人教A版(2019)高中数学必修第一册4.1.1n次方根学案

1 4.1.1 n次方根与分数指数幂

学习目标：

1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．

2．能利用根式的性质对根式进行运算．

学习过程：

【知识导学】

1．根式及相关概念

(1)a的n次方根定义

如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

(2)a的n次方根的表示

①当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a

的n次方根用符号na表示．

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，这个数的n次方根可

以合写成na (a>0)．

③负数 没有偶次方根，零的任何次方根都是零 ．

(3)根式:式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

2．根式的性质(n>1，且n∈N*)

(1)n为奇数时，nan＝a.

(2)n为偶数时，nan＝|a|＝ a，a≥0，－a，a<0.

(3)n0＝0.

(4)负数没有偶次方根．

3．分数指数幂

2 一般的，我们规定：

(1) ＝nma (a>0，m，n∈N*，n>1)；

(2) ＝1amn＝nma1 (a>0，m，n∈N*，n>1)．

4．有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．

【名师点拨】

1.nan与(na)n的区别

(1)nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝ a，a≥0，－a，a<0.

(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.

2.分数指数幂的理解

(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a mn 不可理解为mn个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．

(2)把根式 nam化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．

3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5) 23 ＝3－52有意义，但(－5) 34 ＝4－53就没有意义．

【初试身手】 mnanma

3

1．（2020·浙江高一课时练习）化简1223的结果是（ ）

A．33 B．3 C．33 D．3

【答案】A

【解析】先计算小括号里面的，然后化简负分数指数幂.

原式=12333. 故选A.

2．（2020·全国高一专题练习）下列命题中正确的个数为（ ）

①nnaa，②aR，则0211aa，③44333xyxy，④23655

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

①当n为偶数时，nnaa，①错误；

②当aR时，210aa，则0211aa，②正确；

③4344333xyxyxy，③错误；

④26236555，④错误

故选B

3.用根式的形式表示下列各式(a>0)：

①a 15 ＝________；②a 34 ＝________；

4 ③a－35

＝________；④a－23 ＝________.

答案 ①5a ②4a3 ③15a3 ④13a2

4．（2020·全国高一课时练习）2ab＋55ab的值是________.

【答案】0或2(a－b)

【解析】2ab＋55ab＝|a－b|＋(a－b)＝0,2,ababab.

故答案为：0或2(a－b).

5.若n为偶数时，

nx－1n＝x－1，则x的取值范围为________．

答案 x≥1

【典例学习】

类型一

根式的概念、求值、化简

例1. 求下列各式的值．

(1) 3（－2）3； (2) 4（－3）2；

(3) 8（3－π）8； (4) x2－2xy＋y2＋7（y－x）7.

答案：(1) －2 (2) 3 (3) π－3. (4)

0，x≥y，2（y－x），x＜y.

解析: (1) 3（－2）3＝－2.

(2) 4（－3）2＝432＝3.

(3) 8（3－π）8＝|3－π|＝π－3.

(4)原式＝ （x－y）2＋y－x＝|x－y|＋y－x.

当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；

5 当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．

所以原式＝0，x≥y，2（y－x），x＜y.

［方法技巧］

1.判断关于n次方根的结论应关注的两点

(1)n的奇偶决定了n次方根的个数；

(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．

2.正确区分nan与(na)n

(1)(na)n已暗含了na有意义，据n的奇偶性可知a的范围；

(2)nan中的a可以是全体实数，nan的值取决于n的奇偶性．

［变式训练］

1．（2020·全国高一课时练习）化简：23344________.

【答案】0.

【解析】

2334444440.

2．（2020·浙江高一课时练习）当810x时，22(8)(10)xx________.

【答案】2

【解析】

∵810x，∴80x，100x，

∴22(8)(10)|8||10|(8)(10)2xxxxxx.

故答案为：2

3．若（2a－1）2＝3（1－2a）3，则实数a的取值范围为________．

6 答案：－∞，12

解析：（2a－1）2＝|2a－1|，3（1－2a）3＝1－2a.

因为|2a－1|＝1－2a，

故2a－1≤0，所以a≤12.

类型二

根式与分数指数幂的互化

例2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：

(1)(a－b) －34 (a＞b)；(2) 5（ab）2；

(3) 3（x－1）5；(4)13a2；(5)(a－b)37.

答案：(1) 14（a－b）3（2）(ab)25.（3）(x－1)53.（4）a－23 （5）7（a－b）3

解析：

(1)(a－b) －34＝14（a－b）3.

(2) 5（ab）2＝(ab)25.

(3) 3（x－1）5＝(x－1)53.

(4) 13a2＝a－23

(5)(a－b)37＝7（a－b）3.

［方法技巧］

根式与分数指数幂互化依据

7 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a mn ＝nam和a－ mn ＝1a mn ＝

1nam，其中字母a要使式子有意义．

(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.

［变式训练］

（2020·全国）设0a，将232aaa表示成分数指数幂的形式，其结果是________.

【答案】76a

【解析】

∵0a，∴117222361231223aaaaaaab.

故答案为：76a.

类型三

利用指数幂的性质化简求值

计算下列各式(式中字母都是正数)：

(1)2350＋2－2×214－12－(0.01)0.5；

(2)2790.5＋0.1－2＋21027－23－3π0＋3748；

(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；

(4)23a2÷46a·b·3b3.

答案：（1）1615（2）100.（3）－a3c (4) 32a12b43.

8 解析：

(1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋16－110＝1615.

(2)原式＝25912＋110－2＋6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.

(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)

＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1

＝－13ac－1

＝－a3c.

(4)原式＝2a23÷4a16b16·3b32

＝12a23－16·b－16·3b32

＝32a12b43.

［方法技巧］

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

［变式训练］

（2020·云南省泸西县第一中学高一月考）计算：

（1）11020.753270.064()[(2)]168；

（2）933337132aaaa.

【答案】（1）38.（2）1

【解析】