1183<，所以当(,1)x ∈-∞-时，22123x x -<；结论②成立，理由如下： 构造函数221()23x f x x -=-， 则11(1)0,(2)063f f =>=-< ∴()f x 在区间(1,2)内有零点.同理()f x 在区间（5，6）内有零点，由题意∴2(1,2)x ∈ ；3(5,6)x ∈. 结论③成立，理由同② …………………………………14分 20．已知数列}{n a ，}{n b 满足：291=a ，n n n a a 2621⋅=-+, 12+-=n n n ab (∈n N *)． (Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有nn n b m T S ≤，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）由已知得 1212)2(2+++-=-n n n n a a ，……………………………2分所以n n b b 211=+， 因为211=b ，所以}{n b 为等比数列. ………………………………………4分所以n n b )21(=， ……………………………………………6分进而n n n a )21(21+=+. ……………………………………………7分（Ⅱ）1211422121)2121()222(2132+--=++++++++=++n n n n n nn T S 124+⋅=n ……………………………10分则n n n m 21421)124(+=+⋅≥对任意的∈n N *成立． ……………………12分 所以数列}214{n +是递减数列，所以29)214(max =+n所以m 的最小值为29． ……………………………………………………14分 21. 已知二次函数)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-． (Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)设()()()1g x f x m f x =--+，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围； 解: （Ⅰ） 由题意设)2()(+=x ax x f ，…………………………………………3分 ∵ )(x f 的最小值为1-，∴ 0>a ，且1)1(-=-f ，∴ 1=a ，∴ x x x f 2)(2+= . ………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵ 1)1(2)1()(2++--=x m x m x g ， ………………………………8分 ① 当1=m 时，14)(+-=x x g 在[-1, 1]上是减函数，∴ 1=m 符合题意. ……………………………………………………10分② 当1≠m 时，对称轴方程为：mmx -+=11， ⅰ）当01>-m ，即 1<m 时，抛物线开口向上，由111≥-+mm， 得 m m -≥+11 ， ∴ 10<≤m ；……12分 ⅱ）当01<-m ， 即 1>m 时，抛物线开口向下，由111-≤-+mm，得 m m +-≥+11， ∴1>m . ……14分 综上知，实数m 的取值范围为[)∞+,0．………………………………15分22. 已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小值为1，当[0,)x ∈+∞时，()xf x ae =．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤．(注:e 为自然对数的底数)解：（Ⅰ）因为()xf x ae =为单调函数，故(0)1f =，得1a =, ………………2分当0x <时，0x ->，则()()3xf x f x e -=-=综上：,0(),0x x e x f x e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ; …………………………………5分（Ⅱ）因为任意[1,]x m ∈，都有()f x t ex +≤ 故(1)f t e +≤且()f m t em +≤当10t +≥时，1te e +≤，从而11t +≤，10t ∴-≤≤ 当10t +<时，(1)t ee -+≤，从而(1)1t -+≤，21t ∴-≤<- 综上20t -≤≤2m ≥，故0m t +> 故()f m t em +≤得：m teem +≤ 即存在[2,0]t ∈-，满足tmem e e ≤2min {}t m eme e e-∴≥=，即30m e e m -≤ 令3()xg x e e x =-，[2,)x ∈+∞，则3'()xg x e e =- 当(2,3)x ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减 当(3,)x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增又3(3)20g e =-<，3(2)0g e =-<，3(4)(4)0g e e =-<，32(5)(4)0g e e =-> 由此可见，方程()0g x =在区间[2,)+∞上有唯一解0(4,5)m ∈， 且当0[2,]x m ∈时()0g x ≤，当0[,)x m ∈+∞时()0g x ≥m Z ∈，故max 4m =，此时2t =-. ………………………………12分下面证明：|2|(2)x f x e ex --=≤对任意[1,4]x ∈恒成立①当[1,2]x ∈时，即2xeex -≤，等价于x e xe ≤[1,2]x ∈，,1x e e x ∴≥≥，x xe e ≥②当[2,4]x ∈时，即2x eex -≤，等价于3max {}0x e x --≤令3()x h x e x -=-，则3'()1x h x e -=-()h x ∴在(2,3)上递减，在(3,4)上递增max max{(2),(4)}h h h ∴=而1(2)20,(4)40h h e e=-<=-< 综上所述，(2)f x ex -≤对任意[1,4]x ∈恒成立. …………………15分。

浙江省三校2019届高三数学5月份第二次联考试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}0,1U x x A x x =≥=≥，则U C A ＝( ) A. ∅B. {}1x x <C. {}01x x ≤<D.{}0x x ≥【答案】C 【解析】 【分析】由补集的定义计算即可.【详解】由{}|0U x x =≥，{|1}A x x =≥，可得{}|01U C A x x =≤<.故选C. 【点睛】本题主要考查补集的计算.2.双曲线2214y x -=的焦距是（ ）B. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该双曲线的焦点在y 轴，利用222c a b =+可求得双曲线的焦距.【详解】双曲线22221y x a b-=的焦距为2c ===故选D.【点睛】双曲线中222c a b =+，椭圆中222c a b =-，要注意区别并判断焦点在x 轴上还是在y 轴上.3.已知i 是虚数单位，则复数2ii+的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 将i2+i的分子分母同乘以2i -，化成()i ,a b a b R +∈的形式，其共轭复数i a b -对应的点为(),a b -.【详解】()()()i 2-i i 12==+i 2+i 2+i 2-i 55,其共轭复数为12i 55-，对应的点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限.故选D.【点睛】将分式形式复数的分子分母同乘以分母的共轭复数，可以化得()i ,a b a b R +∈的形式.4.已知实数,x y 满足()()201x y x y x ⎧-+≥⎨≥⎩，则2x y -（ ）A. 有最小值，无最大值B. 有最大值，无最小值C. 有最小值，也有最大值D. 无最小值，也无最大值【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，设2x y z -=，则2y x z =-，平移直线2y x z =-可得z 是否能取得最大值和最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.设2x y z -=，则2y x z =-，z 表示直线在y 轴上的截距的相反数.平移直线2y x z =-，可得当直线过点A 时z 取得最小值，z 没有最大值.故选A.【点睛】本题考查线性规划问题，解题关键是作出不等式组表示的平面区域并弄清目标函数的几何意义.5.已知平面,αβ，直线,m n ，若αβ⊥，l αβ=I ，,m n αβ⊂⊂，则“m n ⊥”是“,m n中至少有一条与l 垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可.【详解】先判断充分性，当m n ⊥时，假设,m n 都不与l 垂直. 在平面α内作l 的垂线m '，由αβ⊥可得m β'⊥，则m n '⊥. 由m l '⊥，m 不垂直于l 可得m '与m 相交. 由m n '⊥，m n ⊥可得n α⊥.所以n l ⊥，矛盾.所以当m n ⊥时，可以推出,m n 中至少有一条与l 垂直，即充分性成立. 再判断必要性，当,m n 中至少有一条与l 垂直时，不妨设m l ⊥， 由αβ⊥可得m β⊥，所以m n ⊥，即必要性成立.综上所述，“m n ⊥”是“,m n 中至少有一条与l 垂直”的充要条件.故选C. 【点睛】要判断p 是q 的什么条件，就是要判断命题p q ⇒，q q ⇒是否成立.6.已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则E ξ=（ ） A.145B.135C.73D. 83【答案】A 【解析】 【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122i i E p p p ξξξξ=+++L L +可求得数学期望.【详解】ξ的可能取值为2,3,4.2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故()33925525P ξ==⨯=. 3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故()3223123555525P ξ==⨯+⨯=.4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故()22445525P ξ==⨯=.所以9124142342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=.故选A. 【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布(),B n p ，也可以直接利用公式E np ξ=求期望.7.已知()()22log 2log 11a b -+-≥，则2a b +取到最小值时，ab = A. 3 B. 4 C. 6 D. 9【答案】D 【解析】 分析】由()()22log 2log 11a b -+-≥，可得()()212a b --≥.()()22215a b a b +=-+-+,可利用基本不等式求得最小值，利用取等的条件可得ab 的值.【详解】由()()22log 2log 11a b -+-≥，可得20a ->，10b ->且()()212a b --≥. 所以()()()()222152221522259a b a b a b +=-+-+≥--+≥⨯+=， 当()221a b -=-且()()212a b --=时等号成立，解得3a b ==. 所以2a b +取到最小值时339ab =⨯=.故选D.【点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.8.已知正三棱锥P ABC -（底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形的中心），直线//BC 平面α，,,E F G 分别是棱,,PA AB PB 上一点（除端点），将正三棱锥P ABC -绕直线BC 旋转一周，则能与平面α所成的角取遍区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，一切值的直线可能是（ ）A. EFB. FGC. EGD.,,EF FG EG 中的任意一条【答案】B 【解析】 【分析】能取遍区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，一切值，可以先考虑0和π2等特殊值，对选项中涉及的三条直线进行验证排除可得正确答案.【详解】假设EF 满足题意，当EF 与平面α所成的角为π2时， EF α⊥，由BC αP 可得BC EF ⊥.在正三棱锥中，可得BC AP ⊥，当BC EF ⊥时可得BC PAB ⊥平面，显然这是不可能成立的，所以EF 不满足题意.同理，EG 与BC 不可能垂直，则EG 与平面α所成的角不可能为π2. 综上所述，可以排除A,C,D ，故选B.【点睛】本题考查立体图形中的位置关系，选择题可适当利用特殊值、排除法等解题技巧.9.已知平面向量,a b r r 不共线，且1a =r ，1a b ⋅=r r ，记b r 与2a b +r r 的夹角是θ，则θ最大时，a b -=rr （ ）A. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】把cos θ表示为|b|r 的函数，利用函数的性质求出当θ最大时|b|r 的值，进而可求出|a-b|r r的值.【详解】设|b|=x r ，则()22·22?2b a b a b b x +=+=+r r r r r r，|2+a b =r r 所以()2·2cos 2b a b b a b θ+==+r r r r r r 易得cos 0θ>，()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x x x θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭， 当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值，此时|a b -==r r 故选C.【点睛】本题考查平面向量的有关计算，利用函数的思想求最值是一种常见思路.10.已知数列{}n a 满足()2*110,n n n a a a a ta n N+=>=-+∈，若存在实数t ，使{}na 单调递增，则a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,4【答案】A【解析】 【分析】由{}n a 单调递增，可得1n n a a +>恒成立，则1n t a >+*()n N ∈，分析11t a >+和21t a >+可排除错误选项.【详解】由{}n a 单调递增，可得21n n n n a a ta a +=-+>，由10a a =>，可得0n a >，所以1n t a >+*()n N ∈.1n =时，可得1t a >+.①2n =时，可得21t a ta >-++，即()()()111a t a a -<+-.②若1a =，②式不成立，不合题意；若1a >，②式等价为1t a <+，与①式矛盾，不合题意. 排除B,C,D,故选A.【点睛】本题考查数列的性质，结合不等式的性质求解.二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每题6分，第15-17题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文． 【答案】6 【解析】 【分析】设肉价是每两x 文，根据题意列出方程可解得答案.【详解】设肉价是每两x 文，由题意得1630818x x -=+，解得6x =，即肉价是每两6文. 【点睛】本题考查中国古代著作中的数学问题，属数学文化，正确地理解题意是解题关键.12.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长的棱长是__________cm ，体积等于__________3 cm ．【答案】 (1). 41 (2). 20 【解析】 【分析】由三视图得出该几何体的直观图，进而可求最长棱长和体积.【详解】由三视图可得该几何体是截长方体得到的四棱锥11A BDD B -, 其中，最长的棱长是2214541AB =+=，体积111111111221=43520332ABD A B D A A B D ABD A B D V V V V ----==⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查由几何体的三视图求棱长和体积，借助长方体得出多面体的直观图是一种常见方法.13.在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，2c =，3A π=，则sin a C =__________．+a b 的取值范围是__________．【答案】331,423+【解析】 【分析】由正弦定理可得sin a C 的值.由正弦定理可以把+a b 表示为角C 的函数，由锐角三角形得出角C 的取值范围，进而可得+a b 的取值范围. 【详解】由正弦定理，可得sin sin a cA C =，则πsin sin 2sin 3a C c A ===. 由sin sin sin abc A B C ==，可得sin sin sin c A a C C==，2π2sin sin 3sin sin C c B b CC⎛⎫- ⎪⎝⎭== ，所以)21cos 2111sin 2sin cos tan 222CC a b C C C ++==+=+=+.由ABC △是锐角三角形，可得π02C <<，2ππ032C <-<，则ππ62C <<， 所以ππ124C <<，2tan 12C<.所以11a b <+<+【点睛】本题考查正弦定理，综合运用三角恒等变换知识是解题关键.14.已知二项式2nx ⎛ ⎝的展开式中，第5项是常数项，则n =__________．二项式系数最大的项的系数是__________． 【答案】 (1). 6 (2). 160 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项1r T +，由第5项41T +是常数项可求得6n =. 二项式系数6C r当3r =时最大，代入通项，可得相应项的系数.【详解】二项式2n x ⎛ ⎝展开式的通项为()321C 22C rn r n r r n r r r n n T x x ---+==，因为第5项是常数项，所以3402n -⨯=，即6n =.当3r =时，二项式系数6C r最大，故二项式系数最大的项的系数是63362C 160-=.【点睛】二项式()na b +的展开式的第1r +项为1C r n r rr n T a b -+=，准确利用通项是解决二项式定理相关问题的关键.15.定义{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知函数()(){}2max ,1f x x x b =--+，b ∈R ,()11f >，则b 的取值范围是__________，若()2f x =有四个不同的实根，则b 的取值范围是__________．【答案】 (1). ()1,+∞ (2). ()2,3 【解析】 【分析】由题意得()1max{1,}f b =，由()11f >可得b 的取值范围.若()2f x =有四个不同的实根，则()f x 的图象与直线2y =有四个交点，结合函数图象求解即可.【详解】由题意得()1max{1,}f b =，当1b ≤时，()11f =，当1b >时，()11f b =>，故b 的取值范围是()1,+∞.如图所示，()1,A b ,令()21x b x --+=，解得1432b x ±-=，则143143,b b B ⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭. 若()2f x =有四个不同的实根，则1432b b +-<<，解得23b <<，即()2,3b ∈.【点睛】本题考查函数与方程的综合问题，画出函数图象，利用数形结合的思想求解.16.某超市内一排共有6个收费通道，每个通道处有1号，2号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的3处通道，要求3处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有__________种． 【答案】108 【解析】 【分析】先选择通道，再考虑每个通道处收费点的开通方式，利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】设6个收费通道依次编号为1,2,3,4,5,6，从中选择3个互不相邻的通道，有135,136,146,246共4种不同的选法.对于每个通道，至少开通一个收费点，即可以开通1号收费点，开通2号收费点，同时开通两个收费点，共3种不同的安排方式. 由分步乘法计数原理，可得超市选择收费的安排方式共有343108⨯=种. 【点睛】本题考查计数原理，利用分步乘法计数原理和枚举法求解.17.已知抛物线24y x =，过点()1,2A 作直线l 交抛物线于另一点B ，Q 是线段AB 的中点，过Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足QC CP =，则OP 的最小值是__________． 【答案】2【解析】 【分析】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意逐步表示出点,,Q C P 坐标，于是可以表示出||OP 并求得其最小值.【详解】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为()1,2A ，Q 是AB 的中点，所以242,82b b Q ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.所以直线1l 的方程为22b y +=.代入24y x =，可得()222,162b b C ⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭. 因为QC CP =u u u r u u u r ，所以点C 为PQ 的中点，可得2,22b b P +⎛⎫⎪⎝⎭.所以()()2222211||14422b b OP b +=+=++.所以当1b =-时，2||OP 取得最小值12，即||OP 的最小值为2. 【点睛】本题考查抛物线的基本问题，设出坐标表示出目标函数，利用函数求最值.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.已知函数()()1cos sin cos .2f x x x x =+- （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若()6f α=，3,88ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos2α的值.【答案】（Ⅰ）()3,88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；【解析】 【分析】把函数化成()()sin ωφf x A x B =++的形式再求解即可. 【详解】（Ⅰ）()11cos21sin2222x f x x +=+-24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由222242k x k πππππ-+≤+≤+，得 函数()f x 的单调增区间是3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈).（Ⅱ）由()f α=，得1sin 243πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为3,88παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2,42ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以22cos 243πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以24cos2cos 2.446ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【点睛】本题考查三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题.19.如图，在三棱锥P ABC -中，G 是棱PA 的中点，PC AC ⊥，且2PB AB AC BC ====, 1.PC =（Ⅰ）求证：直线BG ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角P AC B --的正弦值. 【答案】33【解析】 【分析】(Ⅰ)先证明BG 与平面PAC 内的两条相交直线,PA CG 都垂直.(Ⅱ)过点G 作GQ AC ⊥于点Q ，证GQB ∠是所求二面角，在三角形中求之即可. 【详解】（Ⅰ）连接CG ，因为BP BA =，所以BG PA ⊥. 由已知得152CG PA ==11BG = 所以222BG CG BC +=，所以BG CG ⊥， 又PA CG G ⋂=，所以BG ⊥平面.PAC（Ⅱ）过点G 作GQ AC ⊥，垂足是Q ， 因为G 是棱PA 的中点，PC AC ⊥， 所以点Q 是AC 的中点. 连接BQ ，所以BQ AC ⊥.所以GQB ∠就是二面角P AC B --的平面角. 由（Ⅰ）知BG ⊥平面PAC ，所以BG GQ ⊥.因为11BG =1122GQ PC ==，所以3BQ =所以33sin 6GB GQB BQ ∠==, 即二面角P AC B --的正弦值为336. 【点睛】本题考查线面垂直的证明和二面角的求解，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，求二面角的一般方法是作-证-求或空间向量.20.已知数列{}n a ，{}n b 的各项均不为零，若{}n b 是单调递增数列，且12n n n a b b +=⋅，2111226,,n n n a a b a b a b +++===.（Ⅰ）求1b 及数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足113c =-，1(2)n bn n c c ++=，求数列{}2n c 的前n 项的和.n S 【答案】（Ⅰ）12,2.n b b n ==（Ⅱ）()441.9nn S n =+- 【解析】 【分析】（Ⅰ）先证{}n b 是等差数列，取1,2n =，可解得1b 和公差. （Ⅱ）先求2{}n c 的通项公式，再求前n 项和. 【详解】（Ⅰ）因为12112,2a b a b b ==，所以12b =. 因为2112122n n n n n b b b b b ++++⋅⋅+=，则212n n n b b b +++=， 所以{}n b 是等差数列. 因为26a b =，2232a b b =⋅，则()()()225222d d d +=++，所以2d =. 所以2.n b n =（Ⅱ）因为1121,23c c c =-+=，所以273c =. 当2n ≥时，12n n n c c ++=，112n n n c c --+=， 所以1112n n n c c -+--= ()2n ≥.所以2422c c -=，4642c c -=，L ，222222n n n c c ---=，累加得当2n ≥时，()1224413n n c c --=-，即21413n n c =⨯+. 273c =也适合上式，故21413n n c =⨯+ ()*n ∈N ,所以()441.9nn S n =+- 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的基本问题.21.对于椭圆()222210x y a b a b+=>>，有如下性质：若点()00,P x y 是椭圆外一点，PA ，PB是椭圆的两条切线，则切点,A B 所在直线的方程是00221x x y ya b+=，利用此结论解答下列问题： 已知椭圆22:12x C y +=和点()2,P t ()t R ∈，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是,A B ，记点,A B 到直线PO （O 是坐标原点）的距离是1d ，2.d（Ⅰ）当0t =时，求线段AB 的长； （Ⅱ）求12AB d d +的最大值.【答案】（Ⅰ）2AB =（Ⅱ）324【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知结论求出直线AB 的方程，进而可得线段AB 的长. （Ⅱ）把12AB d d +表示为关于t 的函数，进而可求其最大值.【详解】（Ⅰ）因为点()2,P t ，直线AB 的方程式：212xty +=， 即1x ty +=，当0t =时，直线AB 的方程是1x =， 此时2AB =（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线AB 的方程是1x ty +=，直线PO 的方程是20tx y -=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则112212222244tx y tx y d d t t --+=++.又11221,1,x ty x ty +=⎧⎨+=⎩由点,A B 在直线PO 的两侧可得112tx y -与222tx y -异号，所以()()22112224ty y d d t +-+=+.又2121AB t y y =+-，所以()()221214t t AB d d ++=+.设22t x +=，则12AB d d ==+， 所以，当114x =，即24,2x t ==时，12ABd d +有最大值为4【点睛】本题考查椭圆与直线的位置关系，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理是解题的关键.22.已知函数()()22ln f x x a x a x =---.（1）求函数的单调区间；（2）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：120.2x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭'【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）对a 分类讨论，由()0f x '>和()0f x '<解得函数的单调区间.（2）由（Ⅰ）可得0a >,设120x x <<,由()()12,f x f x c ==可得221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--，结合（Ⅰ）只需证1222x x a +>，可化得11212222ln 1x x x x x x -<+，构造函数()22ln 1t g t t t -=-+可证得结论.【详解】（1） ()()()21x a x f x x-+'=()0x >.当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞. 当0a >时，由()0f x '>得2a x >；由()0f x '<得02ax <<， 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，所以0a >.不妨设120x x <<， 则()21112ln x a x a x c ---=，()22222ln x a x a x c ---=，两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ⎡⎤-------=⎣⎦,即221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--.又02a f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，当2a x >时，()0f x '>；当02a x <<时，()0f x '<. 故只要证明1222x x a+>即可，即证22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--，即证11221222ln x x x x x x -<+,即证11212222ln 1x x x x x x -<+.设()1201x t t x =<<，令()22ln 1t g t t t -=-+，则()()()2101t g t t t '-=>+, 则()22ln 1t g t t t -=-+在()0,1为增函数，又()10g =, 所以()0,1t ∈时，()0g t <总成立，得证.【点睛】本题考查函数与导数的综合问题.考查单调区间的求法，导数不等式的证明.考查构造法、分类讨论、函数与方程等数学思想方法.。

2019届浙江省高三三校联考数学试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合{}210A x x =-≥，{}04B x x =<<，则AB =A ．(,1)-∞-B. [)0,4C. [)1,4D. (4,)+∞2．已知i 为虚数单位，2iiz +=，则z 的虚部为 A ．1B. 2-C. 2D. 2i -3．已知双曲线22221-=y x a b的渐近线方程为12=±y x ，则该双曲线的离心率为C. 3D. 24．函数1()||=-f x xx的图象是A. B. C. D. 5．已知随机变量ξ满足(0)ξ==P x，(1)1P xξ==-，若12<<x，则A．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而增大B．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而增大C．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而减小D．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而减小6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.23B.43C.83D.1637．“21-<x y”是“ln0<xy”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．如图，圆O是半径为1的圆，12OA=，设,B C为圆上的任意2个点，则AC BC⋅的取值范围是A．1[,3]8-B．[1,3]-C．[1,1]-D．1[,1]8-9．在棱长为D ABC-中，过点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的(第6题图)正视图侧视图俯视图（第8题图）Γ与底面ABC 的交线为l ，当平面Γ运动时，直线l 在ABC ∆内 的部分形成的区域的面积为 A．6π B．12π C．6πD．6π10．已知二次函数2()f x ax bx c =++有零点，且1a b c ++=，则max{min{,,}}a b c = A ．12B ．13C ．14D ．16第II 卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”-P ABCD ，⊥PA 底面ABCD ，21PA AB AD ===，，则该“阳马” 的最长棱长等于 ▲ ；外接球表面积等于 ▲ ．12．设,x y 满足约束条件210201x y x y x ì-+?ïï-?íï£ïî，则23z x y =+的最大值为 ▲ ；满足条件的,x y 构成的平面区域的面积是 ▲ ．13．已知56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，则0a = ▲ ；5a = ▲ ． 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若6π=A，(4cos =+b a B ， 且1=b ，则B = ▲ ；△ABC 的面积为 ▲ ．15．从0,1,2,3,4,5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件a b c d e <<>>“”的五位数的个数有 ▲ ．16．已知函数220()1(2)042-≤<+≤⎧⎪=⎨-≤⎪⎩x x f x f x x ，，，．若函数()log ()y f x a x =--恰有两个零点，则实数a的取值范围为 ▲ ．17．如图，椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22182yx +=．点P 为椭圆C 2上一点， 直线PO 与椭圆C 1依次交于 点A B ，，则||=||PA PB ▲ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)（第17题）18．(本小题满分14分)已知函数2()6cos 32xf x x ωω=+-(0)ω>的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()5f x =且0214(,)33∈x ，求0(1)+f x 的值．19． (本小题满分15分)如图，已知四棱锥A BCDE -中，2A B B C==，120ABC AE ︒∠==，，//CD BE ，24BE CD ==，60EBC ︒∠=.（Ⅰ）求证：⊥EC 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值.20．(本小题满分15分)已知数列{}n a 中，1212(13)323(3)n n n a a a a a a a a n --=≠≠-==+≥且，，. （I ）求{}1n n a a ++和{}13n n a a +-的通项公式； （II ）若数列{}n a 单调递增，求a 的取值范围.21. （本小题满分15分）如图，已知抛物线21:4C x y =与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>交于点A ，B ，DCAE且抛物线1C 在点A 处的切线1l 与椭圆2C 在点A 处的切线2l 互相垂直. （I ）求椭圆2C 的离心率；（II ）设1l 与2C 交于点P ，2l 与1C 交于点Q ， 求APQ ∆面积的最小值.22．(本小题满分15分) 已知函数()()221ln 12ln f x x ax x x=--+-． （Ⅰ）当0a =时，求证：()0f x >；（Ⅱ）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围； （Ⅲ）求证：()()()()222ln 1213112ln 232*n n n n N⎡⎤++⋅⋅⋅+<+⨯⋅⋅⋅≥∈⎣⎦，且．参考答案一、选择题C B AD B C D A D C二、填空题11. 3, 9π 12. 11,2512 13. 160-, 15 14. 512π, 1415. 2116. (1,3] 17. 3-18.解：（1）()3cos ωω=f x x x )3πω=+x …………………3分由条件8=T ，所以284ππω== …………………4分 所以()sin()43ππ=+x f x 令22,2432ππππππ+≤+≤+∈x k k k Z ，得10288,33-+≤≤+∈k x k k Z 所以增区间为102[8,8],33-++∈k k k Z …………………7分（2）因为0()5=f x 由（1）知00()sin()435ππ=+=-x f x 即03sin()435ππ+=x ， …………………8分 因为0214(,)33∈x ，所以032432ππππ<+<x所以04cos()435ππ+=-x …………………10分所以00(1)sin()443πππ+=++x f x003[sin()cos cos()sin ]434434ππππππ=+++x x343(52525=⨯-=- …………………14分19解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得AC =在EBC ∆中，由余弦定理得EC =由222222,CE CA EA CE CB EB +=+=得， ,EC CA EC CB ⊥⊥,所以EC CAB ⊥面 ……………………7分(2)如图,建立空间直角坐标系-C xyz ，则()0,0,0,C E A B所以(3,1,0),(23,0,,23),(3,1=-=-=--AB AE BE 11(22==--CD BE 所以1(22--D ，1(22=--AD ……………………11分 所以(,,)n x y z =是面ABE 的一个法向量，则0⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩y取(1,3,1)=n ……………………13分 记直线AD 与平面ABE 所成角为α，则330sin AD n AD nα⋅==……………………15分20.解：（I ）21213333a a a a a a +=+-=-， ……………………2分 由1223n n n a a a --=+得1123()n n n n a a a a ---+=+1123(3)n n n n a a a a ----=-- ……………………4分 所以11+1123()(3)3n n n n a a a a a --+=+=+113(1)(33)n n n a a a -+-=-- ……………………7分（II ）由以上两式得111[(3)3(1)(33)]4--=+---n n n a a a ……………………8分 1111[(3)3(1)(33)]2n n n n a a a a --+-=++-- ……………………10分 当n 为奇数时111(3)3(1)(33)(33)33n n n n a a a ---++--=-++ 所以110(33)330n n n n a a a -+->⇒-++>当13=<n a 时，当113312333333n n n n a --+≥>-=----时关于n 递增所以33a -≤< . ……………………12分 当n 为偶数时111(3)3(1)(33)(33)33---++--=++-n n n n a a a所以111331203(33)33+---->⇒>-=-++n n n n n a a a 关于n 递减，所以1>-a ……………………14分 综上 (1,1)(1,3)a ∈- ……………………15分21.解：（I ）设点00(,)A x y ，00(,)B x y -，其中00x >，00y >.则抛物线1C 在点A 处的切线方程为100:2()l x x y y =+， .…………………2分 椭圆2C 在点A 处的切线方程为00222:1x x y yl a b+= ..…………………4分 由题意可知，12l l ⊥，则有20020()12x b x a y ⋅-=-，且2004x y =.所以：222a b =，从而椭圆2C的离心率为2e =.…………………6分 （II222212+=x y b b .…………………7分设2(2,)A t t ，设21:=-l y tx t ,由222222⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y tx t x y b得22342(12)4220+-+-=t x t x t b所以22|||2|12=-=++P A tAP x x t t .…………………9分设221:2=-++l y x t t，同理可得4|||22|Q A AQ x x t t t=-=++ .…………………11分 所以1||||2APQS AP AQ ∆=323222144(1)2()812(12)++=+⋅=++t t t t t t t t.…………………12分 令232(1)(),0(12)+=>+t f t t t t ，则2222222(1)(21)(31)'()(12)+-+=+t t t f t t t令'()0=f t得2=t (0,)2上单调递减，在(,)2+∞上单调递增.所以()()2≥=f t f所以∆≥APQ S .…………………15分 法二：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2004x y =及2220022x y b +=可知：22002b y y =+.由10022222:2(),:12l x x y y x y C b b ì=+ïïïíï+=ïïïî消去x 得222220000(24)8420x y y y y b x +++-=， 由题意可知：2222220000000120004248(2)248421y b x y b y y b y y y x y y ---===+++， 则220001002322121y b y y y y y ---==++，01004(21)y x x y -=+ .……………………9分 由0022221:1,2:4x x y yl b b C x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得2200240y x x x b +-=， 由题意可知：0020028x x x y x +=-=-， 则2008x x x =--，222200000020002842(2)84422x b y y y y y y y y y +++++++===，…11分 所以323000120200008(1)(4)122(21)2(2)∆++=-⋅==++APQx y x S y y x y y x x ， ……………………13分 记232(4)()(2)x f x x x +=+，其中0x >，则22422222222222(4)(328)(4)(34)(2)()(2)(2)x x x x x x f x x x x x +--++-'==++， 由()0f x '=，得x =所以()f x在上递减，在)+∞上递增.所以3min()f x f===所以∆≥APQS………………15分22．解：（Ⅰ）当0a=时，()()22112f x xln x ln x=-+-因为()1ln x x+≤，当1x=时等号成立，所以222222221111111xln,ln,x,xx x x xlnx+⎛⎫+<<>⎪+⎝⎭即即所以()22112xln x ln x->+-，即()0f x>．……………………4分（Ⅱ）法一：显然0a≤成立，当0a>时，因为11ln xx≥-，当1x=时等号成立，所以22222111111xlnxx xx⎛⎫+>-=⎪++⎝⎭，即222111xxlnx<+⎛⎫+⎪⎝⎭，要()0f x>即22211x axxlnx+<⎛⎫+⎪⎝⎭，所以221x ax x+<+对一切0x>成立，显然0a>不符合，综上所述()0f x>时a的取值范围为0a≤．……………………9分法二：因为2a b a bln a lnb-+<-，所以()2222221211212211x x,,xln x ln xlnx++<<⎛⎫++-⎪⎝⎭即要()0f x>即22211x axxlnx+<⎛⎫+⎪⎝⎭，所以22212xx ax++<对一切0x>成立，显然0a>不符合，综上所述()0f x >时a 的取值范围为0a ≤． ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知()221ln 12ln x ax,x x>++- 取1a =-，2n ≥，则有()2210lnn 12ln n n ,x n >->+- 所以()221ln 12ln n n n n +-<-111n n=-- 所以()211ln 212ln212+-<- ()211ln 312ln323+-<- ……()211ln 12ln 1n n n n+-<-- 把以上不等式相加得： ()()()()()()22221ln 121314112ln 23412ln 234n n n n ⎡⎤++++<-+⨯⨯<+⨯⨯⎣⎦……… ……………………15分。

浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2019届第三次联考数学试题(含答案)2019届浙江名校联盟第三次联考一、选择题：本大题共10小题，共40分1.已知集合A={x|y=x-1}，B={x|-1<x<2}，则A∩B=（）A。

(-1,1)B。

(-1,1]C。

[1,2)D。

(1,2)2.已知z(1+i)=2i（i为虚数单位），则复数z对应点在（）A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限3.已知顶点在x轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为2x±y=2，该双曲线的焦点为（）A。

±√23,0B。

±√43,0C。

±√25,0D。

±√45,04.“a=3”是“圆O:x^2+y^2=2与圆C:(x-a)^2+(y-a)^2=8外切”的（）A。

必要不充分条件B。

充分不必要条件C。

充要条件D。

既不充分条件也不必要条件5.已知实数x，y满足不等式x+y≥22，则x^2+y^2最小值为（）A。

2B。

4C。

22D。

86.已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A。

f(x)=(ex-1)/(x+1)B。

f(x)=x*sin^2xC。

f(x)=(ex-1)/xD。

f(x)=x*cos^2x7.某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的20个球，其中6个红球，14个黑球，参加活动的人，每人都有放回地取球2次，每次从中任取一球，每个红球兑换20元，每个黑球兑换5元，则每位参与者获奖的期望是（）A。

15.5元B。

31元C。

9.5元D。

19元8.已知a>b>0，则下列不等式正确的是（）A。

ln a - b。

ln b - aB。

a - b < b - aC。

ln a - b < ln b - aD。

a - b。

b - a9.用四种颜色给右图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（）A。

浙江省金华市浦江中学2019年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．y=sin22x﹣cos22xC．y=sin2x+cos2x D．y=sin2xcos2x参考答案：B【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、周期性，得出结论．【解答】解：∵cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，故排除A；∵y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x，是偶函数，且，故B满足条件；∵y=sin2x+cos2x=sin（2x+）是非奇非偶函数，故排除C；∵y=sin2xcos2x=sin4x是奇函数，故排除D，故选：B．2. 已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A．30 B．45 C．90D．186参考答案：C3. 已知直线，平面且给出下列命题：①若∥，则；②若，则∥；③若，则；④若∥，则。

其中正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3D．4参考答案：【知识点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．G4 G5B 解析：（1）中，若α∥β，且m⊥α?m⊥β，又l?β?m⊥l，所以①正确．（2）中，若α⊥β，且m⊥α?m∥β，又l?β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．（3）中，若m⊥l，且m⊥α，l?β?α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．（4）中，若m∥l，且m⊥α?l⊥α又l?β?α⊥β，∴④正确．故选B．【思路点拨】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．4. 若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（A）3 （B）4 （C）5 （D）6参考答案：C5. 已知，，，则A．B．C．D ．参考答案：A6. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时： =R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．7. 已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．1991 B．2000 C．2007 D．2008参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=10时，退出循环，输出的S的值为2000．【解答】解：i=1，s=2017，i=2；s=2016，i=3；s=2016，i=3；s=2016，i=4，s=2016，i=5；s=2015，i=6；s=2010，i=7；s=2009，i=8；s=2008，i=9；s=2007，i=10；s=2000，跳出循环，输出s=2000，故选：B．【点评】本题考查程序框图和算法，考查学生的运算能力．8. 设，则的值 ( )A． B． C.D．参考答案：B9. 函数的零点一定位于的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：C略10. 已知集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∩（?R Q）=（）A．[0，3] B．（0，2] C．[0，2）D．（0，3]参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合Q，根据交集和补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}={x|x≤﹣2或x≥2}，则?R Q={x|﹣2＜x＜2}，∴P∩（?R Q）={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合，，若，则▲．参考答案：由知，，。