函数定义域经典例题

定义域的求法：

已知f(x)f(x)定义域为定义域为A，求f(f(φφ(x))(x))定义域，定义域，应使φ应使φ(x)(x)(x)∈∈A；已知f(f(φφ(x))

定义域为A，求f(x)f(x)定义域，即求当定义域，即求当x∈A时，φ时，φ(x)(x)(x)的值域．的值域．

如：如：已知()fx

的定义域求[()]fgx

的定义域或已知[()]fgx

的定义域求()fx

的定义域

或已知函数

)(xgf

的定义域求函数

)(xhf

的定义域：的定义域：

①掌握基本初等函数①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；

②若已知②若已知()fx

的定义域

,ab

，其复合函数

()fgx

的定义域应由()agxb

解

出。出。

【例1】(1)已知函数fx

定义域为[0，1]，求函数

2

2xf

的定义域.

(2)已知函数fx

定义域为[1，3]，求函数

xfxfxF2)()(2

的定义域.

(3)已知函数xxg

xxf



)(,

11

)(

，求函数

)(xgf

的定义域.

[答案] (1)











22

,

22

;

(2)







23

1xx

; (3) 

.,11,0 解析：法1：fx的

定义域是

1xx

，所以

)(xgf

的定义域是使得1)(xg

的

x的集合，即1x

等价于





10

xx

，即10xx

且

.即函数

)(xgf

的定义域是

.,11,0 法2：

11

1)(1

)(





xxgxg

f

，要使函数式有意义，必须





001

xx

，解得10xx

且

，

即函数

)(xgf

的定义域是

.,11,0

【练习1-1】：已知函数fx

定义域为

3,2，求下列函数的定义域：，求下列函数的定义域：

（1） )3(xf

； （2）)(2

xf

.

[答案]：（1） 

6,5

. （2

） 

3,22,3.

【练习1-2】：设y＝f(x)的定义域是[0,2]，求下列函数的定义域．，求下列函数的定义域．

(1)f(x＋3)；(2)f(|2x－1|)；(3)f(x＋a)－f(x－a)(0

[分析] 根据“若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]的定义域为a≤g(x)≤b的解集”

来解相应的不等式(或不等式组)．

[解析解析] ] (1)(1)由由0≤x＋3≤2得－得－33≤x≤－≤－11， 所以定义域为所以定义域为所以定义域为[[－3，－，－1]1]1]．．

(2)(2)由由|2x－1|1|≤≤2得－得－22≤2x－1≤2， ∴－∴－1

2≤x≤3

2，所以定义域为





－1

2，3

2.

(3)(3)由由



0≤x＋a≤2，

0≤x－a≤2，得：



－a≤x≤2－a，

a≤x≤2＋a. 又∵又∵又∵0<0

为[a，2－a]．

【练习1-3】：已知函数fx

定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：，求下列函数的定义域：

(1) 2()23fx

； (2)2

1

2()1

log(2)fxy

x

。

解：（1）由0＜x2

＜2， 得

点评：本例不给出f(x)的解析式，即由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域关键在于理

解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中

产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。

【例2】已知函数f(2x+1)的定义域为[1,2]，求函数f(x)的定义域.

[解析]：因为函数f(2x+1)的定义域为[1,2]

，所以21x

.即5123x

.所以，函数f(x)

的定义域为[3,5].

【练习2-12-1】已知】已知y＝f(xf(x＋＋1)1)的定义域为的定义域为的定义域为[0,1][0,1][0,1]．则．则y＝f(x)f(x)的定义域为的定义域为的定义域为________________________．．

[解析解析] ] 由题设使y＝f(xf(x＋＋1)1)有意义的有意义的x允许取值范围是0≤x≤1.1.∴∴1≤x＋1≤2

∴欲使y＝f(x)f(x)有意义，须有意义，须1≤x≤2. 2. ∴此函数的定义域为∴此函数的定义域为∴此函数的定义域为[1,2]. [1,2].

【练习2-22-2】已知函数】已知函数f(x+1)的定义域为[1,2]，求函数f(x)的定义域. [答案]： 

3,2

.

【例3】已知函数)1(2

xf

的定义域为(2,5)，求函数)1

(

xf

的定义域.

[解析解析]]：因为函数)1(2

xf

的定义域为的定义域为(2,5)(2,5)(2,5)，所以，所以2

x

所以，函数

fx

的定义域为（的定义域为（33，2424））.所以241

3

x，即

31

241

x

.因此，函数)1

(

xf

的定义域

为)

31

,

241

(

.

【练习3-13-1】若函数】若函数)1(xf

的定义域为的定义域为[-2,3][-2,3][-2,3]，求，求)12(xfy

的定义域的定义域. [. [. [答案答案答案]]：

.

25

,0





