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二次函数存在性问题

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二次函数存在性问题

一、存在三角形：

1、如图，已知抛物线y=－x2+2x+3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。

（1）求点A、B、C的坐标。

（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积。

（3）连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，直线AC：1yx与抛物线24yaxbx都经过点(1,0)A、(3,4)B．

（1）求抛物线的解析式；

（2） 动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；

（3） 当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．

3、已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）

（2）如图12，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E的坐标。（3分）

②又连接CD、CP（如图13），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没

有，请说明理由。（3分）

图11 A B

O

C

图9 y

x

P

E

图12 图13 学习好资料 欢迎下载

二、 存在四边形：

1、如图，已知抛物线)0(2acbxaxy的顶点坐标为Q1,2，且与y轴交于点C3,0，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，

问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，

求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A)0,4(，B)4,0(，C)0,2(三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线xy上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

3、如图，在平面直角坐标系中CDARtAOBRt,且)2,0(),0,1(BA抛物线22axaxy经过点C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ为正方形，若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。

A B D C

P

Q · x y

O

y

x A O B C

D A

B y

C x O

M 学习好资料 欢迎下载

二次函数存在性问题

———方法问题

1、 如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2c与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴正半 轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重 合，顶点C与点F重合；

（1） 求拋物线的函数表达式；

（2） 如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A、B两点重合，

点Q不与C、D两点重合）。设点A的坐标为（m，n） （m>0）。

① 当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；

②在的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；

③ 当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存

在，请说明理由。

2、将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（–3，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

x A

C D E

F B

O Q P y

B

O(D) y x

F(C) E(A)

O y

x

F E

圖1 圖2 備用圖

B C A

O y

x 学习好资料 欢迎下载

3、如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线2yx向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()yxhk.所得抛物线与x轴交于AB、两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.

（1）求hk、的值；

（2）判断ACD△的形状，并说明理由；

（3）在线段AC上是否存在点M，使AOM△与ABC△相似.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

4、如右上图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．

（1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；（3分）

（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？（4分）

（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3分）

A y

x B

M

D C O OABCPNMxyOABCxy（4题备用图） 学习好资料 欢迎下载

5、已知：在直角平面坐标系中，二次函数23(0)yaxbxa的图像与X轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与Y轴交于点C，且OC=OB=3AO

（1）、求二次函数的解析式；

（2）、设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD、BC交于点P，试判断直线AD、BC是否垂直，并证明你的结论；

（3）、在（2）的条件下，若点M、N分别是射线PC、PD上的点，问：是否存在这样的点M、N,使得以点P、M、N为顶点的三角形与△ACP全等？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由。

二次函数存在性问题

————特殊性问题

1、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－433，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．

（1）求折痕所在直线EF的解析式；

（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

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-

- y

0 x B A E

F C 4

3

2

1

1 2 -1 -2 -3 -4 -5

-1

-2

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二次函数存在性问题2 教师版

二次函数存在性问题2 教师版

教学目标 掌握求二次函数存在性问题的基本思路

重点难点 二次函数的存在性问题2

教学内容

目录 Contents

上节课回顾:

作业检查+知识点复习

新课：

一、导入

二、知识梳理+经典例题

三、随堂检测

四、归纳总结

五、课后作业

上节课回顾：

一、作业检查情况 完成 未完成

二、知识点回顾

知识点睛

解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：

①____________．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．

②____________.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．

③____________.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．

① 画图分析 ②分类讨论 ③验证取舍

二、知识梳理+经典例题

二次函数与三角形的相似

1. 如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．

yxOOxyyxOOxyBAyxOOxyAB

2. 抛物线21134yx与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．

（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；

（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与

点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

二次函数存在性问题总结

二次函数存在性问题总结

二次函数存在性问题总结

已知，抛物线322xxy交x轴于点A、B，交y轴于点C.

1、线段最值

①线段和最小

点P是抛物线对称轴上一动点，当点P坐标为多少时，PA+PC值最小.

A B

C O x y

②线段差最大

点Q是抛物线对称轴上一动点，当点Q坐标为多少时，|QA-QC|值最大.

A B

C O x y

③线段最值

连接BC，点M是线段BC上一动点，过点M作MN//y轴，交抛物线于点N，求线段MN的最大值及点N的坐标.

A B

C O x y

N M

变式①

点N是第四象限内抛物线上一动点，连接BN、CN，求BCNS的最大值及点N的坐标

A B

C O x y

N

二次函数存在性问题总结

变式②

点N是第四象限内抛物线上一动点，求点N到线段BC的最大距离及点N的坐标

A B

C O x y

N M

2、等腰三角形的存在性问题

点D为抛物线322xxy的顶点，连接BC，点P是直线BC上一动点，是否存在点P，使△PAD为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

A B

C O x y

D

3、菱形的存在性问题

点D为抛物线322xxy的顶点，连接BC点P是直线BC上一动点，点Q为坐标平面内一点，是否存在以A、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由.

A B

C O x y

D

4、平行四边形的存在性问题

点D为抛物线322xxy的顶点，点M是抛物线上一动点，点N为直线BC上一动点，是否存在以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M坐标，若不存在，说明理由.

A B

C O x y

D

二次函数存在性问题总结

5、直角三角形的存在性问题

点P为抛物线322xxy的对称轴上的一动点，是否存在点P，使△PBC为直角三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

A B

C O x y

二次函数与平行四边形存在性问题

二次函数与平行四边形存在性问题

实用标准

文档大全 老师

姓名 学生姓名 学管师

学科

名称 年级 上课时间 月 日 _ _ :00-- __ :00

课题

名称 二次函数与平行四边形的存在问题

教学

重点

教

学

过

程 【知识梳理】

1、平行四边形的性质是什么？

2、在坐标系中，平行四边形又有哪些性质？

3、解决问题的策略：

①根据要求画出满足要求的图形，然后根据几何性质计算未知量

②分类讨论，根据对角线“共中点”的性质直接计算。

1. （2011•盘锦）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点．

（1）求这个二次函数解析式；

（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

2. （2010•陕西）在平面直角坐标系中，抛物线A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣1）三点． 实用标准

文档大全 （1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．

3. （2011•阜新）如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P．

（1）求点A、B的坐标；

（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．

4. （2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x＋m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，4），点B在y轴上。 实用标准

文档大全 （1） 求m的值及这个二次函数的关系式；

（2） P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线交二次函数图象于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

二次函数与矩形存在性问题

二次函数与矩形存在性问题

二次函数与矩形存在性问题

所谓矩形存在性问题，即在坐标系中确定动点位置，使其与其他点等构成矩形，本文将对题型构造及解决方法作简单介绍．首先关于矩形本身，我们已经知道

矩形的判定:

（1）有一个角是直角的平行四边形；

（2）对角线相等的平行四边形；

（3）有三个角为直角的四边形．

题型分析

矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：

（AC为对角线时）

因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．

确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．

题型如下：

（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；

（2）1个定点+3个半动点．

思路1：先直角，再矩形

在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．

思路2：先平行，再矩形

当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：

其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．

无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．

【例题分析】

已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．

思路一：先直角，再矩形

思路二：先平行，再矩形

【中考真题】

【构造直角得矩形】

1、（2018铁岭中考删减）如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C．点B的坐标为（3，0）点C的坐标为（0，3），点C与点D关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以PD，PB为边作平行四边形PDNB，是否存在这样的点P，使得平行四边形PDNB是矩形？若存在，请求出tan∠BDN的值；若不存在，请说明理由．