复数的几何意义(1)

3.1.2复数的几何意义教案

教学

目标 1、知识目标：理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数式加法、减法运算的几何意义。

2、能力目标：渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力。

3、情感目标：引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，培养良好的学习思维品质。

教学

重点 复数的几何意义

教学

难点 复数与向量的关系；复数模的几何意义；复数减法的几何意义。

教学

方法 问题启发

设

计

说

明

1、微观与宏观：每一节数学课，一方面需要完成具体数学知识、方法等微观教学任务；另一方面，作为整个数学学科教学的一个有机组成部分，同时也肩负着培养学生数学思想，形成数学观，整体认识数学学科等的宏观教学任务。

2、探索与指导：人类对客观世界的认识离不开探索，但所有知识都通过探索去获得是没有必要的。也是不可能的。本课的设计中希望学生在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序。、更有效。

3、兴趣与毅力：兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证。在课的设计中一方面要安排一些有趣、直观、易于理解的内容，另一方面也需要有一定难度的思维训练，因为数学学习不可能是一件十分轻松的事情。

教

学

过

程 教学进程 设计意图

一、问题情景

问题1：对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？

（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。）

问题2：若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）

实数可以用数轴上的点来表示

实数 一一对应 实数轴上的点 （几何模型）

问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？

沛县汉城国际学校 高二数学组选修1-2导学单 时间 ： 1月 16日 备课人： 张允力

1 课题：3.3 复数的几何意义

【学习要求】

1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.

2.了解复数的加减运算的几何意义.

课前预习

1.任何一个复数z＝a＋bi和复平面内 一一对应，和以 为起点，以 为终点的向量 一一对应.

2.设z＝a＋bi，则|z|＝ .

3.两个复数差的模就是复平面内 .

活动一 复数与复平面内的点

问题1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢

小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

问题2 复数与复平面内的点怎样建立对应关系？

例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.

跟踪训练1 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i

(1)对应的点在x轴上方； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上.

活动二 复数与向量

问题1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？

问题2 怎样定义复数z的模？它有什么意义？

例2 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.

沛县汉城国际学校 高二数学组选修1-2导学单 时间 ： 1月 16日 备课人： 张允力

2 跟踪训练2 求复数z1＝3＋4i，z2＝－12－2i的模，并比较它们的大小.

活动三 复数加减法的几何意义

问题 复数与复平面内的向量一一对应关系，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？

高二数学 选修1-2 课案

复数的几何意义 第一课时

【教学目标】

1.理解复数与复平面内点事一一对应的关系.

2.掌握复数模和共轭复数.

【重点难点】

掌握复数模和共轭复数.

【导学问题】

一.自主学习

1.复数biaz与复平面内的点（a,b）（或向量OZ）之间有________的关系，点Z（a,b）或向量OZ是复数z的几何表示，复数一一对应________________一一对应

_______________.

2.在坐标系内x轴叫________轴，y轴叫________轴，实轴上的点表示____________，除原点外，虚轴上的点都表示_____________.

3.设biaz，z=____________，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数__________________，在复平面内互为共轭的两个复数的点关于________对称.

二.举例应用

例1.已知复数Rxixxxxz12622，问x为何数时，复数z对应的点：

（1）在实轴上； （2）在第三象限

例2.求iziz2321,4321的模和它们的共轭复数

【课堂小结】

【练习试题】

1.复数iz211与iz212在复平面内对应的点 （ ）

A.关于实轴对称

B. 关于虚轴对称

C. 关于直线y=x对称

D. 关于直线y=-2x对称

2.若izyixz3221与互为共轭复数，则yixz为___________

3.求下列复数的模

（1）4-3i （2）5+12i

（3）i223 （4）-1-i2

4.求下列复数的共轭复数

（1）8-5i （2）-7i

（3）3 (4)-3-3i

5.当m为何值时，复数immmmz)283()158(22在复平面内对应的点Z

试谈复数的几何意义

复数作为高中文科数学湘教版选修1-2的最后一章，由于其它知识对复数没有特殊的需要，不象其他知识点之间的联系那么紧密，应该说是独立成一块的，所以这块知识对学生来说是很容易遗忘。“复数就是那个带i的数，具体的好象有点记不清了”，“复数中i好象没有什么现实意义，所以我不太记得住这些概念”。我们可以从代数形式和几何意义这两个方面来深入了解复数，我们教材中引进复数及其某些概念也是先介绍代数形式，所以学生认识复数最初从代数形式开始，运用代数形式理解概念、进行运算是他们习惯性的方法。

很多学生认为复数问题只要设z=a+bi（a，b∈R），好象都好做，事实上将复数问题实数化是解决复数问题的一种重要思想.但是他们对复数的认知并没有随着复数的定义z=a+bi（a，b∈R）完成从一维到二维的转变。数轴上的点与实数一一对应，类比我们可以联想到复数可以用复平面上的点来表示，实现复数从“数”到“形”的转化。任何一个复数z=a+bi（a，b∈R）都可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定，而有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的。因此，以每个复数z=a+bi（a，b∈R）的实部a和虚部b组成坐标（a,b）在复平面上可以画出唯一的一个点P（a,b），即每个复数在复平面上有且只有一个点坐标与其相对应。

理解和应用复数模是一个逐步深化的过程，首先，学生将模内化到自己的心理图式中，必须经过一段过程，尤其要经过一定的操作运算，而且当他越来越熟悉地进行这些运算，最后达到不再需要实际操作时，才算将模的概念内化了，从很多学生解决问题的方法来看 ，他们中的大多数人都首先运用模的代数形式定义z=进行运算，用距离表示模，用几何意义来描述模 是对模的概念的压缩，在此阶段，学习者能将一个复杂的概念压缩成容易使用和考虑的形式，并且在不同的表示形式之间进行转换，他们的概括能力逐步提高了，例如，既能运用代数形式又能运用几何意义解题的学生，他们将模的代数形式和几何意义组合过程，并且作对比和概括，随着理解的深入，一些学生能将模看作一个整体对象|z|，而不需要详细用代数形式展开或用几何意义表示，就 能对其进行运算，这是对复数模的概念理解的具体化阶段，在这一阶段，学生对概念的理解是整体的和结构性的理解，有的学生表面上是用整体形式的方法，但是他们对复数及其模等概念的发展没有真正达到对象化的程度。复数z和模|z|没有被高一级的过程进行充分的运算，就看不出对象化的必要性，而在高一级的过程中，被操作的如果不是一个实际对象，所规定的运算法则也就失去了意义，倘若老师坚持让学生去进行运算，那么这种运算就成了无对象的运算，变为缺乏意义的符合游戏，学生除了死记硬背外 ，无法进行有意义的操作运算，从而就出现了||=||+||的错误。所以，教师在复数教学中要多加关注学生的思维表现，了解和分析他们对复数的认知水平