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线性代数习题及解答

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线性代数习题一

说明:本卷中,A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，｜|||表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A｜表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233aaaaaaaaa=2，则111213313233213122322333333aaaaaaaaaaaa=（ ）

A．—6 B．—3

C．3 D．6

2．设矩阵A,X为同阶方阵，且A可逆,若A(X—E）=E,则矩阵X=( ）

A．E+A—1 B．E-A

C．E+A D．E—A—1

3．设矩阵A,B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）

A．AB可逆,且其逆为-1-1AB B．AB不可逆

C．AB可逆，且其逆为-1-1BA D．AB可逆,且其逆为-1-1AB

4．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是

( )

A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0

C．向量组1,2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D．向量组1，2，…，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),TT则=( )

A．(0，—2，—1,1)T B．（—2,0，—1,1）T

C．（1,-1,—2,0)T D．（2，—6，-5，-1）T

6．实数向量空间V={（x， y， z）｜3x+2y+5z=0｝的维数是（ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

7．设是非齐次线性方程组Ax=b的解,是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

（ ）

A．+是Ax=0的解 B．+是Ax=b的解

C．-是Ax=b的解 D．—是Ax=0的解

8．设三阶方阵A的特征值分别为11,,324，则A-1的特征值为（ ）

A．12,4,3 B．111,,243

C．11,,324 D．2,4，3

9．设矩阵A=121，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）

A．11123 B．01102

C．211 D．121

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是( ）

A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B．正定矩阵的行列式一定小于零

C．正定矩阵的行列式一定大于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题(本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分.

11．设det （A）=—1，det （B)=2，且A，B为同阶方阵，则det （（AB）3)=__________．

12．设3阶矩阵A=12243311t,B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________．

13．设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A—1=__________．

14．实向量空间Rn的维数是__________．

15．设A是m×n矩阵，r (A）=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________．

16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．

17．设是齐次线性方程组Ax=0的解,而是非齐次线性方程组Ax=b的解,则(32)A=__________．

18．设方阵A有一个特征值为8，则det(—8E+A)=__________．

19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则｜|Px||=__________．

20．二次型222123123121323(,,)56422fxxxxxxxxxxxx的正惯性指数是__________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式1112114124611242．

22．设矩阵A=235，且矩阵B满足ABA—1=4A—1+BA-1，求矩阵B．

23．设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．

24．设三阶矩阵A=143253242，求矩阵A的特征值和特征向量．

25．求下列齐次线性方程组的通解．

13412412345023020xxxxxxxxxx

26．求矩阵A=22420306110300111210的秩．

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设三阶矩阵A=111213212223313233aaaaaaaaa的行列式不等于0,证明：

131112121222323313233,,aaaaaaaaa线性无关．

线性代数习题二

说明:在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A＊表示矩阵A的伴随矩阵,E表示单位矩阵。 A表示方阵A的行列式，r（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题,每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则12A（ )

A.—1 B。14

C.14 D。1

2。设212()222122,323235xxxfxxxxxxx则方程()0fx的根的个数为（ ）

A。0 B。1

C。2 D。3

3。设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若,AB则必有（ ）

A。0A B. 0AB

C。 0A D. 0AB

4。设A，B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是( ）

A。222()2ABAABB B。22()()ABABAB

C。()()()()AEAEAEAE D。222()ABAB

5.设111213212223313233,abababababababababA其中0,0,1,2,3,iiabi则矩阵A的秩为（ ）

A。0 B。1

C。2 D.3

6。设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A＊的秩为( ）

A.0 B。2

C。3 D.4

7。设向量α=(1，-2，3）与β=(2，k,6）正交，则数k为( ）

A.-10 B.-4

C。3 D。10

8。已知线性方程组1231231243224xxxxaxxxax无解，则数a=（ )

A。12 B。0

C.12 D.1

9。设3阶方阵A的特征多项式为2(2)(3),EA则A( )

A.—18 B。-6

C。6 D。18

10。若3阶实对称矩阵()ijaA是正定矩阵，则A的3个特征值可能为( )

A.-1,—2，-3 B.—1,—2，3

C。—1，2，3 D。1,2，3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分.

11。设行列式304222,532D其第3行各元素的代数余子式之和为__________。

12.设,,aabbaabbAB则AB__________.

13。设A是4×3矩阵且103()2,020,103rAB则()rAB__________.

14。向量组（1，2),（2,3）（3,4)的秩为__________。

15。设线性无关的向量组α1，α2,…,αr可由向量组β1,β2，…，βs线性表示，则r与s的关系为__________.

16.设方程组123123123000xxxxxxxxx有非零解,且数0,则__________。

17。设4元线性方程组xAb的三个解α1,α2,α3，已知

T1(1,2,3,4),T23(3,5,7,9),r()3.A则方程组的通解是__________.

18.设3阶方阵A的秩为2，且250,AA则A的全部特征值为__________。

19。设矩阵21100413aA有一个特征值2,对应的特征向量为12,2x则数a=__________。

20。设实二次型T123(,,),fxxxxxA已知A的特征值为—1，1，2，则该二次型的规范形为__________。

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21。设矩阵2323(,2,3),(,,),AB其中23,,,均为3维列向量，且18,2.AB求.AB

22.解矩阵方程11101110221011.1104321X

23。设向量组α1=(1,1,1,3)T，α2=(-1，—3，5，1）T，α3=（3，2，-1，p+2）T，α4=（3,2，-1，p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.

24。设3元线性方程组1231231232124551xxxxxxxxx，

（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).

25。已知2阶方阵A的特征值为11及21,3方阵2.BA

(1)求B的特征值;

（2）求B的行列式。

26。用配方法化二次型2221231231223(,,)22412fxxxxxxxxxx为标准形，并写出所作的可逆线性变换。

四、证明题（本题6分）

27。设A是3阶反对称矩阵，证明0.A

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线性代数第一章习题解答(上)

线性代数第一章习题解答(上)

线性代数习题解（部分）

习题一

A组

3. 当k取何值时，100143kkk=0.

解：100143kkk0)3(0)(02kk， 得 0342kk，

所以 1k 或 3k。

4.求下列排列的逆序数.

解：(2) 501013)426315(.

(3) 21123456)7654321(.

5.下列各元素乘积是否是五阶行列式 ija中一项?如果是,该项应取什么符号?

解：(2) 不是. 因为 5145332211aaaaa 中有俩个元素在第一列.

(3) 是. 由4553312412245532431124512532431)1()!(aaaaaaaaaaaaaaa

53453124123)1(aaaaa

1021)24153( 1)1()1(73

所以该项应取负号。

6.选择i, j使jiaaaaa54234213成为五阶行列式 ija中带有负号的项

解: 当 )5,1(),(ji 时, 30102)31425(, 是奇排列.

当 )1,5(),(ji 时, 81232)35421(, 是偶排列.

所以 i = 1, j = 5.

7.用行列式的定义计算下列行列式.

解：（2）

nn0000000010001200000LLMMMMMLL!)1(0!)1(2)1)(02(01)3()2(nnnnnn

（4）

1000000432002300140055000=240!5!50!5)1(!5)1(12340123

8.利用行列式性质计算下列行列式.

解: (2)

1111111111111111820000200002011114,3,21irri

线性代数部分习题解答与提示

线性代数部分习题解答与提示

线性代数

难题解答

 73页习题4. 证明, 在自然数1,2,…,n的所有排列中, 一定存在这样的排列, 它不能经过小于n-1次对换变为标准排列12…n.

提示：对任意排列σ, 定义σ的块数为最大的整数k使得{1,2,…,n}可分解为k个无交子集的并, 而且每个子集在σ的作用下保持不变. 对任意对换τ, τ(σ)的块数≥σ的块数-1.

 116页习题1. (12) 计算行列式.

提示：.

 116页习题1. (13) 计算行列式.

提示：.

 118页习题3. (Burnside) 设n阶方阵A＝(aij)满足aij=-aji, 1≤i,j≤n, 则方阵A称为斜对称方阵. 证明, 奇阶斜对称方阵的行列式恒为零, 而偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方.

提示：当n为偶数时, 设, 其中A1为偶阶斜对称方阵, 则A4-A3A1-1A2也是偶阶斜对称方阵.

 133页习题1. (4) 计算矩阵乘积. 提示：令,

则原式.

 144页习题4. (3) 计算行列式.

提示：.

 155页习题1. (4) 计算n阶方阵的逆矩阵.

提示：令,

其中.

 156页习题10. 设Aij是n阶方阵A＝(aij)的行列式detA的元素aij的代数余子式. 证明, . 提示：不妨设i＝k＝1, j＝l＝2. 设,

则有.

 157页习题14. 设A∈R2n×2n, 且. 证明, detA=1.

提示：设. 当A1可逆时, 由Schur公式易证. 当A1不可逆时, 设, 则A1+A2S可逆,

考虑.

 169页习题3. (2) 求矩阵的逆矩阵.

提示：原矩阵.  169页习题3. (3) 求矩阵的逆矩阵.

提示：对于一般Cauchy矩阵,

有,

, 其中.

 183页习题4. 设A和B为n阶方阵, AB＝BA＝0, 并且rank(A2)＝rank(A). 证明,

线性代数习题及答案

线性代数习题及答案

线性代数习题及答案

习题一

（A类）

1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n(n1)…321； (4) 13…(2n1)(2n)(2n2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n(n1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n1)=(1)2nn;

(4) τ(13…(2n1)(2n)(2n2)…2)=0+1+…+(n1)+(n1)+(n2)+…+1+0=n(n1). 2. 求出j，k使9级排列24j157k98为偶排列。 解：由排列为9级排列，所以j,k只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j的逆序为1，5的逆序数为0，k的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j的逆序为0，5的逆序数为1，k的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6.

3. 写出4阶行列式中含有因子2234aa的项。

解：D4=1234()11223344(1)jjjjjjjjaaaa

由题意有：232,4.jj

故1234141243243241jjjjjj

D4中含的2234aa项为：(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)aaaaaaaa

即为：1122344313223441aaaaaaaa

4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？

（1）233142561465aaaaaa；

解：233142561465142331425665aaaaaaaaaaaa 因为(431265)6，(431265)6(1)(1)1

所以该项带正号。

（2）324314516625aaaaaa

段正敏主编《线性代数》习题解答

段正敏主编《线性代数》习题解答

线性代数习题解答1

张应应 胡佩

2013-3-1

目 录

第一章 行列式 .................................................................................................................... 1

第二章 矩阵 ...................................................................................................................... 22

第三章 向量组的线性相关性 .......................................................................................... 50

第四章 线性方程组 .......................................................................................................... 69

第五章 矩阵的相似对角化 .............................................................................................. 91

第六章 二次型 ................................................................................................................ 114

附录：习题参考答案 ........................................................................................................... 129