二次函数中的存在性问题

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二次函数中的存在性问题

一、知识点睛

解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：

①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．

②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．

③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．

二、精讲精练

1. 如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．

2. 抛物线21134yx与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．

（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；

（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

3. 如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．

（1）若抛物线cbxxy231经过A、B两点，求该抛物线的解析式：______________；

（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，

作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN

与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；

若不存在，说明理由．

yxADCBOyxADCBOyOOxyyxOOxyyxOOxyBAyxOOxyAByxOOxyyxOOxyCOyBAxCOyBAxxAByOCQPEDCOyBAxCOyBAxxAByOC

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4. 已知抛物线2=23yxx经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5. 抛物线2212xxy与y轴交于点C，与直线y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)两点．如图，线段MN在直线AB上移动，且2MN，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以P、M、Q、N为顶点的四边形否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

BOPxyCABOPxyCAACyxOBACyxOBNMBOxyCA

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精讲精练参考答案

1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时，

△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；

① 若△BAP∽△AOB，如图1，

可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），

代入xxy32，可知2513m，)2526,513(1P

② 若△BAP∽△BOA，如图2，

可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，2m），

代入xxy32，可知811m，)1611,411(2P

当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；

③ 若△ABP∽△AOB，如图3，

可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m），

代入xxy32，可知21m，)2,2(3P

④ 若△ABP∽△BOA，如图4，

可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，m25），

代入xxy32，可知21m，415(,)24P

2.解：（1）由抛物线解析式21134yx可得B点坐标（1，3）.

要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.

过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.

则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，

∴矩形DGQF为正方形.

则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）

可得BQ解析式为y=－x+4.

（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.

而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论.

① 当∠DCE=30°时，

a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.

图1OABPMxy图2OABPMxy图3OABPMxy图4OABPMxyGFEBADCPQOxy

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则可证△DCH∽△DEK.则3DHDCDKDE，

在矩形DHQK中，DK=HQ，则3DHHQ.

在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，3BCCQ

∴CQ=3，此时，Q点坐标为（1+3,0）

则P点横坐标为1+3.代入21134yx可得纵坐标.∴P（1+3,94）.

b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.

由对称性可得此时点P坐标为（1－3,94）

② 当∠DCE=60°时，

a) 过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.

则可证△DCM∽△DEN.则13DMDCDNDE，

在矩形DMQN中，DN=MQ，则13DMMQ.

在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.

则在Rt△BCQ中，13BCCQ

∴CQ=3BC=33，此时，Q点坐标为（1+33，0）

则P点横坐标为1+33.代入21134yx可得纵坐标.

∴P（1+33,154－）.

b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.

由对称性可得此时点P坐标为（1－33,154－）

综上所述，P点坐标为（1+3,94），（1－3,94），

（1+33,154－）或（1－33,154－）. HKEBADCPQOxyyxOQPCDABEKHNMEBADCPQOxyyxOQPCDABEMN

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3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8

∴在Rt△OAB中，OA=6

∴ A（6，0）

将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，8310312xxy

（2）存在：

如果△AMN与△ACD相似，则21ANMN或2ANMN

设M),(8310312mmm（0

1） 假设点M在x轴下方的抛物线上，如图1所示：

当21ANMN时，2168310312mmm，即2164631mmm))((

∴25m∴),(4725M

如图2验证一下：

当2ANMN时，268310312mmm，

即264631mmm))((

∴2m（舍）

2）如果点M在x轴上方的抛物线上：

当21ANMN时，2168310312mmm，即2164631mmm))((

∴211m ∴M),(41211

此时41MN,21AN ∴21ANMN ∴△AMN∽△ACD ∴M),(41211满足要求

当2ANMN时，268310312mmm，即264631mmm))((

∴m=10（舍） 图1OBCDAxyMN图2OBCDAxyMN

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综上M1),(4725,M2),(41211

4.解：满足条件坐标为：1(36,0)M2(36,0)M3(12,0)M4(12,0)M

思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则AP可为平行四边形边、对角线；

(1)如图，当AP为平行四边形边时，平移AP；

∵点A、P纵坐标差为2 ∴点M、N纵坐标差为2；

∵点M的纵坐标为0 ∴点N的纵坐标为2或-2

①当点N的纵坐标为2时

解：2232xx 得16x

又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为：

1(36,0)M、2(36,0)M

②当点N的纵坐标为-2时

解：2232xx 得12x

又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： 3(12,0)M、4(12,0)M

(2)当AP为平行四边形边对角线时；

设M5（m,0）

MN一定过AP的中点（0，-1）

则N5（-m，-2），N5在抛物线上

∴2232mm

12m（负值不符合题意，舍去）

∴12m ∴5(12,0)M

综上所述:

符合条件点P的坐标为：1(36,0)M2(36,0)M3(12,0)M4(12,0)M

5．解：分析题意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形，只需MP=NQ即可

由题知：(,)Mmm，(,0)Pm，(1,1)Nmm，21(1,(1)+(1)2)2Qmmm

故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况：