抽象函数的定义域

第 1 页 共 4 页 抽象函数专题（1）

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数

抽象函数知识点：

1、抽象函数的定义域：

①已知()fx的定义域，求()fgx的定义域

②已知()fgx的定义域，求()fx的定义域

2、抽象函数表达式与函数值

3、抽象函数的模型构造

①线性函数型抽象函数f（x）＝kx（k≠0）----f（x±y）＝f（x）±f（y）

②指数函数型的抽象函数f（x）＝ax---- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝)()(yfxf

③对数函数型的抽象函数f（x）＝logax（a>0且a≠1）-f（x·y）＝f（x）＋f（y）；

f（yx）＝ f（x）－f（y）

④幂函数型的抽象函数2()fxx ---------()()()fxyfxfy，()()()xfxfyfy；

练习题：

1、已知函数)(xf对任意实数x，y，均有)()()(yfxfyxf，且当0x时，0)(xf，2)1(f，求)(xf在区间[－2，1]上的值域。

2、定义在R上的函数)(xf满足：对任意实数,mn，总有)()()(nfmfnmf，且当0x时，1)(0xf．

（1）试求)0(f的值；（2）判断)(xf的单调性并证明你的结论；

（3）试举出一个满足条件的函数)(xf．

第 2 页 共 4 页 3、已知函数)(xf满足定义域在),0(上的函数，对于任意的),0(,yx，都有)()()(yfxfxyf，当且仅当1x时，0)(xf成立，

（1）设),0(,yx，求证)()()(xfyfxyf；

（2）设),0(,21xx，若)()(21xfxf，试比较1x与2x的大小；

（3）解关于x的不等式01)1(2axaxf

4.已知定义在-,00,+上的函数f(x)对任何x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)>0,当x>1时,有f(x)<1.

压轴题03抽象函数问题

抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽

象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解

析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。○

热○

点○

题○

型1定义域问题

解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号

内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。○

热○

点○

题○

型2求值问题

通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技

巧。○

热○

点○

题○

型3值域问题○

热○

点○

题○

型4解析式问题

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一

个变量，是实现这种转化的重要策略。○

热○

点○

题○

型5单调性与奇偶性问题○

热○

点○

题○

型6周期性与对称性问题○热○

点○

题○

型7几类抽象函数解法

(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）

2.赋值法（令0x或1，求出)0(f或)1(f、令xy或xy等

等）

（2）几种抽象函数模型：

1.正比例函数：)0()(kkxxf——————————)()()(yfxfyxf；

2.幂函数：2)(xxf——————————————)()()(yfxfxyf，

)()(

)(

yfxf

yx

f；

注：反比例函数：1)(xxf一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模

型写成反比例函数模型。3.指数函数：xaxf)(———————————)()()(yfxfyxf，

)()(

)(

yfxf

yxf

4.对数函数：xxf

alog)(————————)()()(yfxfxyf，

)()()(yfxf

yx

f

5.三角函数：xxftan)(————————————

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法

赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：

1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；

2、通过12fxfx的变换判定单调性；

3、令式子中出现fx及fx判定抽象函数的奇偶性；

4、换x为xT确定周期性.

二、判断抽象函数单调性的方法：

（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;

（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数yxf，判断符号时要变形为：

111212)(xfxxxfxfxf或221212)(xxxfxfxfxf;

②若给出的是“积型”抽象函数xyf，判断符号时要变形为：

112112xfxxxfxfxf或212212xxxfxfxfxf.

三、常见的抽象函数模型

1、fxyfxfy可看做fxkx的抽象表达式； 2、fxyfxfy可看做xfxa的抽象表达式（0a且1a）；

3、fxyfxfy可看做logafxx的抽象表达式（0a且1a）；

4、fxyfxfy可看做afxx的抽象表达式.

四、抽象函数中的小技巧

1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；

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共4页 第1页 抽象函数的性质问题解析

抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

材料一：若函数)1(xfy的定义域为)3,2[，求函数)21(xfy的定义域。

解析：由)1(xfy的定义域为)3,2[，知1x中的)3,2[x，从而411x，对函数)21(xfy而言，有1124x，解之得：),21(]31,(x。

所以函数)21(xfy的定义域为),21(]31,(

总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1x与21x的范围等同。

2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。

材料二：若函数)1(xfy的值域为]1,1[，求函数)23(xfy的值域。

解析：函数)23(xfy中定义域与对应法则与函数)1(xfy的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(xfy的值域也为]1,1[。

总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。

3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。

材料三：设函数)(xfy定义在实数集上，则函数)1(xfy与)1(xfy的图象关于（ ）

A、直线0y对称 B直线0x对称 C直线1y对称 D直线1x对称

解法一（定义证明）：设点),(00yxP是函数)1(xfy的图象上的任意一点，则)1(00xfy，),(00yxP关于直线mx的对称点为),2(00/yxmP，要使点),2(00/yxmP在函数)1(xfy的图象上，则)21()]2(1[000mxfxmfy，应有121m，故1m，