2019版高考数学(文科)：平面向量的数量积及平面向量的应用

1 2014届高三数学总复习 4.3平面向量的数量积及平面向量的应用举例教案 新人教A版

考情分析 考点新知

① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

② 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．

① 平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示.

② 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.

1. (必修4P77练习第2(1)题改编)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a²b＝________．

答案：－32

解析：a²b＝|a|²|b|cos135°＝2³3³－22＝－32.

2. (必修4P80练习第3题改编)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a²b＝2，则a与b的夹角为________．

答案：π3

解析：∵ cos〈a，b〉＝a²b|a||b|＝12，∴ 〈a，b〉＝π3.

3. (必修4P81习题2.4第2题改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．

答案：3

解析：|a－b|＝（a－b）2＝a2＋b2－2a²b＝12＋22－2³1³2cos60°＝3.

4. (必修4P81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e1、e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1²b2＝________．

答案：－6

解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1²b2＝(e1－2e2)²(3e1＋4e2)＝3e21－2e1²e2－8e22.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝π3，所以b1²b2＝3－2³12－8＝3－1－8＝－6.

5. (必修4P84习题4改编)若平面四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)²AC→＝0，则该四边形一定是________．

考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例

一、填空题

1.(2019·全国卷Ⅲ理科·T13)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a- b,则cosa,c= .

【解析】因为c2=(2a- b)2=4a2+5b2-4 a·b=9,

所以|c|=3,

因为a·c=a·(2a- b)=2a2- a·b=2,

所以cosa,c= ·

| |·| |=

=

.

答案:

【误区警示】本题容易忽视a,b为单位向量,致使解题困难.

2.(2019·全国卷Ⅲ文科·T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cosa,b= .

【解题指南】直接代入向量的夹角公式计算.

【解析】cosa,b= -

=-

=-

.

答案:-

3.(2019·北京高考文科·T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= .

【命题意图】本题考查向量的垂直与数量积,重在考查运算求解能力.

【解析】因为a⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,

所以m=8.

答案:8

4.(2019·天津高考理科·T14同2019·天津高考文科·T14)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2

,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=

.

【命题意图】本题考查向量的概念以及运算法则,考查数形结合思想,考查考生应用向量手段解决问题的能力和运算求解能力等.

【解题指南】可利用向量的线性运算,也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解即可.

【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,

因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,

因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.

因为∠BAD=30°,AB=2 ,所以AF=2,即=

.

因为==-=-

,

所以·=(-)·=

·--

=

×2 ×5×

-12-10=-1.

§5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用

考纲解读

考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度

1.向量数量积的定义及长度、角度问题 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义

2.掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示

3.了解平面向量的数量积与向量投影的关系

4.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算

5.理解数量积的性质,并能运用 Ⅲ 2017课标全国Ⅰ,13;

2017课标全国Ⅲ,13;

2016课标全国Ⅲ,3;

2016课标全国Ⅰ,13;

2016北京,9;

2015课标Ⅱ,4 选择题、

填空题 ★★★

2.向量数量积的综合应用 1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题

2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系

3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题 Ⅱ 2017天津,14;

2017北京,12;

2017江苏,12;

2013课标Ⅰ,13

分析解读

高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能是与函数、解析几何、平面向量等知识综合在一起形成的解答题,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.

五年高考 考点一 向量数量积的定义及长度、角度问题

1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC=( )

A.30° B.45° C.60° D.120°

答案 A

2.(2015课标Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

答案 C

3.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量

一、选择题

1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点1,3,4,1,ABAB则与向量同方向的单位向量为 （ ）

A．3455，- B．4355，- C．3455， D．4355，

【答案】A

2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A、(1,2)B、(2,1)C、(3,4)D,则向量AB在CD方向上的投影为 （ ）

A．322 B．3152 C．322 D．3152

【答案】A

3 ．（2013年高考大纲卷（文））已知向量1,1,2,2,,=mnmnmn若则 （ ）

A．4 B．3 C．-2 D．-1[来源:学#科#网Z#X#X#K]

【答案】B

4 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C．____ （ ）

A．21 B．2 C．21 D．22

【答案】C

5 ．（2013年高考广东卷（文））设a是已知的平面向量且0a,关于向量a的分解,有如下四个命题:[来源:]

①给定向量b,总存在向量c,使abc;

②给定向量b和c,总存在实数和,使abc;

③给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使abc;

④给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使abc;

上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4[来源:学科网ZXXK][来源:学+科+网Z+X+X+K]

(一)必做题(11~13题)[来源:学科网]

【答案】B