导数与不定积分的关系(一)

第二章 导数与不定积分

1．若函数)(xfy有21)(0xf，则当0x时，在点0xx处的微分dy是（ ）

（A） 与x等价无穷小；（B）与x同阶无穷小；但不是等价无穷小；

（C） 比x高阶无穷小；（D）比x低阶无穷小

2．若)()(xgxfdxd，2)(xxh，则)(xhfdxd（ ）

（A） )(2xg； （B）)(2xxg； （C）)(22xgx； （D）)(22xxg

3．设函数f (x)在x = a处可导，则函数| f (x)|在x = a处不可导的一个充分条件是 。

(A) f (a) = 0, 且f (a) = 0； (B) f (a) = 0, 且f (a)  0；

(C) f (a) > 0, 且f (a) > 0； (D) f (a) < 0, 且f (a) < 0.

4．设xaxxf，而axx在)(连续但不可导，则axxf在)(处（ ）。

（A）连续但不可导； （B）可能可导，也可能不可导；

（C）仅有一阶导数； （D）可能有二阶导数。

5．设f(x), g(x)都是可导函数,且)()(xgxf,则当x>a时,有( ).

(A) ).()()()(agxgafxf (B) ).()()()(agxgafxf

(C) ).()()()(agafxgxf (D) ).()()()(agafxgxf

6．设2)(aaf，0ax 则axafxfaxlnln)()(lim

7． 设0x，则22()2xxeed______________()dx

8．设2arcsin22tancostyttxt求dxdy在0t处的值。

9．1111xxxxy 求y

常⽤导数+积分公式

1. 导数

1.1 导数基本公式

1.2 导数的四则运算法则

1.3 复合函数求导法则

2. 积分

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应⽤上，积分作⽤不仅如此，它被⼤量应⽤于求和，通俗的说是求曲边三⾓形的⾯积，这巧妙的求解⽅法是积分特殊的性质决定的。2.1 不定积分

设 是函数f(x)的⼀个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进⾏积分。2.2 定积分

积分是微积分学与数学分析⾥的⼀个核⼼概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于⼀个给定的实函数f(x)，在区间[a，b]上的定积分记为：若f(x)在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平⾯上，曲由线(x，f(x))、直线x=a、x=b以及x轴围成的⾯积值（⼀种确定的实数值）。2.3 基本积分公式

2.4 积分的基本运算法则

第四章 一元函数积分学导学

一、学习要求

1、理解原函数与不定积分概念，弄清两者之间的关系。会求当曲线的切线斜率已知时，满足一定条件的曲线方程。知道不定积分与导数（微分）之间的关系。

了解定积分的定义设f(x)在[a,b]上连续，存在F（x）使得F‘（x）=f(x)，则

2、熟记积分基本公式，熟练掌握不定积分的直接积分法。了解不定积分和定积分的性质，尤其是：

3、熟练掌握第一换元积分法（凑微分法）

注意：不定积分换元，要还原回原变量的函数；定积分换元，一定要换上、下限，直接计算其值。

4、熟练掌握分部积分法。分部积分公式为：

会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分（1）幂函数与指数函数相乘。

（2）幂函数与对数函数相乘。

（3）幂函数与正（余）弦函数相乘。

5、知道无穷限积分的收敛性，会求无穷限积分。

6、知道变上限定积分概念，知道 是f(x)的原函数，即

7、记住奇偶函数在对称区间上的定积分性质，即

（1）若 f(x) 是奇函数，则有 )())((xfdxxfdxd)())((xfdxxfdxdbaabdxxfdxxf)()(bccabadxxfdxxfdxxf)()()(vduuvudvdxvuuvdxuv或''babababababavduuvudvdxvuuvdxuv||''或babaaFbFxFdxxf)()()()(|)()()(xfdttfxxa是aadxxf0)(（2）若 f(x) 是偶函数，则有

本章重点

不定积分、原函数概念，积分的计算

二、学习方法 看例子、尝试做、不懂就问

三、学习内容（一）、原函数概念

定义一：设 f(x)是定义在区间D上的函数，若存在函数F(x)对任何x∈D,都有F(x)’=f(x)(或df(x)=f(x)dx)

对照表

不定积分 基本初等函数的导数

1. )(常数kCkxkdx )(0)('为常数CC

2. Cxdxx11 1)'(xx

3. Cxxdxln xx1)(ln' (axxaln1)(log')

4. Cxxdxarctan12 2'11)(arctanxx (2'11)cot(xxarc)

5. Cxxdxarcsin12

2'11)(arcsinxx

(2'11)(arccosxx)

6. Cxxdxsincos xxcos)(sin'

7. Cxxdxcossin xxsin)(cos'

8. Cxxxdxtanseccos22 xxx22'cos1sec)(tan

9. Cxxxdxcotcscsin22 xxx22'sin1csc)(cot

10. Cxxdxxsectansec xxxtansec)(sec'

11. Cxxdxxcsccotcsc xxxcotcsc)(csc'

12. Cedxexx xxee')(

13. Caadxaxxln aaaxxln)('

14. Cchxshxdx shxchx')(

15. Cshxchxdx chxshx')(

16. Cxxdxcoslntan

17. Cxxdxsinlncot

18. Caxdxxaarctan21122

19. Caxaxadxaxln21122 20. Cxxxdxcotcsclncsc

21. Cxxxdxtancsclnsec