二次函数中的三角形的存在性问题

特殊图形存在性问题

一、等腰三角形

1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。

2、思想：分类讨论

（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）

（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）

（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）

【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。

2. 求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；

向坐标轴做垂线，构造一线三等角

例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点 D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．

练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A,B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．

练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：△DBO∽△EBC；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

1专题01 二次函数中的等腰三角形存在性问题 几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．【模型解读】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．

【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

同理可求，下求．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：

而对于本题的，或许代数法更好用一些．故C5坐标为（196,0）解得：x=1363-x()2+22=x2设AC5=x，则BC5=x，C5H=3-xAH=3，BH=2

HB

AOxy

C534CC、5C

5

Cy

xOAB

C5C4C3C2C1y

xOAB

C21+23,0C11-23,0C1H=C2

H=

13-1=23作AHx轴于H点，AH=1AC1=AB=4-1()2+3-1()2=13

HB

A

Oxy

C1C

2B

AOxy

C5

2【代数法】表示线段构相等

（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），（2）表示线段：，（3）分类讨论：根据，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐标为

．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．

代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、

C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、

二次函数中的特殊三角形存在性问题

例1 ：如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

例2：如图，已知一次函数y=+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．:（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．

例3：如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．:（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

1、如图，已知抛物线224233yxx的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．（1）求点B和点C的坐标；（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以．BQ．．为一腰．．．的等腰三角形若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

2、二次函数218yx的图象如图所示，过y轴上一点(0M，2)的直线与抛物线交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D．⑴ 当点A的横坐标为2时，求点B的坐标；⑵ 在⑴的情况下，分别过点A，B作AEx⊥轴于E，BFx⊥轴于F，在EF上是否存在点P，使APB∠为直角．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；⑶ 当点A在抛物线上运动时(点A与点O不重合)，求ACBD的值．

4二次函数与三角形存在性问题(2-3次课)(总17页)

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一、等腰三角形的存在性问题

例1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形若存在，请求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由。

3 巩固练习

1、如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知A(3,0)，且M(1,38)是抛物线上另一点。连接，设点是轴上任一点，若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标。

4 2、如图1，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为。

（1）求该抛物线的解析式。

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）当

（图2、图3供画图探究）

5 二、直角三角形存在性

例2、如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）

（1）求抛物线的解析式；

（2）y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形若存在，直接写出满足条件的所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．

6 巩固练习

1、如图，抛物线＝－x2＋2x＋3与x轴交于B、E两点，与y轴交于A点．点P是直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，是否存在点P，使△PAE为直角三角形若存在，求出t的值；若不存在，说明理由

2、如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点为抛物线的顶点,点B在x轴上.若点Q是y轴上一点,且为直角三角形,求点Q的坐标.

8 三、等腰直角三角形存在性

例3、在平面直角坐标系中,抛物线32y2xx与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点A,C,D的坐标;