2014年高考数学真题汇编(含答案)：数列

2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版)

十一、数列（逐题详解）

第I部分

1.【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}na,下列说法一定正确的是（ ）

139.,,Aaaa成等比数列 236.,,Baaa成等比数列

248.,,Caaa成等比数列 369.,,Daaa成等比数列

【答案】D

【解析】设{}na公比为q，因为336936,aaqqaa，所以369,,aaa成等比数列，选择D

2.【2014年福建卷（理03）】等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（ ）

A．8 B．10 C．12 D．14

【答案】C

【解析】由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，

∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．

3.【2014年辽宁卷（理08）】设等差数列{}na的公差为d，若数列1{2}naa为递减数列，则（ ）

A．0d B．0d C．10ad D．10ad

【答案】C

【解析】∵等差数列{an}的公差为d，∴an+1﹣an=d，又数列{2}为递减数列，

∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C

4.【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}na中，452,5aa，则数列{lg}na的前8项和等于（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

【解析】∵等比数列{an}中a4=2，a5=5，∴a4•a5=2×5=10，∴数列{lgan}的前8项和

S=lga1+lga2+…+lga8=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4=4lg（a4•a5）=4lg10=4故选：C

第II部分

5.【2014年上海卷（理08）】设无穷等比数列na的公比为q，若134limnnaaaa，则q .

【答案】512q

【解析】：223111510112aaqaqqqqq，∵01q，∴512q

6.【2014年广东卷（理13）】若等比数列na的各项均为正数，且512911102eaaaa，则1220lnlnlnaaa 。

【答案】50

【解析】由题意得，51011912120aaaaaae，又∵0na，

∴1220lnlnlnaaa=1220ln()aaa=10120ln()aa=510lne=50.

7.【2014年北京卷（理12）】若等差数列na满足7890aaa，7100aa，则当n________时na的前n项和最大.

【答案】8

【解析】由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，

∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{an}的前8项 和最大，故答案为：8

8.【2014年江苏卷（理07）】在各项均为正数的等比数列}{na中，若12a，2682aaa，则6a的值是 ．

【答案】4

【解析】根据等比数列的定义，224426628,,qaaqaaqaa，所以由2682aaa得2242622qaqaqa，消去22qa，得到关于2q的一元二次方程02)(222qq，解得22q，4212426qaa

9.【2014年天津卷（理11）】设{}na是首项为1a，公差为1的等差数列，nS为其前n项和，若1S、2S、4S成等比数列，则1a的值为____________.

【答案】12

【解析】依题意得2214SSS，所以21112146aaa，解得112a.

10.【2014年安徽卷（理12）】数列}{na是等差数列，若5,3,1531aaa构成公比为q的等比数列，则q_________．

【答案】1

【解析】由题意得5596)5)(1()3(51513235123aaaaaaaaa

设dnaan)1(1代入上式得1d11anan

531531aaa，故公比1q

xOy134120A1A2A

第III部分

11.【2014年重庆卷（理22）】设2111,22(*)nnnaaaabnN

（1）若1b，求23,aa及数列{}na的通项公式；

（2）若1b，问：是否存在实数c使得221nnaca对所有*nN成立？证明你的结论.

解：（1）当1b时211220nnnaaa，平方变形为：

2211(1)1nnaa，故2(1)na为等差数列，首项为0，公差为1，

故2(1)111nnanan，故232,21aa

（2）此时21221nnnaaa，当2221xxx时求得不动点14x，计算前几项得1231,0,21,aaa发现231014aa，猜测存在14c。下面证明加强结论2211014nnaa。

当1n时已经验证结论成立。

假设*221101(1,)4kkaakkN，则由2()221fxxx在[0,1)上单调递减可知：212212104kkaa，即2211014kkaa也是成立的。

由数学归纳法可知2211014nnaa对任意*nN成立。

所以存在常数14c满足题意。

12.【2014年湖南卷（理20）】(本小题满分13分)

已知数列}{na满足11a，nnnpaa||1，*Nn.

（1）若}{na是递增数列，且1a，22a，33a成等差数列，求p的值；

（2）若21p，且}{12na是递增数列，是}{2na递减数列，求数列}{na的通项公式.

解：（1）因为}{na是递增数列，所以nnnnnpaaaa||11，而11a，因此

pa12，231ppa，又1a，22a，33a成等差数列，所以

31234aaa，因而032pp，解得31p或0p，

但当0p时，nnaa1，与}{na是递增数列相矛盾，故31p.

(2) 由于}{12na是递增数列，因而 01212nnaa，于是

0)()(122212nnnnaaaa ①

且 1222121nn，所以 ||||122212nnnnaaaa ②

则①②可知，0122nnaa，因此122121222)1(21nnnnnaa， ③

因为是}{2na递减数列，同理可得0212nnaa，

故nnnnnaa21222122)1(21， ④

由③④即得 nnnnaa2)1(11. 于是

)()()(123121nnnaaaaaaaa

122)1(21211nn

.2)1(3134211])21(1[(21111nnn

故数列}{na的通项公式为*).(2)1(31341Nnannn

13.【2014年全国大纲卷（18）】（本小题满分12分）

等差数列{}na的前n项和为nS，已知110a，2a为整数，且4nSS.

（1）求{}na的通项公式； （2）设11nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT.

解：（1）设等差数列{}na的公差为d，而110a，从而有10(1)nand

若0d，10nSn，此时4nSS不成立

若0d，数列{}na是一个单调递增数列，nS随着n的增大而增大，也不满足4nSS

当0d时，数列{}na是一个单调递减数列，要使4nSS，则须满足5400aa即1040105103032ddd，又因为21aad为整数，所以dZ，所以3d

此时103(1)133nann

（2）由（1）可得1111111()(133)(103)(313)(310)3133103nnnbaannnnnn

所以111111111(())(())()31073743133103nTnn

1111111111(()()())()31077431331031031010(310)nnnnn.

14.【2014年山东卷（理19）】(本小题满分12分）

已知等差数列}{na的公差为2，前n项和为nS，且1S，2S，4S成等比数列。

（I）求数列}{na的通项公式；

（II）令nb=,4)1(11nnnaan求数列}{nb的前n项和nT。

解：（I）,64,2,,2141211daSdaSaSd

4122421,,SSSSSS成等比

解得12,11naan

（II）)121121()1(4)1(111nnaanbnnnnn