下载文档原格式
第1节集合的概念与运算考试要求1。
通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2。
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集;5。
能使用韦恩（Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.知识梳理1。
集合的概念(1）一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合,集合中的每一个对象称为该集合的元素.（2)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(3）集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法等.（4）集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集。
(5)特别地，自然数集记作N，正整数集记作N*或N＋，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R,复数集记作C.2.集合间的基本关系（1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B）,那么集合A称为集合B的子集,记为A⊆B或B⊇A.(2)真子集：如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集,记为A B或B A.（3)空集：空集是任何集合的子集。
(4）相等:如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等。
3。
集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为S,则集合A的补集为∁SA图形表示集合表示{x|x∈A,或x∈B}｛x｜x∈A，且x∈B｝｛x|x∈S，且x∉A｝4。
集合的运算性质(1）A∩A＝A,A∩∅＝∅,A∩B＝B∩A。
（2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。
(3）A∩(∁S A ）＝∅，A∪(∁S A)＝S，∁S(∁S A)＝A.[常用结论与微点提醒]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个。
专题1.1 集合【核心素养分析】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。
4.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力。
【知识梳理】知识点1：元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法。
知识点2：集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A。
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
知识点3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}知识点4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。
(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A。
【特别提醒】1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C。
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B。
4. ∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。
【典例剖析】高频考点一集合的基本概念例1、（河南省平顶山一中2019-2020年模拟）已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为( )A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】因为32－x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.【变式探究】（湖南省郴州二中2019-2020年模拟）设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ； 当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ； 当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.【举一反三】（山西省晋中一中2019-2020年模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b－a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】C【解析】因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b－a ＝2.【方法技巧】解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B 中的代表元素为实数p －q.(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．高频考点二：集合间的基本关系例2、（吉林长春市实验中学2019-2020年模拟）(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为______．【解析】(1)由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． 【答案】(1)D (2)(－∞，1] 【方法技巧】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．【变式探究】（安徽师大附中2019-2020年模拟）已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【答案】B【解析】因为A ＝{x |x >2或x <0}，因此A ∪B ＝{x |x >2或x <0}∪{x |－5<x <5}＝R .故选B. 【举一反三】（福建莆田一中2019-2020年模拟）已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．16【答案】A【解析】方法一：A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．方法二：因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)． 高频考点三：集合的运算例3、(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝( )A．{1，6} B．{1，7}C．{6，7} D．{1，6，7}【答案】C【解析】依题意得∁U A＝{1，6，7}，故B∩∁U A＝{6，7}．故选C。
第一章集合与常用逻辑用语知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件。
1．集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＊(或N＋)Z Q R表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B,且存在x∈B，x∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅,∅⊆A∅3。
集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}A∩B＝｛x|x∈A,且x∈B｝∁U A＝｛x|x∈U，且x∉A}(1）并集的性质:A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A;A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅;A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B。
（3）补集的性质:A∪(∁U A）＝U;A∩(∁U A）＝∅．(4)∁U（∁U A）＝A;∁U(A∪B）＝(∁U A）∩（∁U B)；∁U（A∩B）＝（∁U A）∪(∁U B）．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）｛x|y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1｝＝{(x，y）｜y＝x2＋1}．( ）（2）若｛x2，1｝＝｛0，1}，则x＝0，1。
2021年高考数学一轮复习 专题1.1 集合的概念及其基本运算（测）理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1. 【河北省“五个一名校联盟” xx 届高三教学质量监测（一）1】设集合，，则 （ ）A. B. C. D.【答案】B2. 【xx 届太原五中模拟】已知集合，，若，则（ ）A ．B ．C ．或D ．或 【答案】C ．3. 已知集合，若，则实数的取值范围为 ( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A4. 在实数集上定义运算：．若关于的不等式的解集是集合 的子集，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D5. 若集合{}{}2|,|2,M x y x N y y x x R ====-∈,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A6．【xx 届北京市西城区二模】已知集合，，若，则实数的 取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D7．设和是两个集合,定义集合或且.若, ,那么等于( )A.[-1,4]B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.(-3,5)D.(-∞,-3)∪[-1,4]∪(5,+∞) 【答案】D8．【xx 届湖南省长沙市二模】 已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若，使得成立，则实数b 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B9．设集合，，则满足且的集合S 的个数是( ) A ．57 B ．56 C ．49 D ．8【答案】B10．【xx届江西师大附中高三三模】设集合，，集合中所有元素之和为8，则实数的取值集合为（）A．Ｂ． C． D．【答案】C11．【xx届内蒙古北方重工业集团三中模拟】如图所示的韦恩图中，、是非空集合，定义*表示阴影部分集合．若，，,则*B=（）．A． B． C． D．【答案】C12．【xx届北京东城区示范校模拟】设集合，集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考数学一轮复习专题1.1 集合的概念及其基本运算（讲）理（含解析）【课前小测摸底细】1.【课本典型习题，P12第3题】设集合，，求，.【答案】当时，，；当时，，；当时，则，；当，，时，，．2.【xx高考天津，理1】已知全集，集合，集合，则集合( )（A）（B）（C）（D）【答案】A3. 【云南省玉溪一中xx届高三上学期第一次月考试卷】设集合，，则的子集的个数是（）A．4 B．3 C ．2 D．1【答案】A4.【基础经典试题】集合，集合，则等于( )A． B． C． D．【答案】B5.【改编自xx年江西卷理科】若集合，则集合中的元素的非空子集个数为( )A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．【经典例题精析】考点1 集合的概念【1-1】若，集合，求的值________．【答案】2【1-2】已知集合A＝{x|x2＋mx＋4＝0}为空集，则实数m的取值范围是( )A．(－4，4) B．[－4，4] C．(－2，2) D．[－2，2]【答案】A【1-3】已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【课本回眸】1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性；(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性；(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性．3、元素与集合之间只能用“”或“”符号连接．4、集合的表示常见的有四种方法．（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述。
2021高考一轮复习第一讲集合一、单选题(共12题；共60分)1．（5分）已知全集U=R，集合M={x||x−2|≤1}，则C U M=（）A．(1,3)B．[1,3]C．(−∞,1)∪(3,+∞)D．(−∞,1]∪[3,+∞)2．（5分）已知集合A={−1,0,1,2,3,4}，集合B={x|x=2n+1,n∈A}，则A∩B=（）A．{−1,0,1,2,3,4}B．{−1,1,3}C．{1,3}D．{−1,1}3．（5分）已知集合A={x|1<x<2}，集合B={x|y=√m−x2}，若A∩B=A，则m的取值范围是（）．A．(0,1]B．(1,4]C．[1,+∞)D．[4,+∞)4．（5分）已知集合A={x|x2+2x−3<0},B={y|y=1−sinx,x>0}，则A∩B=（）A．[−3,1)B．[0,1)C．[1,2]D．(−3,2)5．（5分）已知全集I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={3,4,5,6}，集合B={5,6,7,8}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{3,4,7,8}B．{3,4,5,6,7,8}C．{1,2,9}D．{5,6}6．（5分）M={x|6x2−5x+1=0}，P={x|ax=1}，若P⊆M，则a的取值集合为（）A．{2}B．{3}C．{2,3}D．{0,2,3}7．（5分）已知集合A={−1,2}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（）A．{1,1}B．{−1,12}2C．{0,1,1}D．{−1,0,12}28．（5分）已知集合A={1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1,B2,B3…,B n,n∈N∗．记b i 为集合B i中的最大元素，则b1+b2+b3+⋯+b n=（）A．45B．105C．150D．2109．（5分）已知集合A={1,3a}，B={a，b} ，若A∩B={13}，则a2−b2=（）A．0B．43C．89D．2√2310．（5分）若关于x的不等式|x−1|−|x−2|≥a2+a−1(x∈R)的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．(0,1)B．(−1,0)C．(−∞,−1)∪(0,+∞)D．(−∞,−2)∪(1,+∞)11．（5分）已知全集为R，函数y=ln(6−x)(x−2)的定义域为集合A,B={x|a−4≤x≤a+ 4}，且A⊆∁R B，则a的取值范围是（）A．−2≤a≤10B．−2<a<10C．a≤−2或a≥10D．a<−2或a>1012．（5分）已知集合A={x∈N∗|0≤x<2}，则集合A的子集的个数为（）A．2B．3C．4D．8二、填空题(共4题；共20分)13．（5分）集合A={x|2x−22x−4≤0}，B={x||x−a|≤2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是14．（5分）已知函数f(x)=x2+ax+a，A={x∈R|f(x)≤x}，B={x∈R|f[f(x)]≤f(x)}，A≠∅,A⊆B，则实数a的取值范围是.15．（5分）在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为．16．（5分）设a,b∈R,P={1,a},Q={−1,−b}，若P=Q，则a+b=.三、解答题(共4题；共40分)17．（10分）已知集合A={x|x>2m}，B={x|−4<x−4<4}.（1）（5分）当m=0时，求A∪B，A∩B；（2）（5分）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围.18．（10分）已知集合A={x|3−2xx+2>−1}，（Ⅰ）若B⊆A，B={x|m+1<x<2m−1}，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若A⊆B，B={x|m−6<x<2m−1}，求实数m的取值范围．19．（10分）设集合A={x|a−1<x<2a,a∈R}，不等式x2−2x−8<0的解集为B．（1）（5分）当a=0时，求集合A，B；（2）（5分）当A⊆B时，求实数a的取值范围．20．（10分）设集合A={x|2m−1<x<m},集合B={x|−4≤x≤5}．（1）（5分）若m=−3,求A∪B；（2）（5分）若A∩B=ϕ,求实数m的取值范围．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由|x−2|≤1知，−1≤x−2≤1，解得1≤x≤3，则C U M= (−∞,1)∪(3,+∞).故答案为：C.【分析】解绝对值不等式可得1≤x≤3，从而可求出C U M.2．【答案】B【解析】【解答】因为集合A={−1,0,1,2,3,4},所以集合B={x|x=2n+1,n∈A}={−1,1,3,5,7,9},所以A∩B={−1,1,3},故答案为：B.【分析】先求出集合B,再根据交集运算法则求A∩B即可.3．【答案】D【解析】【解答】∵A∩B=A⇒A⊆B，∵A={x|1<x<2}，∴B≠∅, ∴m≥0,∴B={x|y=√m−x2}={x|−√m≤x≤√m}，∴{−√m≤−1,√m≥2,，解得：m≥4，故答案为：D.【分析】根据A∩B=A可得A⊆B，从而得到关于m的不等式，解不等式即可得答案；4．【答案】B【解析】【解答】由x2+2x−3=(x+3)(x−1)<0解得−3<x<1.当x>0时，函数y=1−sinx∈[0,2]，所以A∩B=[0,1).故答案为：B【分析】解一元二次不等式求得集合A，求三角函数值域求得集合B，由此求得A∩B.5．【答案】A【解析】【解答】由题意，全集I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={3,4,5,6}，集合B={5,6,7,8}，可得A∪B={3,4,5,6,7,8},A∩B={5,6}，所以C I(A∩B)={1,2,3,4,7,8,9}，由图象可得阴影部分表示的集合为(A∪B)∩C I(A∩B)={3,4,7,8}.故答案为：A.【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为(A∪B)∩C I(A∩B)，根据集合的运算，即可求解. 6．【答案】D【解析】【解答】M={x|6x2−5x+1=0}={13,12 }，P={x|ax=1}，P⊆M，∴P=∅，P={13}或P={12}，∴a=0或a=3或a=2．∴a的取值集合为{0,2,3}．故答案为：D．【分析】求出M={13,12}，由P={x|ax=1}，P⊆M，可得P=∅，P={13}或P={12}，由此能求出a的取值集合．7．【答案】D【解析】【解答】因为集合A={−1,2}，B={x|ax=1}，B⊆A，若B为空集，则方程ax=1无解，解得a=0；若B不为空集，则a≠0；由ax=1解得x=1a ，所以1a=−1或1a=2，解得a=−1或a=12，综上，由实数a的所有可能的取值组成的集合为{−1,0,12} .故答案为：D【分析】分B为空集和B不为空集两种情况讨论，分别求出a的范围，即可得出结果. 8．【答案】B【解析】【解答】集合M含有3个元素的子集共有C63=20，所以k=20．在集合B i（i=1,2,3,…,k）中：最大元素为3的集合有C22=1个；最大元素为4的集合有C32=3；最大元素为5的集合有C42=6；最大元素为6的集合有C52=10；所以b1+b2+b3+b4+b5＝3×1+4×3+5×6+6×10＝105．故选：B．【分析】分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解. 9．【答案】C【解析】【解答】∵A∩B={13 },∴3a=13,解得: a=−1, b=13,∴a2−b2=1−19=89.故选:C.【分析】由A∩B={13},可解得a,b,代入即可求得结果.10．【答案】D【解析】【解答】|x−1|−|x−2|=|x−1|−|2−x|≤|(x−1)+(2−x)|=1，当且仅当x−1与2−x异号时等号成立．∵关于x的不等式|x−1|−|x−2|≥a2+a−1(x∈R)的解集为空集，∴a2+a−1>1，即a2+a−2>0，解得a>1或a<−2.∴实数a的取值范围为(−∞,−2)∪(1,+∞)．故答案为：D．【分析】先利用绝对值三角不等式，得到|x−1|−|x−2|≤1，再由已知不等式的解集为空集，得到a2+a−1>1，即可求出实数a的取值范围.11．【答案】C【解析】【解答】由y=ln(6−x)(x−2)可知，(6−x)(x−2)>0⇒2<x<6，所以A={x|2<x<6}，C R B={x〈a−4或x〉a+4}，因为A⊆C R B，所以6≤a−4或2≥a+4，即a≥10或a≤−2，故选C.【分析】由(6−x)(x−2)>0可得A={x|2<x<6}，C R B={x〈a−4或x〉a+4}，再通过A 为C R B的子集可得结果.12．【答案】A【解析】【解答】A={x∈N∗|0≤x<2}={1}，则集合A的子集的个数为2 .故选：A.【分析】根据已知条件，求出A={1}，再根据子集的含义得出答案. 13．【答案】(−∞,−1)∪[4,+∞)【解析】【解答】解：由2x−22x−4≤0得，(2x−2)(2x−4)≤0且(2x−4)≠0，解得1≤x<2，所以集合A={x|1≤x<2}，由|x−a|≤2得，a−2≤x≤a+2，所以集合B={x|a−2≤x≤a+2}，因为A∩B=∅，所以a+2<1或a−2≥2，解得a<−1或a≥4故答案为：(−∞,−1)∪[4,+∞)【分析】先分别求出集合A,B，再由A∩B=∅列不等式可求出a的取值范围14．【答案】0≤a≤3−2√2或3+2√2≤a≤6【解析】【解答】由A≠∅，可设x1，x2(x1≤x2)是方程f(x)=x即x2+(a−1)x+a=0的两个实根，则A={x∈R|f(x)≤x}={x∈R|x1≤x≤x2}，f[f(x)]=f(x)⇔f(x)=x1或x2，则f(x)−x=(x−x1)(x−x2)，f[f(x)]−f(x)=[f(x)−x1][f(x)−x2]= [f(x)−x+x−x1][f(x)−x+x−x2]=[(x−x1)(x−x2)+(x−x1)][(x−x1)(x−x2)+(x−x2)]=(x−x1)(x−x2)(x−x1+1)(x−x2+1).由A⊆B可得对任意x1≤x≤x2，均有f[f(x)]−f(x)≤0，即(x−x1)(x−x2)(x−x1+1)(x−x2+1)≤0对任意x1≤x≤x2均成立，由x−x1≥0，x−x2≤0，x−x1+1>0可得x−x2+1≥0对任意x1≤x≤x2均成立，所以x1−x2+1≥0，所以{Δ=(a−1)2−4a≥0x1−x2+1=−√(x1+x2)2−4x1x2+1≥0即{(a−1)2−4a≥0(a−1)2−4a≤1，解得0≤a≤3−2√2或3+2√2≤a≤6.故答案为：0≤a≤3−2√2或3+2√2≤a≤6.【分析】设x1，x2(x1≤x2)是方程f(x)=x的两个实根，则可得f[f(x)]=f(x)⇔f(x)=x1或x2，进而可得f[f(x)]−f(x)=(x−x1)(x−x2)(x−x1+1)(x−x2+1)，由A⊆B可得对任意x1≤x≤x2，均有f[f(x)]−f(x)≤0，即可得x1−x2+1≥0，由韦达定理和根的判别式列出不等式组即可得解.15．【答案】18+π【解析】【解答】由x＝x1+x2，y＝y1+y2，得x1＝x﹣x2，y1＝y﹣y2，∵（x1，y1）∈A，∴把x1＝x﹣x2，y1＝y﹣y2，代入x2+y2≤1，∴（x﹣x2）2+（y﹣y2）2≤1点集Q所表示的区域是以集合B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，如图，其面积为：5+6+4+3+π＝18+π故答案为：18+π．【分析】转化条件得（x﹣x2）2+（y﹣y2）2≤1即点集Q所表示的区域是以集合B表示的区域的边界为圆心轨迹半径为1的圆内部分，计算即可得解.16．【答案】-2【解析】【解答】因为P=Q，所以{1=−ba=−1⇒{a=−1b=−1⇒a+b=−2.【分析】根据集合相等，得到集合元素之间的关系，求出a,b，最后计算a+b的值. 17．【答案】（1）解：A={x|x>1}，B={x|−4<x−4<4}={x|0<x<8}，故A∪B={x|x>0}，A∩B={x|1<x<8}.（2）解：B={x|−4<x−4<4}={x|0<x<8}，故C R B=(−∞,0]∪[8,+∞)，A⊆C R B，故2m≥8，解得m≥3，即m∈[3,+∞).【解析】【分析】（1）计算B={x|0<x<8}，再计算交集和并集得到答案.（2）计算C R B= (−∞,0]∪[8,+∞)，根据题意得到2m≥8，解得答案.18．【答案】解：解不等式3−2xx+2>1，得−2<x<5，即A=(−2,5). （Ⅰ）B⊆A①当B=∅时，则2m−1≤m+1，即m≤2，符合题意；②当B≠∅时，则有{m>2m+1≥22m−1≤5解得：2<m≤3.综上：m∈(−∞,3].（Ⅱ）要使A⊆B，则B≠∅，所以有{2m−1>m−6m−6≤−22m−1≥5解得：3≤m≤4.【解析】【分析】（1）求出集合A，利用子集关系，通过B是否为空集，列出不等式组求解即可．（2）A⊆B，B={x|m﹣6＜x＜2m﹣1}，列出不等式组求解即可．19．【答案】（1）解：当a=0时，A={x|−1<x<0}x2−2x−8<0⇒B={x|−2<x<4}（2）解：若A⊆B，则有：①当A=∅，即2a≤a−1，即a≤−1时，符合题意，②当A≠∅，即2a>a−1，即a>−1时，有{a−1≥−22a≤4⇒{a≥−1a≤2解得：−1<a≤2综合①②得：a≤2【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得A，解不等式得B；（2）分别讨论A=∅和A≠∅两种情况，得到关于a的不等式组，求得取值范围.20．【答案】（1）解：因为集合A={x|2m−1<x<m},集合B={x|−4≤x≤5}．∴当m=−3时, A={x|−7<x<−3},∴A∪B={x|−7<x≤5}．（2）解：①若A=ϕ,则m≤2m−1,解得m≥1．②若A≠ϕ,则m>2m−1,解得m<1,要使A∩B=ϕ,则m≤−4或2m−1≥5,解得m≤−4．综上,实数m的取值范围是{m|m≤−4或m≥1}．【解析】【分析】（1）当m=−3时,求出集合A,B,由此能求出A∪B．（2）根据A=ϕ和A≠ϕ,进行分类讨论,能求出实数m的取值范围．。
第一章集合与常用逻辑用语第一讲集合的概念与运算ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一集合的基本概念一组对象的全体构成一个集合．(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一．(3)常见集合的符号表示.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*Z Q R(4)(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．知识点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中的任意一个元素都是B中的元素A⊆B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A A B 空集用∅表示．(2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．知识点三集合的基本运算符号交集A∩B 并集A∪B 补集∁U A 语言图形语言意义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}重要结论1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A．3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A．4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列命题错误的是(ABCD)A．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为1或－1或0.B．方程x－2 020＋(y＋2 021)2＝0的解集为{2 020，－2 021}．C．若A∩B＝A∩C，则B＝C．D．设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁U A＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．题组二走进教材2．(必修1P5B1改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝45，则(D)A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P[解析]452＝2 025>2 021，∴a∉P，故选D．3．(必修1P7T3(2)改编)若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B 的关系是(B)A．A＝B B．A BC．A B D．A⊆B[解析]因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k ∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以A B，故选B．题组三考题再现4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A＝(C)A．{1,6} B．{1,7}C ．{6,7}D ．{1,6,7}[解析] 依题意得∁U A ＝{1,6,7}，故B ∩∁U A ＝{6,7}．故选C ．5．(2019·北京，5分)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >1}，则A ∪B ＝( C ) A ．(－1,1) B ．(1,2) C ．(－1，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 由题意得A ∪B ＝{x |x >－1}，即A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C ．6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1<0}，则A ∩B ＝( A ) A ．(－∞，1) B ．(－2,1) C ．(－3，－1)D ．(3，＋∞)[解析] 因为A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}＝{x |x >3或x <2}，B ＝{x |x －1<0}＝{x |x <1}，所以A ∩B ＝{x |x <1}，故选A ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 集合的基本概念——自主练透例1 (1)(多选题)已知集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( ABD ) A ．－2∈A B ．2 021∉A C ．3k 2＋1∉AD ．－35∈A(2)(2019·华师大第二附中10月月考)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为( C )A ．2B ．3C ．4D ．5(3)已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则2 020a 的值为1；若1∉A ，则a 不可能取得的值为－2，－1，0，－1＋52，－1－52.[解析] (1)当－2＝3k ＋1时，k ＝－1∈Z ，故A 正确；当2 021＝3k ＋1时，k ＝67313∉Z ，故B 正确；当－35＝3k ＋1时，k ＝－12∈Z ，故D 正确．故选A 、B 、D ．(2)∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3.又∵x ∈Z ，∴x 的取值为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C ．(3)若a ＋2＝1，则a ＝－1，A ＝{1,0,1}，不合题意；若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或－2，当a ＝0时，A ＝{2,1,3}，当a ＝－2时，A ＝{0,1,1}，不合题意；若a 2＋3a ＋3＝1，则a ＝－1或－2，显然都不合题意；因此a ＝0，所以2 0200＝1.∵1∉A ，∴a ＋2≠1，∴a ≠－1；(a ＋1)2≠1，解得a ≠0，－2；a 2＋3a ＋3≠1解得a ≠－1，－2.又∵a ＋2、(a ＋1)2、a 2＋3a ＋3互不相等，∴a ＋2≠(a ＋1)2得a ≠－1±52；a ＋2≠a 2＋3a＋3得a ≠－1；(a ＋1)2≠a 2＋3a ＋3得a ≠－2；综上a 的值不可以为－2，－1,0，－1＋52，－1－52.名师点拨 ☞(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．考点二 集合之间的基本关系——师生共研例2 (1)已知集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{x |x ∈A }，则集合A 与集合B 的关系为( C ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ＝BD ．不能确定(2)(2020·江西赣州五校协作体期中)已知集合A ＝{x |x ＝sin n π3，n ∈Z }，且B ⊆A ，则集合B 的个数为( C )A ．3B ．4C ．8D ．15(3)(多选题)设集合M ＝{x |x ＝k 3＋16，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 6＋23，k ∈Z }，则下面不正确的是( ACD )A ．M ＝NB ．M NC ．NMD ．M ∩N ＝∅(4)已知集合A ＝{x |x 2－2 020x ＋2 019<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是[2_019，＋∞).[解析] (1)B ＝{x |x ∈A }＝{1,2,3}＝A ，故选C ． (2)∵集合A ＝{x |x ＝sinn π3，n ∈Z }＝{0，32，－32}，且B ⊆A ，∴集合B 的个数为23＝8，故选C ．(3)解法一：(列举法)，由题意知 M ＝{…－12，－16，16，12，56，76，…}N ＝{…－16，0，16，13，12，23，56，…}显然M N ，故选A 、C 、D ． 解法二：(描述法) M ＝{x |x ＝2k ＋16，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋46，k ∈Z } ∵2k ＋1表示所有奇数，而k ＋4表示所有整数(k ∈Z ) ∴M N ，故选A 、C 、D ． (4)A ＝{x |1<x <2 019}，∵A ⊆B ， ∴借助数轴可得a ≥2 019，∴a 的取值范围为[2 019，＋∞)．名师点拨 ☞判断集合间关系的3种方法 列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第(1)、(2)题)结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第(3)题)数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第(4)题)(1)(2020·辽宁锦州质检(一))集合M ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，集合N ＝{x |x ＝3n ，n ∈N }，则集合M 与集合N 的关系是( D )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝∅D ．M ⊆/ N 且N ⊆/ M(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈R }，则下列不正确的是( ABD )A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ＝∁R ND ．(∁R N )∩M ＝∅(3)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |mx ＋10>0}，若A ⊆B ，则m 的取值范围是(－2,5).[解析] (1)因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M ，所以M ⊆/ N 且N ⊆/ M ，故选D ．(2)由题意得y ＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x <0，∴M ＝(－∞，0]，N ＝(0，＋∞)，∴M ＝∁R N .故选A 、B 、D ．(3)化简A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，当m >0时，x >－10m ，因为A ⊆B ，所以－10m <－2，解得m <5，所以0<m <5.当m <0时，x <－10m ，因为A ⊆B ，所以－10m >5，解得m >－2，所以－2<m <0.当m ＝0时，B ＝R ，符合A ⊆B ．综上所述，所求的m 的取值范围是(－2,5)．考点三 集合的基本运算——多维探究角度1 集合的运算例3 (1)(2019·天津，5分)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( D )A ．{2}B ．{2,3}C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}(2)(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( C ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}(3)(2020·百校联考)已知集合A ＝{x |x －3≤0且4x －5>0}，B ＝{y |y ＝13x ＋15，x ≥1}，则∁B A＝( C )A ．[815，54]∪[3，＋∞)B ．[815，54)∪(3，＋∞)C ．[815，54]∪(3，＋∞)D ．[815，54)∪[3，＋∞)[解析] (1)由条件可得A ∩C ＝{1,2}，故(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}．(2)方法一：∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}，∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C ． 方法二：由题可得N ＝{x |－2<x <3}．∵－3∉N ，∴－3∉M ∩N ，排除A ，B ；∵2.5∉M ，∴2.5∉M ∩N ，排除D ．故选C ．(3)因为A ＝{x |x －3≤0且4x －5>0}，B ＝{y |y ＝13x ＋15，x≥1}，所以A ＝(54，3]，B ＝[815，＋∞)，故∁B A ＝[815，54]∪(3，＋∞)．故选C ．角度2 利用集合的运算求参数例4 (1)已知集合A ＝{0,1,2m }，B ＝{x |1<22－x <4}，若A ∩B ＝{1,2m }，则实数m 的取值范围是( C )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，12)∪(12，1)D ．(0,1)(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}≠∅，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为[2,3].[解析] (1)B ＝{x |0<2－x <2}＝{x |0<x <2}，∵A ∩B ＝{1,2m }，∴0<2m <2且2m ≠1，即0<m <1且m ≠12，故选C ．(2)由A ∩B ＝B 知，B ⊆A ．又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．[引申1]本例(2)中若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}情况又如何？ [解析] 应对B ＝∅和B ≠∅进行分类． ①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，由例得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例(2)中是否存在实数m ，使A ∪B ＝B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] 由A ∪B ＝B ，即A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ∪B ＝B ． [引申3]本例(2)中，若B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－2m }，A B ，则m 的取值范围为(－∞，－3].[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，1－2m ≥5，解得m ≤－3.名师点拨 ☞集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． 2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·浙江，4分)已知全集U ＝{－1,0,1,2,3}，集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,0,1}，则(∁U A )∩B ＝( A )A ．{－1}B ．{0,1}C ．{－1,2,3}D ．{－1,0,1,3}(2)(角度1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝( D ) A ．(2,3] B ．(－∞，1]∪(2，＋∞) C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)(3)(角度2)设集合M ＝{x |y ＝2x －x 2}，N ＝{x |x ≥a }，若M ∪N ＝N ，则实数a 的取值范围是( B )A ．[0,2]B ．(－∞，0]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2][解析] (1)由题意可得∁U A ＝{－1,3}，则(∁U A )∩B ＝{－1}．故选A ．(2)∁U A ＝{x |x <0或x >2}，则(∁U A )∪B ＝{x |x <0或x ≥1}，故选D ． (3)M ＝{x |0≤x ≤2}，∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N ，∴a ≤0，故选B ．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛┃·素养提升集合中的新定义问题例5 (2020·江西九江联考)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知M ＝{y |y ＝－x 2＋2x ，0<x <2}，N ＝{y |y ＝2x －1，x >0}，则M ⊗N ＝(0，12]∪(1，＋∞).[解析] M ＝{y |y ＝－x 2＋2x,0<x <2}＝(0,1]，N ＝{y |y ＝2x －1，x >0}＝(12，＋∞)，则M ∪N＝(0，＋∞)，M ∩N ＝(12，1]，所以M ⊗N ＝(0，12]∪(1，＋∞)．名师点拨 ☞集合新定义问题的“3定”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 〔变式训练3〕对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R }，则A ⊕B ＝( C )A ．(－94，0]B ．[－94，0)C ．(－∞，－94)∪[0，＋∞)D ．(－∞，－94]∪(0，＋∞)[解析] A ＝{y |y ≥－94}，B ＝{y |y <0}，A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝{y |y <－94}，(A －B )∪(B －9A)＝{y|y≥0或y<－4}，故选C．。
