1 §5.11 导体、半导体和绝缘体
尽管所有的固体都包含大量有电子，但有些固体具有很好的电子导电性能，而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。对于固体为什么分为导体、绝缘体和半导体呢？这一基础事实曾长期得不到解释，能带论对这一问题给出了一个理论说明，并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。
晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带，每个能带均由N个准连续能级组成（N为晶体原胞数），所以，每个能带可容纳2N个电子。晶体电子从最低能级开始填充，被电子填满的能带称作满带，被电子部分填充的能带称为不满带，没有电子填充的能带称为空带。能带论解释固体导电的基本观点是：满带电子不导电，而不满带中的电子对导电有贡献。
5. 11. 1 满带电子不导电
从前面的知识中，已经知道，晶体中电子能量本征值E(k)是k的偶函数，可以证明v(-k)=-v(k)，即v(k)是k的奇函数。一个完全填满的电子能带，电子在能带上的分布，在k空间具有中心对称性，即一个电子处于k态，其能量为E(k)，则必有另一个与其能量相同的E(-k)=E(k)电子处于-k态。当不存在外电场时，尽管对于每一个电子来证，都带有一定的电流-ev，但是k态和-k态的电子电流-ev(k)和-ev(-k)正好一对对相互抵消，所以说没有宏观电流。
当存在外电场或外磁场时，电子在能带中分布具有k空间中心对称性的情况仍不会改变。以一维能带为例，图1中k轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。如上所述，在外电场E的作用下，所有电子所处的状态都以速度
dedtkE…………………………………………………………………………………………(1)
沿k轴移动。由于布里渊区边界A和A两点实际上代表同一状态，在电子填满布里渊区所有状态即满带情况下，从A点称动出去的电子同时就从A点流进来，因而整个能带仍处于均匀分布填满状态，并不产生电流。
5. 11. 2 不满带的电子导电
固体物理学讲稿
1 第五章 晶体中的电子能带理论
电子在固体中的运动问题处理
第一步简化 —— 绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上
第二步简化 —— 单电子近似：每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动
第三步简化 —— 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
复杂的多体问题转化为周期场中的单电子运动问题
5-1 布洛赫波函数
一、布洛赫定理
1.晶格的周期性势场
(1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和；
(2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势能与距离成反比)；
(3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；
(4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。
电子在一个具有晶格周期性的势场中运动
nRrVrV其中nR为任意格点的位矢。
ErVm222
2. 布洛赫定理
当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
),(e)(rRrnRkin
其中k为电子波矢，332211nanananR是格矢。
根据布洛赫定理波函数写成如下形式：
rurkrkike
nkkRruru
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
固体物理学讲稿
2 3.证明布洛赫定理
(1)引入平移对称算符)(nRT
(2)说明: 0]ˆ,ˆ[HT
(3) Tˆ nRkinRe)(
能带理论(Energy band theory)的概念
摘 要: 本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论, 以期对能带理论的概念更细致的把握。
关键词: 能带理论 能带理论的概念
能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论;对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用, 是一种晶体周期性的势场。
能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子,
并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。
1、电子的共有化运动
我们先来讨论电子的共有化运动。我们知道,由于原子核对电子的静电引力,使得电子只能围绕原子核在一定的轨道上运动。由于电子在空间运动的范围受到限制,电子在能量上就呈现出不连续的状态, 电子的能量只能取彼此分立的一系列可能值——能级。晶体是由大量的原子在空间有规则地周期性地排列而成的。相邻原子间距只有几个埃的能量级,例如,硅的原子间距为4.2 埃。因此,晶体中的原子状态和孤立原子中的电子状态不同,特别是外层电子的状态会有显著的变化。
原子中的电子分列在内外层电子轨道上, 每一层轨道对应于确定的能量。当原子间相互接近形成晶体时,不同原子的内外层个电子轨道之间就有一定的交迭,相邻原子最外层轨道上交迭最多,内层轨道交迭较少。
图一 图二
当原子组成晶体后,由于电子轨道间的交迭,电子不再完全局限于某一个原子中,他可以由一个原子转移到相邻的原子上去,而且可以从相邻的原子再转移到更远的原子上去,以致任何一个电子可以在整个晶体中从一个原子转移到另一个原子,而不再专属于哪一个原子所有,这就是晶体中电子共有化运动。
固体能带理论
（学号：1120120332 姓名：马英 ）
摘要：固体能带理论是凝聚态物理学的重要组成部分，在密度泛函理论基础上，对固体能带理论70年来的发展作简单的论述和分析，并阐述固体能带计算各种方法的物理原理及共典型应用。
关键词：固体、半导体、金属、单电子、准粒子、离子、晶体、应力
一、自由电子模型
在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互作用被忽略.也可以这样说晶格对电子的影响视为平均势场
索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布
解释： 1.电子气热容量
2.电子发射
3.电子气的顺磁与逆磁效应
二、3个重要近似和周期性势场
绝热近似：由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。
单电子近似：：一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。又称hartree-Fock自洽场近似。
周期场近似：原子实和电子所形成的势场是周期性的。
周期性势场 ：单电子近似的结果：周期性势场（周期为一个晶格常数）。
3. Bloch波
（1）Bloch定理：在周期性势场中运动的电子，气波函数由如形式 ：
其中u具有晶格的周期性，即
（2）Bloch波的性质
a.波函数不具有晶体周期性，而（k为实数时）电子分布几率具有晶格的周期性
b.当k为虚数，描写电子的表面态，k＝is(s>0)
(S小于0时无意义.)
c. 周期边界条件：
)()(ruerrki)()(332211anananruru)()(xuexika222|)(||)(||)(|xuaxx)()(xuexsx)()(xNax)()(ˆ)(xexTNaxikNa)()(axxnKkk d. 波矢相差倒格矢整数倍的Bloch波等效.因此把波矢限制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞数N可容纳的电子数为2N.
