苏教选修22数学课时分层作业6 含解析

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课时分层作业六三角函数的诱导公式(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019·遂宁高一检测)sin 210°+cos(-60°)=( )A.0B.1C.-1D.2【解析】选 A.因为sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-,cos(-60°)=cos 60°=,所以sin 210°+cos(-60°)=0.2.已知sin(π+α)=-,那么cos α的值为( )A.±B.C.D.±【解析】选D.因为sin(π+α)=-,所以sin α=,所以α为第一、二象限角,故cos α=±=±.3.已知点是角θ终边上一点,则tan θ等于( )A.2B.-C.-D.-2【解析】选C.点可化为点,则tan θ=-.4.(2019·玉溪高一检测)已知sin(π+α)=,α是第四象限的角,则c os(α- 2π)=( )A.±B.-C.D.【解析】选C.因为sin(π+α)=,所以sin α=-,因为α是第四象限的角,所以cos α==,所以cos(α-2π)=cos α=.5.设f(α)=,则f的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选D.f(α)===-.所以f=-=-=-.6.已知cos(x-70°)=-,且x为第二象限角,则sin(x+110°)的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选 A.因为x为第二象限角,cos(x-70°)=-, 所以sin(x-70°) ==,所以sin(x+110°)=sin(x-70°+180°)=-sin(x-70°) =-.二、填空题(每小题5分,共10分)7.求值:(1)cos=________.(2)tan(-855°)=________.【解析】(1)cos=cos=cos=cos=-cos=-.(2)tan(-855°)=-tan 855°=-tan(2×360°+135°)=-tan 135°=-tan(180°-45°)=tan 45°=1.★答案★:(1)-(2)18.化简:cos+cos(n∈Z)=________.【解析】原式=cos+cos.当n=2k(k∈Z)时,原式=cos+cos=2cos.当n=2k+1(k∈Z)时,原式=cos+cos=-2cos. 故原式=★答案★:三、解答题(每小题10分,共20分)9.化简下列各式.(1).(2).【解析】(1)原式==-=1.(2)原式====-cos2α.10.已知sin(α+π)=,且sin αcosα<0,求的值.【解析】因为sin(α+π)=,所以sin α=-,又因为sin αcos α<0,所以cos α>0,cos α==,所以tan α=-.所以原式====-.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知tan =a,则sin 的值为( )A. B.- C.- D.【解析】选 B.因为tan=a,所以sin =sin=-sin=-.2.已知sin(π-α)=,α为第二象限角,则cos(-α)=( )A.-B.C.±D.【解析】选A.由sin(π-α)=,所以sin α=,又α为第二象限角,所以cos α=-=-.所以cos(-α)=cos α=-.3.sin 600°+tan(-300°)的值是 ( )A.-B.C.-+D.+【解析】选B.原式=sin(360°+240°)+tan(-360°+60°)=-sin 60°+tan 60°=.4.若cos(-80°)=k,则tan 100°=( )A. B.-C. D.-【解题指南】先利用诱导公式三及同角三角函数公式求出cos 80°及sin 80°,然后再求tan 100°的值.【解析】选 B.因为cos(-80°)=cos 80°=k,所以sin 80°= =,故tan 100°=tan(180°-80°)=-tan 80°=-=-.5.=( )A.sin 2+cos 2B.cos 2-sin 2C.-sin 2-cos 2D.sin 2-cos 2【解析】选D.===|sin 2-cos 2|,又<2<π,所以原式=sin 2-cos 2.二、填空题(每小题5分,共20分)6.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则θ是第______象限角.【解析】由sin(θ+π)=-sin θ<0⇒sin θ>0,cos(θ-π)=-cos θ>0⇒cos θ<0,由可知θ是第二象限角.★答案★:二7.化简:=________.【解析】原式=======-1.★答案★:-18.下列三角函数式:①sin;②cos;③sin;④cos;⑤sin.其中n∈Z,则函数值与sin的值相同的是________.【解析】①中sin=sin≠sin;②中,cos=cos=sin;③中,sin=sin;④中,cos=cos=-cos≠sin;⑤中,sin=sin=-sin=sin.★答案★:②③⑤9.(2019·杭州高一检测)已知角α的终边经过点P(3t,1),且cos(π+α)=,则tan α的值为________,t的值为________.【解析】因为cos(π+α)=,所以-cos α=,即cos α=-,所以α在第二或第三象限,又因为角α的终边经过点P(3t,1),所以α在第二象限,所以sin α==,所以tan α=-,由正切函数的定义可得tan α=-=,所以t=-.★答案★:--三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知sin α=,cos(α+β)=-1,求sin(2α+β).【解析】由cos(α+β) =-1,得α+β=2kπ+π(k∈Z),则2α+β=α+(α+β)=α+2kπ+π(k∈Z),所以sin(2α+β)=sin(α+2kπ+π)=sin(α+π)=-sin α=-.11.已知角α的终边经过点P(-4,3),(1)求的值.(2)求sin αcosα+cos2α-sin2α+1的值.【解析】(1)因为角α的终边经过点P(-4,3),所以r=5,sin α=,cos α=-,tan α=-,所以===.(2)sin αcos α+cos2α-sin2α+1=sin α·cos α+2cos2α.=×+2×=-+=.12.是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式①sin(3π-α)= sin(π-β),②cos(2 020π-α)=-cos(π+β)同时成立.若存在,求出其值;若不存在,请说明理由.【解析】假设存在这样的角α,β使等式①②成立.将已知化为由①2+②2,得sin2α+3(1-sin2α)=2,所以sin2α=,因为β∈(0,π),所以sin β>0,所以由①得sin α>0.因为-<α<,所以0<α<,所以α=,因为-<α<,所以cos α>0,由②可知cos β>0,因为β∈(0,π),ruize所以β∈,由sin α=sin β,得sin β=,所以β=.综上可知,α=,β=.关闭Word文档返回原板块。

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．如图2-1-19所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是 .【导学号：01580042】图2-1-19【解析】 由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a ＝3＋3＝6.【答案】 62．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎨⎧3，5，33＝⎩⎨⎧7，9，11，43＝⎩⎨⎧13，15，17，19，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝ . 【解析】 根据分裂特点，设最小数为a 1， 则ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1. ∵a 1为奇数，又452＝2 025， ∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×452.【答案】 453．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题： .【解析】 平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．【答案】 夹在两个平行平面间的平行线段相等4．观察下面不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为 ．【解析】 当n ≥2时，则不等式左端就为1＋122＋132＋…＋1n 2，而右端的分母正好是n ，分子是2n －1，因此可以猜想，n ≥2时，满足的不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n .故可归纳式子为：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2)． 【答案】 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2) 5．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋，有以下不等式成立：a 1＋a 22≥a 1a 2，a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3，a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4.由此推测成立的不等式是 ．(要注明成立的条件) 【答案】a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥n a 1a 2a 3…a n (a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋) 6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…则52 015的末四位数字为 ．【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125， 510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125， 512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， ∴52 015＝54×503＋3末四位数字为8 125. 【答案】 8 1257．如图2-1-20①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则图2-1-20(1)f (5)＝ ；(2)f (2 015)的个位数字为 ．【解析】 观察规律可知：f (5)＝4×5＋1＝21，f (2 015)＝2 014×2 015＋1，它的个位数字是1.【答案】 (1)21 (2)18．将2n 按如表所示的规律填在5列的数表中，设22 015排在数表的第n 行，第m 列，则第m －1列中的前n 个数的和S n ＝ .【解析】 由于2 504行第4列，所以n ＝504，m ＝4.所以S n ＝22[1－(24)504]1－24＝22 018－415.【答案】22 018－415 二、解答题9．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N )，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【导学号：01580043】【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n＋1n＋1＝2·S nn，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S nn是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知S n＋1n＋1＝4·S n－1n－1(n≥2)．∴S n＋1＝4(n＋1)·S n－1n－1＝4·n－1＋2n－1·S n－1＝4a n(n≥2)．又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝4＝4a1，∴对任意正整数n，都有S n＋1＝4a n.10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值6 3a.证明：设M是正四面体P-ABC内任意一点，M到面ABC，面P AB，面P AC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC＝V M-ABC＋V M-P AB＋V M-P AC＋V M-PBC＝13·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC ＝34a2，VP-ABC＝212a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝63a(定值)．[能力提升]1．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…类比这些等式，若6＋ab＝6ab(a，b均为正实数)，则a＋b＝.【解析】类比已知的3个等式，知a＝6，b＝62－1＝35.所以a＋b＝41. 【答案】412．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于．【解析】如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝63，此时点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4×13×34r＝13×34×63⇒r＝612，故AO＝AM－MO＝63－612＝64，故AO∶OM＝64∶612＝3. 【答案】 33．观察下列等式：①sin 2θ＝cos θ·2sin θ；②sin 4θ＝cos θ(4sin θ－8sin3θ)；③sin 6θ＝cos θ(6sin θ－32sin3θ＋32sin5θ)；④sin 8θ＝cos θ(8sin θ－80sin3θ＋192sin5θ－128sin7θ)；⑤sin 10θ＝cos θ(10sin θ－160sin3θ＋m sin5θ－1 024sin7θ＋n sin9θ)．则可以推测(1)n＝，(2)m＝.【解析】由给定等式的规律可知奇数式的最后一项系数为正数．数值为2n，n的值与sin θ的次数相同，所以式子⑤中n＝29＝512.另一特征为括号中所有系数的和奇数式与θ的系数相等，偶数式与θ的系数相反，所以⑤式中10－160＋m－1 024＋512＝10，∴m＝672.【答案】512672【答案】 145．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0，a ≠1)．(1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示． (2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明．【解】 (1)由题意可得f (2)＝a 2＋a －22，f (3)＝a 3＋a －32，g (2)＝a 2－a －22，g (3)＝a 3－a －32.则f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)＝a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54＝a 5－a －52.又g (5)＝a 5－a －52，因此，g (5)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)． (2)g (5)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)， 即g (3＋2)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)． 于是猜测g (x ＋y )＝f (x )·g (y )＋g (x )·f (y )． 证明：∵f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2， ∴g (x ＋y )＝a (x ＋y )－a －(x ＋y )2，g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y2， 所以f (x )·g (y )＋g (x )·f (y )＝a x＋a－x2·a y－a－y2＋a x－a－x2·a y＋a－y2＝a(x＋y)－a－(x＋y)2＝g(x＋y)．故g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y).。

课时分层作业(三）(建议用时:60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列结论正确的是（)A．若y＝cos x,则y′＝sin xB．若y＝sin x，则y′＝－cos xC．若y＝错误!，则y′＝－错误!D．若y＝错误!，则y′＝错误!C［∵（cos x）′＝－sin x,∴A不正确；∵(sin x)′＝cos x，∴B不正确;∵(错误!)′＝错误!,∴D不正确．］2．若指数函数f（x）＝a x（a>0，a≠1）满足f′（1)＝ln 27,则f′(－1)＝（）A．2 B．ln 3C．错误!D．－ln 3C[f′(x）＝a x ln a，由f′(1)＝a ln a＝ln 27，解得a＝3，则f′(x）＝3x ln 3，故f′(－1)＝错误!。

]3．已知f(x)＝x2·错误!,则f′(2）＝( )A．4错误!B．0C．错误!D．5错误!D［原函数化简得f（x)＝x,所以f′（x)＝错误!x,所以f′(2)＝错误!×2＝5错误!.]4．直线y＝错误!x＋b是曲线y＝ln x(x〉0)的一条切线，则实数b的值为（) A．2 B．ln 2＋1C．ln 2－1 D．ln 2C[因为y＝ln x的导数y′＝错误!，所以令错误!＝错误!,得x＝2，所以切点为（2，ln 2）．代入直线y＝错误!x＋b，得b＝ln 2－1.]5．若f(x)＝sin x，f′（α)＝错误!,则下列α的值中满足条件的是( ）A.错误! B.错误!C.23π D.错误!πA[∵f（x)＝sin x，∴f′（x）＝cos x.又∵f′(α)＝cos α＝错误!，∴α＝2kπ±错误!(k∈Z)．当k＝0时,α＝错误!。

]二、填空题6．已知f(x)＝错误!，g(x）＝mx，且g′(2)＝错误!，则m＝________。

－4 [∵f′（x）＝－错误!，∴f′(2)＝－错误!,又g′（x）＝m，∴g′（2）＝m,由g′（2）＝错误!，得m＝－4。

课时分层作业(三) (建议用时：60分钟) [基础达标练]一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x2C [∵(cos x )′＝－sin x ，∴A 不正确；∵(sin x )′＝cos x ，∴B 不正确；∵(x )′＝12x ，∴D 不正确．]2．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝() A ．2 B ．ln 3C ．ln 33 D ．－ln 3C [f ′(x )＝a x ln a ，由f ′(1)＝a ln a ＝ln 27，解得a ＝3，则f ′(x )＝3x ln 3，故f ′(－1)＝ln 33.]3．已知f (x )＝x 2·x ，则f ′(2)＝( )A ．4 2B ．0C ． 2D ．5 2D [原函数化简得f (x )＝x ，所以f ′(x )＝52x ，所以f′(2)＝52×2＝5 2.]4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2C[因为y＝ln x的导数y′＝1 x ，所以令1x ＝12，得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．代入直线y＝12x＋b，得b＝ln 2－1.]5．若f(x)＝sin x，f′(α)＝12，则下列α的值中满足条件的是()A.π3 B.π6C.23π D.56πA[∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cos x.又∵f′(α)＝cos α＝12，∴α＝2kπ±π3(k∈Z)．当k＝0时，α＝π3.]二、填空题6．已知f(x)＝1x，g(x)＝mx，且g′(2)＝1f′(2)，则m＝________.－4[∵f′(x)＝－1x2，∴f′(2)＝－14，又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，由g′(2)＝1f′(2)，得m＝－4.]7．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________. 3 [依题意知，f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.]8．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. －2 [∵f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.] 三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝5x 2；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2；[解] (1)(2)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .(3)∵y ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .10．求证：双曲线xy ＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．[证明] 由xy ＝1，得y ＝1x ，从而y ′＝－1x 2.在双曲线xy ＝1上任取一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0， 则在点P 处的切线斜率k ＝－1x 20. 切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)， 即y ＝－1x 20x ＋2x 0. 设该切线与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，则A (2x 0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 0， 故S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2. 所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．[能力提升练]1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xD [f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，所以4为最小正周期，故f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x ．]2．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A ．e 22B ．3e 2C ．6e 2D ．9e 2A [因为y ′＝e x ，所以切线的斜率为k ＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1，故围成的三角形的面积为S＝12×1×|－e2|＝e22.]3．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.1[f′(x)＝2x，g′(x)＝1x，由f′(x)－g′(x)＝1，得2x－1x＝1，解之得x1＝－12，x2＝1.∵x>0，∴x＝1.]4．设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n＝lg x n，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．－2[∵y′＝(n＋1)x n，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，则x n＝nn＋1.故a n＝lgnn＋1＝lg n－lg (n＋1)．所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 98－lg 99)＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.] 5．已知曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．[解]因为y′＝－12x，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线方程为：y－a＝－12a(x－a)，由x＝0得y＝32a，由y＝0得x＝3a，所以12·32a·3a＝18，解得a＝64.。

课时分层作业(五）（建议用时:６0分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图是函数y＝ｆ(x）的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是（）Ａ.在区间(-２,1)上f（x）是增函数B．在区间（1,3)上f（x)是减函数Ｃ．在区间(４,5)上ｆ（x)是增函数Ｄ.在区间(3,5）上ｆ(x)是增函数C［由导函数f′（x)的图象知在区间（4,５）上，f′（ｘ)＞0,所以函数f(ｘ）在(4,５)上单调递增．故选C。

]2.函数ｙ=x＋xｌn x的单调递减区间是( )A．（-∞,e－２)ﻩB．(０，ｅ-２）C．(e-2,+∞)ﻩ D.(ｅ2,＋∞）B［因为y=x＋x ln x,所以定义域为(０，+∞).令y′＝2＋ln x<0，解得0〈ｘ〈e-２,即函数ｙ=ｘ＋ｘlｎx的单调递减区间是（0，e-2),故选B.］3.曲线ｙ＝x2－2ln x的单调增区间是（ )A．（０,1]B．［1,+∞）C．(-∞，-1)和(0，1］D.［－１,0)和[1,＋∞）B［ｙ′=２x－＼ｆ（2,ｘ),令２ｘ-错误!≥0，结合x〉0，解得ｘ≥1.所以单调增区间为［1,＋∞)．]４.若函数ｆ(x）=ａｘ3-x在Ｒ上是减函数,则（)A.ａ≤0ﻩＢ．a〈1C.ａ<2ﻩＤ．ａ≤错误!未定义书签。

A[f′（ｘ)=3aｘ2-１。

因为函数f(x)在R上是减函数,所以f′（ｘ）=3aｘ２-1≤0恒成立,所以a≤0．故选A。

]5．设f′(x)是函数f（x)的导函数,将y＝f（ｘ）和y=f′（x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是()Ａ B CＤＤ［对于选项Ａ，若曲线Ｃ1为y=ｆ(ｘ)的图象，曲线C２为y＝f′(x)的图象，则函数ｙ＝f （x)在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0）内有f′（x)＜0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数,从而在(0，+∞）内有f′(x)>０.因此,选项A可能正确.同理,选项B、C也可能正确．对于选项Ｄ，若曲线C1为y=f′(ｘ)的图象，则y＝f（x）在(-∞,+∞)内应为增函数,与C2不相符；若曲线Ｃ２为y=f′（ｘ)的图象,则ｙ=ｆ(x)在（-∞,+∞）内应为减函数，与C1不相符．因此,选项D不可能正确.]二、填空题6.函数f(x)＝x-２ｓin x在(0,π)上的单调递增区间为_＿＿_____＿_.错误![令f′（ｘ）=1－2cos x>0，则coｓｘ〈错误!未定义书签。

课时分层作业(八)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．从时刻t ＝0开始的t s 内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q ＝2t 2＋t 表示，则第3 s 时电流强度为( )A ．10 C/sB ．11 C/sC ．12 C/sD ．13 C/sD [∵q ′＝4t ＋1，∴q ′|t ＝3＝13，即第3 s 时的电流强度为13 C/s.] 2．人在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度( )A ．越来越慢B ．越来越快C ．先慢后快D ．先快后慢A [∵气球半径与体积的关系式为r (V )＝33V 4π， r ′(V )＝334π·13·13V 2， 随着V 的增加，r ′(V )越来越小．]3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )A ．32,16B ．30,15C ．40,20D ．36,18A [要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x 米，则长为512x米，因此新墙总长L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．此时长为51216＝32(米)，可使L 最短．]4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )A.33cm B.1033 cm C.1633cm D.2033cmD [设圆锥的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm.其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)．令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0.所以当x ＝2033时，V 取最大值．] 5．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．12 cmC [设容器的高为x cm ， 容器的体积为V (x )cm 3， 则V (x )＝(90－2x )(48－2x )x ＝4x 3－276x 2＋4 320x (0<x <24)， 因为V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320，由12x 2－552x ＋4 320＝0，得x ＝10或x ＝36(舍)， 因为当0<x <10时，V ′(x )>0，当10<x <24时，V ′(x )<0，所以当x ＝10时，V (x )在区间(0,24)内有唯一极大值， 所以容器高x ＝10 cm 时，容器体积V (x )最大．] 二、填空题6．甲乙两地相距240 km ，汽车从甲地以速度v (km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为16 400v 3元．为使全程运输成本最小，汽车应以__________速度行驶．80 km/h [设全程运输成本为y 元，由题意，得y ＝240v ⎝⎛⎭⎪⎫160＋16 400v 3 ＝240⎝⎛⎭⎪⎫160v ＋16 400v 2，v >0，y ′＝240⎝ ⎛⎭⎪⎫－160v 2＋26 400v .令y ′＝0，得v ＝80. 当v >80时，y ′>0； 当0<v <80时，y ′<0. 所以v ＝80时，y 最小值＝720.]7．某人拉动一物体前行，他所做的功W 是时间t 的函数W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示________．t ＝t 0时的功率 [因为功率是功关于时间的导数，故W ′(t 0)表示t ＝t 0时的功率．]8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.20 [设轮船的速度为x km/h 时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3(k ≠0)． 因为6＝k ×103， 所以k ＝3500，所以Q ＝3500x 3.所以行驶每千米的费用总和为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x >0)．所以y ′＝3250x －96x 2.令y ′＝0，解得x ＝20.因为当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减； 当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增， 所以当x ＝20时，y 取得最小值，即此轮船以20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小．] 三、解答题9．如图，一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为 5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？[解] 设小正方形的边长为x cm ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <52，则盒子底面长为(8－2x ) cm ，宽为(5－2x ) cm ，V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ， V ′＝12x 2－52x ＋40，令V ′＝0，得x ＝1或x ＝103(舍去)，V 极大值＝V (1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，所以V 最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm 时，盒子容积最大．10．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解] 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值， 所以它是最小值．所以汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．[能力提升练]1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π A [设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r2，V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎪⎫0＜r ＜l 4.则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r ＞0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.]2．将边长为1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是( )A.3233 B.1633 C.833D.433A [设剪成的小正三角形的边长为x ， 则S ＝(3－x )212·(x ＋1)·32·(1－x )＝43·(3－x )21－x 2(0<x <1)．S (x )＝43·(3－x )21－x2，S ′(x )＝43·(2x －6)·(1－x 2)－(3－x )2·(－2x )(1－x 2)2＝43·－2(3x －1)(x －3)(1－x 2)2， 由S ′(x )＝0,0<x <1，得x ＝13，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，S ′(x )<0，S (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，S ′(x )>0，S (x )单调递增； 故当x ＝13时，S 的最小值是3233.]3．现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．为了使全程运输成本最小，轮船行驶速度应为________海里/时．35 [设轮船行驶速度为x 海里/时，运输成本为y 元．依题意得y ＝500x(960＋0.6x 2)＝480 000x＋300x ，x ∈(0，35]．则y ′＝300－480 000x2，x ∈(0,35]． 又当0＜x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x＋300x 在(0,35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．]4．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．439 [设CD ＝x ，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0， 点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22 ＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝233时，f (x )取最大值439.]5．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边A ，D 之间合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？[解] 设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)，所以BC＝BD2＋CD2＝x2＋402(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．。

课时分层作业(六)（建议用时:６0分钟)［基础达标练］一、选择题1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－２)π”时，归纳奠基中ｎ0的取值应为()A．1 B.2C．３ﻩD．4C[边数最少的凸ｎ边形为三角形，故ｎ０＝3。

]2．下面四个判断中,正确的是（ )A.式子１+ｋ+ｋ2＋…+ｋn(n∈Ｎ+)中,当ｎ＝1时，式子的值为１B．式子1＋k+k2＋…+ｋn－１(n∈Ｎ+)中，当n＝1时,式子的值为1+kC.式子1+错误!未定义书签。

＋错误!＋…＋错误!(ｎ∈N＋)中，当n=１时，式子的值为1+错误!＋错误!未定义书签。

D．设ｆ(n)＝错误!＋错误!+…+错误!(n∈N+），则f(ｋ＋1)=f（k)+错误!未定义书签。

＋＼f（1,3ｋ＋３）+错误!C[A中，ｎ=1时，式子＝１＋k；Ｂ中，n＝1时，式子＝1;C中，ｎ＝1时,式子＝１＋错误!+错误!;Ｄ中,ｆ(k＋１)=f（k）＋＼f(1,3ｋ＋2)+＼ｆ(1，3k＋3)＋错误!未定义书签。

-错误!未定义书签。

.故正确的是Ｃ.］3.已知命题1+2+2２＋…＋２n－1=2n－1及其证明：（1)当n＝1时,左边＝1，右边=21－1=1，所以等式成立．(2)假设n=ｋ(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22+…＋2k－１＝2k-1成立，则当ｎ=k+1时，1＋2+2２+…+２k-1+2k＝错误!＝2k＋1-1，所以n＝k＋1时等式也成立.由（1)(2)知,对任意的正整数n等式都成立.判断以上评述（ )A.命题、推理都正确ﻬB．命题正确、推理不正确C.命题不正确、推理正确D.命题、推理都不正确B[推理不正确，错在证明n=k+1时,没有用到假设n=k的结论，命题由等比数列求和公式知正确,故选B。

］4.用数学归纳法证明１＋2+3＋…+n2=n4+n22,则当ｎ=k+１(ｎ∈N＋）时,等式左边应在n=k的基础上加上（)A．ｋ2+１B．(k+1)2Ｃ.错误!未定义书签。

课时分层作业（二十二)（建议用时：60分钟)［合格基础练］一、选择题1．两圆x2＋y2＝r2，(x－3）2＋(y＋1）2＝r2外切，则正实数r的值是( )A。

错误! B.错误!C。

错误!D．5B[由题意知2r＝错误!＝错误!，r＝错误!.］2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0C[AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心代入，验证知选C.］3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上,则|PQ｜的最小值是( ）A．5 B．1C．3错误!－5 D．3错误!＋5C［圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4）2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4，2）；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即（x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1），两圆相离，|PQ｜的最小值为|C1C2|－(r1＋r2）＝3错误!－5。

］4．已知两圆分别为圆C1:x2＋y2＝81和圆C2:x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A．内切B．相交C．相离D．外切A[圆C1的圆心为C1(0，0),半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为（x－3)2＋（y－4)2＝42,圆心为C2（3，4),半径长r2＝4,所以|C1C2｜＝错误!＝5。

因为r1－r2＝5,所以|C1C2｜＝r1－r2，所以圆C1和C2内切．］5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点,则r满足的条件是（)A．r〈错误!＋1 B．r>错误!＋1C．｜r－错误!|〈1 D．｜r－错误!|≤1D［由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0,得(x＋1)2＋（y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为错误!＝错误!。

∵两圆有公共点，∴|r－1|≤5≤r＋1，∴错误!－1≤r≤错误!＋1，即－1≤r－错误!≤1，∴|r－错误!｜≤1。

数学苏教版2-2模块测试(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为__________． 2．已知1⎰f (x )d x ＝A ，2⎰f (x )d x ＝B ，则21⎰f (x )d x ＝________.3．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需乘的代数式是________．4．设a ∈2,13⎛⎫⎪⎝⎭，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为，则常数a ＝________，b ＝________.5．函数y ＝sin 2x 的图象在点A π1,64⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率是________． 6．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，写出相应的点的个数．8．在复平面内，复数i1i+＋(12对应的点位于第________象限． 9．(2012课标全国高考改编)下面是关于复数21iz =-+的四个命题：p 1：|z |＝2， p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ， p 4：z 的虚部为－1， 其中的真命题为__________．10．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝__________.11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值为________，极小值为________．12．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围图形的面积为________．13．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值，又有极小值，则a 的取值范围是________．14．已知z ＝(m ＋3)＋(2m ＋1)i(m ≥0)，则|z |的最小值为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)设复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z .16．(14分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明)． 17．(14分)设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求：(1)a 的值；(2)函数f (x )的单调区间．18．(16分)已知y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实数根，且f ′(x )＝2x ＋2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．19．(16分)已知某商品进价为m 元/件，根据以往经验，当售价是43m n n ⎛⎫≥⎪⎝⎭元/件时，可卖出p 件．市场调查表明，当售价下降8%时，销量可增加40%，现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？20．(16分)当n ∈N *时，111111234212n S n n=-+-++--，1111++++1+2+32n T n n n n=+. (1)求S 1，S 2，T 1，T 2；(2)猜想S n 与T n 的关系，并用数学归纳法证明．参考答案1. 答案：3＋5i 解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z (2－i)＝(a ＋b i)(2－i)＝(2a ＋b )＋(2b －a )i ，所以211,27,a b b a +=⎧⎨-=⎩解得3,5,a b =⎧⎨=⎩所以z ＝3＋5i.2. 答案：B －A 解析：∵1⎰f (x )d x ＋21⎰f (x )d x＝20⎰f (x )d x ， ∴21⎰f (x )d x ＝2⎰f (x )d x －1⎰f (x )d x ＝B －A.3. 答案：2(2k ＋1) 解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)，∴增加了(21)2(1)1k k k +⋅++＝2(2k ＋1).4. 1 解析：∵f ′(x )＝3x 2－3ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝a ，而f (－1)＝b －1－32a ，f (0)＝b ，f (a )＝a 3－32a ·a 2＋b ＝b －32a ，f (1)＝b ＋1－32a .∵23a >，∴312a >.∴f (0)＝b ＝1，f (x )min ＝f (－1)＝b －1－32a ＝322a -=-，3a =.5. 答案：2解析：y ′＝(sin 2x )′＝sin 2x ，∴函数y ＝sin 2x 的图象在点A π1,64⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率πsin 32k ==.6. 答案：140 857. 答案：8. 答案：二 解析：∵i1i+＋(12＝ i(1i)13(1i)(1i)-++-+-＝1i132++-+＝31i 22⎛-++ ⎝，又∵302-<，102+>，∴已知复数对应的点在第二象限.9. 答案：p 2，p 4 解析：z ＝2(1i)(1i)(1i)---+--＝－1－i ，故|z |，p 1错误；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2正确；z 的共轭复数为－1＋i ，p 3错误；p 4正确.10. 答案：123 解析：利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123.规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和. 11. 答案：4270 解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0， 即2p ＋q ＝3①.因f (x )过(1,0)点，所以1－p －q ＝0，即p ＋q ＝1②. 由①②，得p ＝2，q ＝－1， 即f (x )＝x 3－2x 2＋x . f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.所以当3x =时，f (x )取得极大值27；当x ＝1时，f (x )取得极小值0. 12. 答案：2 解析：S ＝01--⎰(x 2＋2x )d x ＋1⎰(x 2＋2x )d x＝320321101133x x x x -⎛⎫⎛⎫-+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝24233+=. 13. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.因为函数f (x )有极大值和极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1.14. 解析：∵|z |2＝(m ＋3)2＋(2m ＋1)2＝m 2＋6m ＋9＋4m 2＋4m ＋1＝5m 2＋10m ＋10＝5(m 2＋2m ＋1)＋5＝5(m ＋1)2＋5.∵m ≥0，∴|z |min 2＝10，∴|z |min 15. 答案：解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝11=，(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0,4a ＋3b ≠0，∴1,340,430,a b a b =-=⎨⎪+≠⎪⎩解得4,535a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4,53.5a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴43i 55z =-或43i 55z =-+.16. 答案：证明：综合法： ∵2ax ≤a 2＋x 2,2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2). 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2. ∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立， 只要证1－(ax ＋by )≥0， 只要证2－2ax －2by ≥0， 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0， 即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，此不等式显然成立， ∴ax ＋by ≤1成立.17. 答案：解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －9，由题意，得243(9)41212a ⨯⨯--=-.解得a ＝－3(a ＝3舍去).(2)由f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)＞0，得函数f (x )的增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，由f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)＜0，得函数f (x )的减区间为(－1,3). 18. 答案：解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等的实数根， 即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. (2)依题意，所求面积为 S ＝1-⎰(x 2＋2x ＋1)dx ＝32011133x x x -⎛⎫++=⎪⎝⎭. 19. 答案：解：设销售价为x 元/件时m ＜x ≤n ，销售利润为L (x )＝(x －m )40%8%n x p p n -⎛⎫+⋅⨯⎪⋅⎝⎭＝p (x －m )56x n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令1056()0px mp npL'x n n +=-+=，解得5610m nx +=.因为L (x )只有一个极值，而且是极大值，所以5610m nx +=为极大值点. 因此，销售价为5610m n+元/件时，可获得最大利润.20. 答案：解：(1)111122S =-=，21117123412S =-+-=，111112T ==+，2117212212T =+=++.(2)猜想：S n ＝T n (n ∈N *)，即111111111+++2342121+22n n n n n-+-++-=-+(n ∈N *). 下面用数学归纳法证明： ①n ＝1时，已证S 1＝T 1；②假设n ＝k 时，S k ＝T k (k ≥1，k ∈N *)，即111111111+++2342121+22k k k k k-+-++-=-+， 则111212(1)k k S S k k +=+-++ ＝11212(1)k T k k +-++ ＝111111++++++1+2+322+12(+1)k k k k k k - ＝11111++++2+32+1+12(+1)k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦ ＝+111111+++++(+1)+1(+1)+222+12(+1)k T k k k k k =. 由①②可知，对任意n ∈N *，S n ＝T n 都成立.。

课时分层作业(十四)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．以q 为公比的等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“q >1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [等比数列{a n }中，若a 1>0，则a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1；若q >1，则有q 2>1，所以a 1q 2>a 1，即a 1<a 3，所以“a 1<a 3”是“q >1”的必要不充分条件．]2．已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p 綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A.]3．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0，有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1 A [因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇒ 函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇒ 函数y ＝2x 的图象(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合可知a ≤0或a ＞1，根据集合之间的关系{a |a ＜0}{a |a ≤0或a ＞1}，可知选A.]二、填空题4．已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．[解析]α∥β⇒a，b无公共点，反之不成立．故p是q的必要不充分条件．[答案]必要不充分5．给出下列三个命题：①“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件；②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a＞b”是“2a＞2b”的充分不必要条件．其中正确命题的序号为________．[解析]对于①，当a＝0时，f(x)＝x3＋ax2＝x3为奇函数．即“a＝0”⇒“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数．”若f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数，则任意x∈R，都有f(－x)＝(－x)3＋a(－x)2＝－f(x)＝－x3－ax2成立，即2ax2＝0对任意x∈R都必成立，所以a＝0.故“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”⇒“a＝0”．综上所述，可知“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件，是正确的；对于②，因为“α＞β”是“cos α＜cos β”的既不充分又不必要条件，故②错误；对于③，因为指数函数y＝2x是R上的单调增函数，所以“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件，故③错误．[答案]①6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________(填序号)．①b≥0；②b＞0；③b＜0；④b≤0.[解析]∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴根据二次函数＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的的性质得出：－b2≤0，b≥0，∴函数y＝x2充要条件是b≥0，故填①.[答案] ①7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的________条件．[解析] 充分性：“x ≠y ”不一定能推出“cos x ≠cos y ”，如x ＝0，y ＝2π，此时cos x ＝cos y ．必要性：“cos x ≠cos y ”一定能推出“x ≠y ”，所以“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．[解析] 由题意可知p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a .p 是q 的充分不必要条件，所以a ≥2.[答案] [2，＋∞)三、解答题9．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件．[解] 方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，则方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3，一根小于3的充要条件是f (3)<0，即32－3m ＋2m <0，解得m >9.故其中一根大于3，一根小于3的充要条件是(9，＋∞)．10．已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 解不等式x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，解不等式|x －3|<a (a >0)，得－a ＋3<x <a ＋3，设A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A B .故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5，解得a >4.所以实数a 的取值范围是(4，＋∞)．[能力提升练]1．设p：x2－x－20＞0，q：1－x2|x|－2＜0，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[不等式x2－x－20＞0的解集A＝{x|x＜－4或x＞5}，不等式1－x2|x|－2＜0的解集B＝{x|x＞2或x＜－2或－1＜x＜1}，由于A B，所以p⇒q且q p，所以p是q的充分不必要条件．故选A.]2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．[解析]若函数f(x)在[0,1]上是增函数，则根据f(x)是偶函数可知f(x)在[－1,0]上是减函数，结合f(x)的周期为2可知f(x)在[3,4]上是减函数．反过来，若函数f(x)为[3,4]上的减函数，则根据f(x)的周期为2，可知f(x)为[－1,0]上的减函数．因此“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．[答案]充要3．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．[解析]①当k>4，b<5时，一次函数y＝(k－4)x＋b－5的大致图象如图．②若一次函数y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，当x＝0时，y＝b－5<0，∴b<5.当y＝0时，x＝5－bk－4>0.∵b<5，∴k>4.故“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．[答案]充要4．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.[证明]必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0，故a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 课时分层作业(十五)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中为全称命题的是()A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数B[命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]2．下列命题中为存在性命题的是()A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形C[A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为存在性命题．] 3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数D[A中的命题是全称命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]二、填空题4．命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是________．[解析]因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是“∃x＞0，x2＋x≤0”．[答案]∃x＞0，x2＋x≤05．已知命题p：∃x∈N，x2＜4，则非p为________．[解析]因为存在性命题的否定是全称命题，所以非p为∀x∈N，x2≥4.[答案]∀x∈N，x2≥46．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.[答案](－∞，3]7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]由条件知，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1<a<3.[答案](－1,3)8．对下列命题的否定说法错误的是________．①p：能被2整除的数是偶数，非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；④p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0，非p：∀x∈R，x2＋x＋2>0.[解析]根据含有一个量词的命题的否定知③错误．[答案]③三、解答题9．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)p：每一个非负数的平方都是正数；(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；(4)p：有的四边形没有外接圆；(5)p：某些梯形的对角线互相平分．[解](1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．[解]法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax ＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0.整理得a＞－3或a＞－2，即a ＞－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：非p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ＞0无解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3. 故命题p 中，a ＞－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．[能力提升练]1．有四个关于三角函数的命题：p 1：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 3A [∵∀x ∈R ，均有sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，而不是12，故p 1为假命题．当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z)时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．∵cos2x ＝1－2sin 2x ，∴1－cos 2x 2＝1－1＋2sin 2x 2＝sin 2x .又x ∈[0，π]时，sin x ≥0，∴∀x ∈[0，π]，均有1－cos 2x 2＝sin x ，故p 3是真命题．当sin x ＝cos y ，即sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y 时，x ＝2k π＋π2－y 或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y ＝(2k ＋1)π，即x ＋y ＝2k π＋π2或x －y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故p 4为假命题．故选A.] 2．下列命题中，是假命题的是 ( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D [∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，∴f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故A 中的命题为真命题；∵y ＝(ln x )2＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴∀a ＞0，方程(ln x )2＋ln x －a ＝0有解，即函数f (x )有零点，故B 中的命题为真命题；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 中的命题为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 中的命题为假命题．]3．若命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为________．[解析] 命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为“∃x ≥1，x 2＜a ”为真命题，所以a ∈(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)4．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ∶∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 和q ”都是真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.∴a ≤－2或a ≥1.又p 和q 为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， ∴a ≤－2或a ＝1. 课时分层作业(十六)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( )A 一个椭圆B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线ABB [定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上．]2．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当方程表示双曲线时，一定有ab <0，反之，当ab <0时，若c ＝0， 则方程不表示双曲线．]3．已知F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3或5时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线D [依题意得|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，2a ＝6<|F 1F 2|，故点P 的轨迹为双曲线的一支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，故点P 的轨迹为一条射线．故选D.]二、填空题4．已知双曲线的焦点为F 1，F 2，双曲线上一点P 满足|PF 1－PF 2|＝2.若点M 也在双曲线上，且MF 1＝4，则MF 2＝________.[解析] 由双曲线的定义可知，|MF 1－MF 2|＝2.又MF 1＝4，所以|4－MF 2|＝2，解得MF 2＝2或6.[答案] 2或65．已知点A (－1,0)，B (1,0)．曲线C 上任意一点P 满足PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0.则动点P 的轨迹是________．[解析] 由条件可化简为PA ＋PB ＝4，因为4>2＝AB ， 所以曲线C 是椭圆． [答案] 椭圆6．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为______．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)[解析] 由题意P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹为一条抛物线．[答案] 抛物线7．已知平面上定点F 1，F 2及动点M ，命题甲：|MF 1－MF 2|＝2a (a 为常数)，命题乙：点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．[解析] 根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D 乙，只有当0<2a <|F 1F 2|时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．△ABC 的顶点A (0，－4)，B (0,4)，且4(sin B －sin A )＝3sin C ，则顶点C 的轨迹是________．[解析] 运用正弦定理，将4(sin B －sin A )＝3sin C 转化为边的关系，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫b2R －a 2R ＝3×c 2R ，则AC －BC ＝34AB ＝6<AB .显然，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)．[答案] 以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3) 三、解答题9．已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．[解] 方程可变形为(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1，∵(x －1)2＋(y －1)2表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离． 又由(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M 的轨迹是抛物线．10．一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？[解] 由声速为340 m/s ，可知F 1，F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000(m)，且小于F 1F 2＝10 000(m)，因此爆炸点在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，又因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的双曲线一支上．[能力提升练]1．已知点P (x ，y )的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2－(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝±4，则动点P 的轨迹是________．[解析] 方程表示点到(1,1)和(－3，－3)两点的距离差，∵4<(1＋3)2＋(1＋3)2，∴点P 的轨迹是双曲线．[答案] 双曲线2．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________．[解析] 由条件知PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 22 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫202 2＝100.当且仅当PF 1＝PF 2时取得等号．[答案] 1003．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．[解析] 连接FP (图略)，∵M ，F 关于直线CD 对称， ∴PF ＝PM ，∴PF ＋PO ＝OP ＋PM ＝OM (定值)． ∵OM >OF ，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆． [答案] 以F ，O 为焦点的椭圆4．在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且sin B ，sin A ，sin C 成等差数列． (1)顶点A 的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．[解] (1)由sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得AB ＋AC ＝2BC .又因为BC ＝10，所以AB ＋AC ＝20，且20>BC ， 所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)． (2)椭圆的焦点为B ，C ，焦距为10.课时分层作业(十七)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．7C ．5D ．8 D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1.由题意知m －2＞10－m ＞0，即6＜m ＜10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8，满足题意．]2．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．42 A [由椭圆的定义得， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．22B [因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.]二、填空题4．若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是________．[解析] ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m ＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1. [答案] (0,1)5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，点P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)[解析] 不妨设PF 1>PF 2，由条件知PF 1－PF 2＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ＝8，解得PF 1＝5，PF 2＝3.又∵F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴F 1F 22＋PF 22＝PF 21， 故△PF 1F 2是直角三角形． [答案] 直角6．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．[解析] 根据椭圆定义有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，|PF 1|＋|PF 2|＝7，因此|PF 1|＝4，|PF 2|＝3.又因为|F 1F 2|＝5，因此△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12×3×4＝6.[答案] 67．过点(3，－ 5 )且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．[解析] 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x24＝1.[答案] y 220＋x 24＝18．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．[解析] 设椭圆的另一焦点为F 2，由条件可知PF 2∥OM ，∴PF 2⊥x 轴．设P 点纵坐标为y ，则由x 212＋y 23＝1，得y ＝±32，∴点M 的纵坐标为±34. [答案] ±34三、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．[解] 如图所示，PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝2c ， 根据椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ，在Rt △F 1PF 2中，PF 21＋PF 22＝4c 2. 又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝9，即PF 1·PF 2＝18.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4c 2＋36＝4a 2， ∴4a 2－4c 2＝36，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，∴b ＝3.10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围； (2)若椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值． [解] (1)原方程可化为x 22＋y 22k ＝1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k <2，解得k >1.故k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)原方程可化为x 21k 2＋y 28－k＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－8k >0，－8k >1k 2，－8k －1k 2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k <－18，k ＝－1或k ＝－17.故k 的值为－1或－17.[能力提升练]1．以圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程为( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.4x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋4y 29＝1 B [由已知c ＝1，且焦点在x 轴上， 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入求得a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]2．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．[解析] 由题意知椭圆焦点在x 轴上，设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1.[答案] x 216＋y 212＝13．“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件． [解析] 由方程mx 2＋ny 2＝1，得x 21m ＋y 21n＝1，所以要使 方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，m ≠n ，即m >0，n >0且m ≠n .所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分4．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，焦距为6，求实数m 的值．[解] ①当椭圆焦点在x 轴上时， 由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝25，b 2＝m 2， 所以m 2＝25－9＝16. 因为m >0，所以m ＝4.②当椭圆焦点在y 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3. 由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝m 2，b 2＝25， 所以m 2＝25＋9＝34. 因为m >0，所以m ＝34.综上所述，实数m 的值为4或34.课时分层作业(十八)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9B [由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.]2．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 ( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对C[⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝45，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.] 3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 A [由题意，得4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2＜4，则－2＜m ＜2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.]二、填空题4．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．[解析] 由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1. [答案] x 236＋y 29＝15．椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为12，则实数m 的值为________．[解析] 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，且m ＞4，则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－4m ＝14，∴m ＝163； 当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，且0＜m ＜4， 则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－m 4＝14，∴m ＝3. [答案] 3或1636．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线的距离等于b7，则椭圆的离心率为________． [解析] 由题意知直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.左焦点为F (－c,0)，则|－cb ＋ab |a 2＋b 2＝b 7. ∴7(a －c )＝a 2＋b 2，∴7(a －c )2＝a 2＋b 2＝a 2＋a 2－c 2＝2a 2－c 2，即5a 2－14ac ＋8c 2＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54.又∵0<e <1，∴e ＝12.[答案]127．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至 1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．[解析] 可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750. 又a ＋c ＝1 700＋1 800，∴c ＝750. ∴e ＝c a ＝7502 750＝311.[答案]3118．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A ，B 两点，则弦长AB ＝________.[解析] 椭圆左焦点为(－2，0)， ∴直线方程为y ＝33(x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋2)，x 2＋2y 2＝4得5x 2＋42x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－425，x 1x 2＝－85，∴弦长AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4252－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＝165. [答案] 165三、解答题9．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．[解] 令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a . 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.[解] (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0， 解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423. [能力提升练]1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32B ．26C ．27D ．42C [设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n >0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋3y ＋4＝0，消去x ，得(3m ＋n )y 2＋83m m y ＋16m －1＝0，Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n )＝0，整理得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m ＝16 ①.又由焦点F 1(－2,0)，F 2(2,0)在x 轴上，得1m －1n ＝4②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝13，故椭圆的方程为x 27＋y 23＝1，所以长轴长为27.故选C.]2．若A 为椭圆x 2＋4y 2＝4的右顶点，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．[解析] 由题意得，该三角形的两直角边关于x 轴对称，且其中一边在过点A (2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为y ＝x －2，代入x 2＋4y 2＝4，得5x 2－16x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝65.把x ＝65代入椭圆方程，得y ＝±45，所以三角形的面积S ＝12×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－65＝1625.[答案]16253．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是________．[解析] 因为13 <k <12，所以点B 在第一象限．由题意可知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .因为点A 的坐标为(－a ，0)， 所以k ＝b 2a －0c ＋a，所以13<b 2a －0c ＋a <12.又因为b 2＝a 2－c 2，所以b 2a －0c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2a 2＋ac＝a －c a ＝1－e ，所以13 <1－e <12，解得12<e <23，故椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，234.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点Q 在椭圆C 上，且∠F 1QF 2＝π3，求QF 1·QF 2的值；(3)设直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．[解] (1)∵椭圆过点P (3,1)， ∴9a 2＋1b2＝1. 又S △PF 1F 2＝12×2c ×1＝22，解得c ＝2 2.又a 2＝b 2＋c 2解得a 2＝12，b 2＝4，∴椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)当∠F 1QF 2＝π3时，有⎩⎨⎧QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－2QF 1·QF 2cos π3＝(2c )2＝32，∴QF 1·QF 2＝163.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0，故x 1＋x 2＝－3k2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124.∵以AB 为直径的圆经过坐标原点，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6， 此时Δ＝120＞0，满足条件，因此k ＝± 6.课时分层作业(十九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．双曲线x 2a ＋y 2a －1＝1的焦距为( )A ．1B ．2C ．22a －1D ．21－2aB [∵a (a －1)＜0，∴0＜a ＜1，方程化为标准方程为x 2a －y 21－a＝1，∴c 2＝a ＋1－a ＝1，∴焦距2c ＝2.]2．若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是 ( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6 C [由题意知c ＝4＋12＝4，设双曲线的左焦点为F 1(－4,0)，右焦点为F 2(4,0)，且|PF 2|＝8.当P 点在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝4，解得|PF 1|＝12；当P 点在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝4，解得|PF 1|＝4，所以|PF 1|＝4或12，即P 到它的左焦点的距离为4或12.]3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48 C [由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.]二、填空题4．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P (－3,2)的双曲线的标准方程是________．[解析] 由题意，焦点在y 轴上，且c ＝2，可设双曲线方程为y 2m －x 24－m ＝1(0<m <4)，将P (－3,2)代入，解得m ＝1.因此所求双曲线标准方程为y 2－x 23＝1. [答案]y 2－x 23＝1 5．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．[解析] 不妨设P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝PF 21＋PF 22，又因为|PF 1－PF 2|＝2，所以(PF 1－PF 2)2＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2 3.[答案] 236．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．[解析] 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5代入双曲线可得|y M |＝163，即双曲线上一点M 到右焦点的距离为163，故利用双曲线的定义可求得点M 到左焦点的距离为2a ＋|y M |＝6＋163＝343. [答案]3437．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.[解析] 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|.由双曲线方程知a 2＝16，b 2＝25， ∴c 2＝a 2＋b 2＝16＋25＝41， 又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.[答案] －18．若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3.∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0,3)，且a ＝3,2c ＝18， ∴b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822－32＝72，∴双曲线方程为y 29－x 272＝1.[答案] y 29－x 272＝1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时， 设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b 2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.10．已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[能力提升练]1．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为 ( )A.x 25－y 2＝1 B.y 25－x 2＝1 C.x 225－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 A [依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，故双曲线标准方程为x 25－y 2＝1.]2．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________________________________________．[解析] 对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13， 又离心率e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5.由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1共焦点， ∴c 2＝5.又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 22－a 22＝3，又焦点在x 轴上，故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.[答案] x 216－y 29＝13．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．[解析] 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2. 根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义，有PF 1－PF 2＝±2a . 两边平方并代入PF 1·PF 2＝2，得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1.故双曲线的标准方程是x24－y2＝1.[答案]x24－y2＝14．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB 送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．[解]矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)，所以界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为a ＝25,2c ＝|AB | ＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507，所以c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3 750， 故双曲线的标准方程为x 2625－y 23 750＝1.注意到点C 的坐标为(257，60)，故y 的最大值为60，此时x ＝35，故界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35，y >0)．课时分层作业(二十)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5 B ．5 C.2 D ．2 A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.] 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 A [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，∴a ＝2，又∵e ＝ca ＝5，∴c ＝25，∴b ＝c 2－a 2＝20－4＝4.则双曲线的标准方程x 24－y 216＝1.]3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为 ( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0A [由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2， ∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0，∴x ±2y ＝0.] 二、填空题4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．[解析] 由2a ＋2c ＝4b ，得a ＋c ＝2b ＝2c 2－a 2，即a 2＋2ac ＋c 2＝4c 2－4a 2，得5a 2＋2ac －3c 2＝0，(5a －3c )·(a ＋c )＝0，即5a ＝3c ，e ＝c a ＝53.[答案] 535．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．[解析] 双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，则双曲线的标准方程是x 29－y 216＝1.[答案] x 29－y 216＝16．当双曲线C ：x 2m 2－y 22m ＋4＝1(－2＜m ＜0)的焦距取得最小值时，双曲线C 的渐近线方程为________．[解析] 由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋4＝(m ＋1)2＋3， ∴当m ＝－1时，焦距2c 取得最小值， 此时双曲线C 的标准方程为x 2－y 22＝1。