人教A版2019必修第一册 高一数学 4

4.1 指数

考点1：n次方根的概念问题

1. a的n次方根定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

2. a的n次方根的表示

xn＝a∈x＝na，当n为奇数且n∈N*，n>1时，x＝±na，当n为偶数且n∈N*时.

【例1】（1）8的立方根是________．

（2）已知x6＝2021，则x＝________.

（3）若4x＋3有意义，则实数x的取值范围为________．

【答案】(1)3 (2)±62 019 (3)[－3，＋∞)

【解答】(1)8的立方根是2.

(2)因为x6＝2 021，所以x＝±62021.

(3)要使4x＋3有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.

所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．

【方法技巧】

n次方根的个数及符号的确定

（1）n的奇偶性决定了n次方根的个数；

（2）n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.

【针对训练】

1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：

∈6－32n；∈5a2；∈6－52n＋1；∈9－a2，其中无意义的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

【解析】A ∈中(－3)2n>0，所以6－32n有意义；∈中根指数为5有意义；∈中(－5)2n＋1<0，因此无意义；∈中根指数为9，有意义．选A

考点2：利用根式的性质化简求值 考点讲解 1．根式的性质(n>1，且n∈N*)

① nan＝a，n为奇数，|a|＝a，a≥0，－a，a<0，n为偶数.

② n0＝0.

③ 负数没有偶次方根．

【例2】 化简下列各式：

（1）5－25＋(5－2)5；（2）6－26＋(62)6；（3）4x＋24.

【解答】 (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.

(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.

(3)原式＝|x＋2|＝ x＋2，x≥－2.－x－2，x<－2.

【方法技巧】

正确区分nan与(na)n

（1）(na)n已暗含了na有意义，据n的奇偶性可知a的范围；

（2）nan中的a可以是全体实数，nan的值取决于n的奇偶性．

【针对训练】

2．若9a2－6a＋1＝3a－1，求a的取值范围．

【解答】 ∈9a2－6a＋1＝3a－12＝|3a－1|，

由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∈a≥13.

故a的取值范围为13，＋∞.

考点3：根式与分数指数幂的互化

∈ 正分数指数幂：amn＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

∈ 负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

∈ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

【例3】 将下列根式化成分数指数幂的形式： （1）aa(a>0)；（2）32521xx；（3）32432b(b>0)．

【解答】 (1)原式＝2321aaa432123aa

(2)原式＝53533159359354325211111xxxxxxxx.

(3)原式＝91324132324132bbb

【方法技巧】

根式与分数指数幂互化的规律

（1）根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．

（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

【针对训练】

3．将下列根式与分数指数幂进行互化：

（1）a3·3a2；（2）a－4b23ab2(a>0，b>0)．

【解答】 (1)a3·3a2＝a3·a23＝a3＋23＝a113.

(2)a－4b23ab2＝a－4b2·ab213

＝a－4b2a13b23＝a－113b83

＝a－116b43.

考点4：利用分数指数幂的运算性质化简求解

【例4】 化简求值：

（1）0132432131322256416027.0 （2）cbababa24132124

（3）363342baba

【解答】（1）原式=1576413124253.03223434212313

（2）原式=cacbacbaba331124-1)2(2)4(3241312

（3）原式=34612361613123342babbaa

【方法技巧】

指数幂运算的常用技巧

（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.

（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.

（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.

提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.

【针对训练】

4．（1）计算：212-04122532－(0.01)0.5；

（2）化简：313315383327aaaaaa(a>0)．

【解答】（1）原式=15161016111001944112121

（2）原式=661321233153832327aaaaaaaa

考点5：有限制条件的根式的运算

【例5】（1）若x<0，则x＋|x|＋x2x＝________.

（2）若－3

【解答】（1）－1 [∈x<0，∈|x|＝－x，x2＝|x|＝－x，

∈x＋|x|＋x2x＝x－x－1＝－1.]

（2）x2－2x＋1－x2＋6x＋9

＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|， 当－3

当1

因此，原式＝ －2x－2，－3

【变式训练】

1．在本例(1)条件不变的情况下，求3x3＋x2|x|.

【解答】 3x3＋x2|x|＝x＋|x||x|＝x＋1.

2．将本例(2)的条件“－3

【解答】 原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，

所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.

【方法技巧】

带条件根式的化简

（1）有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.

（2）有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.

考点6：指数幂运算中的条件求值

【例6】 已知42121aa，求下列各式的值：

（1）a＋a－1；（2）a2＋a－2.

【解答】 (1)将42121aa两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.

(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.

【变式训练】

1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．

【解答】 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，

∈t2＋2＝194，即t2＝192，∈t＝±83，即a－a－1＝±83.

2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．

【解答】 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±83×14＝±1123.

【方法技巧】

解决条件求值的思路

（1）在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.

（2）在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.

1．注意nan同(na)n的区别．前者求解时，要分n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者(na)n＝a是恒等式，只要(na)n有意义，其值恒等于a.

2．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．

3．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．

4．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．

一、选择题

1．下列等式中成立的个数是( )

∈(na)n＝a(n∈N*且n>1)；∈nan＝a(n为大于1的奇数)；∈nan＝|a|＝ a，a≥0，－a，a<0(n为大于零的偶数)．

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

【解答】D 由n次方根的定义可知∈∈∈均正确．

2．若a－2＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )

A．[2，＋∞) B．[2,4)∈(4，＋∞)

C．(－∞，2)∈(2，＋∞) D．(－∞，4)∈(4，＋∞) 知识小结

考点演练 【解答】B 由题意可知 a－2≥0，a－4≠0，∈a≥2且a≠4.

3．化简x＋32－3x－33等于( )

A．6 B．2x

C．6或－2x D．6或－2x或2x

【解答】C 原式＝|x＋3|－(x－3)＝ 6，x≥－3，－2x，x<－3，故选C.

4．下列各式运算错误的是( )

A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8

B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3

C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6

D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18

【解答】C 对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C.

5．已知xy≠0且4x2y2＝－2xy，则有( )

A．xy<0 B．xy>0

C．x>0，y>0 D．x<0，y>0

【解答】A 4x2y2＝－2xy≥0，又xy≠0，∈xy<0.

6．若n

A．2m B．2n

C．－2m D．－2n

【解答】C 原式＝m＋n2－m－n2＝|m＋n|－|m－n|，∈n0，∈原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.

7．若(1－2x)－34有意义，则x的取值范围是( )

A．(－∞，＋∞) B.－∞，12∈12，＋∞

C.12，＋∞ D.－∞，12

【解答】D ∈(1－2x) －34＝141－2x3，∈1－2x>0，得x<12.