1 第一章 晶体结构和X射线
1、试证体心立方和面心立方各自互为正、倒格子
2、如果基矢a,b,c构成正交关系，证明晶面族（h k l）的面间距满足：
222)()()(1clbkahdhkl
3、证明以下结构晶面族的面间距：
（1） 立方晶系：dhkl=a[h2+k2+l2]-1/2
（2） 六角晶系：2/12222])()(34[clahkkhdhkl
4、等体积的硬球堆积成体心立方结构和面心立方结构，试求他们在这两种结构中的致密度分别为0.68和0.74。
5、试证密积六方结构中，c/a=1.633。
6、在立方晶胞中，画出（1 0 1），（0 2 1），（221）和（012）晶面。
7、如下图，B和C是面心立方晶胞上的两面心。
（1） 求ABC面的密勒指数；
（2） 求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
2 8、六角晶胞的基矢为
.,223,223kccjaiabjaiaa 求其倒格子基矢。
9、求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族（h1 h2 h3）之间的面间距（指导p30,10）。
10、讨论六角密积结构，X光衍射的消光条件。
11、求出体心立方、面心立方的几何因子和消光条件。
12、原胞和晶胞的区别？
13、倒空间的物理意义？
14、布拉格衍射方程，原子和几何结构因子在确定晶格结构上分别起何作用？
15、什么是布拉格简单格子，什么是复式格子？
第二章 自由电子气
1、设有一个长度为L的一维金属线，它有N个导电电子，若把这些导电电子看成自由电子气，试求：
（1） 电子的状态密度
（2） 绝对零度下的电子费米能级，以及费米能级随温度的变化关系。
（3） 电子的平均能量。
（4） 电子的比热。
2、二维电子气的能态密度2)(mEN，证明费米能
]1ln[/2TmknBFbeTkE
3、求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能以及一个电子对于比热的贡献。
第一章 晶体构造和X射线
1、试证体心立方和面心立方各自互为正、倒格子
2、假如基矢a,b,c构成正交关系，证明晶面族〔h k l〕的面间距满足：
222)()()(1clbkahdhkl
3、证明以下构造晶面族的面间距：
（1） 立方晶系：dhkl=a[h2+k2+l2]-1/2
（2） 六角晶系：2/12222])()(34[clahkkhdhkl
4、等体积的硬球堆积成体心立方构造和面心立方构造，试求他们在这两种构造中的致密度分别为0.68和0.74。
5、试证密积六方构造中，c/a=1.633。
6、在立方晶胞中，画出〔1 0 1〕，〔0 2 1〕，〔221〕和〔012〕晶面。
7、如下列图，B和C是面心立方晶胞上的两面心。
（1） 求ABC面的密勒指数；
（2） 求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
8、六角晶胞的基矢为
.,223,223kccjaiabjaiaa 求其倒格子基矢。
9、求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族〔h1 h2 h3〕之间的面间距〔指导p30,10〕。
10、讨论六角密积构造，X光衍射的消光条件。
11、求出体心立方、面心立方的几何因子和消光条件。
12、原胞和晶胞的区别？
13、倒空间的物理意义？
14、布拉格衍射方程，原子和几何构造因子在确定晶格构造上分别起何作用？
15、什么是布拉格简单格子，什么是复式格子？
第二章 自由电子气
1、设有一个长度为L的一维金属线，它有N个导电电子，假设把这些导电电子看成自由电子气，试求：
（1） 电子的状态密度
（2） 绝对零度下的电子费米能级，以及费米能级随温度的变化关系。
（3） 电子的平均能量。
（4） 电子的比热。
2、二维电子气的能态密度2)(mEN，证明费米能
]1ln[/2TmknBFbeTkE
3、求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能以及一个电子对于比热的奉献。
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. 5.3 晶体的能带结构
1 导体、半导体和绝缘体的能带解释
能态总数 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k在k空间量子态的密度为V/83，V为晶体体积。每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N。N为原胞数。考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N个电子。简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。复式晶格可以根据单胞数N和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。
满带电子不导电 由于布洛赫电子的能量在k空间具有反演对称性，即
kknnEE (5.3.1)
因此布洛赫电子在k空间是对称分布的。在同一能带中k和 k态具有相反的速度：
错误!未指定书签。 kk
(5.3.2)
在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流q，但是k和 k态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。
即使有外加电场或磁场，也不改变k和 k态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k和 k态电子贡献的电流始终正好相互抵销。因此满带电子不导电。
导体和非导体模型 部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k空间对称分布，k和 k态电子贡献的电流始终正好相互抵销。但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。
例题： 正交晶系和立方晶系面间距d的推导
(1)正交晶系面间距d的推导
在一组（或一族）平行的晶面中，两相邻晶面间的距离称为面间距。通常把密勒指数为（hkl）的一组晶面的面间距记为dhkl，如果基矢a,b,c构成正交系，证明晶面族(hkl)的面间距为：
2/1222 1clbkahhkld
证明：已知dhkl=1/|hG|，设倒格矢hG=hb1+kb2+lb3,b1,b2,b3为倒格子基矢，注意到a,b,c相互正交，由倒格子基矢的定义，得
b1aaabca•1cb ，
b2bbabcb•1ac ，
b1ccabcc•1ba .
所以 cclbbkaahcbaG•••h ，
2/1222||clbkahhG
因此
2/1222 1||1clbkahhkldhG
(2) 立方晶系面间距d的推导
对于立方晶系，a=b=c，利用上式可以得到：
)(222lkhadhkl
几种晶系面间距d与点阵参数的关系如下表所示：
立方晶系：
正方晶系：
六方晶系：
正交晶系：
单斜晶系：
三斜晶系：
