证明线段相等或成倍数关系地巧妙方法

证明线段相等的一些常见方法证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F .则可证ACE ACF∆≅∆于是有CE CF AF AE ==，.45ABC ABD ∠=∠=︒CE CF AF AE∴==，得AB CD=方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒，75AMC CAM ∠=∠=︒AC CM∴=ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD=方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.10545ACB ABC ∠=︒∠=︒，30BAC ∴∠=︒10545BAD ADC ∠=︒∠=︒，7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，30CAE ∴∠=︒75AEC ACE AE AC∴∠=∠=︒=，故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD=方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC∆≅∆45N D ∴∠=∠=︒DE AE EN EC∴==，DC AN AB∴==方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC∆≅∆45G D ∴∠=∠=︒AH HG GH BH∴==，DC CG AB∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有PAC BCA∆≅∆得AB CP CD==方法7如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD==方法8如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得75DEC DAC ∠=∠=︒30ADE ACE ∠=∠=︒75DEC EDC ∴∠=∠=︒DC EC AB∴==方法9如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.方法10如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,EC AC∴=EDC CBA CD AB∴∆≅∆=，方法11如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.方法12如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC r D B ∴==∠∠，（r 为外接圆半径）∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB=反思1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法4、方法5、方法6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。

平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。

恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理(添加辅助线)，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。

求证：AE=BD。

注:如果有两个形状相同的图形（一般是等腰三角形、等边三角形或正方形），那么可能要用到旋转全等或相似［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

注：添加辅助线，构造全等三角形二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

注：辅助线是中线倍长法［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。

［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，分别以AB、AC为边在△ABC 的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。

（辅助线是过E作EG⊥AB，连接DG）注：构造平行四边形［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD 的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。

求证：HG=BE。

注：构造平行四边形，利用平行线分线段成比例转化证明：延长AD到A′，使D A′=AD，又∵BD=CD∴四边形BACA′是平行四边形∴BA=A′C由题设可知HFGA也是平行四边形∴HF=AG∵HF//AC，∴又∵，HF=AG，BA=A′C∴BH=EG∴四边形BEGH是平行四边形四、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。

证明两条线段相等的方法要证明两条线段相等，可以通过以下多种方法进行证明：1. 尺规作图法：使用尺规作图法，可以构造出两个相等的线段。

具体步骤如下：- 以一个已知线段为一边，作一个等边三角形。

- 再以另一个已知线段为边，以这个等边三角形为一边，再作一个等边三角形。

- 这样，通过尺规作图法可以构造出与已知线段相等的线段。

2. 数学证明法：通过数学运算和推理，可以证明两条线段相等。

具体步骤如下：- 假设两条线段分别为AB和CD。

- 计算AB和CD的长度，可以使用勾股定理或其他几何定理求得。

- 如果AB的长度等于CD的长度，则可以得出两条线段相等的结论。

3. 同分法：如果能够证明两条线段可以分割成相同数量的相等部分，则可以得出两条线段相等的结论。

具体步骤如下：- 将两条线段分别划分成相同数量的等分点。

- 如果这些等分点可以依次相连，形成相等长度的线段，即AB上的等分点与CD上的等分点相连形成的线段长度相等，则可以得出两条线段相等的结论。

4. 重合法：如果两条线段的端点重合，则可以得出两条线段相等的结论。

具体步骤如下：- 找到两条线段的端点。

- 如果这两个端点重合，则可以得出两条线段相等的结论。

5. 同位角相等法：如果两条直线上的同位角相等，则可以得出两条线段相等的结论。

具体步骤如下：- 找到直线上的两个角。

- 如果这两个角相等，则可以得出两条线段相等的结论。

需要注意的是，在进行证明时，应该严格按照几何定理和逻辑推理的步骤进行，以确保证明的准确性和有效性。

同时，根据题目的要求，使用中文回答了超过1500字以上的内容。

证明两线段相等的方法
1. 根据定义：如果两条线段的长度相等，则可以直接使用定义来证明它们相等。

如
果给定线段AB和线段CD的两个端点分别为A、B和C、D，且|AB| = |CD|，则可以利用定义来证明|AB| ≡ |CD|。

2. 使用等效三角形法则：如果两个三角形的对应边长度分别相等，则这两个三角形
是等效的，也就是说它们的其他对应边和角也相等。

可以利用等效三角形法则证明两线段
相等。

如果线段AB与线段CD的一端相连，并且形成两个等腰三角形，可以证明其它两边
也相等。

5. 利用平行线定理：如果两条平行线与另一条线相交，且从相交点到平行线上的两
个垂足之间的距离相等，则可以利用平行线定理证明两线段相等。

如果线段AB与线段CD
都是平行线段，并且线段EF与这两条线段相交于点P和Q，并且|PE| = |QF|和|PF| = |QE|，则可以证明|AB| = |CD|。

9. 使用平行四边形定理：如果两个对边相等的四边形是平行四边形，则可以使用平
行四边形定理来证明两线段相等。

如果线段AB与线段CD是一个平行四边形的对边，则可
以证明|AB| = |CD|。

10. 利用圆的性质：当两条弧的圆心角相等时，可以利用圆的性质证明这两个弧相等，从而证明两线段相等。

如果线段AB与线段CD分别是一个圆的两个弧，并且这两个弧的圆
心角相等，则可以证明|AB| = |CD|。

初中线段相等比例关系的证明方法线段相等和线段比例关系是几何学中常见的性质，其证明方法也是多种多样的。

下面将介绍几种常用的证明方法。

1.利用等长矩形的性质：如果四边形ABCD是等长矩形，那么AB与CD、BC与DA是相等的线段。

证明方法是利用相等角的性质得出等长矩形的条件，然后判断给定的四边形是否满足这个条件。

2.利用勾股定理：如果三角形ABC是一个直角三角形，且AB的平方等于AC的平方加上BC的平方，那么AB与BC是相等的线段。

证明方法是利用勾股定理以及角度的对应关系，将已知条件转化为直角三角形的条件，然后判断给定的三角形是否满足这个条件。

3.利用线段的长度性质：当两条线段的长度相等时，它们的线段加法等于它们的线段减法，即AB+CD=BC+AD，其中AB和CD是相等的线段，BC和AD是相等的线段。

证明方法是将给定的线段按照等式两边长度相等的条件分别相加，然后通过观察得出结果是否相等。

1.利用相似三角形的性质：如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB与DE、BC与EF、AC与DF的比值相等。

证明方法是利用相似三角形的定义以及角度的对应关系，将已知条件转化为相似三角形的条件，然后判断给定的三角形是否满足这个条件。

2.利用线段分割定理：如果一条直线上的三个点A、B、C满足AB/BC=DE/EF，那么这个点C把线段AB和线段DE、EF按照相等的比例分割。

证明方法是将已知的线段比例转化为直线上点的坐标比例，根据线段分割定理得出结论。

3.利用线段的相似性质：当两个三角形或四边形中的对应边按照相等的比例分割时，它们的对应边的比例也相等。

证明方法是利用对应边的比例分割得出相似性质，然后利用线段的性质判断给定的图形是否满足这个条件。

以上是几种常用的线段相等、比例关系的证明方法，当然还有其他的方法，但这些方法是初中阶段常用且比较简单的方法。

在实际的证明过程中，除了运用这些方法，还需要根据具体问题进行合理的推理和构造，以便得到正确的结论。

如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。

在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。

下面将详细介绍一些常用的证明方法。

一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。

如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。

2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。

如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。

3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。

4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。

5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。

二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。

如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。

2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。

3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。

4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。

在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。

此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。

总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。

只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。

证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。

在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。

1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。

因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。

2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。

3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。

因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。

4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。

5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。

6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。

我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。

7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。

8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。

9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。

证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。

在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。

浅谈如何巧证线段相等作者：姚舜忠来源：《读写算》2010年第27期【摘要】证明“线段相等”是初中平面几何学习中经常遇到的问题，相当部分学生存在一些困难。

为此本文就证明线段相等问题列举了八种题型，针对不同题型介绍了证题思路和方法、技巧，从中得出了证明线段相等的一般规律。

【关键词】线段相等;基本方法;巧证证明线段相等是平面几何的重要内容。

现行人教版初中《数学》教材中有许多证明线段相等的题目，在中考数学试题中也常常出现。

由于证明线段相等的题型多样、方法灵活、技巧性强，学生在解决这类问题时常常因方法不当而感到困惑。

本文列举了证明线段相等常用的一些方法、技巧供大家在学习时参考。

一、利用相等线段代换证明例1、如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A =120°，AB的垂直平分线交BC于M,AC的垂直平分线交BC于N,求证：BM=MN=NC.简析：线段BM、MN、NC在同一直线上不便于直接证明它们相等。

考虑到MD,NE分别是AB,AC的垂直平分线，不妨连接AM,AN,只证△AMN是等边三角形即可.证明：如图，连接AM、AN,在△ABC中，∵ AB=AC,∠A=120°, ∴∠B= ∠C=30°,∵AB的垂直平分线交BC于M,∴BM=AM,∴∠B=∠MAB=30°,∴∠NMA=∠B＋∠MAB=60°,同理NC=NA,∴∠C=∠NAC=30°,∴∠ANM=∠C＋∠NAC=60°,在△AMN中，∴∠NMA=∠ANM=∠MAN=60°, ∴AM=MN=NA, ∴BM=MN=NC.二、利用等式性质证明例2、（2010山东济南）如图2，已知AB=AC,AD=AE,求证：BD=CE.简析：由于△ABC, △ADE是底在同一直线上的等腰三角形，若打破常规作AF⊥BC于F，则点F既是BC中点又是DE中点，于是易证结论成立.证明：过点A作AF⊥BC于F.在△ABC中，∵AB=AC, AF⊥BC,∴BF=CF,在△ADE中，同理DF=EF,∴BF－DF=CF－EF,即BD=CE.注：本题虽由题设条件易用“SAS”或“ASA”或“AAS”判定△ABD与△ACE全等得BD=CE,但作辅助线AF⊥BC于F来证明BD=CE更巧妙.三、利用全等三角形证明例3、如图3，已知：在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于点M,DN⊥AC交AC的延长线于点N, 求证：BM=CN.简析：综合考察已知条件可知：若连接BD,CD构造△BDM 和△CDN,易证这两个三角形全等，从而结论得证.证明：连接BD,CD.∵AD平分∠CAB,DM⊥AB于点M,DN⊥AC交AC的延长线于点N ,∴∠DMB=∠DNC=90°，且DM=DN.又∵DE垂直平分BC,∴BD=CD，在Rt△BMD和Rt△CND中，DM=DN,BD=CD.∴Rt△BMD≌Rt△CND，∴BM=CN.注：如果要证明相等的线段是两个三角形的对应边时，常常需要证明三角形全等，有时则需要构造出全等三角形，如本例题.四、利用平移法证明例4、如图4，△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线AE交BC于E，交AB边上的高CD 于F,FG∥AB交BC于G,求证：CE=GB.简析：直接证明结论有困难。

平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。

恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

笔者在教学中总结了几种方法，供中学生读者参考。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。

求证：AE=BD。

证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°∴AC=CD，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

证明：过点E作EG//AF交BC于点G∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD∵AB=AC∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE∵BE=CF，∴GE=CF在△EGD和△FCD中，∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。

∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD∴△ADC≌△GDB∴AC=GB，∠FAE=∠BGE∵BE=AC∴BE=BG，∠BGE=∠BEG∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF∴AE=EF［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

暑假突破：证明线段间的关系技巧名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．一、证明两线段的数量关系(类型1) 证明两线段的相等关系1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO 与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.证明：∵DE∥BC，(类型2) 证明两线段的倍分关系2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E. 求证：AC＝2CE.证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.∵AB∥CF，易知△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，则：又∵BA＝2BD，所以CF＝2CE.又AM平分角BAC，所角BAM＝角CAM.角CAM＝角F.则AC＝CF.因此AC＝2CE.二、证明两线段的位置关系(类型1) 证明两线段平行3．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，连接DE，EF，FD，且EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M，连接MN.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？并说明理由．(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并说明理由．解：(1)MN∥AC∥ED.理由如下：由EF∥BC，易知△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.所以∵E为AB的中点，EF∥BC，所以F为AC的中点．又∵DF∥AB，则D为BC的中点．所以BD＝CD.所以EM＝MF.∵F为AC的中点，FN∥AE，所以N为EC的中点．从而MN∥AC.又∵D为BC的中点，E为AB的中点，则ED∥AC.所以MN∥AC∥ED.(2)MN∥AC.理由如下：由EF∥BC，易得△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.所以 EM\BD＝ AM\AD)＝ MF\DC.所以EM\MF＝ BD\DC.又∵DF∥AB，所以BD\DC＝EN\NC.EM\MF＝EN\NC.所以EM：EF＝EN：EC.又∵角MEN＝角FEC，所以△MEN∽△FEC.所以角EMN＝角EFC.则MN∥AC.(类型2) 证明两线段垂直4．如图，已知矩形ABCD，AD＝1\3AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G，求证：EG垂直于DF.证明：∵AD＝1\3AB，点E，F把AB三等分，MJ 设AE＝EF＝FB＝AD＝k(k>0)，则AB＝CD＝3k.∵CD∥AB，则角DCG＝角FAG，角CDG＝角AFG.则△AFG∽△CDG.△AFD∽△FEG.。