第06讲-平面向量与复数(解析版)

第4节复数一、教材概念·结论·性质重现1．复数的有关概念内容意义备注复数的定义一般地，当a与b都是实数时，称a＋b i为复数，其中实部为a，虚部为b，i称为虚数单位a＋b i为实数⇔b＝0；a＋b i为虚数⇔b≠0；a＋b i为纯虚数⇔a＝0且b≠0复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数z＝a＋b i，z＝a－b i(a，b∈R)复数a(a∈R)的共轭复数是a复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数向量OZ→＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋b i||z|＝|a＋b i|＝a2＋b2(1)复数构成的集合叫做复数集，记为C.(2)i n(n∈N*)具有周期性，且最小正周期为4，其性质如下：①i4n＝1(n∈N*)，i4n＋1＝i(n∈N)，i4n＋2＝－1(n∈N)，i4n＋3＝－i(n∈N)；②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.2．复数的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是OZ 1→－OZ 2→＝Z 2Z 1→所对应的复数． 3．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i. (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i. (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．4．常用结论 (1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i ，z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1||z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n . 二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1A 题目解析：因为z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，所以x ＝－1.3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋iC 题目解析：因为A (6,5)，B (－2,3)，所以线段AB 的中点C (2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.4．若复数z 满足i z ＝2－2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B 题目解析：由题意，因为z ＝2－2i i ＝(2－2i )·(－i )i·(－i )＝－2－2i ，所以z ＝－2＋2i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限．5．设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝________.1 题目解析：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，所以|z |＝1.考点1 复数的有关概念——基础性1．(多选题)下面关于复数的四个命题中，真命题是( ) A ．若复数z ∈R ，则z ∈R B ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R C ．若复数z 满足1z∈R ，则z ∈RD ．若复数z 1，z 2的满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2 AC 题目解析：设z ＝a ＋b i ，对于A 项，若z ∈R ，则b ＝0，此时z ＝a ∈R ，所以A 正确；对于B 项，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，则ab ＝0，所以a ＝0或b ＝0，则z 不一定为实数，所以B 错误；对于C 项，1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0，所以z ∈R ，所以C 正确；对于D 项，设z 1＝－1＋i ，z 2＝2＋2i ，则z 1z 2＝－4∈R ，但z 1≠z 2，D 错误．故选AC.2．(2020·潍坊一模)已知z 为复数，i 为虚数单位．若复数z －iz ＋i 为纯虚数，则|z |＝( )A ．2 B.2 C ．1D.22C 题目解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 所以复数z －i z ＋i ＝a ＋(b －1)ia ＋(b ＋1)i＝[a ＋(b －1)i][a －(b ＋1)i]a 2＋(b ＋1)2＝a 2＋b 2－1－2a ia 2＋(b ＋1)2.因为复数z －i z ＋i 为纯虚数，所以a 2＋b 2＝1，a ≠0.所以|z |＝a 2＋b 2＝1.3．(2020·青岛二模)若复数z 满足(3－i)z ＝|3＋i|(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 的虚部为( )A ．12B ．12iC ．－12D ．－12iC 题目解析：由(3－i)z ＝|3＋i|得(3－i)z ＝(3)2＋12＝2，所以z ＝23－i＝2(3＋i )(3－i )(3＋i )＝2(3＋i )4＝32＋12i ，所以z ＝32－12i ，所以z 的虚部为－12.解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是不是a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部． 考点2 复数的几何意义——应用性(2020·嘉祥模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e π3i 表示的复数位于复平面中的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A 题目解析：根据题意e i x ＝cos x ＋isin x ，故e π3i ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i ，表示的复数在第一象限．1．本例若把条件改为“已知复数z 满足z (1＋2i)＝4＋3i(i 为虚数单位)”，求复数z 在复平面内对应的点所在的象限．解：因为z (1＋2i)＝4＋3i ，则z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i5＝2－i ，故z ＝2＋i ，对应的点在第一象限．2．本例若把条件改为“设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )”，求x ，y 满足的关系式．解：由题意可得：z ＝x ＋y i ，z －i ＝x ＋(y －1)i ， |z －i|＝x 2＋(y －1)2＝1，故x 2＋(y －1)2＝1.3．本例若把条件改为“△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|”，z 对应的点是否为△ABC 的外心？解：是．由复数的几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，故z 对应的点是△ABC 的外心．与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a ＋b i 与复平面上的点(a ，b )一一对应．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．解：z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )2＝1＋m 2＋m －12i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m 2＞0，m －12＜0，所以－1<m <1，故m 的取值范围为(－1，1)．考点3 复数的运算——综合性考向1 复数的乘法运算(1)(2020·山东省实验高考预测)已知复数z ＝(1＋2i)(1＋a i)(a ∈R )，若z ∈R ，则实数a ＝( )A ．12B ．－12C ．2D ．－2D 题目解析：因为z ＝(1＋2i)(1＋a i)＝(1－2a )＋(a ＋2)i ，又因为z ∈R ，所以a ＋2＝0，解得a ＝－2.(2)(2020·柳州一模)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数为单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋iA 题目解析：因为z1－i＝i ，所以z ＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i.复数乘法运算的要点复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 2换成－1.考向2 复数的除法运算(1)(2020·毕节一诊)已知i 为虚数单位，若z (1＋i)2＝2＋i ，则z ＝( )A ．12－iB ．－12＋iC ．－12－iD ．12＋iA 题目解析：由z (1＋i)2＝2＋i 得 z ＝2＋i(1＋i )2＝2＋i 2i ＝(2＋i )·(－2i )(2i )·(－2i )＝2－4i 4＝12－i. (2)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若复数z ＝a ＋3i3＋i∈R ，则复数z ＝________.3 题目解析：因为复数z ＝a ＋3i 3＋i ＝(a ＋3i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3(1＋a )＋(3－a )i 4＝3(1＋a )4＋3－a4i ∈R ，所以3－a 4＝0，即a ＝3.则复数z ＝3(1＋a )4＝434＝ 3.求解复数除数问题的注意点除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 考向3 复数运算的综合应用(1)(2020·银川三模)若复数z 与其共轭复数z 满足z －2z ＝1＋3i ，则|z |＝( )A. 2B. 3 C ．2D. 5A 题目解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －2z ＝a ＋b i －2a ＋2b i ＝－a ＋3b i ＝1＋3i ，故a ＝－1，b ＝1，z ＝－1＋i ，|z |＝ 2.(2)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z ＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．iA 题目解析：因为z ＝－1＋i ，所以z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，则z 2＋z ＝－1－i ，所以z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝(1＋i )(－1＋i )(－1－i )(－1＋i )＝－22＝－1.故选A.(1)先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关知识解答． (2)运用复数的法则进行运算时，要注意运算顺序，先算乘除，后算加减，有括号的要先算括号里面的．1.1＋2i1－2i等于( ) A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45iD 题目解析：1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.2．已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝3＋a i ，z ·z ＝4，则a 为( ) A ．1或－1 B ．1C ．－1D ．不存在的实数A 题目解析：由题意得z ＝3－a i ， 故z ·z ＝3＋a 2＝4⇒a ＝±1.3．若复数z 满足z (2－i)＝(2＋i)(3－4i)，则|z |等于( ) A ． 5 B ．3 C ．5D ．25 C 题目解析：由题意z (2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i ， 则z ＝10－5i 2－i ＝(10－5i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5，所以|z |＝5.。

平面向量与复数的关系在数学中，平面向量和复数之间有着紧密的关联。

通过将平面向量用复数表示，我们能够更加直观地理解和计算向量的性质和运算。

本文将探讨平面向量与复数的关系，并阐述它们之间的转换和应用。

一、平面向量的表示与性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

一般来说，我们可以用坐标系中的两个有序数对来表示一个平面向量。

比如，对于平面上的点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以定义AB为一个平面向量，记作AB = (x2 - x1, y2 - y1)。

平面向量有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指模为0的向量，表示为0。

它的所有分量都为0，方向没有明确的定义。

2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的方向角相等或相差180度，则称它们为平行向量。

3. 向量的模：一个向量的模表示向量的长度，记作|AB|或∥AB∥，计算公式为∥AB∥ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

4. 单位向量：如果一个向量的模为1，则称其为单位向量。

5. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将向量的起点放到另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点，得到一个新的向量作为它们的和。

6. 数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。

二、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的数，形式为a + bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

复数可用于表示在复平面上的点，其中实部表示实轴上的坐标，虚部表示虚轴上的坐标。

复数具有以下重要的性质：1. 共轭复数：对于一个复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。

即共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。

2. 模：一个复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|或∥z∥，计算公式为∥z∥ = √(a^2 + b^2)。

3. 乘法：两个复数相乘的结果是一个复数。

如果两个复数分别为a + bi和c + di，则它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。

第1节　平面向量的概念及线性运算考试要求　1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1.向量的有关概念平行向量方向______或______的非零向量0与任一向量_______或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度______且方向_____的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度_______且方向______的向量0的相反向量为0相同相反平行相等相同相等相反2.向量的线性运算向量运算定　义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝_______.(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝_______； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向__________；当λ＝0时，λa＝_____λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝_______；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反λμaλa＋μaλa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得__________b＝λa.基 础 自 测解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√答案　A答案　D4.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答案　b－a　－a－b解析　①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.答案　①【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号).①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案　③规律方法　(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，答案　(1)D　(2)D(2)解　∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.规律方法　(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.答案　(1)C　(2)B本节内容结束第2节　平面向量基本定理与坐标表示考试要求　1.理解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，___________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个___________的向量，叫做把向量正交分解. 不共线有且只有λ1e 1＋λ2e 2互相垂直(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0基 础 自 测解析　(1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(5)向量a与b的夹角为∠ABC的补角.答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×2.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a＋b等于( )A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)解析　2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D.答案　D3.(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.4.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.答案　(1，5)5.已知向量a＝(－2，x)，b ＝(y，3)，若a∥b且a·b＝12，则x＝__________，y＝__________.答案　2　－3即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形.cos ∠AOB＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°答案　(1)A　(2)3规律方法　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.5复数最新考纲1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.概念方法微思考1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？提示不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部．2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．(×)(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)题组二教材改编2．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于()A ．0 B.12C ．1D.2答案C 解析∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是()A ．1－2i B ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i答案D解析CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1答案A解析∵z 为纯虚数，2－1＝0，－1≠0，∴x ＝－1.题组三易错自纠5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析∵复数a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.6．(2020·模拟)若复数z 满足i z ＝2－2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析由题意，∵z ＝2－2i i ＝(2－2i )·(－i )i·(－i )＝－2－2i ，∴z ＝－2＋2i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限．故选B.7．i 2014＋i 2015＋i 2016＋i 2017＋i 2018＋i 2019＋i 2020＝________.答案－i解析原式＝i 2＋i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝－i.题型一复数的概念1．(2018·武汉华中师大一附中月考)若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则复数z 的虚部为()A.35B ．－35C.35i D ．－35i答案B解析因为(1＋2i)z ＝1－i ，所以z ＝1－i 1＋2i＝(1－i )(1－2i )5＝－1－3i5，因此复数z 的虚部为－35，故选B.2．(2019·钦州质检)复数2＋i1＋i的共轭复数是()A ．－32＋12iB ．－32－12iC.32－12iD.32＋12i 答案D解析由复数2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ，所以共轭复数为32＋12i ，故选D.3．(2018·烟台模拟)已知复数a ＋2i2－i是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a 等于()A ．－4B ．4C ．1D ．－1答案C解析a ＋2i 2－i ＝(a ＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2a －2＋(a ＋4)i5，∵复数a ＋2i2－i为纯虚数，∴2a －2＝0且a ＋4≠0，解得a ＝1.故选C.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于()A ．－3－iB ．－3＋iC ．3－iD ．3＋i答案D解析(1＋i)(2－i)＝2＋2i －i －i 2＝3＋i.(2)i (2＋3i )等于()A ．3－2iB ．3＋2iC ．－3－2iD ．－3＋2i答案D解析i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D.命题点2复数的除法运算例2(1)(2018·全国Ⅱ)1＋2i1－2i等于()A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案D解析1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z (1＋i)＝1－i ，则z 等于()A ．iB ．－iC ．1＋iD ．1－i答案A解析由题意，复数z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－i ，所以z ＝i ，故选A.命题点3复数的综合运算例3(1)(2018·达州模拟)已知z (1＋i)＝－1＋7i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|z |等于()A.2B ．3＋4i C ．5D ．7答案C解析z ＝－1＋7i 1＋i＝(－1＋7i )(1－i )2＝3＋4i ，故z ＝3－4i ⇒|z |＝5，故选C.(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i ；③|αβ|＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；②αβ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，故②正确；③|αβ|＝|－i |＝1，故③正确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i －1＋1＋2i －1＝0，故④正确．故选C.思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练1(1)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋a i ，z ·z ＝4，则a 为()A ．1或－1B ．1C ．－1D ．不存在的实数答案A解析由题意得z ＝3－a i ，故z ·z ＝3＋a 2＝4⇒a ＝±1，故选A.(2)(2018·潍坊模拟)若复数z 满足z (2－i)＝(2＋i)·(3－4i)，则|z |等于()A.5B ．3C ．5D ．25答案C解析由题意z (2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i ，则z ＝10－5i 2－i ＝(10－5i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5，所以|z |＝5，故选C.题型三复数的几何意义例4(1)(2018·天津河东区模拟)i 是虚数单位，复数1－ii在复平面上对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析由题意得1－i i ＝(1－i )i i 2＝1＋i－11－i ，因为复数－1－i 在复平面上对应的点在第三象限，故选C.(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③B 点对应的复数．解①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练2(1)(2018·洛阳模拟)已知复数z ＝5i 3＋4i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 对应的点在()A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限答案A解析∵z ＝5i 3＋4i ＝5i·(3－4i )(3＋4i )·(3－4i )＝45＋35i ，∴z ＝45－35i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第四象限．故选A.(2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．答案5解析由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )，x ＋y ＝3，x －y ＝－2，＝1，＝4，故x ＋y ＝5.1．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2等于()A ．－8－6iB ．－8＋6iC ．8＋6iD ．8－6i答案C解析∵z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，∴z 1z 2＝6－8i －i ＝(6－8i )i －i 2＝8＋6i.2．(2018·聊城模拟)设复数z ＝(1－i )21＋i，则|z |等于()A ．4B ．2 C.2D ．1答案C解析z ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－i(1－i)＝－1－i ，|－1－i|＝2，故选C.3．(2018·海淀模拟)已知复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则()A ．z ＋1是实数B ．z ＋1是纯虚数C ．z ＋i 是实数D ．z ＋i 是纯虚数答案C解析由题意得复数z ＝1－i ，所以z ＋1＝2－i ，不是实数，所以选项A 错误，也不是纯虚数，所以选项B 错误．所以z ＋i ＝1，是实数，所以选项C 正确，z ＋i 是纯虚数错误，所以选项D 错误．故选C.4．已知i 为虚数单位，若复数z 满足z ＋iz －i＝1＋i ，那么|z |等于()A ．1 B.2C.5D ．5答案C解析∵z ＋i z －i＝1＋i ，z ＋i ＝(1＋i)(z －i )，i z ＝(2＋i)i ，∴z ＝2＋i ，∴|z |＝1＋4＝5，故选C.5．(2018·成都七中模拟)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若i －2a －i为纯虚数，则a 等于()A.12B ．－12C ．2D ．－2答案B 解析由题意知i －2a －i ＝(i －2)(a ＋i )(a －i )(a ＋i )＝(－2a －1)＋(a －2)i a 2＋1＝－2a －1a 2＋1＋a －2a 2＋1i ，又由i －2a －i为纯虚数，所以－2a －1＝0且a －2≠0，解得a ＝－12，故选B.6．若复数z 满足(3＋4i )z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于()A ．－15－75iB ．－15＋75iC ．－125－725iD ．－125＋725i 答案D解析由题意可得z ＝1－i 3＋4i ＝(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－1－7i25，所以z ＝－125＋725i ，故选D.7．(2018·济南模拟)设复数z 满足z (1－i)＝2(其中i 为虚数单位)，则下列说法正确的是()A ．|z |＝2B ．复数z 的虚部是i C.z ＝－1＋iD ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限答案D解析z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝2，复数z 的虚部是1，z ＝1－i ，复数z 在复平面内所对应的点为(1,1)，显然在第一象限．故选D.8．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案3或6解析∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．9．(2018·江苏)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．答案2解析由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii＝2－i ，∴z 的实部为2.10．(2018·天津)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________.答案4－i解析6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.11．已知复数z 满足z ＋3z ＝0，则|z |＝________.答案3解析由复数z 满足z ＋3z＝0，则z 2＝－3，所以z ＝±3i ，所以|z |＝ 3.12．若复数z ＝1－i ，则z ＋1z 的虚部是________．答案－12解析z ＋1z ＝1－i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 2＝32－12i ，故虚部为－12.13．(2018·厦门质检)已知复数z 满足(1－i)z ＝i 3，则|z |＝________.答案22解析由题意知z ＝i 31－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－i ＋12＝12－12i ，则|z |＝22.14．(2019·天津调研)已知i 为虚数单位，复数z (1＋i)＝2－3i ，则z 的虚部为________．答案－52解析由z (1＋i)＝2－3i ，得z ＝2－3i 1＋i ＝(2－3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－5i 2＝－12－52i ，则z 的虚部为－52.15．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解(1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，2－4>0，4m >0，解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．16．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝又z ＋3＝a ＋3＋b i 的实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，0，＋3＝－b ，因为b ≠02＋b 2＝5，＝－b －3，＝－1，＝－2＝－2，＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.17．(2018·威海模拟)若复数a ＋i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案C 解析由题意得z ＝a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2，因为z 在复平面内对应的点在第一象限，＋1>0，－a >0，所以－1<a <1.故选C.18．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若复数z ＝a ＋3i 3＋i∈R ，则复数z ＝________.答案3解析∵复数z ＝a ＋3i 3＋i ＝(a ＋3i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3(1＋a )＋(3－a )i 4＝3(1＋a )4＋3－a 4i ∈R ，∴3－a 4＝0，即a ＝3.则复数z ＝3(1＋a )4＝434＝ 3.19．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是()A ．[－1,8] B.－916，1C.－916，7 D.916，7答案A 解析由复数相等的充要条件可得＝2cos θ，－m 2＝λ＋4sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋4sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－4sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－4sin θ＋4＝4sin 2θ－4sin θ＝θ－1，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－4sin θ∈[－1,8]．20．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案④解析由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则a ＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．。