2019年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及其应

第三节 平面向量的数量积及其应用

［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量

投影的关系3掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表

示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 .5.会用向量方法解决某些简

单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

双基自主测评I基础知识环能力全面巩固 ■

(对应学生用书第61页)

［基础知识填充］

1. 向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量 a和b，如图 4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=

0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.

0 b B

图 4-3-1

(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.

当0 = 180°时，a与b共线反向.

当0 =90°时，a与b互相垂直. '—

2•平面向量的数量积

(1) 定义：已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为 0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a

与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为 0.

(2) 几何意义：数量积 a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积

Jk 曜

或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.

3. 平面向量数量积的运算律

(1) 交换律：a • b= b • a；

(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；

(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.

4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量 a= (x1, y" , b= (x2, y2) , 0=〈 a, b>.

结论 几何表示 坐标表小 2

模 | a| =\a • a | a| =px2 + y2

数量积 a • b= a • b= X1X2+ y1y2 2

3

| a|| b|cos 0

夹角 a - b cos 0 — . [[ i . |a|| b| X1X2+ y1y2

cos 0 — . y , ------------------------------- ., , VX 2 + y2^/X2 + y2

a丄b a - b— 0 X1X2+ y1y2— 0

|a • b| 与 | a|| b| 的

关系 |a - b| w| a|| b| | X1X2+ y1y2| w 寸X1 + y2 •寸 X2+ y；

［知识拓展］ 1两个向量a, b的夹角为锐角？ a •b >0且a, b不共线;

两个向量a，b的夹角为钝角？ a •b <0且a, b不共线.

2 •平面向量数量积运算的常用公式

(1)(

(2)(

(3)( 2 2

a+ b) •( a-b) = a — b .

2 2 2

a+ b) = a + 2a • b+ b .

a-b)2= a2-2a • b+ b2.

3.当a与b同向时，a •b = | a||b

1. 当a与b反向时，a・b = — |a||b |.

［基本能力自测］

(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”

(1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.

由 a - b= 0,可得 a= 0 或 b= 0.( )

由a - b= a - c及a^0不能推出b= C.( )

2. 在四边形 ABCDh AB- DC&AC- BD= 0,则四边形 ABCD为矩形•( [答案](1) V (2) X (3) V

(2016 -全国卷川)已知向量BA=

A. 30° ,1，则/ ABC=(

3. C. 60° D. 120°

A [因为BA= 2, -2 , BC> 三3, 1，所以 E3A- £=¥+石3=_23.又因为 BA- B<> I BA

II 航cos / ABC= 1X 1X cos/ ABC 所以 cos / 又 0°

ABC= 30° .故选 A.]

(2015 •全国卷 n )向量 a= (1 , - 1), b= ( — 1,2)，则(2a+ b) - a=( )

A. - 1 B. 0

C. 1 D. 2 4

2

C [法: T a= (1 , — 1) , b= ( — 1,2) ,.•. a = 2, a • b=— 3,

从而(2a+ b) • a= 2a2 + a • b= 4 — 3= 1.

法二：T a= (1 , — 1) , b= ( — 1,2),

.2a+ b= (2 , — 2) + ( — 1,2) = (1,0),

从而(2a+ b) • a= (1,0) • (1 , — 1) = 1，故选 C.]

4. ______________ (教材改编)已知|a| = 5, | b| = 4, a与b的夹角0 = 120° ,则向量b在向量a方向上的 投影为 __ .

—2 [由数量积的定义知， b在a方向上的投影为| b|cos 0 = 4xcos 120 ° =— 2.]

5. (2017 •全国卷I )已知向量 a= ( — 1,2) , b= (m,1).若向量 a+ b与a垂直，则 m=

7 [ T a= ( — 1,2) , b= (m,1),

••• a+ b= ( — 1 + m,2 + 1) = ( m- 1,3).

又 a+ b 与 a 垂直，二(a+ b) • a= 0,

即(m-1) x ( — 1) + 3X 2= 0,

解得m= 7.]

题型分类突破I高琴题型烦律方法逐-突砸 ■

(对应学生用书第62页)

心 ...... 平面向量数量积的运算

■■■I (1)(2016 •天津高考)已知△ ABC是边长为1的等边三角形，点 D, E分别是边AB,

BC的中点，连接 DE并延长到点F,使得DE= 2EF,则AF- BC勺值为( )

A.

11

D -S'

已知正方形 ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点，则DE- CB勺值为

C.

;DE・

DC

的最大值为 【导学号: 00090135】

AF= AM DF

又D, E分别为AB BC的中点, 2

5

(1) B (2) 1 1 [(1)如图所示,

f 1 f f 1 ・ _

且 DE=2EF 所以 AD= 1AB DF=2AC+ ；AC= 4AC1f 6

当E运动到B点时，DE^DC方向上的投影最大，即为 DC= 1,

所以(DE' Dg=| DC - 1= 1.］

［规律方法］1.求两个向量的数量积有三种方法： 利用定义；利用向量的坐标运算； 利用

数量积的几何意义. ~T 1 -T 3 ~T

所以 AF= 2AB+ 4AC

又 BC= AC- AB

3T-4AC-

又 | AB =|AQ = 1,z BAO 60°,

故AF- E3C= 4-2 — 4X 1X 1X 2= 1.故选 B. 4 2 4 2 8

⑵ 法一：以射线AB AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则A(0,0),巳1,0),

C(1,1) , D(0,1)，设 E(t, 0) , t € [0,1]，则DE= (t , - 1),

(t, -1) - (0，- 1) = 1.

因为 DC= (1,0)，所以 DE- DC= (t，- 1) - (1,0) = t w 1, 故DE- DC的最大值为1.

法二：由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB^向上的投影都是 CB= 1,所以DE- CB= | CB

则 AF- BC= -(AC-AB

3 T T --AC- AB 4 =2AB- AC- 2

7

2. (1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量. (2)注意向量夹角的

大小，以及夹角 0 = 0°, 90°, 180°三种特殊情形.8

[变式训练1] ⑴ 已知AB= (2,1)，点C( — 1,0) , D(4,5)，则向量AB在 C[方向上的投影为

(1) C (2)C [(1)因为点 C( —1,0) , Q4,5)，所以 C* (5,5)，又AB= (2,1)，所以向量 AB

在CD?向上的投影为

|AB|cos〈 AB CD = 磊=芈

I CD %2

⑵ 由 AB- AF= 3 得AB・(AM DF = AB- DF= 3,

所以 |DF = 1, |CF = 2,

BE • BC= — 6 + 2 = — 4.]

(1)(2017 •合肥二次质检)已知不共线的两个向量 a, b满足|a— b| = 2且a丄(a

—2b)，则 | b| =( )

A. 2

C. 2 2

⑵(2018 •西安模拟)已知平面向量a, b的夹角为 卡，且|a| = .3, | b| = 2,在厶ABC中,

AB= 2a+ 2b, AC= 2a — 6b, D为 BC的中点，贝U |AQ = ______ .

(1)B (2)2 [(1)由 a丄(a— 2b)得 a - (a— 2b) = | a| — 2a - b= 0.又•/ | a— b| = 2,「. | a (2)(2018

•榆林模拟)已知在矩形 ABCD中 AB= 3, BC= 3, BE= 2EC 点 F在边 CD上.若

AB- AF= 3,则 AE- 'BF的值为( )【导学号：00090136】

A. 0 B育

C.— 4 D. 4 2 B.- 3 5

D. 3 5 C.

所以 AE - BF= ( AB+ BE) •( BC+ CF) =AB- BC+ AB- CF+ BE- BC+ BE- CF= AB- CF+

ISfifl... ......... . ............................ j 平面向量数量积的性质

角度1 平面向量的模

MB

B. 2

D. 4