小学五年级数学思维专题训练—等积变形(含答案解析)

五年级数学思维专题练习《平面图形面积计算及等积变形》姓名_________知识准备：平面图形面积计算：多边形及组合图形的面积计算，转化为求三角形、长方形、梯形、平行四边形的面积，利用相应的面积公式求解三角形面积=底×高÷2 梯形面积=（上底+下底）×高÷2长方形面积=长×宽平行四边形面积=底×高等积变形问题：两个平面图形面积相等，称为这两个图形等积。

三角形等积变形技巧是各种等积变形的核心，要注意运用“等（同）底、等（同）高的两个三角形面积相等”这个基本规则一、平面图形面积如图，一个3×3的正方形网格，如果小正方形边长是1，那么阴影部分的面积是________如图，在长方形ABCD中，BC=12，AB=9，F为BC上一点，且CF=4，那么三角形CEF的面积是__________如图，正方形ABCD的面积是16，点F是BC上任意一点，点E是DF的中点，则阴影部分的面积是_______如图，M，N分别是平行四边形ABCD两边上的中点，三角形DMN的面积是9平方厘米，那么ABCD的面积是______平方厘米二、等积变形如图，大正六边形的内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米，那么大正六边形的面积是______平方厘米如图，正六边形ABCDEF的面积是2014平方厘米，在AB，BC，DE，EF上分别取中点G，H，I，J，四边形GHIJ的面积是______平方厘米如图，直角边长分别为20cm，12cm的直角三角形ABC和直角边长分别为14cm，4cm的直角三角形ADE如图摆放，M为AE的中点，则三角形ACM的面积为_____cm²5个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正方形的边长为24厘米，求：单个长方形的面积。

小学奥数精讲：等积变形求面积“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。

图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转换成易求面积的图形．利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。

例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积?例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=31 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积．例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角基本概念例题分析三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少?例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．练习提高1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，DC ＝CE ，如果△BCE 的面积是15平方厘米，那么梯形ABED 的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍，三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？5、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ＝ED ，BF ＝FC ，CG ＝GD ，平行四边形ABCD 的面积是阴影三角形EFG 的多少倍？（4）6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的31，结果是多少?8、图8-17中，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍，求三角形CDE的面积．9、如图，正方形的边长为10厘米，用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积？答案：【例题分析】例1． 4例2．三角形ABD=10平方厘米三角形ACE=15平方厘米例3. 13例4. 27【练习提高】1. 22.52. 1203. 454. 三角形DEF=24平方厘米 CF=6厘米5. 4倍6. 37.57. 1008. 59. 25。

第5讲等积变形第一关三角形的等积变形【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，已知AB的长是7厘米，那么这个直角三角形的面积为　平方厘米。

【答案】12.25【例2】如图，E、F分别是梯形ABCD两腰上的中点，已知阴影部分的面积是43c㎡，那么梯形ABCD 的面积是多少？【答案】172【例3】如图：三条直线互相平行，l1与l3之间的距离是7厘米，l2上AB=4厘米．求阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？　【答案】14【例4】你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）【答案】A与B的面积相等【例5】如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC．若AD=8cm，CD=12cm，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据．【答案】48【例6】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是多少？【答案】35平方厘米【例7】如图，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16【例8】下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【答案】图中甲乙的面积相等【例9】如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近C的三等分点，E是AD中点，已知三角形ABC的面积为1，那么图中两个阴影三角形面积之和是多少？【答案】0.4【例10】已知△ABC面积为5，且BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．【答案】2【例11】如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的．请问：阴影部分的总面积是多少？【答案】23【例12】如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是多少。

【答案】20【例13】（1）如图1，阴影部分的面积是多少？（2）如图2，一个长方形长4厘米，宽3厘米．A为长方形内的任意一点，阴影部分的面积是多少？【答案】（1）100；（2）6【例14】如图，在图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等．阴影部分的面积是多少？【答案】15【例15】如图，两个正方形（单位：厘米）中阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】8【例16】由面积为1，2，3，4的矩形拼成如图的长方形，图中阴影部分的面积为多少？【答案】【例17】如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是多少平方厘米。

等积变换与共角定理我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；S△ACD=S△BCD；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如下两图例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。

例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ＝四边形ＡＢＣＤ例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。

例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积等积变换与共角定理习题1. 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积2. 如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？3. 如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD 的面积。

等积变形知识精讲三角形和平行四边形的关系非常紧密.回想它们的面积公式,如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块,那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半. 如图除了上面这种情形外,如图2中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同, 所以面积也是平行四边形的一半.〔注意：长方形也是平行四边形〕例题1如图,平行四边形A8CD的面积是100平方厘米,石是其中的任意一.那么图中阴影局部面积是多少平方厘米？「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形,两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢？练习1如图,石是平行四边形A8C.中的任意一点,△AEO与△七8c的面积和是40平方厘米,那么图中阴影局部的面积是多少？如图3,两条平行线间有四个三角形；三角形三角形243、三角形阪43和三角形NAB.它们的底相同.都是A8;高相等,都是两条平行线间的距离,所以这四个三角形的面积是相等的.进一步,我们可以在直线ON上任取假设干个点, 这些点分别与A、8两点形成假设干个同底等高的三角形,这些三角形的面积都是相等的.我们把这种“底相同,高相等〞的情况简称为“同底等高〞,“同底等高〞是我们敢早碰到的三角形等积变形的情形,而“等高〞放常见的情况就是平行线间的距离相等.如果两个三角形同底等高,那么它们的面积相等.利用平行线间的距离相等,构造同底等高的三角形,是很常见的三角形等积变形.例题2如图,平行四边形A8CQ的底边AO长20厘米,高.“为9厘米,E是底边8c 上任意的一点.那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形,把两个三角形变成一个三角形呢?练习2如图,平行四边形A8CD的面积是100平方厘米.那么阴影局部的面积是多少平方厘米？H Dr c如图,A8E厂和8EF都是长方形.A8的长是4厘米,8c的长是3厘米.那么图中阴影局部的面积是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形.把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢?练习3如图,A8C.和C0E尸都是平行四边形,四边形A8FE面积为60平方厘米.请问：阴影局部面积是多少平方厘米？在利用同底等高三角形计算面积的题目中,就重要的一步就是去找其中的平行线, 进而寻找同底等高、面积相等的三角形■例题4如图,梯形A8c.中,石是对角线AC上的一点..石和A3平行.那么与△ AOC面积相等的三角形一共有哪几个？「分析」要找同底等高面积相等的三角形,首先必须找到平行线哦!如图,梯形A8C.中,共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对?画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一.一条好的辅助线.往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单.一般我们习惯把辅助线画出虚线.在上一讲中,我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目,在利用同底等高三角形计算面积的题目中,我们往往需要自己画出平行线去构造、寻找同底等高的三角形,进而进行面积转化.挑战极限例题5如图,大正方形的边长是10厘米,小正方形的边长是8厘米.求阴影局部的面积？「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的,能否通过等积变形,寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦.如图,梯形A3C0中,对角线相交于.点,由A0与8C行,那么就有△A8C与△ O8C同底等高、面积相等；△A3.与△AC.同底等高、面积相等.那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下.△48.与43.£〕都包含有4 08.,而△A8C与△88面积相等,那么就有△ABO与△80面积相等.我们把梯形中出现的这三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等〞,由于△ A8O与△80恰好如同两片翅膝一般,有的时候我们也称其为“蝴蝶模型〞.“蝴蝶模型〞在几何中应用非常广泛,尤其是在高年级学习比例之后,而且,应用蝴蝶模型,往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单.例题6如图,长方形A8CZ〕内的阴影局部的面积之和为70.A3=8, AO=15,那么四边形EFGO的面积是多少？「分析」能否应用“蝴蝶模型〞,使得三块别离的三角形合并呢?作业1、如图,梯形A3CE是由正方形A8C.和等腰直角三角形C0E构成的.等腰直角三角形的斜边是10厘米,那么ABCE的面积是多少平方厘米？2、如图,长方形A88 的面积为6,那么平行四边形的面积是多少？3、如图,一个长方形被分成4个不同的三角形,红色三角形的面积是9平方厘米,黄色三角形的面积是21平方厘米,绿色的三角形面积是10平方厘米.那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？4、如图,长方形的长为16,宽为5.那么阴影三角形的面积和为多少?5、如图,直角梯形ABC.中,CD=30, 30=40, 8.和CO垂直.那么三角形A8C 的面积是多少？。

第五讲长方体、正方体的表面积和体积等积变形例一、一个装有水的长方体水槽，底面积为80平方厘米，水深8厘米。

现将一个底面积为16平方厘米的长方体铁块竖放入水底，仍有部分铁块露在外面，现在水深多少厘米？分析：根据题意可知，水槽中的水的体积在放入铁块后没有变化，依然是80×8=640（立方厘米），这时底面积为80-16=64（平方厘米）。

根据体积=底面积×高，再求出现在的水深。

80×8÷（80-16）=640÷64=10（厘米）答：现在水深是10厘米。

巩固练习1（1）一个底面积为360平方厘米的水槽内，水深12厘米，现将一个底面积为72平方厘米的长方体铁块竖放入水槽底部，仍有部分铁块露在外面，现在水深多少厘米？（2）在一个长5分米、宽4分米、高6分米的水箱中，水深4分米，现将一个底面边长20厘米、高10分米的的长方体铁块，竖放入水底，现在水面距离水箱口多少分米？（3）一个底面积为1200平方厘米、深为30厘米的水槽内，水深10厘米，现将一个底面边长为20厘米的长方体铁块竖放入水底，这时铁块仍高于水面，现在水面高是多少厘米？例二、有一个长方体水槽，它的底面是边长是边长为20厘米的正方形，有一段横截面积是80平方厘米的长方形钢材浸没在其中，当钢材从水槽中取出以后，水槽的水面下降了3厘米，求这段钢材的长。

分析：根据题意可知，钢材的体积相当于水槽内下降部分的体积，即20×20×3=1200（立方厘米），再根据横截面面积×长=体积，求出这段钢材的长。

20×20×3÷8=1200÷80=15（厘米）答：这段钢材的长是15厘米。

巩固练习2（1）在一个棱长是24厘米的正方体容器中注入水。

有一根横截面积是192平方厘米的长方形铁棒浸没在水中，当把铁棒从容器中取出后，容器中的水面下降了5厘米，求这根铁棒的长度。

第五讲等积变形答案方法与技巧：（1）等底等高的两个三角形面积相等。

（2）两个三角形如果有相等的底（或高），且其中一个三角形的高（或底）是另一个三角形高（或底）的若干倍，那么，这个三角形的面积是另一个三角形面积的若干倍。

【例1】如下图所示，四边形ABCD是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为4平方厘米和8平方厘米，求直角梯形ABCD的面积。

（18）【练习1】如图所示，三角形ABO的面积为9平方厘米，线段BO的长度是OD的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？（48）【例2】如图所示，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D点，把它的另一条边AC延长2倍到点E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE面积是三角形ABC面积的多少倍？（6）【练习2】如图所示，AE=3AB，BD=2BC，△DEC的面积是△ABC面积的倍。

（4）【例3】已知三角形ABC面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（14）【例4】如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM与三角形BCN的面积和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是多少平方厘米？（1.8）【例5】如图所示，点M、N、P、Q分别在平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且PE//GM//CB，HN//QF//AB。

若平行四边形ABCD的面积为600平方厘米、阴影部分的面积为80平方厘米。

请问四边形MNPQ的面积为多少平方厘米？（340）【例6】如图所示，在正方形ABCD的BC边上取一动点E，以DE为边作矩形DEFG，且FG边通过点A。

在点E从点B移动到点C过程中，矩形DEFG的面积（）（E）（A）一直变大。

（B）一直变小。

（C）先变小后变大。

（D）先变大后变小。

（E）保持不变。

【练习1】如左下图，△ABC中，D、E分别为边BC、AB的中点。

若图中阴影部分面积为1，则△ABC的面积为多少？（4）【练习2】如右上图所示，图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（24）【练习3】如图，六角形的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点。