2018考研数学线代：矩阵合同与相似的典型题型分析详解

矩阵的合同，等价与相像的联系与差别一、基本观点与性质（一）等价：1、观点。

若矩阵 A能够经过有限次初等变换化为B，则称矩阵 A 与 B 等价，记为 A B 。

2、矩阵等价的充要条件：A.B同型，且人 r(A)=r(B)A B{存在可逆矩阵 P和 Q，使得 PAQ=B建立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可互相表出，有此可知：两向量组的秩同样，但两向量组各自的线性有关性却不同样。

（二）合同：1、观点，两个n 阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A B P T AP B 建立，则称A,B 合同，记作 A B 该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则 A B 二次型x T Ax 与 x T Bx 有相等的E负惯性指数，即有同样的标准型。

（三）相像1、观点： n 阶方阵 A,B，若存在一个可逆矩阵 P 使得B P1AP建立，则称矩阵 A,B 相像，记为A ~ B。

2、矩阵相像的性质：TTkk, A 11( 前提， A, B 均可逆) A ~ B , A ~ B~ B| E-A | | E B |即有同样的特点值（反之不建立）A, BA ~ Br(A)=r(B)tr ( A) 即 的逆相等 tr (B) A, B|A|=|B|3、矩阵相像的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵 A,B 有同样的不变因子或队列式因子。

②充要条件：A ~ B( EA)( EB)二、矩阵相等、合同、相像的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A (1,2,L ,n ) ， B(1 , 2,L ,m)1、若向量组（1,2,L ,m）是向量组（1,2 ,L ,n ）的极大线性没关组, 则有 m n ，即有两向量等价，而两向量组线性有关性却不一样，钱者必定线性没关，尔后者未必线性没关。

而矩阵B 与 A 亦不一样型，虽然 r (A) r ( B) 但不可以得出 A B 。

2、若 m=n ，两向量组（ 1, 2 ,L , n ） （ 1 , 2 ,L , m ）则有矩阵 A,B 同 型且 r ( A) r (B) A ~ B, A ; B, A B r( A) r ( B) A B 。

矩阵的合同，等价与相似一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、性质：（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅（4） 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. （5） 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =3、判定：矩阵等价的充要条件：两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.（二）矩阵的合同： 1、定义：两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、性质：（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.（4） 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. （5） 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 22212r f y y y =++3、判定定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =（三）矩阵的相似 1、定义：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2018考研线性代数真题解析2018年的考研线性代数一共是5道考题，两个选择题，一个填空题，两个解答题。

今年一共考了7道题，但今年数学一、二、三的选择题和解答题考得完全一样，区别仅在于填空题各不相同，下面对今年的线代考试做如下分析。

第一个选择题，即数一、三的第5题，数二的第7题，相似矩阵判定，2016，2017都以选择题考相似矩阵的判定，2014考证明矩阵相似，本题的难点在于题干所给矩阵不能对角化，所以做题时有两个思路，一个是排除法利用相似时的四相同排除掉不相似的，但这个题还要用到相似时，矩阵多项式也相似，即用到了四相似，所以有的同学可能想不到。

另一思路是利用相似的矩阵相同的特征值应该有相同个数的无关特征向量。

第二个选择题是考矩阵的秩，最简单的方法是利用向量组表示判定的三转化，考虑矩阵方程，利用矩阵方程有解马上得出系数矩阵的秩等于广义增广矩阵的秩。

填空题数一是利用向量的关系得出对应的特征值，然后求行列式；数二、数三是同一类题，利用向量组的线性表示建立相似的背景，然后求特征值。

两道大题数一、数二、数三完全一模一样，第一道大题的第一问和2000年数三的那道题极为类似，2005年数一也考过求类似方程的解，其本质是求解带参数的齐次方程组，第二问是根据参数讨论求规范形，有两种思路，配方法或者求特征值。

第二道大题的难点在于有的同学可能没懂题目说的是什么意思，其实题目就是告诉你这两个矩阵等价，即可化为已知秩求参数，第二问和2014年的一模一样，求解系数矩阵不可逆的矩阵方程。

综上所述，相对于前几年的线性代数题目来说，今年的线性代数题目难度相比去年有所提高，表现为以下特点：1.命题角度新颖。

同一个知识点从不同的角度来考，线代很大的特点之一就是知识点纵横交错，前后联系紧密，同一个点有很多不同的说法。

2.综合性提高。

实际上这次题很多都以前考过，或者干脆把以前的几个真题综合一下形成新的考题。

3.注重基础，考查全面。

基本上线代六章的内容全部都考到了，而且大部分都是考基本的计算，计算量也不算很大，但对同学们的计算能力要求较高。

2018考研数学试题线代部分的解析2018考研数学已落下帷幕，整体难度较去年有所增加。

与往年一样，试题也是注重基础知识的考查，同时对计算能力也有一定要求。

以数一试卷为例：一、选择题部分第5题是关于矩阵相似的判断问题，根据相似传递性，便可得到答案。

在海文的强化课程教材上，有一题关于矩阵相似与合同的选择题与此类似，海文的考生对此题应该并不陌生，只是本题特征值为1，三重根，只有A选项特征向量是1个。

第6题考查的是矩阵的秩的内容，我们在考前冲刺班上重点强调过矩阵分块的问题，此题利用矩阵分块及秩的性质也可得到解决。

整体而言选择题难度一般。

二、填空题部分第13题是关于特征值特征向量定义问题，考查了特征值特征向量问题。

同样在海文的考前冲刺课上，重点强调了已知矩阵和向量的等式，如何与特征值和特征向量的定义联系起来，从而得到特征值，并利用特征值求出行列式，听过冲刺课的同学解答此题也无难度。

三、解答题部分第20题是线性代数最后章节二次型的问题，二次型这一部分是线性代数中大题常考的地方，我们在考前复习中也强调这个地方和方程组的地方是出大题的地方。

本题的第一问即是解方程组问题，只是变了个形式，本质没太大变化，难度一般。

至于第二问规范形问题，也是考生必须要掌握的基本题型，但本题带有参数，要讨论，有一定难度。

第21题是有关可逆矩阵的问题。

第一问只是平时大家熟悉的是初等行变换，而这里是初等列变换。

第二问也是转化为解方程组解决，这个我们在冲刺课也重点讲了向量、矩阵、方程组的三转化问题，海文考生应该也不陌生。

只是验证P的可逆性难度稍大。

本次试题线代的特点：1.考查点分布广：考查了相似、秩、特征值特征向量、解方程组、二次型。

这些内容也是线代考试常考的知识点。

2.个别题较新颖，如初等列变换。

但并未超大钢。

总体而言，比去年难度有所增加，数学的计算量大也较正常，这就要求考生平时要注重计算能力的训练，同时对教材上出现的知识点、方法都要熟悉，至少不陌生。

矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化的理论与应用分析（可编辑）矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化的理论与应用分析矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化的理论与应用分析学院:数学与信息科学学院专业:数学与应用数学摘要:矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化是对矩阵的研究有很大的意义,而且也是解题的重要工具.利用它们的性质可以帮助我们解决许多的问题.关键词:矩阵等价;矩阵合同;矩阵相似;矩阵的逆The Theory And Application Analysis Of TheEquivalence,Congruence,Similarity And Orthogonal Similarity Diagonalization Of MatrixAbstract: The equivalence, congruence, similarity and orthogonal similarity diagonalization of matrices is important to the study of Matrix, and is also an important tool of problem-solving. Use the properties of them can help us solve many problems.Key words: equivalence of matrices; congruence of matrices; similarity of matrices; inverse of a matrix0前言本文从矩阵等价、合同、相似与正交相似对角化的定义、性质出发来探求判断两个矩阵的等价、合同、相似,并应用这些知识解决一些问题.并对它们之间的关系进行了简单的探索.并在结尾简单的给出了合相似与合对角化的定义.1矩阵的等价1.1定义1 矩阵与称为等价的,如果可以由经过一系列初等变换得到.1.2矩阵等价的性质反身性:,对称性:若,则,传递性:若,,则.例1 用初等变换将下列矩阵化为标准型,解1.3 矩阵等价的判断1.3.1 利用定义:如果可以由经过一系列初等变换得到,则称矩阵与称为等价的.1.3.2 、等价的充分必要条件是有初等矩阵,,使得1.4 矩阵等价的应用矩阵的等价在线性代数中具有重要的作用,而且也是解题的重要工具。

2018年考研线性代数之矩阵类型及求逆题型解析【盡心T 机r 阿予書弊创二土巫豹丹FMTT 于■■ ntc )ij 由Asm 二M»三亦■柄翊蝕彌—U 弊丹=卫环5二护=片审1■-issued on behalf on the basis of quality, speed up the compilati onprogress, is now called Pin glia ng in formatio n complete draft writi ngtasks and lower local exte nsion of the data collecti on. JingningJtfd 可淀网L ・|2018年考研线性代数之矩阵类型及求逆题型解析洞吉ME-rtEIEl ..「斗兰冋佢用」 冋不吉冋且不T 書* J 耳乘研岂二时勵匕*■ 趣人丄k 二芍旷3'*亘』⑴」」：就就】F 勺诃逅讨肚二N 宕瓦二二左酱：)亍卡軒皙」贰丄诂「■'…'一们识4 T N IT 叮库戏耳0常知*:皿无如[^4]谦巳方杞爼誓匚三走3：二二 匚或印呈韭吿，辻宀阳壬无壬，冃鱼日丐,®.%曲三?^」帀耳朋石；F 袍庄耳.，寿一禺啦琳*辽农■；■任16卫議上.i!忑（ ）咕:代勺.：.•冊十 辭m:贵略硯r*K 妬十几胃I ■平 K 毎右％卫 + iA 構I 牛石二 ®亏碍，备話**■鸟圧ht*S^iJ 科吊孤喀-訂E 耳氓斤鞘怜L.h 二T 的芦沖■ ®*=0J ■饪气务月邂融G4# 一十叫”*店餐旦忒CH --■ £ = '.若卫，再一选一人+点血出1#置创克龍匪二＜.也 4尿性祇亍E 姬工15工徳世一in ■.股/基E 乂¥册”屮星耳X JW 矩阵賈蛭兰蝴记田出X =哄i.V^« ”爪町壮卫丸护応白僧AH 詐口可呼常 二兰-A “B1直卫4¥場•:JJAI/■-办片呻斗却：；1 昭.1V * Ji 册 sr.ja [F 〔月.恥砌 ^«.7 ^^wWrTTft 沖-D I.-frFfi7 ”■: £皿\咗匚仮l 热&，肮吕”概率论与数理统计高效备考考研数学很多考生抱怨概率论与数理统计部分难度较大，殊不知是考生们的惯有看法使 其变得难度大，只要考生在备考过程中高效率备考，取得满分也是有可能的，下面 是为大家整理的详细介绍，供参考！如果把数学三个科目难度划分的话，总是高等数学排第一，因为它不论从大学 时学习的先后次序，还是从题型的丰富程度和变化程度来说，抑或从考研数学中所 占比例来说都是当仁不让的；其次是线性代数，这门学科比较抽象，而且许多各章 节串联性非常强，很多小结论都要记忆，同学们普遍反映较难。

矩阵合同与相似矩阵合同与相似是线性代数领域中重要且相关的概念。

矩阵合同是指两个矩阵A和B满足一定的条件，而矩阵相似是指两个矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹。

下面将详细介绍这两个概念及其相关性。

首先，我们来定义矩阵合同。

给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是合同的。

换句话说，两个矩阵合同的条件是它们可以通过一次相似变换后得到。

根据矩阵合同的定义，我们可以得出以下结论：1. 矩阵合同是一个等价关系。

即，对于任意的矩阵A、B和C，有以下三个性质：- 自反性：A合同于自身，即A≈A；- 对称性：如果A合同于B，则B合同于A；- 传递性：如果A合同于B，且B合同于C，则A合同于C。

2. 矩阵合同保持矩阵的特征值不变。

如果A合同于B，那么A和B具有相同的特征值。

接下来，我们来介绍矩阵相似。

给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是相似的。

与矩阵合同相似，矩阵相似也是一个等价关系，具有自反性、对称性和传递性。

矩阵合同和相似的联系在于它们都描述了矩阵之间的一种等价关系。

矩阵相似是一种较强的等价关系，因为它要求矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P。

而矩阵合同是相似的一种特殊情况，它只要求存在一个非奇异矩阵P即可。

因此，矩阵相似是矩阵合同的一种更加严格的要求。

矩阵相似在线性代数中有着广泛的应用。

例如，矩阵相似关系可以帮助我们简化矩阵的计算。

通过寻找一组相似变换，我们可以将一个复杂的矩阵转化为一个更加简单的形式，从而便于计算和分析。

此外，矩阵相似还可以帮助我们理解矩阵的几何意义。

对于一个可对角化的矩阵A，如果存在一个相似变换P，使得A=PDP⁻¹，其中D是对角矩阵，那么矩阵A的几何意义就可以通过对角矩阵D来表示。

换句话说，相似变换可以将原始矩阵的几何性质转化为对角矩阵的几何性质，从而更容易理解。