4.方程的解与一元一次方程的解法

同步课程˙一元一次方程一、等式（1）用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．（2）在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．（3）等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．一、方程方程：含有未知数的等式叫方程，如21x +=，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数二、方程的解方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。

三、一元一次方程 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．一元一次方程的形式：最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）叫一元一次方程的最简形式． 标准形式：方程0ax b +=（其中0a ≠，a ，b 是已知数）叫一元一次方程的标准形式． 注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．⑵方程ax b =与方程()0ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成四、一元一次方程的解法（一）等式的性质 等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则a m b m ±=±；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．一元一次方程的概念及解法知识回顾知识讲解同步课程˙一元一次方程若a b =，则am bm =，a bm m=(0)m ≠注意：⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同． ⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到： 对称性，即：如果a b =，那么b a =．传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =．又称为等量代换 易错点：等号左右互换的时候忘记变符号 （二）解一元一次方程的步骤 解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号． 2．去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号． 温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项 移到方程的另一边． 温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项． 4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式． 温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a （0a ≠ ），得到方程的解 bx a=． 温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．同步课程˙一元一次方程【例1】 下列各式中哪些是方程⑴7887⨯=⨯ ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x = ⑸31x > ⑹111x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=【变式练习】判断下列各式是不是方程⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+ ⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x y-=【例2】 检验下列各数是不是方程315x x -=+的解⑴3x =； ⑵1x =-【变式练习】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解⑴23x y =⎧⎨=-⎩ ⑵10x y =⎧⎨=⎩ ⑶02x y =⎧⎨=-⎩【例3】 若2-为关于x 的一元一次方程，713mx +=的解，则m 的值是 【变式练习】关于x 的方程320x a +=的根是2，则a 等于 【例4】 x=3是方程（ ）的解（ ）A ．3x=6B ．（x －3）（x －2）=0C ．x （x －2）=4D ．x+3=0同步练习同步课程˙一元一次方程【例5】 若⎩⎨⎧==21y x 是方程3=-y ax 的解，则a 的取值是（ )A.5B.-5C.2D.1【例6】 已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=m ，则m 的值是【例7】 已知关于x 的方程（a ＋1）x ＋（4a －1）＝0的解为－2，则a 的值等于（ ）． A.－2B.0C.32D.23 【例8】 若2-为关于x 的一元一次方程，713mx +=的解，则m 的值是 【变式练习】关于x 的方程320x a +=的根是2，则a 等于 【例9】 根据等式的性质填空：（1）4a b =-，则______a b =+； （2）359x -=，则39x =+ ； （3）683x y =+，则x =_________； （4）122x y =+，则x =__________．【例10】下列各式中，变形正确的是（ ）．A ．若a b =，则a c b c +=+B ．若(1)2a x -=，则21x a =- C ．若2a b =，则4a b =D ．若1a b =+，则221a b =+【例11】根据等式性质5＝3x －2可变形为（ ）．A.－3x ＝2－5B.－3x ＝－2＋5C.5－2＝3xD.5＋2＝3x【变式练习】下列变形中，不正确的是（ ）A ．若25x x =，则5x =B ．若77,x -=则1x =-C ．若10.2x x -=，则1012x x -= D ．若x ya a =，则ax ay = 【变式练习】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．⑴如果23x =+，那么x =____________；根据 ⑵如果6x y -=，那么6x =+_________；根据 ⑶如果324x y -=，那么34x y -=______；根据⑷如果34x =，那么x =_____________；根据【例12】下列各式中：⑴3x +；⑵2534+=+；⑶44x x +=+；⑷12x=；⑸213x x ++=；⑹44x x -=-；⑺23x =；⑻2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【变式练习】下列方程是一元一次方程的是（ ）．A ．2237x x x +=+ B ．3435322x x -+=+ C ． 22(2)3y y y y +=-- D ．3813x y -=同步课程˙一元一次方程【变式练习】在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中，属于一次方程的序号填入圆圈⑵中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①359x +=：②2440x x ++=；③235x y +=：④20x y +=；⑤8x y z -+=：⑥1xy =-．【例13】关于x 的方程（k ＋2）x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则k ＝________． 【例14】已知等式0352=++m x 是关于x 的一元一次方程，则m =____________． 【例15】已知方程()7421=+--m x m 是关于x 的一元一次方程，则m=_________ ． 【例16】若131m x -=是一元一次方程，那么m =【变式练习】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k =【变式练习】若关于x 的方程2223x x ax a x a -=-+是一元一次方程，则a = ，方程的解是 【变式练习】已知关于x 的方程(21)50n m x --=是一元一次方程，则m 、n 需要满足的条件为 【例17】下列等式中变形正确的是（ ）A.若31422x x -+=，则3144x x -=- B. 若31422x x -+=，则3182x x -+= C.若31422x x -+=，则3180x -+= D. 若31422x x -+=，则3184x x -+= 【例18】122233x x x -+-=- 【例19】方程3x+6=2x －8移项后，正确的是（ ）A ．3x+2x=6－8B ．3x －2x=－8+6C ．3x －2x=－6－8D ．3x －2x=8－6【例20】将3（x －1）－2（x －3）＝5（1－x ）去括号得（ ）A.3x －1－2x －3＝5－xB.3x －1－2x ＋3＝5－xC.3x －3－2x －6＝5－5xD.3x －3－2x ＋6＝5－5x【例21】在解方程21-x −1332=+x 时，去分母正确的是（ ） A.()()132213=+--x x B. ()()632213=+--x xC.13413=+--x xD. 63413=+--x x【例22】方程２－342-x ＝－67-x 去分母得（ ） A.2－2 （2x －4）= －（x －7) B ．12－2 （2x －4）= －x －7 C.12－2 （2x －4）= －（x －7) D ．12－（2x －4）= －（x －7）（2）（1）⑤③①②（2）（1）同步课程˙一元一次方程【变式练习】解方程：⑴6(1)5(2)2(23)x x x ---=+ ⑵12225y y y -+-=-【变式练习】解方程：（1）3(3)52(25)x x -=--；（2）()()()243563221x x x --=--+； （3）135(3)3(2)36524x x ---=【例23】解方程：（1）5y －9＝7y －13； （2）3（x －1）－2（2x ＋1）=12 ； （3）757875xx -=- ； （4）1213123x x x --+=-.先变形、再解方程本类型题：需要先利用等式的基本性质，将小数化为整数，然后再进行解方程计算 【例24】解方程：7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-． 解：原方程可化为7110.251432x x x --+=- 去分母，得 ．根据等式的性质（ ）去括号，得 ．移项，得 ．根据等式的性质（ ） 合并同类项，得 ．系数化为1，得 ．根据等式的性质（ ）同步课程˙一元一次方程【例25】0.130.4120 0.20.5x x+--=【变式练习】解下列方程：⑴2 1.21 0.70.3x x--=；⑵0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x+-+-=；⑶1(0.170.2)1 0.70.03xx--=⑷0.10.020.10.10.3 0.0020.05x x-+-=⑸422 30%50%x x-+-=⑹1(4)33519 0.50.125xxx+++=+⑺0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-⑻0.10.90.21 0.030.7x x--=逐层去括号含有多重括号时，去括号的顺序可以从内向外，也可以从外向内。

一元一次方程的概念及解法【知识点】：1、一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程。

（如果方程的两边都是整式，我们就把这样的方程叫整式方程。

）2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。

3、解方程：求方程解的过程叫做解方程。

4、等式的基本性质：（1）、等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）、等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

5、解一元一次方程的基本步骤：（1）：去分母；（2）：去括号；（3）：移项；（4）：合并同类项；（5）：系数化成1。

【例题解析】1、判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”。

(1) x+3y=4 ( ) (2) x2-2x=6 ( )(3) -6x=0 ( ) (4) 2m +n =0 ( )1+8=5y(5) 2x-y=8 ( ) (6）y ( )2、下列变形中，正确的是()A 、若ac=bc ，那么a=b 。

B 、若cb c a =，那么a=b C 、a ＝b ，那么a=b 。

D 、若a 2=b 2那么a=b3、给出下面四个方程及其变形：①48020x x +=+=变形为；②x x x +=-=-75342变形为；③253215x x ==变形为；④422x x =-=-变形为； 其中变形正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③4、解方程：（1）x ＋2x ＋4x=140 （2）3x ＋20=4x-25 解： x+2x+4x=140[来源:学科网] ↓合并 7x=140 ↓系数化为1 x=20练习：解方程：（1）12y-3-5y=14； （2）2x -3x =5； （3）0.6x-13x-3=0．5、解方程：（1）42112+=+x x ； （2）2(x －2)－(4x －1)=3(1－x ) 6、解方程：452168x x +=+ 解 :去分母，得 依据去括号，得 依据 移项，得 依据 合并同类项，得 依据 系数化为1，得6x =- 依据 6、数学小诊所：小马虎的解法对吗？如果不对，应怎么改正？解方程312-x =1-614-x解：去分母 2（2x-1）=1-4x-1 去括号 4x-1=1-4x-1 移项 4x+4x=1-1+1 合并 8x=1 系数化为1 x=8练习：解方程：(1) 2x －13 =x+22 +1 (2)3142125x x -+=- (3) 4-3(2-x)=5x7、已知关于x 的方程132233x m m x x x -+=+=-与 的解互为倒数,求m 的值.归纳：解一元一次方程的步骤：步骤方法注意依据去分母在方程两边都乘以________________不要漏乘不含分母的项，分子是一个整体，去分母后应加括号去括号先去_______，再去______，最后______。

一元一次方程和它的解法教案【3篇】教学目标：学问与技能：1、理解一元一次方程，以及一元一次方程解的概念。

2、会从题目中找出包含题目意思的一个相等关系，列出简洁的方程。

3、把握检验某个数值是不是方程解的方法。

过程与方法：在实际问题的过程中探讨概念，数量关系，列出方程的方法，训练学生运用学问解决实际问题的力气。

情感态度和价值观：让学生体会到从算式到方程是数学的进步，表达数学和日常生活亲切相关，生疏到很多实际问题可以用数学方法解决，激发学生学习数学的热忱。

教学重点：建立一元一次方程的概念，查找相等关系，列出方程。

教学过程与方法：在实际问题的过程中探讨概念，数量关系，列出方程的方法，训练学生运用学问解决实际问题的力气。

情感态度和价值观：让学生体会到从算式到方程是数学的进步，表达数学和日常生活亲切相关，生疏到很多实际问题可以用数学方法解决，激发学生学习数学的热忱。

教学重点：建立一元一次方程的概念，查找相等关系，列出方程。

教学难点：依据具体问题中的相等关系，列出方程。

教学预备：多媒体教室，配套课件。

教学过程：设计理念：数学教学要从学生的阅历和已有的学问动身，创设有助于学生自主学习的问题情景，在数学教学活动中要制造性地使用数学教材。

课程标准的建议要求教师不再是“教教材”而是“用教材”。

本节课在抓住主要目标，用活教材，针对学生实际、激活学生学习热忱等方面做了有益的探究，现就几个教学片断进展探讨。

一、玩耍导入，设置悬念师：同学们，教师学会了一个魔术，情你们协作表演。

请看大屏幕，这是2023年10月的日历，请你用正方形任意框出四个日期，并告知教师这四个数字的和，教师马上就告知你这四个数字。

生1：24,师：2，3，9,10生2:84师：17，18,24，25师：同学们想学会这个魔术吗？生：想！师：通过这节课的学习，同学们确定能学会！【一些教师常用教材的章前图或者行程问题情景导入，但章前图过于平淡且较难，不易激发学生兴趣，本次课用玩耍导入激发学生的求知欲，其实质是列一元一次方程x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=任意框出的四个日期的和，x是第一个日期，这是本次课的第一个变化。

3.1元一次方程及其解法1. 一元一次方程 (1) 一元一次方程的概念 只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一 次方程.如：7 — 5x = 3,3(x + 2) = 4— x 等都是一兀一次方程. 解技巧正确判断一元一次方程 判断一元一次方程的四个条件是： ①只含有一个未知数(元);②未知数的次数都是一次; ③未知数的系数不能为 0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可. 元' (2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. ②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点: 元方程的解，也叫做方程的根. 一看，它是不是方程中未知数 的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的 解. 如x = 3是方程2x — 4= 2的解，而y = 3就不是方程2x — 4= 2的解. (3)解方程 求方程的解的过程叫做解方程. 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值), 而解方程是指求出方程的解的过程. 【例1 — 11下列各式哪些是一元一次方程 ( 1 1 , A . S=7ab ； B.x — y = 0； C.x = 0； D. _~ = 1； 2x + 3 =0 ； H.x + 2.解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程； E.3 — 1 = 2; F.4y — 5= 1; G.2x 2+ 2x + 1 G 中未知数的次数是 2,所以不是 H 虽然形式上字母 元一次方程；A 与B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程； 的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程； D 中分母中含有未知数，不是 元一次方程；只有 C , F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程.答案：CF【例1 — 21 x = — 3是下列方程(A . — 5(x — 1) = — 4(x — 2) C .尹+ 5= 5解析：对于选项A ，把x =— 3代入所给方程的左右两边，左边=—5 X (— 3— 1) = 20,右边=—4X (— 3 — 2) = 20,因为左边=右边，所以x =— 3是方程一 5(x — 1) = — 4(x — 2)的解； 对于选项B ,把x = — 3代入所给方程的左右两边，左边=4X (— 3) + 2=— 10,右边=1,因为左边工右边，所以x =— 3不是方程4X + 2= 1的解，选项C , D 按以上方法加以判断，都 不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选 A.答案：A2. 等式的基本性质(1) 等式的基本性质① 性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.用式子形式表示为：如果 a = b ,那么 a + c = b + c , a — c = b — c.② 性质2 :等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式. 用式子形式表示为：如果 a = b ,那么 ac = bc , |= C(c 工 0).③ 性质3:如果a = b ，那么b = a.(对称性) 如由一8 = y ,得 y =— 8.④ 性质4 :如果a = b , b = c ,那么a = c.(传递性) 女口：若/ 1 = 60° / 2=/ 1,则/ 2= 60°(2) 等量代换 在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替， 谈重点应用不等式的性质的注意事项(1) 应用等式的基本性质 1时，一定要注意等式两边同时加上整式，才能保证所得结果仍是等式. 这里特别要注意：“同时”坏相等关系.(2) 等式的基本性质 2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别.⑶等式两边不能都除以 0,因为0不能作除数或分母. 【例2— 11下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是( ).5B .若 7a = 5,贝U a = yC .若x= 0，贝U x = 2D .若x— 1 = 1,贝U x — 6= 12 6 解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的， 右边进行相应的变形，得出结论. A 根据等式的基本性质 1,等式U 的两边都减去3y +2,左边是y ，右边是一 3,不是1; C 根据等式的基本性质 2，两边都乘以2,右边应为0,不是2; D 根据等式的基本性质 2, 左边乘以6,而右边漏乘6，故不正确；只有 B 根据等式的基本性质 2，两边都除以 7得 到 a = 7.答案：B)的解.B . 4x + 2= 1 D3x — 1 = 0简称等量代换.(或减去)同一个数或同一个和“同一个”，否则就会破A .若 4y + 2= 3y — 1，贝U y = 1 确定变形的依据，再对等式的【例2— 21利用等式的基本性质解方程：(1)5x — 8 = 12; (2)4x — 2= 2x ; (3)x + 1 = 6; (4)3 — x = 7.分析：利用等式的基本性质求解.先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8,得5x = 20.方程的两边同时除以 5，得x = 4.⑵方程的两边同时减去2x ,得2x — 2 = 0. 方程的两边同时加上 2, 方程的两边同时除以2, (3) 方程两边都同时「减去 得 x + 1— 1 = 6 — 1,• - x = 6 — 1.”(4) 方程两边都加上x ,得 3 — x + x = 7 + x,3= 7+ x , 方程两边都减去7, 得 3 — 7= 7 + x — 7, •• — 4= x , 即卩 x = — 4.3. 解一元一次方程 (1)移项① 移项的概念及依据： 把方程中的某一项改变符号后， 从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质 1.② 移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边. ③ 移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程.即对移动的项进行变号的过程，^口，一 2 — 3x = 7,把一2从方程的左边移到右边，一 2在原方程中前面带有性质符号“-”，移到右边后需变成“ + ”， 在移动的过程中同时变号， 没有移动的项则不变号. 所 以由移项，得一3x = 7+ 2.④ 要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变.如， + 5x= 1,把 11x = 11变成 号. 辨误区 在移项时注意 “两变”：一变性质符号，即 “ + ”号变为“—”号，而“—”号变为 “+”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边.(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为得 2x = 2. 得 x = 1.1,移项要35x — 15x + 3从方程的左边移到右边要变号，得 5x = 1 — 3，是属于移项；而把 5x + 11x — 15x = 11,是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变移项时应注意的问题1具体儿一次方程 (1)这些步骤「在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行， 可将解出的结果代入原方程进行检解技巧巧解 值得注意的是： 可根据方程的形式，灵活安排步骤； (2)为了避免错误, 验. 【例3— 11下列各选项中的变形属于移项的是 ( A .由 B .由 C .由 D .由 解析： )• 2x = 4,得 x = 27x + 3 = x + 5,得 7x + 3= 5+rX8 — x = x — 5，得一x — x = — 5— 8 x + 9= 3x — 1,得 3x — 1 = x + 9选项A 是把x 的系数化成1的变形；选项 B 中x + 5变成5+ x 是应用加法交换 律，只是把位置变换了一下；选项 C 是作的移项变形；选项 D 是应用等式的对称性 “a = b , 则b = a ”所作的变形.所以变形属于移项的是选项 C. 答案：C 【例3-21解方程宁-5 =亍.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数 12,去掉分母得4(2 — x) — 60= 3(x — 1)，再按照步骤求解，特别注意— 5不能漏乘分母的最小公倍数 12. 解：「去分母，方程两边都乘以 12, 得 4(2 — X)— 60= 3(x — 1). 去括号，得 8 — 4x — 60= 3x — 3. 移项，得—4x — 3x =— 3 — 8+ 60. 合并同类项，得—7x = 49. 两边同除以一7,得x = — 7.4.解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程.一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础. 解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x= a(a是一个已知数).(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的.方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算.(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数.▼ I .■ "F亠E 0.4x—9 X —5 0.03 + 0.02x 【例4】解万程 C U — =0.50.030.4x—9 0.03 + 0.02X分析：由于0 5和—0~03—的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小数化为整数，在式子瓷^9的分子、分母中都乘以10,变为^^—聖，在式子驾三严的3 + 2x分子、分母中都乘以100,变为然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解.解：分母整数化，得4x—90 X—5 3+ 2x5 — 2 = 3去分母，得6(4x —90)—15(x—5) = 10(3 + 2x).去括号，得24X—540 —15X + 75= 30 + 20x.移项，得24X—15X—20x = 540 —75 + 30.合并同类项，得—11x= 495.两边同除以一11,得x=—45.5.与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点. 解题的关键是理解方程的解的概念.(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值.(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值.【例5—1］关于x的方程3x+ 5= 0与3x+ 3k = 1的解相同，贝U k=( ).B 4B . 35解析：解方程3x+ 5= 0,得x=—3.5 将x = —3代入方程3x+ 3k = 1,得一5+ 3k= 1,解得k= 2,故应选C.答案：C【例5—2］若关于x的方程(m —6)x= m —4的解为x= 2，贝U m =解析：把x= 2代入方程(m —6)x = m—4,得(m—6) X 2 = m—4,解得m= 8.答案：86.一元一次方程的常用解题策略我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1,可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧.(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法.(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快.有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便.巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣.【例6—1］解方程3 3 ^x —1—4 = |x+ 1.3 4 3 3 4 1 1分析：注意到4X 4= 1,把3乘r以中括号的每一项，则可先去中括号，-X 4 * —43 11 3=|x + 1,再去小括号为^x—4—3 = |x + 1,再按步骤解方程就非常简捷了.1 1 3解：去括号，得|x —1—3=討1.移项，合并同类项，得一x= 17.17两边同除以一1,得x=——.x+ 3 x+ 2 = x+ 1 x+ 4【例6-2］解方程7 -5 = 6分析：此题可按照解方程的一般步骤求解, 4 -但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分, 5 x+ 3 —7 x+ 2 2 x+ 1 —3 x+ 435 12把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解.—x — 10.去分母，得「12( — 2x + 1) = 35( — x — 10). 去括号，得—24x + 12=— 35x — 350. 移项、合并同类项，得11x = — 362.362两边同除以11,得x =—36j 2.题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题， 理解掌握数学基础知识.【例7— 11 (1)当a = ___________ 时，式子2a + 1与2— a 互为相反数. ⑵若6的倒数等于X + 2,则x 的值为 __________________ .解析：(1)根据互为相反数的两数和为 0，可得一元一次方程 2a +c 1+ (2 — a) = 0,解得a =—3;(2)由倒数的概念：乘积为 1的两个数互为倒数，可得一元一次方程 6(x + 2) = 1,解 /曰 11得 x=— 6 .11答案：⑴―3 (2)-—解：方程两边分别通分，得 5x + 3 — 7x + 2 2x + 1 — 3x + 4.化简, 3512—2x + 1得—3^ =7.列一元一次方程解题(1) 利用方程的解求未知系数的值 当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，代入原方程，得到关于字母系数的等式 (2) 利用概念列方程「求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值， 如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值.列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系. 的取值. 谈重点列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在即将方程的解 (或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可.常常采用代入法,再列出方程，解方程从而求出字母发掘隐含条件时需要全面、深刻地【例7-2】已知x=- 2是方程号+誉- 分析：把x=- 2代入原方程，原方程就变成了以k的方程，可以求出k的值.解：把x=-2代入原方程，得-2-k 3k+ 2 - 2+ k+ - (-2)=去分母，得2(- 2-k)+3k+ 2-(- 2) X 6 = 3(-2+ k).去括号，得—4-2k+3k+ 2 + 12=- 6 + 3k.移项、合并同类项，得-2k=- 16.方程两边同除以一2,得k= 8.黑体小四课后作业【题01】下列变形中，不正确的是（【题02】【题03】【题04】A 若x2 5x，则x 5 .C若盘1 x，则r下列各式不是方程的是（A y2c. p2解为xA 2xC 3(xB.D.B.若7x 7,则x 1 .2nax ay .C 22pq q2的方程是（2) (x 3) 5xD.B.D.若关于x的方程2x n23(n 4）0是一儿5x次方程，求n的值.x =爭的解，求k的值.k为未知数的新方程，解含有未知数【题05】 已知(2 m 3)x (2 3m) x 1是关于x 的2儿一次方程，则 m【题06】 若关于 x 的方程 (2 |m|)x 2(m 2)x (52 m) 0 是 儿一次方程，求 m 的解.【题07】 若关于 x 的方程 (k 2)x k 15k 0是一儿' 次方程，则【题08】 若关于 x 的方程 (k 2)x k 15k儿一次方程，则.若关于x 的方程 (k 22)x 4kx5k 0是,儿一次方程, 则方程的解 x =【题09】 (3a 28b )x 5bx 7a 0是关于x 的儿一次方程，且该方程有惟一解，则21 40 B.空4056 1515【题10】解方程:5(3 |x)3(2【题11】解方程: |(4y)1(y【题12】解方程:【题13】解方程:2x 5x65才）363)【题14】解方程:【题15】解方程:【题16】解方程:【题17】解方程:【题18】解方程:1——X0.70.50.2X丄(0.17 0.2X) 10.033(x 4)------ 5x 190.1250.45 0.015 0.01X0.5X 2.50.250.1X 0.9 0.2X0.03 0.70.0152[4X32 1才2)]【题19】解方程：-[丄（丄X 1） 6] 2 03 4 3。

初中数学方程式解法数学方程式在初中阶段是一个重要的内容，掌握好方程式的解法对于学习数学和解决实际问题都具有重要意义。

下面将介绍几种常见的初中数学方程式解法。

一、一元一次方程的解法一元一次方程是一种最基本的方程，它的形式为ax + b = 0，其中a 和b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的常用方法有逆运算法、代入法和消元法。

（1）逆运算法逆运算法是一种常用的解一元一次方程的方法。

它的基本思想是根据方程中的运算符号（+或-），将方程两边的项移项，使得未知数的系数为1，然后根据等式性质得到方程的解。

（2）代入法代入法是另一种解一元一次方程的常用方法。

它的基本思想是将已知数代入方程，求出未知数的值。

通过代入已知数，可以简化方程的计算过程，得到方程的解。

（3）消元法消元法是一种结合逆运算法和代入法的解方程的方法。

它的基本思想是通过变换方程的形式，使得方程中某些项相互抵消，最终得到一个一元一次方程。

二、一元二次方程的解法一元二次方程是一种较为复杂的方程，它的形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，x为未知数。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

（1）因式分解法因式分解法是一种解一元二次方程的常用方法。

它的基本思想是将方程进行因式分解，通过求出方程的因式和零点，得到方程的解。

（2）配方法配方法是另一种解一元二次方程的常用方法。

它的基本思想是通过将一元二次方程写成完全平方的形式，然后利用完全平方公式求解未知数的值。

（3）求根公式法求根公式法是解一元二次方程的一种常用方法。

它的基本思想是根据一元二次方程的系数，利用求根公式得到方程的根。

三、一元多项式方程的解法一元多项式方程是包含多个未知数的方程，解一元多项式方程的常用方法有分离变量法和待定系数法。

（1）分离变量法分离变量法是一种解一元多项式方程的常用方法。

它的基本思想是将方程中的未知数分离到等式两边，然后通过积分的方法求解出未知数的值。

一元一次方程和它的解法什么是一元一次方程一元一次方程是初等代数中最基本也是最简单的方程形式之一。

它的一般形式可以表示为：ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。

一元一次方程中只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1，这也是为什么它被称为一元一次方程。

解一元一次方程的方法解一元一次方程的目标是找到使方程成立的未知数的值，也被称为方程的解。

下面介绍两种常见的解一元一次方程的方法：加减消元法和代入法。

加减消元法加减消元法是一种基于等式性质的解方程方法。

它的基本思想是通过加减操作将方程中的未知数系数相消，从而得到简化的方程。

具体步骤如下：1.根据方程的形式，将方程中的各项按照未知数的系数分组。

例如，对于方程2x + 3 = 5x - 4，可以将其分为左边的2x和右边的5x，以及左边的3和右边的-4。

2.将方程中的各个分组中的未知数系数相等的项相消。

在上述例子中，将2x 和5x相消，将3和-4相消，得到等式-3 = -9x。

3.对得到的简化方程进行求解，得到未知数的值。

在上述例子中，将等式-3 = -9x变形，得到x = -3/(-9)，即x = 1/3。

代入法代入法是一种将一个已知的解代入方程中求另一个解的方法。

它的基本思想是利用已知解的值来减少方程中的未知数个数，从而得到一个简化的方程。

具体步骤如下：1.假设方程ax + b = 0的一个解为x = c，其中c是已知的值。

2.将已知解代入方程中，得到一个只包含未知数的简化方程。

例如，对于方程2x + 3 = 5x - 4，假设x = 1/3是方程的一个解，将x代入方程中得到等式2(1/3) + 3 = 5(1/3) - 4。

3.解简化方程，得到另一个解。

在上述例子中，求解等式2(1/3) + 3 = 5(1/3) - 4，即可得到x的另一个解。

一元一次方程的应用一元一次方程广泛应用于日常生活和数学问题的求解中。

以下是一些常见的应用场景：•财务问题：一元一次方程可用来解决财务问题，例如计算税前工资、利润分配等。

第二节 一元一次方程的解法1．一元一次方程的基本解法去分母、去括号、移项、合并同类项、x 项系数化为1．注：①去分母时，方程两边要同时乘以分母的最小公倍数，常数项不要漏乘；②去括号时，括号前的系数要与括号里的每一项都要相乘；③移项的时候要变号；④方程的解的形式要写成x 在等号左边的形式． 2．解一元一次方程的技巧小数化为整数、整体思想、裂项、凑项． 3．含绝对值的一元方程运用分类讨论法去绝对值，转化成一元一次方程后，再求解． 4．求含参方程的解的情况对原方程整理后，可化为ax =b （a 和b 为参数，x 为未知数）的形式．求此类方程的解时需要对a 和b 的取值分类讨论． 5．同解方程两个方程的解相同的方程． 6．整数解方程解为整数的方程．1．解一元一次方程的技巧(1)整体思想：方程中重复出现内容相同的括号时，可考虑将括号当成整体；(2)小数化整数：方程中，若分数的分子或分母中有小数出现，则利用分数的性质将分子分母同时扩大若干倍使分子或分母化为整数后再计算；(3)若方程中出现明显的裂项法的特征，则考虑裂项后消项，把方程化为简单形式后再求方程的解． 2．求含参方程的解的情况(1)先把方程整理成b ax =的形式； (2)分类讨论：①当0=/a 时，,abx =原方程有唯一解；②当0=a 且0=b 时．原方程有无数解： ③当a 0=且，0=/b 原方程无解． 3．同解方程问题(1)普通方程和含参方程的解相同：①解出普通方程的解；②将普通方程的解代入含参方程中； ③求出参数值；(2)两个含参方程的解相同：①将其中一个方程的解用参数表示出来；②将①中的解代入另一个方程中，消去未知数； ③求出参数值． 4．方程的 整数解问题①将方程整理成b ax =的形式； ②解方程，得⋅=ab x ③求出满足条件的参数值，常用枚举法或分离常数法．例1．解方程：⋅-=--05.035.22.04x x检测1．（四川雁江区期末）解方程：.2.15.023.01=+--x x 例2．解方程：.2016201720161262=⨯++++xx x x ΛΛ检测2．解方程：⋅=⨯++⨯+⨯+⨯2019120192017755331x x x x ΛΛ 例3．（广东普宁市期末）阅读下列解方程的过程，并完成(1)(2)小题的解答．解方程：.2|1|=-x解：当,01<-x 即1<x 时，原方程可化为：,2)1(=--x 解得,1-=x当≥-1x ,0即1≥x 时，原方程可化为：,21=-x 解得,3=x 综上所述，方程2|1|=-x 的解为1-=x 或.3=x (1)解方程：;8|32|=+x (2)解方程：.1|1||32|=--+x x检测3．解方程：.1|21|=--x x例4．(1)已知关于x 的方程)2(2)1(2--=-+m m x 的解比方程1)1(41)1(5+-=-+x x 的解大2，求m 的值；(2)已知方程1324+=+x m x 和方程1623+=+x m x 的解相同． ①求m 的值； ②求20202019)572()2(-⋅+m m 的值．检测4．（湖北黄冈期末）如果方程22834+-=--x x 的解与方程126)13(4-+=+-a x a x 的解相同，求式子a a 1-的值．例5．已知关于x 的方程b x ax -=+56有无数个解，试求b a +2的值．检测5．讨论关于x 的方程b x x a +-=-12的解的情况，其中a ，b 为已知数．例6．已知关于x 的方程),2(2)1(--=+x k x k 求当k 是取什么整数值时，方程的解是整数．检测6．（北京海淀区期末）已知关于x 的方程x kx -=7有正整数解，则整数k 的值为 例7．我们规定，若关于x 的一元一次方程b ax =的解为a b -则称该方程为定解方程，例如：293=x 的解为,23329=-则该方程293=x 就是定解方程．请根据上边规定解下列问题： (1)若x 的一元一次方程m x =2是定解方程，则=m(2)若x 的一元一次方程a ab x +=2是定解方程，它的解为a ，则=a (3)若x 的一元一次方程m mn x +=2和n mn x +=-2是定解方程，求代数式]2)[(21])[(3)24(222n m mn m m mn m ++-++++-的值，检测7．（福建永春县期末）对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定符号},max{b a 表示a ，b 中的较大值，如：,4}4,2max{=按照这个规定解决下列问题： =--}2,3max{)1((2)方程23},max{+=-x x x 的解为第二节 一元一次方程的解法（建议用时 35分钟）实战演练1．(1)（湖南株洲中考）在解方程21331+=+-x x x 时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是( ) )13(3612.+=+-x x x A )13(36)1(2.+=+-x x x B )13(3)1(2.C +=+-x x x )1(3)1.(+=+-x x x D(2)（四川富顺县模拟）下列解方程过程中，变形正确的是( )A ．由312=-x 得132-=xB ．由2.11.01314++=+x x 得12110314++=+x x C ．由7675=-x 得7675-=xD.由123=-xx 得632=-x x2．已知,1=/a 则关于x 的方程a x a -=-1)1(的解是( )0.=x A 1.=x B 1.-=x C D ．无解3．（山东滕州市期末）规定一种计算法则为,c b d a db ca ⨯-⨯=如--⨯=-)2(12201,202-=⨯依此法则计算2423-=-x 中的x 值为4．a ．b 互为相反数，c ，d 互为倒数，则关于x 的方程02)1(3)(2=--++x x cd x b a 的解为=x 5．马小哈在解一元一次方程923)x (+=-•x 时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中未知数x 前的系数看不清了，他便问邻桌，邻桌不愿意告诉他，并用手遮住解题过程，但邻桌的最后一步“所以，原方程的解为x=-2”（邻桌的答案是正确的）露在手外被马小哈看到了，马小哈由此就知道了被墨水遮住的系数，请你帮马小哈算一算，被墨水遮住的系数是6．已知关于x 的方程439+=-kx x 有整数解，那么满足条件的整数k 有 个 7．（四川岳池县期末）解方程：.14126110312-+=+--x x x 8．解方程：.02}2]2)231(31[31{31=----x9．解方程：⋅+=-++03.002.001.0355.09.05.0xx x10．已知方程,21)20191(541=-+x 求代数式)20191(203-+x 的值．11．（江苏东台市期末）我们定义一种新运算：ab b a b a +-=2*（等号右边为通常意义的运算）：(1)计算：)3(*2-的值；(2)解方程：.*21*3x x =12．解方程：.2020202032132121=+++++++++++ΛΛx x x x 13．（山东牡丹区期末）阅读下面的解题过程：解方程：.2|3|=+x解：当03≥+x 时，原方程可化成为,23=+x 解得,1-=x 经检验1-=x 是方程的解；当,03<+x 原方程可化为，,2)3(=+-x 解得,5-=x 经检验5-=x 是方程的解．所以原方程的解是.5,1-=-=x x 解答下面的两个问题： (1)解方程：;04|23|=--x(2)探究：当a 为何值时，方程,|2|a x =-①无解；②只有一个解；③有两个解．14．当m 为何值时，关于x 的方程524+=-x m x 的解比1)2(3)(2--=-x m x 的解小2． 15．（湖南祁阳县期末）方程0)1(32=+-x 的解与关于x 的方程x k xk 2232=--+的解互为倒数，求k 的值． 16．已知：关于x 的方程b x a x a 3)5()1(2+-=-有无数多解，求a ，b 的值 17.解方程：.121115236362-=---xx x拓展创新18．若a ，b ，c 是正数，解方程：.3=--+--+--bac x a c b x c b a x 拓展1．若a ，b ，c 是正数，解方程：⋅++=-+-+-)111(222Cb a b cab xa bc a x c abc x拓展2．若a ，b ，c ，d 是正数且,1=abcd 解方程：⋅+++=+++)1111(||||||||2222dC b a d x abc b x acd a x bcd c x abd极限挑战19.若,1=abc 解方程：.1121212=++++++++c ca cxb bc bx a ab ax课堂答案培优答案11。

线性方程与一元一次方程的关系及解法线性方程和一元一次方程是数学中常见的两种类型方程，它们之间有着密切的关系。

本文将介绍线性方程和一元一次方程的概念、关系以及解法。

一、线性方程的概念线性方程是指未知数的最高次数为一次的方程。

通常以以下形式表示：ax + by + c = 0其中，a、b、c为已知常数，x、y为未知数。

线性方程是一种基本的数学工具，在实际问题中具有广泛的应用。

二、一元一次方程的概念一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。

一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0其中，a、b为已知常数，x为未知数。

一元一次方程是线性方程的一种特殊形式。

三、线性方程与一元一次方程的关系可以看出，一元一次方程是线性方程的一种特殊形式，即当y=1时，线性方程就变成了一元一次方程，因此可以说线性方程是一元一次方程的扩展。

四、线性方程与一元一次方程的解法解线性方程或一元一次方程的关键是求解未知数的值，下面将介绍几种常见的解法。

1. 子stitution法（代入法）代入法是最常用的解线性方程或一元一次方程的方法之一。

具体步骤如下：(1) 将方程中的一个未知数用另一个未知数的表达式代入，将方程转化为一个含有一个未知数的一次方程；(2) 求解得到的一次方程，得到该未知数的解；(3) 将该解代入原方程的另一个未知数的表达式中，求解得到另一个未知数的值。

2. 消元法（加减法）消元法是解线性方程组的常用方法，也可以用于解一元一次方程。

具体步骤如下：(1) 将方程组中的两个方程进行加减运算，经过合适的转换，使得其中一个未知数的系数相消；(2) 得到一个只含一个未知数的一次方程，求解该方程得到一个解；(3) 将该解代入原方程中的另一个方程，求解得到另一个未知数的值。

3. 图解法图解法通常用于解一元一次方程，通过将方程转化为图形，在坐标系中找到方程的解。

具体步骤如下：(1) 绘制x轴和y轴，并根据方程确定直线的斜率和截距；(2) 在坐标系中画出直线，直线与x轴的交点即为方程的解。

一元一次方程和它的解法（一）知识要点：1．一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 (其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，它的解是x=-。

我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0)。

例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。

2．解一元一次方程的一般步骤：（1）方程含有分母时要先去分母，使过程简便，具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。

要注意不要漏掉不含分母的项，如方程x+=3，去分母得10x+3=3就错了，因为方程右边忘记乘以6，造成错误。

（2）去括号：按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。

括号前有数字因数时要注意使用分配律。

（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。

注意移项要变号。

（4）合并同类项：把方程化成最简形式ax=b (a≠0)。

（5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=。

解方程时上述步骤有些可能用不到，并且也不一定按照上述顺序，要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤。

（二）例题：例1．解方程(x-5)=3-(x-5)分析：按常规此方程应先去分母，去括号，但发现方程左右两边都含有x-5项，所以可以把它们看作一个整体，移项，合并同类项，使运算简便。

解：移项得：(x-5)+(x-5)=3合并同类项得：x-5=3∴ x=8。

例2．解方程2x-=-解：因为方程含有分母，应先去分母。

去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2) （注意每一项都要乘以6）去括号：12x-3x-3=8-2x-4 (注意分配律及去括号法则)移项：12x-3x+2x=8-4+3合并同类项：11x=7系数化成1：x=。

自学资料方程式的由来十六世纪,随著各种数学符号的相继出现,特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后,"含有未知数的等式" 这一专门概念出现了,当时拉丁语称它为"aequatio",英文为"equation".十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译"equation"为"相等式.由於那时我国古代文化的势力还较强,西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生较的影响,因此"代数学"连同"相等式"等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究.十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国.1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力,将英国数学家德.摩尔根的译出.李.伟两人很注重数学名词的正确翻译,他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词,许多至今一直沿用.其中,"equation"的译名就是借用了我国古代的"方程"一词.这样,"方程"一词首次意为"含有未知数的等式.一、一元一次方程的定义【知识探索】1．只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程（linear equation in one unknown）。

【错题精练】例1．如图所示，正方形的边长为a，试用字母a表示阴影部分的面积．【解答】根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去半圆的面积可以求解．【答案】例2．已知方程2mx m﹣1+1=0是关于x的一元一次方程，求m的值及方程的解．第1页共20页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【答案】例3．已知方程2kx2+2kx+3k=4x2+x+1是关于x的一元一次方程，求k值，并求出这个方程的根．【答案】【举一反三】1．下列叙述中，正确的是（）A. 方程是含有未知数的式子B. 方程是等式C. 只有含有字母x，y的等式才叫方程D. 带等号和字母的式子叫方程【答案】B2．已知方程(3m−4)x2−(5−3m)x−4m=−2m是关于x的一元一次方程，求m和x的值．第2页共20页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】3．已知（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+8=0是关于x的一元一次方程．求代数式199（a+x）（x﹣2a）+3a+4的值．【答案】解：∵（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，∴a2﹣1=0，a+1≠0．解得：a=1．将a=1代入得：199（a+x）（x﹣2a）+3a+4=199（1+x）（x﹣2）+3+4=199x2﹣199x﹣391．4．（|k|﹣1）x2+（k﹣1）x+3=0是关于x的一元一次方程，求k的值．【答案】二、方程的解【知识探索】1．如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解（solution of equation）．【错题精练】例1．若x=2是关于x的方程2x+3m﹣1=0的解，则m的值等于__________第3页共20页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【答案】－１例2．当x=__________ 时，代数式与x﹣3的值互为相反数．【答案】例3．若关于x的方程2k−3x=4与x−2=0的解相同，则k的值为（）A. ﹣10；B. 10；C. ﹣5；D. 5．【答案】D【举一反三】1．已知关于x的方程3a﹣x=+3的解为2，则代数式a2﹣2a+1的值是__________ ．【答案】12．若代数式x+2的值为1，则x等于（）A. 1B. -1C. 3D. -3【答案】B3．当k为何值时，关于x的方程（k﹣5）x﹣7=x﹣1的解是﹣2？【答案】解：把x=﹣2代入方程得：﹣2（k﹣5）﹣7=﹣2﹣1，去括号得：﹣2k+10﹣7=﹣3，第4页共20页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训移项合并得：﹣2k=﹣6，解得：k=3．三、等式的基本性质【知识探索】1．（1）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果，那么．（2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果，那么；如果（），那么．【错题精练】例1．下列方程中变形正确的是（）①3x+6=0变形为x+2=0；②2x+8=5﹣3x变形为x=3；③=4去分母的3x+2x=24；④（x+2）﹣2（x﹣1）=0去括号得x+2﹣2x﹣2=0．A. ①③B. ①②③C. ①④D. ①③④【答案】A例2．下列变形符合等式基本性质的是()A. 如果2x－y＝7，那么y＝7－2xB. 如果ak＝bk，那么a＝bC. 如果－2x＝5，那么x＝5＋2D. 如果a＝1，那么a＝－3【解答】A中，∵2x－y＝7，∴y＝2x－7，故A错误；B中，若k＝0时，不符合等式性质，故B错误；C中，∵－2x＝5，∴x＝－2.5，变形方法是等式两边都除以－2，而不是都加上2，故C错误；D中，等式两边都乘－3，符合等式性质，故D正确；综上所述，选D.【答案】D第5页共20页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【举一反三】1．是否可以由方程10x+3=5x﹣7经过变形得到方程4x=﹣8？若能，请说明是怎样变形的，依据是什么？若不能，请说明理由．【解答】【答案】略2．将等式2a=2b的两边都减去a+b变形为a﹣b=b﹣a，两边再都除以a﹣b变形为1=﹣1，最后结果明显是错误的，请说明错在哪里？【解答】解：由2a=2b，可知a=b，∴a﹣b=0．两边再都除以a﹣b时，不满足等式的性质．故错在方程两边都除以a﹣b．【答案】解：由2a=2b，可知a=b，∴a﹣b=0．两边再都除以a﹣b时，不满足等式的性质．故错在方程两边都除以a﹣b．3．用等式的性质解下列方程：（1）x﹣7=2；（2）3=x+5．【解答】解：（1）等式的两边都加7，得x=9；（2）等式的两边都减5，得﹣2=x，即x=﹣2．【答案】略4．下列方程的变形，正确的是（）第6页共20页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训B. 由5x=4x+8，得5x﹣4x=8C.D. 由7x+6=5x，得7x﹣5x=6第7页共20页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第8页共20页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第9页 共20页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训（3）12{x −13[x −14(x −23)]−32}=x +34．【解答】（1）解：移项合并得：2x =2，解得：x =1．（2）解：去分母得：20y +16+3y −3=24−5y +5，移项合并得：28y =16．解得：y =47．（3）解：去括号得：12x −16x +124(x −23)−34=x +34，去分母得：12x −4x +x −23−18=24x +18，即：36x −12x +3x −2−54=72x +54．移项合并得：−27x =66．解得：x =−229．【答案】（1）x =1；（2）y =47；（3）x =−229．例6．已知关于x 的方程a （2x ﹣1）=3x ﹣2无解，则a 的值是__________ ．【解答】解：原式可化为：（2a ﹣3）x+2﹣a=0，∵方程无解，∴可得：2a ﹣3=0，2﹣a≠0，故a 的值为．故填．【答案】例7．已知是方程的解，则m=__________ ．【解答】【答案】【举一反三】1．已知x=2是方程ax﹣1=x+3的一个解，那么a=__________ ．【解答】解：把x=2代入方程ax﹣1=x+3，得：2a﹣1=2+3，解得：a=3．故填3．【答案】32．如果x=2是方程x+a=﹣1的根，那么a的值是__________ ．【解答】解：把x=2代入x+a=﹣1中：得：×2+a=﹣1，解得：a=﹣2．故填：﹣2．【答案】-23．已知x=1是方程ax﹣6=5的一个解，则a=__________ ．【解答】解：将x=1代入方程得：a﹣6=5，解得：a=11．故答案为：11．第10页共20页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例1．已知关于x的方程x−m2=x+2m与方程x+32=x−1的解相等，求m的值．【解答】解：第一个方程的解为x=−5m，第二个方程的解为x=5，∴−5m=5，即m=−1．【答案】－1．【举一反三】1．关于x的方程2x+5a=3的解与方程2x+2=0的解相同，则a的值是（）A. 1； B. 4； C. 15； D. ﹣1．【答案】A2．已知方程6x﹣9=10x﹣45与方程3a﹣1=3（x+a）﹣2a的解相同．（1）求这个相同的解；（2）求a的值；（3）若[m]表示不大于m的最大整数，求[a﹣2]的值．【答案】解：（1）原方程6x﹣9=10x﹣45移项得6x﹣10x=﹣45+9，合并同类项得到﹣4x=﹣36，解得：x=9；（2）将x=9代入第二个方程得：3a﹣1=3（9+a）﹣2a，解得：a=14；（3）[a﹣2]=[×14﹣2]=[]=2．3．已知方程=与方程=+1的解相同，求m的值．【答案】六、特殊解问题【错题精练】例1．小王在解关于x的方程3a−2x=15时，误将−2x看作2x，得方程的解x=3．（1）求a的值；（2）求此方程正确的解；（3）若当y=a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y=−a时，代数式my3+ny+1的值．【解答】（1）解：把x=3代入3a−2x=15得3a+6=15，计算得出：a=3；（2）解：把a=3代入方程得：9−2x=15，计算得出：x=−3；（3）解：把y=a=3代入my3+ny+1得27m+3n+1=5，则27m+3n=4．当=−3时，my3+ny+1=−27m−3n+1=−(27m+3n)+1=−4+1=−3．【答案】（1）3；（2）－3；（3）－3．例2．已知方程|x+|3x+a||=2恰有4个不同的解，求参数a的取值范围．【答案】【举一反三】1．已知关于x的方程2|x|﹣k=kx﹣3的解为负数，则k的取值范围是__________【答案】七、含参问题【错题精练】例1．七年级一班的马虎同学在解关于x的方程3a−x=13时，误将−x看成+x，得方程的解x=−2，则原方程正确的解为（）C. −12；D. 12．【答案】B例2．已知关于x 的方程与方程的解互为相反数，求m 的值．【答案】例3．若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程无论k 为何值时，它的解总是1，求a ，b 的值．【答案】【举一反三】1．若x=−2是关于x的方程2x+m=3的解，则关于x的方程3(1−2x)=m−1的解为（）；A. ﹣1；B. −12C. 1； D. 1．2【答案】B2．已知关于x的方程3x+a=x﹣7的根是正数，求实数a的取值范围．【答案】3．方程2﹣3（x+1）=0的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．【答案】1．已知x=2是关于x的方程3−mx=x+m的解，m的值为．【答案】132．下列变形过程中，正确的是（）A. 由2x=3，得x=23；B. 由x−13−1=1−x2，得2(x−1)−1=3(1−x)；C. 由x−1=2，得x=2−1；D. 由−3(x+1)=2，得−3x−3=2．【答案】D3．根据等式的性质，下列变形正确的是（）2x3【解答】（1）解：去括号，得2x+6=5x−15．移项，得2x−5x=6−15．合并同类项，得−3x=−21．系数化为1，得x=7．（2）解：去分母，得5(2x−1)=3(4−3x)−15x．去括号，得10x−5=12−9x−15x．移项，合并同类项，得34x=17．系数化为1，得x=1．2【答案】见解答．7．已知方程3（x﹣1）=4x﹣5与关于x的方程﹣=x﹣1有相同的解，求a的值．【答案】8．若关于x的方程||x﹣2|﹣1|=a有三个整数解，则a的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B9．适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个．A. 0B. 1C. 2D. 大于2的自然数【答案】C10．已知关于x的方程k（x+1）=k﹣2（x﹣2）中，求当k取什么整数值时，方程的解是整数【解答】解：去括号，得kx+k=k﹣2x+4，移项，得kx+2x=k﹣k+4，合并同类项，得（k+2）x=4．方程的解是整数，则k+2=±1或±2或±4．则k=﹣3或﹣1或﹣4或0或﹣6或2．【答案】k=﹣3或﹣1或﹣4或0或﹣6或2．● 代数式。