抽象函数定义域的计算例题

抽象函数定义域三种题型及解法

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，

特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义

域问题的四种题型及求法．

一、已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域

其解法是：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围

即为f[g(x)]的定义域．

例1 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求f(x2

－3x－5)的定义域．

分析：这个函数是由u＝x2

－3x－5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u(或x2

－

3x－5)是中间变量，由于f(x)，f(u)是同一个函数，因此这里是已知－1≤u≤5，即－1≤x2

－3x－5≤5，要求x的取值范围．

解：由－1≤x2

－3x－5≤5，得

2

23100

340xx

xx







，即25

4 1x

xx





或

∴－2≤x≤－1或4≤x≤5．

∴函数f(x2

－3x－5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．

二、已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域

其解法是：若f[g(x)]的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定g(x)的范围即为f(x)的定

义域．

例2 已知函数f(x2

－2x＋2)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域．

分析：设u＝x2

－2x＋2，则f(x2

－2x＋2)＝f(u),由于f(u)，f(x)是同一函数，因此这里是

已知0≤x≤3，求x2

－2x＋2的取值范围.

解：由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，即0≤(x－1)2

≤4，1≤(x－1)2

＋1≤5即1≤x2

－2x

＋2≤5．

设u＝x2

－2x＋2，则f(x2

－2x＋2)＝f(u)，又f(u)与f(x)是同一个函数，1≤u≤5，即是1

≤x≤5．

∴f(x) 的定义域是[1，5]．

三、已知f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域

1

高一数学函数抽象函数定义域专项训练（含解析）

一、求定义域（共22题；共41分）

1.（2020高一上·南京月考）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域是（ ）

A. B. C. D.

2.（2020高一上·重庆月考）如果函数 的定义域为 ，那么函数 的定义域为（ ）

A. B. C. D.

3.（2020高一上·利辛期中）已知 的定义域是 ，求函数 的定义域（ ）

A. [−1，5] B. [2，5] C. [−7，5] D. [−2，10]

4.（2020高一上·定远月考）已知 的定义域为 ，函数 的定义域为（ ）

A. B. C. D.

5.（2020高一上·亳州月考）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）

A. B. C. D.

精品资料 欢迎下载

专题一：函数定义域的求法及常见题型

一、函数定义域求法

（一）常规函数

函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。

例1.求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

由①解得 或。 ③

由②解得 或 ④

③和④求交集得且或x>5。

故所求函数的定义域为（－∞，-11）U(-11,-3] U(5,+ ∞)。

注意点：分母、偶次方根被开方数，多条件求交集，定义域写法，仅可写成区间或集合形式，不能写成不等式。

例2.求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

由①解得 ③

由②解得 ④

由③和④求公共部分，得

故函数的定义域为(-4,-π] U(0,π]。

提示点：③和④怎样求公共部分？

（二）抽象函数

1.有关概念

定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围；

对应法则：通过“工厂” 或“模具”观点进行类比，以此深入理解函数yfx的对应法则“f”。 把精品资料 欢迎下载

函数yfx的对应法则“f”看作“工厂” 或“模具”，把自变量“x”的取值看作“原料”，把相应函数值“y”看作“成品”。该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对应法则。

如（1）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域。

可以把f(x)看成工厂的生产加工，f是加工工序，x是原料。

（1）中f(x)的原料就是初级产品，所以原料或初级产品满足的条件就是[0,4]；在f(2x+1)中，初级产品是2x+1，它必须满足[0,4]，由此求出f(2x+1)的原料x满足的条件（即自变量）。

抽象函数定义域的计算例题

问题描述

给定一个抽象函数，需要计算其定义域。下面是一个例题来帮助理解如何计算抽象函数的定义域。

例题

考虑抽象函数f(x) = √(x - 1) / (x + 2)。请计算函数f(x)的定义域。

解答

为了计算抽象函数f(x)的定义域，我们需要考虑两个方面：根号的定义域和分式的定义域。

根号的定义域

根号√a的定义域为a≥0，即被开方数必须大于等于0。在我们的例子中，被开方的部分为(x - 1)。根据这个条件，我们可以得到不等式(x - 1) ≥ 0，求解这个不等式可以得到x ≥ 1。

分式的定义域 分式的定义域为分母不等于0的情况。在我们的例子中，分子为根号√(x - 1)，分母为(x + 2)。根据分母不等于0的条件，我们可以得到不等式(x + 2) ≠ 0，求解这个不等式可以得到x ≠ -2。

综合条件

综合以上得到的条件，我们可以得到f(x)的定义域为 x ≥ 1 且 x

≠ -2。

总结

抽象函数的定义域的计算需要考虑根号的定义域和分式的定义域。通过解不等式来求解根号和分数中的变量范围，然后综合得到定义域。

以上是一个关于抽象函数定义域计算的例题。通过理解这个例题，可以更好地应用抽象函数的定义域计算方法。