抽象函数定义域问题

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高一数学函数抽象函数定义域专项训练（含解析）

一、求定义域（共22题；共41分）

1.（2020高一上·南京月考）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域是（ ）

A. B. C. D.

2.（2020高一上·重庆月考）如果函数 的定义域为 ，那么函数 的定义域为（ ）

A. B. C. D.

3.（2020高一上·利辛期中）已知 的定义域是 ，求函数 的定义域（ ）

A. [−1，5] B. [2，5] C. [−7，5] D. [−2，10]

4.（2020高一上·定远月考）已知 的定义域为 ，函数 的定义域为（ ）

A. B. C. D.

5.（2020高一上·亳州月考）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）

A. B. C. D.

1 抽象函数常见题型及解法

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题,2009年四川卷12题等。学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数12xf的定义域是［0，1］，求xf的定义域。

解：12xf的定义域是［0，1］，是指10x，所以12xf中的12x满足1121x

从而函数xf的定义域是：11,.

评析：一般地，已知函数xgf的定义域是A，求xf的定义域问题，相当于已知xgf中x的取值范围为A，据此求xg的值域问题。

例2. 已知函数)(xf的定义域是11,，求函数xlogf321的定义域。

解：)(xf的定义域是11,，意思是凡被f作用的对象都在11,中，由此可得251213211311121xxxlog

所以函数xlogf321的定义域是251,.

评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(xf的定义域是A，求函数xgf的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知xg的值域B，且AB，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

例3. 已知函数xf对于任意x,y都有yfxfxyf成立。

（1）求0f与1f的值； 2 （2）若af2，bf3（a、b均为常数），求36f的值。

压轴题03抽象函数问题

抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽

象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解

析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。○

热○

点○

题○

型1定义域问题

解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号

内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。○

热○

点○

题○

型2求值问题

通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技

巧。○

热○

点○

题○

型3值域问题○

热○

点○

题○

型4解析式问题

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一

个变量，是实现这种转化的重要策略。○

热○

点○

题○

型5单调性与奇偶性问题○

热○

点○

题○

型6周期性与对称性问题○热○

点○

题○

型7几类抽象函数解法

(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）

2.赋值法（令0x或1，求出)0(f或)1(f、令xy或xy等

等）

（2）几种抽象函数模型：

1.正比例函数：)0()(kkxxf——————————)()()(yfxfyxf；

2.幂函数：2)(xxf——————————————)()()(yfxfxyf，

)()(

)(

yfxf

yx

f；

注：反比例函数：1)(xxf一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模

型写成反比例函数模型。3.指数函数：xaxf)(———————————)()()(yfxfyxf，

)()(

)(

yfxf

yxf

4.对数函数：xxf

alog)(————————)()()(yfxfxyf，

)()()(yfxf

yx

f

5.三角函数：xxftan)(————————————

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法

赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：

1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；

2、通过12fxfx的变换判定单调性；

3、令式子中出现fx及fx判定抽象函数的奇偶性；

4、换x为xT确定周期性.

二、判断抽象函数单调性的方法：

（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;

（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数yxf，判断符号时要变形为：

111212)(xfxxxfxfxf或221212)(xxxfxfxfxf;

②若给出的是“积型”抽象函数xyf，判断符号时要变形为：

112112xfxxxfxfxf或212212xxxfxfxfxf.

三、常见的抽象函数模型

1、fxyfxfy可看做fxkx的抽象表达式； 2、fxyfxfy可看做xfxa的抽象表达式（0a且1a）；

3、fxyfxfy可看做logafxx的抽象表达式（0a且1a）；

4、fxyfxfy可看做afxx的抽象表达式.

四、抽象函数中的小技巧

1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；