第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析
主要内容：1、对偶问题及其性质；
2、 对偶单纯形法；
3、 灵敏度分析。
重点与难点：对偶问题与原问题的对应关系，对偶问题的基本性质，对偶单纯形法的求解步骤，灵敏度分析的方 法。 要
求：理解线性规划对偶问题的性质，熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧，能够
用这些数学方法解决实际问题。
§ 1对偶问题的对称形式
一、对偶问题
弓侧，某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及 A 、B 两种原材料
的消耗，该工厂每生产一件产品甲可获利 2元，每生产一件产品乙可获利 3元，问应如何安排计划才能使该工厂获利
最多？
解：设
X i 、
X 2
分别为甲、乙两种产品的产量
作一比较：若用一个单位台时和 4个单位原材料 A 生产一件产品甲，可获利 2元，那么生产每件产品甲的设备台 y^ 4y^ 2
同理，将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。即:
2力 4y 3
3
将工厂所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为
则目标函数
maxz 二
2x 「
3x 2
x 「
2x 2 岂
8
i
4x 1 - 16 i
4x 2 兰
12
约束条件
-x 1,x^ 0
(1)
不再生产甲、乙产品，而将其出租或出售 3分别为出租
单位设备台时的租金和出让单位原材料
这时要考虑每种资源的定价问题，设
A 、
B 的附加额。
时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。即:
。
=8y 〔
+ 16y 2 + 12y 3
对工厂来说，••越大越好；但对接受者来说，支付的愈少愈好，所以工厂只能在满足》所有产品的利润前提下, 使其总收入尽可能小，才能实现其愿望。为此，得到如下模型：
min =8y 1 16y 2
12y 3
"+4丫2
工 2
< 2y i +4y ^ 3 J j > 0 , j =1,2,3
我们就称（2）为模型（1）的对偶问题。
一般地，设原问题为
max z = c/ c 2
x 2 …
…c x n
'a ii X i +a i2X 2 + … +amX n 兰 b a 2l X l +a 22X 2 +■八 +a 2n X n 兰 b 2
a a a a ■
■
■
■
■s
■
■
■
■
a mi X
i +a m2X
2 +
*a mn X n 兰 *
X j _0 , j =i,2, ,n
则其对偶问题为：
min 二 by b ?y 2
^^n
Niy i +a 2〃2 + …+a mi y m A"
a i2y
i +a 22
y
2 * +a m2
y
m ®C 2
m
- a - < ■
■
■
■
a in
y
i +a 2n
y
2 + +a mn
y
m ®C n
y i 一0 , i =i,2, ,m
矩阵形式：
原问题 对偶问题
max z = cX mi n = Yb
'AX E b , 、Y A 启C （实际为A T y T ^C T ）
X >0
7 >0
、原问题与对偶问题的关系
例1求下列问题的对偶问题
min z =2x1 3x2- 5x3x4
x1 +x2-3x3 +x4 >5
2x1+2x3—x4兰4
1x2+x3+ x4=6
捲_ 0, x2, x3- 0, x4无约束
解：
max = 5y! 4y26y3
» +2y2 3 2
y i *3 兰3
«—3% +2y? +y3 兰一5
y i -丫2*3=1
y i -0』2空0小无约束
§ 2对偶问题的基本性质、对称性：对偶问题的对偶是原问题。
证：设原问题为max z 二cX
i X 0
mi n = Yb
则其对偶问题为：
YA_ C
i y 0
-min 二-Yb
对上式两边取负号，得
YA C
1y0
-max(-代)= min w
max(-⑷)=
_Yb
-YA-
J
C
Y -0
上式的对偶问题为min(v)=CX
-AX
J
--b
X-0(两边同取负号)
-min(- v)二maxv maxv 二CX 二maxz
AX b
X 0
(0)(0) c
X (0)：：Y(°)b
二、弱对偶性：若X 是原问题的可行解，
Y 是对偶问题的可行解，则存在CX 一丫b。
(0)
证：X 是原问题的可行解
同理Y(0)A— C，用X(0)右乘之得丫(0)AX(0)一CX(0)
已知Y (0)
是对偶问题的可行解，用Y
(0)
左乘上式得Y (0)AX(0)二Y(0)b
