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位移法——位移法的概念

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第八章位移法

第八章位移法

8
r22
Z2 1
2
M1 图
2 令EI=4
解： n 2
iAB 1.6
iBC 2
iBD iCE 1
50
60 50
60
R1 p
120
R2 P
R1=0 R2=0
r11Z1 r12 Z 2 R1 p 0 r21Z1 r22 Z 2 R2 p 0
M P图
r11 6i
R1 p 24
代入（8-4）式可得
4 Z1 i
4.计算基本未知量
4 Z1 i
（实际为转角 A ）
M M1Z1 M P
5.采用叠加法绘最后内力图 3i r11
A B
120
96
A
Z1 1
R1P
C
C
96
M p图
B
160
3i
M1 图
108
4 M BA 3i 96 108kN m i 4 M BC 3i 120 108kN m i
两端固定的情况
M AB 4i A 2i B M BA
一端固定一端铰支情况
6i F AB M AB l 6i F 2i A 4i B AB M BA l
F F M AB M BA ------固端弯矩
A
B
6i Fl M BA 2i A 4i B AB 0 l 8 1 3i 1 F B ( A AB M BA ) 2 l 2i
基本结构
EI
n4
EI
n3
B A
C
D
G
F
n6 E

位移法—位移法的基本概念(建筑力学)

位移法—位移法的基本概念(建筑力学)
如何求基本未知量 ?
位移法
首先，附加一个约束使结点B不能转动（图
b），此时结构变为两个单跨超静定梁。在荷
载作用下，可用力法求得两个超静定梁的弯矩
图。由于附加约束阻止结点B的转动，故在附
加约束上会产生一个约束力矩
F1
3Fl
16
然后，为了使变形符合原来的实际情况，
必须转动附加约束以恢复 。两个单跨超
无附加约束，亦无约束力矩，故有
3Fl
3EI1 4 EI 2

0

B
l
h
16


位移法
3Fl
3EI1 4 EI 2
Biblioteka 0 Bh
16
l
解方程可得出 。将 求出后，代回图ｃ，将所得的结果再与图ｂ
叠加，即得原结构的最后弯矩图。
位移法
由这个简单的例子可知，
* 位移法是以结点位移作为基本未知量，
* 通过增加约束的方法，将原结构拆成若干个单跨超
静定梁来逐个分析，
* 再组合成整体，利用力和力矩的平衡方程求解未知
量的。
静定梁在B端有角位移 时的弯矩图同样可
由力法求得，如图ｃ所示。此时在附加约束
上产生约束力矩
3 EI 1 4 EI 2
F11

B
h
l
位移法
经过上述两个步骤，附加约束上产生的约束力矩应为11 和1P 之和。
由于结构无论是变形还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B处
位移法：以某些结点位移基本未知量
位移法
第一节 位移法的基本概念
图a所示刚架在荷载P 作用下，将发生双点画线所示的变
形。在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B只发生

第十一章-位移法

第十一章-位移法

X
3
0
即：
M
AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
为杆件AB的刚度方 程（转角位移方程）
§11-2 等截面杆件的刚度方程
讨论：当分别作用有单位位移情况
当 A 1，B 0， 0 时：
则有：
M M
AB BA
4i 2i
当 1， A 0，B 0 时：
则有：
M
AB
M BA
第 十 章 位移法
本章主要内容
➢位移法的基本概念 ➢等截面杆件的刚度方程 ➢无侧移刚架的计算 ➢有侧移刚架的计算 ➢位移法的基第本八章 位体移法 系 ➢位移法应用举例 ➢对称结构的计算
§11-1 位移法的基本概念
一.基本思路
如下图为一个对称结构承受对称荷
载 P。结点B只发生竖向位移 ，
水平位移为零。在位移法中，我们
在上例中，如只有二根杆，则结构是静定的，当杆数 3 时，结构
是超静定的。可见用位移法计算时，计算方法并不因结构的静定或 超静定而有所不同。
§11-1 位移法的基本概念
三.总结位移法计算的要点
要点：
(1) 位移法的基本未知量是位移。 (2) 位移法的基本方程是平衡方程。 (3) 建立基本方程的过程分为两步：
pq
11X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
解力法方程，得：
X1 X2
？ ？
X 3 0
A
B
运用力法解，取基本体系如下：
pq
X1
X2

位移法基本概念

位移法基本概念

基本概念
F
A
B
C
D
E
BV
CV
D
E
G
解：由图可见，只有AB杆及CD杆有杆端相对侧移 -ΔBV 及ΔCV 。E端为弹簧铰，所以，刚结点有D和E。但是，因为CD杆旳刚 度无限大，ΔCV与D结点旳转角有关。
所以，构造有三个位移法变量：θE 、ΔBV 、ΔCV （或D结点 转角θD）
基本思绪
基本概念
三、位移法旳基本思绪---------先修改，后复原。
[举例]
基本概念
例题6
B
A
B
C
A
D
解：三根杆件，A支座为弹簧铰，有约束能力，也可产生转角， 但不可发生水平及竖向位移。C支座有约束能力，但可产生竖向 位移。
所以，位移法变量有：A、B处旳转角θA及θB ，C处旳竖向 位移Δ，共三个位移法变量。 BC杆有侧移Δ，D处无转角，C截面旳转角不作为位移法变量。
C
B
B
A 1．位移法变量：θB 2．修改旳措施
基本思绪
基本概念
1)在B结点附加刚臂，设想刚臂旳作用只是阻止结点B旳转动， 各杆旳弯矩不能相互传递。
2)求杆端弯矩。因为各杆旳弯矩不能相互 传递。所以AB杆与BC杆旳弯矩可独自求 解。即，对弯矩而言，BC杆等价于一端 固定，另一端铰支旳超静定杆；而AB杆
[举例]
基本概念
例题8 D
E
EI
F
EI
D
E
EI
EI1 EI
A B
C
F
F
解：①这是具有无限刚性杆旳构造，BD杆没有变形，只有刚体 侧移，设弦转角为θ。则因为结点E刚结点旳特征，三杆端在E 点保持相同旳转角，从而，结点E旳转角也为θ ②由结点E旳侧移方向垂直BE杆轴线，所以，ΔD =ΔE =ΔF =ΔH 与θ有关，不是独立旳变量。 ③至于弹簧支座，对变形没有影响，只与构造旳受力有关。

结构力学上第8章 位移法

结构力学上第8章 位移法

(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B

11第十一章 位移法

11第十一章 位移法
A D
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:

结构力学I第7章 位移法


2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
Page 26
LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！

6i 6i
/ /
l l

2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB

1 6i
M
BA

l
M BA =0
B
=

1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA

l


M AB 3iA 3i / l
B 0

FQAB FQBA 0
M AB M BA

第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
LOGO
§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）


Page 20
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:

位移法图文课件


R1=0 r11 Z1+ R1P =0
r11=10i
r11 6i
4i
R1P
ql2 / 8
Z1=1
6i 2i M1
q ql2 / 8
MP
R1P ql 2 / 8 Z1 ql 2 / 80i M M1Z1 MP
位 1)确移定法基求ql解本2 /过体20程系q:和基本未知量
2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
Z1
Z2
2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
Z1
Z2
Z3
基本未知量,基本结构确定I
EI
练习
感谢
谢谢，精品课件
资料搜集
5)解方程 ql 2 / 40 6)作M 弯矩图
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念
三.位移法基本结构与基本未知量
基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能
发生位移的结构.
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
位移法方程
R1=r11 Z1+ R1P =0
3Pl/16 3i/l
MP
Z1---位移法
5P/16
R1P 基本未知量 r11
Z1=1
EA r11 3i / l 2
3i / l 2
r11 6i / l 2 R1P 5P / 16
M1
Z1
Z1 5Pl 2 / 96i

位移法典型方程根据

位移法典型方程根据（实用版）目录1.位移法的基本概念2.位移法的典型方程3.位移法的应用实例4.位移法的优缺点分析正文一、位移法的基本概念位移法是一种求解固体力学问题的数值方法，主要通过计算物体在受力作用下的位移来研究其内部应力和应变分布。

位移法基于弹性力学的基本原理，适用于求解各种复杂的固体力学问题，如梁、板、壳等结构在受力作用下的变形和内部应力分布。

二、位移法的典型方程位移法的典型方程是根据弹性力学原理推导得到的。

以一维简支梁为例，当梁受到均布荷载作用时，其位移法的典型方程为：挠度公式：f(x) = q(x-x0)/8EI弯矩公式：M(x) = EI*(f"(x)-qx)/2其中，f(x) 表示梁在 x 处的挠度，M(x) 表示梁在 x 处的弯矩，E 为材料的弹性模量，I 为梁的惯性矩，q 为均布荷载，x0 为梁的支点，f"(x) 为挠度的一阶导数。

三、位移法的应用实例位移法广泛应用于各种固体力学问题的求解，如梁、板、壳等结构在受力作用下的变形和内部应力分布。

例如，在求解简支梁在均布荷载作用下的挠度和弯矩时，可以采用位移法进行计算。

四、位移法的优缺点分析1.优点：位移法求解固体力学问题时，可以通过计算物体的位移来直接得到其内部应力和应变分布，避免了传统力学方法中的繁琐计算过程。

此外，位移法适用于各种复杂的固体力学问题，具有较强的通用性。

2.缺点：位移法的求解过程涉及到较高阶的微分方程，计算过程较为复杂。

在某些特殊情况下，位移法的求解结果可能不如其他方法准确。

总之，位移法作为一种求解固体力学问题的数值方法，具有广泛的应用前景。

结构力学


因 B 0, QAB QBA 0 EI l MBA
1 A 代入（2）式可得 l 2
M AB i A M BA i A
A
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数(即刚度系数， 是只与截面尺寸和材料性质有关的常数)。
单跨超静定梁简图
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
关于刚架的结点未知量
A P C
q
B A
A

A
B
M AB
A
P C
M AB
A
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
θA
q
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1P
q
ql2/12
A
C F1P
ql 2 F1P 12
ql2/12
2 EI A l
A l
βA EI=常数
C
A
C
F1=0
ql2/48
2
2 EI A l
B
2 EI A l
4i
2 EI A l
B
ql3 A 96EI
4 EI θA A l
§2 等截面杆件的刚度方程
杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角θA、θB ，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。 ②杆端力的表示方法和正负号的规定 1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺时针为 正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。 P B A MBA0 MAB0 2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同前。 P B A QAB0 QBA0
A A
A A F1 0 A A F1 0
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m
弯矩： 杆端——顺时针为正
AC
结点——逆时针为正
当结点上有荷载时,仍以顺时针为正
B
2. 杆端力与杆端位移的关系 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系 即：由杆端位移求杆端力
3. 转角位移方程 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下
x
M
AB
=
4i A
M AC M AB
qA
A
Aq A M AB = 3iq A
M BA = 0
B
FP C
M AC
=
4iq A
FPl 8
MCA
=
2iq A
FPl 8
由 MA = 0 得：
7iq A
FPl 8
=0
４．求内力
q = FPl A 56i
A
FP C
EI
L
EI
B
3 FP l
56
LF/2P
L9/2FPl 56
M AB
2i B
6i l
DAB
MF AB
M
BA
=
4i B
2i A
6i l
DAB
MF BA
转角位移方程
固端弯矩
y
第 七 章 位移法
§7-3 位移法基本未知量
一、结点角位移
有多少个刚结点，就有多少个独立的结点角位移。
二、结点线位移 忽略轴向变形和剪切、弯曲变形较小的前提下,假定
各杆变形后保持长度不变,这样有些刚架就无线位移;虽然 有些结点有线位移,但其中一部分是线性相关的,我们只考
加约束 →求内力 →建立平衡方程 →求位移 →求内力
拆
合
拆
第 七 章 位移法
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
1. 杆端弯矩的表示方法和正负号规定：
表示方法：双下标 如 : M AC , M AB 等 前一个下标表示近端,另一个下标表示远端。
转角： 结点转角——顺时针为正
杆端转角——顺时针为正
杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正
=
3iq A
=
3 56
FP L
M BA = 0
M (kN.m)
= F L MAC=4iq A源自FPl 83 56 P
= F L MCA
=
2iq A
FPl 8
9 56 P
位移法要点: 一、基本未知量： 位移
结点线位移和结点角位移
二、基本结构：无结点位移的结构
特殊的单根杆
三、基本方程： 平衡方程
四、基本步骤： 拆—合—拆
虑独立线位移。
判断独立线位移个数,可用“铰化结点、增加约束” 的办法来判断:
位移法基本未知量为独立结点线位移和角位移之和
判断图示结构位移法基本未知量。
例１
A
B
C
例３
D
E
F
例４
例２
A
B
E
F
C
D
G
H
例６
I
J
基本未知量,基本结构确定举例
EI =
2EI EI
EI =
作业（自己检查）: 7—1、7—2
第 七 章 位移法
§7-1 位移法的概念
例：
L
A
FP C
EI
EI
忽略轴向变形 D AH = D AV = 0， 因此，无结点线位移。
B
L/2 L/2
(结点 )角位移 q A 0。
1．单元分析
设
i
=
EI L
为杆件的线刚度
２．结构分析
A
FP C
EI
L
EI
３．解方程：
q = FPl A 56i
B
L/2 L/2