函数极限连续复习题答案
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函数极限连续复习题答案
一、选择题
1. 函数极限的定义是什么？
A. 当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的值
B. 当自变量趋近于无穷大时，函数值趋近于一个确定的值
C. 当自变量趋近于无穷小时，函数值趋近于一个确定的值
D. 当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大
答案：A
2. 函数在某点连续的定义是什么？
A. 函数在该点的极限值等于函数值
B. 函数在该点的极限值等于无穷大
C. 函数在该点的极限值等于无穷小
D. 函数在该点的极限值不存在
答案：A
3. 函数在某点不连续的类型有哪些？
A. 可去间断点
B. 跳跃间断点
C. 无穷间断点
D. 以上都是
答案：D
二、填空题
1. 函数极限的符号表示为：\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)，其中\(L\)表示函数值趋近于的确定值。
2. 函数在某点连续的充要条件是：\(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\)。
3. 函数在某点不连续时，若左极限和右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值，则该点为可去间断点。
三、解答题
1. 求函数\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)在\(x = 1\)处的极限值。
解：首先对函数进行化简，得到\(f(x) = x + 1\)（当\(x \neq
1\)）。因此，\(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) =
1 + 1 = 2\)。
2. 判断函数\(g(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, &
x < 0 \end{cases}\)在\(x = 0\)处是否连续，并说明理由。
解：计算左极限和右极限，得到\(\lim_{x \to 0^-} g(x) = 0\)和\(\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0\)。由于\(g(0) = 0\)，且左极限等于右极限等于函数值，所以函数在\(x = 0\)处连续。
3. 讨论函数\(h(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0 \end{cases}\)在\(x = 0\)处的连续性。
解：计算左极限和右极限，得到\(\lim_{x \to 0^-} h(x) = -\infty\)和\(\lim_{x \to 0^+} h(x) = +\infty\)。由于左极限和右极限都不存在，且不等于函数值，所以函数在\(x = 0\)处不连续，且为无穷间断点。
