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基于分数阶傅里叶变换的CSS抗干扰通信系统设计与实现夏振;刘榕;崔遥
【期刊名称】《电讯技术》
【年(卷),期】2009(49)3
【摘要】为适应新形势下的战场电磁环境,必须寻求一种新型抗干扰通信技术体制.提出了一种基于分数阶傅里叶变换(FRFT)解调的非相干CSS(Chirp Spread Spectrum)扩频抗干扰技术,构建了调制解调模型并分析了其性能.研究表明,该系统在线性调频干扰情况下性能优于DSSS约2dB;同步实现难度低于直接序列扩谱(DSSS),易于在扫频扩频的基础上加入跳频功能实现二维扩频系统.通过DSP实现验证了方案的可行性.
【总页数】4页(P47-50)
【作者】夏振;刘榕;崔遥
【作者单位】解放军理工大学通信工程学院,南京,210007;总参第六十一研究所,北京,100141;解放军通信指挥学院装备实验室,武汉,430010
【正文语种】中文
【中图分类】TN914.4
【相关文献】
1.基于分数阶傅里叶变换的邻近阶比分离研究 [J], 梅检民;肖云魁;杨万成;陈祥龙;乔龙
2.基于分数傅里叶变换的无线通信信号的抗干扰方法研究 [J], 王正军;赵峰
3.基于分数傅里叶变换的认知无线电抗干扰系统 [J], 刘鑫;谭学治
4.一种基于时分数据调制的加权分数阶傅里叶变换通信方法 [J], 张笑宇;冯永新
5.基于分数阶傅里叶变换的语音消噪 [J], 孙燕;潘春花;朱存
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基于分数阶傅里叶变换的运动舰船聚焦算法孙玉鑫;丁娟娟;刘鹏【摘要】为解决合成孔径雷达(SAR)图像中运动舰船目标产生的散焦现象,结合对比度最大算法和分数阶傅里叶变换(FRFT)算法,提出了一种改进的对比度分数阶傅里叶变换(CFRFT)自聚焦算法.该算法利用分数阶傅里叶变换对已成像SAR图像进行时频域分析,根据旋转角分别利用参数模型和非参数模型对二阶相位误差和高阶相位误差进行补偿,和传统的相位梯度(PGA)法相比,图像分辨率和旁瓣比提升显著,可以更有效地补偿SAR中舰船运动产生的相位误差.对不同舰船和尾迹SAR图像实验表明,算法对二阶以上的相位误差具有较好的补偿效果,误差估计准确性高,适用范围广,解决了SAR运动舰船的散焦问题,提高了海洋舰船监测的准确性.%In order to refocus the image of moving ship in synthetic aperture radar(SAR),a detection approach called contrast fractional Fourier transform(CFRFT) is presented.This algorithm is used to process SAR image by using contrast maximum and fractional Fourier transform(FRFT) method.Based on FRFT method,the signature can be represented in a rotated jointed time-frequency plane and the optimal rotated degree can be found.Taking advantage of the optimal degree,the quadratic phase error is estimated by a parametric model processing and the residual phase error can be obtained by a nonparametric model processing.The defocusing SAR image can then be compensated pared with traditional phase gradient autofocus(PGA) algorithm,the CFRFT can compensate the defocusing caused by moving ship target more effectively.The resolution and side lobe rate are also improved.The simulation and the processing results ofmoving ship show that this algorithm can get well focused SAR images with robustness,effectivity and high precision.【期刊名称】《电讯技术》【年(卷),期】2017(057)005【总页数】8页(P510-517)【关键词】合成孔径雷达;自聚焦;对比度分数阶傅里叶变换;相位误差补偿【作者】孙玉鑫;丁娟娟;刘鹏【作者单位】复旦大学电磁波信息科学教育部重点实验室,上海 200433;复旦大学电磁波信息科学教育部重点实验室,上海 200433;复旦大学电磁波信息科学教育部重点实验室,上海 200433【正文语种】中文【中图分类】TN957.5随着我国海洋事业的发展，大范围海域舰船监测受到越来越多的重视。
傅里叶变换算法改进及其工程优化实践引言:傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理以及其他领域。
然而，传统的傅里叶变换算法在处理大规模数据时存在一些性能瓶颈。
因此，为了提高算法的效率，研究人员提出了一系列改进和优化方法。
本文将介绍傅里叶变换算法的基本原理，讨论一些改进的方法，并介绍一些工程实践。
一、傅里叶变换算法基本原理傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的过程。
对于一个连续信号，其傅里叶变换定义如下:F(w) = ∫f(t)e^(-jwt)dt其中，F(w)是信号在频率域的表示，f(t)是信号在时域的表示，w是频率参数。
对于离散信号，其傅里叶变换定义为:F(k) = ∑f[n]e^(-j2πkn/N)其中，F(k)是信号在频域的表示，f[n]是信号在时域的表示，k是频率参数，N是信号的长度。
二、傅里叶变换算法改进方法1. 快速傅里叶变换(FFT)快速傅里叶变换是一种高效的计算傅里叶变换的方法，它利用了信号数据的结构特点，将时间复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)。
FFT算法的关键思想是将信号进行分解，递归地计算其子问题的傅里叶变换，最后合并得到整个信号的傅里叶变换。
FFT算法包括Cooley-Tukey算法和Winograd算法等。
2. 矩阵形式的傅里叶变换传统的傅里叶变换算法是通过对信号序列进行样本点的迭代计算得到的，这种方法对于大规模的数据计算效率较低。
矩阵形式的傅里叶变换通过将信号序列表示为向量和矩阵的乘积形式，利用矩阵运算的优势实现高效的计算。
3. 对称性优化技术傅里叶变换具有一些特殊的对称性质，例如实偶函数的傅里叶变换是实函数，偶函数的傅里叶变换是实偶函数。
通过利用这些对称性质，可以减少计算量和内存开销，提高算法的效率。
三、傅里叶变换算法的工程优化实践1. 算法实现与硬件加速傅里叶变换算法可以通过软件实现，也可以通过硬件加速实现。
在软件实现方面，可以采用高级编程语言如C，C++等编写高效的傅里叶变换算法。
基于FPGA离散分数阶傅里叶变换算法的实现史兆强;魏增辉;马壮【摘要】In order to implement the DFRFT （discrete fractional 傅里叶transform） algorithm on FPGA （field programmable gate array）, some DFRFT methods are analyzed and the Ozaktas＇s DFRFT fast algorithm is selected to achieve the implementation on FPGA. On the basis of theoretical analysis for the algorithm, the computing process of fast algorithm is optimized, and the simulation results is given. Put forward a detailed program to achieve on FPGA under ensuring the accuracy of the request. The practical application of engineering shows that the solution has excellent performance.%为在可编程逻辑门阵列（FPGA）上实现离散分数阶傅里叶变换（DFRFT），对多种DFRFT算法进行比较分析，并选用Ozaktas提出的离散快速算法做了基于FPGA的实现。
在对该算法进行理论分析的基础上，对快速算法的计算过程做优化处理，并给出仿真结果比较。
在保证精度要求下，提出详细的FPGA实现方案。
工程实际应用表明：该方法具有优良性能。
【期刊名称】《河南机电高等专科学校学报》【年(卷),期】2012(020)002【总页数】3页(P17-19)【关键词】离散分数阶傅里叶变换;现场可编程逻辑阵列;FFT核【作者】史兆强;魏增辉;马壮【作者单位】河南机电高等专科学校电子通信工程系,河南新乡453000;黄河水利职业技术学院信息工程系,河南开封475003;中国电子科技集团公司第二十七研究所,河南郑州450047【正文语种】中文【中图分类】TN911.721 引言分数阶傅里叶变换是对经典傅里叶变换的推广，在分析和处理非平稳信号领域有着广泛的应用。
一种基于分数阶傅里叶变换的改进图像加密算法崔得龙;肖明;左敬龙【摘要】针对目前基于分数阶傅里叶变换的图像加密算法中存在的不足,设计了一种基于分数阶傅里叶变换和混沌系统的图像加密新算法.图像加密过程分两个步骤:首先将原始图像的分数阶傅里叶变换系数经过双随机相位加密,然后利用混沌系统生成的置乱矩阵对图像进行置乱加密后得到最终的加密图像.方案的安全性依赖于随机相位掩膜、分数阶傅里叶变换阶数以及混沌系统的初始参数.理论分析和模拟实验结果表明该方案具有良好的图像加密效果.【期刊名称】《成都信息工程学院学报》【年(卷),期】2010(025)001【总页数】4页(P22-25)【关键词】信息安全;图像加密;分数阶傅里叶变换;双随机相位;混沌系统;置乱矩阵【作者】崔得龙;肖明;左敬龙【作者单位】茂名学院计算机与电子信息学院,广东,茂名,525000;茂名学院计算机与电子信息学院,广东,茂名,525000;茂名学院计算机与电子信息学院,广东,茂名,525000【正文语种】中文【中图分类】TP391分数阶傅里叶变换（FRFT,Fractional Fourier Transform）作为传统傅里叶变换的广义形式,其实质是一种统一的时频变换,与常用二次型时频分布不同的是它没有交叉项困扰,且可以理解为chirp基分解,因此,FRFT成为近十多年来信号处理领域的研究热点之一。
目前,FRFT作为一种崭新的时频分析工具和旋转算子为信号处理领域的研究人员所广泛接受,在目标检测、信息安全和信号处理[1-3]等领域已得到了初步应用。
针对目前基于分数阶傅里叶变换图像加密算法的不足,设计了一种基于FRFT的改进图像加密新算法。
算法重新设计了基于FRFT图像加密算法的流程图,将经过FRFT加密后的图像再进行置乱加密。
理论分析和实验结果表明该算法在不增加算法复杂性的同时,提高了其安全性。
1 分数阶傅里叶变换理论信号 x（t）的FRFT定义为[4]:式中:p为FRFT的阶,可以为任意实数;α=pπ/2为FRFT的算子符号;Kp（t,u）为FRFT的变换核:FRFT的逆变换为:FRFT域也称为u域,而时域和频域则可视为FRFT域的特例。
FFT算法的的改进FFT(Fast Fourier Transform)是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换(DFT)。
它通过将DFT的时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，在信号处理、图像处理和数值计算等领域得到广泛应用。
然而，有许多对FFT的改进方法，旨在进一步提高其性能和功能。
在本文中，将介绍一些常见的FFT算法改进。
1. Cooley-Tukey算法Cooley-Tukey算法是最早提出的FFT算法之一，它将DFT的计算过程分解成更小规模的DFT计算。
该算法利用了傅里叶变换的周期性质，并将复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
Cooley-Tukey算法的关键思想是将DFT分解为两个规模较小的DFT。
具体而言，该算法将输入序列分为奇数索引和偶数索引，然后分别对它们进行DFT计算。
接下来，再将结果通过对称性质合并起来。
该算法的递归实现可以进一步降低计算复杂度。
2.快速数论变换(NTT)快速数论变换(NTT)是对Cooley-Tukey算法的拓展，它应用于模数为p的多项式乘法问题。
NTT利用了复杂指数的周期性质，并适用于计算形式化指数有规律的DFT。
与FFT类似，NTT的核心思想是将DFT分解为较小规模的DFT计算。
不过，NTT使用了不同的运算规则，因此需要适应于特定的模数p。
通过结合合适的数论性质，NTT可以在O(NlogN)的时间复杂度内计算出DFT。
3. Radix-2算法Radix-2算法是基于Cooley-Tukey算法的改进版本，它在进行DFT计算时要求输入序列的长度必须是2的幂次。
Radix-2算法利用了二进制的特性，将DFT计算分解为若干层级的蝶形运算。
每一层级都将输入序列分为两部分，并在频域上进行乘法和加法运算。
通过逐层级地进行运算，Radix-2算法可以快速计算出DFT。
4. 快速Hadamard变换(FHT)快速Hadamard变换(FHT)是对FFT的另一种改进算法，它适用于实数域上的信号处理。
一种分数阶傅里叶变换快速算法的研究黄琼玲;刘振兴;尉宇【摘要】介绍了分数阶傅里叶变换的定义,接着提出了一种分数阶傅里叶变换的快速算法,其中分数阶傅里叶变换快速算法分三步进行:线性调频信号乘法,线性调频信号卷积,另一个线性调频信号乘法,从而利用FFT来计算FRFT.这种算法思想直观,结果与连续FRFT的输出接近.最后用具体的信号作了计算机仿真,并给出Matlab仿真结果图.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2008(031)009【总页数】3页(P156-157,160)【关键词】分数阶傅里叶变换;FFT;时频分析;卷积【作者】黄琼玲;刘振兴;尉宇【作者单位】武汉科技大学,信息学院,湖北,武汉,430081;武汉科技大学,信息学院,湖北,武汉,430081;武汉科技大学,信息学院,湖北,武汉,430081【正文语种】中文【中图分类】TN911.71 分数阶傅里叶变换的定义传统的傅里叶变换(FFT)对平稳信号的处理效果很好，但当信号频率随时间变化时，FFT就显得有些力不从心了。
分数阶傅里叶变换(Fractional FourierTransform,FRFT)可以很好地弥补FFT的不足，特别是处理线性调频信号(LFM)时，能够得到令人满意的结果。
FRFT也称为角度傅里叶变换(AFT) 或者旋转傅里叶变换(RFT),其定义式为:Xp(u)=Rα[x(t)]=Kp(t,u)x(t)dt(1)式中变换核取作：则:Xp(u)={FDx}(u)=x(t)kp(t,u)dt(2)其中n为整数，即n∈Z。
α=pπ/2称为分数阶Fourier变换的阶数，并有称为FRFT的核函数。
Xp(u)称为x(t)的p阶Fourier变换。
FRFT是一种线性算子,记为Fp,他满足以下性质：(1) FRFT变换为线性算子；(2) F0[x(t)]=F4[x(t)]=x(t)(恒等变换)；(3) F1[x(t)]=F5[x(t)]=X(ω)(标准Fourier变换)；(4) 广义Fourier变换算子为加性算子，即有Fp+q=FpFq。
技术研发ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＲｅｓｅａｒｃｈ足ＳＡＲ系统小的带宽中心频率Ｅ匕，小的斜视角等条件。
但是，这些近似结果引入了额外的相位差，使得成像精度下降。
在传统的ＣＳ算法中，使用Ｆｏｕｒｉｅｒ变换对回波信号进行脉冲压缩。
但是，Ｆｏｕｒｉｅｒ变换一般应用于平稳信号，而处理属于ｃｈｉｒｐ类时变非平稳信号［１］时则显得乏力，主要是由于Ｆｏｕｒｉｅｒ变换采用全局性的基函数，得到的是信号的整体频谱，不能获得信号的局部特性。
近年来，分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＦｒＦＴ：ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ）在处理非平稳信号中得到了广泛应用［１】。
分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换处理ｃｈｉｒｐＳ信号的能力优于普通Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的主要原因是ｃｈｉｒｐ信号在时间频率面内是一条直线，存在一个类似紧凑信号的变换阶。
基于此，我们把ＦｒＦＴ引入到ＣＳ算法中来，得到一种改进的ＣＳ算法，即ＦｒＣＳ算法。
本文从数学上描述了基于ＦｒＦＴ的ＣＳ算法，并将ＦｒＣＳ算法与传统的ＦＦＴ—ＣＳ算法的结果相比较。
文献【２］只是把Ｆｏｕｒｉｅｒ变换替换成分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，并没有考虑到分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的聚焦性能，而本文利用分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的聚焦性能，在没有太大增加运算量的基础上，改善了成像质量。
１．分数阶傅立叶变换简介在信号处理领域，传统的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换是一个研究最为成熟、应用最为广泛的数学工具。
虽然Ｆｏｕｒｉｅｒ变换提供了信号的频谱内容，但是它不能指出频谱成分对应的时间位置。
为分析和描述频率随时问变化的非平稳信号，可以使用时频分析的方法，将一维的时间信号转换为二维的时间频率信号。
分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换实际上是一种线性时频分析方法，于１９８０年由Ｎａｍｉａｓ提出完整定义［２］，并应用于光学领域，１９９４年由Ａｌｍｅｉｄａｇ［入到信号处理领域中。
Ｆｏｕｒｉｅｒ变换是一种线性算子，着将其看作从时间轴逆时针旋转到频率轴，则分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换算子就是可旋转任意角度的算子，并因此得到信号新的表示。
分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在保留传统Ｆｏｕｒｉｅｒ变换性质和特点的基础之上又添加了其特有的新优势，可认为分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换是一种广义的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换。
分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换又被称为旋转傅立叶变换或者角度傅立叶变换，在时间频率面使用旋转角计算。
任意一维时间信号顶ｆ）的ＦｒＦＴ为：一。
（“）＝Ｆ４｛ｘ（ｆ）｝（『ｆ）＝Ｊ二ｘ（ｆⅨ。
（，＇Ｊｆ炒（１）Ｋ舢们：ｆ擘ｔｌｔ）“挚…≥２ｎｚ㈨。
（，．，，）＝｛双口＝…ｌ刮ｔ＋ｕ）群＝（２ｎ＋１），ｒ其中，Ｐ是变换阶次，口＝ｐｚ／２，口毫狐是旋转角度，Ｋｕ（ｔ．，·）是分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的变换核，其定义如（２）所示。
分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换处理ｃｈｉｒｐｓ信号的能力优于普通的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的主要原因是ｃｈｉｒｐｓ信号在时间频率面内是一条直线，存在一个类似紧凑信号的变换阶。
Ｃｈｉｒｐｓ信号仅在时间域或者空间域内是不紧凑的，当空间域或者频率域的ｃｈｉｒｐｓ信号和噪声不能分离时，以合适的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换很容易提取ｃｈｉｒｐｓ信号［４Ｉ。
但是，式（２）中的ＦｒＦＴ核使用无量纲变量甜和”：因此在使用之前需要归一化，取代时间／距离位置和频率变量。
通过选择分数阶变换（旋转角）引入额外的自由度，使得在任何使用传统Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的地方，使用分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换都可以潜在地提高其应用性。
分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在很多方面有广泛的应用，如信号处理中的滤波［５］，信号和图像的恢复、补偿和改进［６］，信号的探测、相关、卷积和多路技术［５］，模式识别，波束形成，观测发射［７］，系统合成，相互亮度合成，系统分解［８］等。
２．传统的ＣｈｉｒｐＳｅａＩ．ｎｇ算法Ｃｓ算法是一种重要的雷达成像算法，其计算效率高于传统的距离多普勒算法。
ＣＳ算法因为显著的聚焦能力和简单的执行过程，受到越来越多的关注。
算法只需要进行几次快速傅立叶变换和复数相乘，避免了距离单元徙动校正处理过程的插值。
另外，算法还使得二次距离压缩只依赖于方位向频率的变化［９｜。
无论是条带式还是聚束式，都可以用ＣＳ算法处理ＳＡＲ数据。
２．１．原始回波信号模型任何ＳＡＲ系统，所接收的回波信号做相干检波后为［１０］．‘ｓ（ｏ．ｉｊ：ｑ（ｉ一呈墼譬啦％（钞ｅｘｐ（ｊｔｒ／（ｉ一三哮掣，：）×ｅｘｐｔ一，挚（。
．凡））（３）其中，砟曰和％瞎）分别为雷达线性调频信号（ＬＦＭ）的窗函数和方位窗函数，前者在未加权时为矩形窗：后者除滤波加权外＾坯与天线波束形状有关，乙为光速，∥为载波频率，…山为中心频率对应的波长，，为发射的ｃｈｉｒｐ信号的调频率，删为运动平台沿航线的飞行时间，即慢时间，ｔ发射脉冲的时间，即快时间，衄为目标到航线的最短距离，代ｑ”，ＲｓＪ为散射点与运动平台的距离徙动。
２．２Ｃｓ算法流程ＣＳ算法主要是在方位频率／距离时间域和二维频率域进行的。
最基本的操作只有四次快速傅立叶变换（ＦＦＴ）和三次相位相乘，算法框图如图１所示，具体步骤如下Ｉｎ］：Ｓｔｅｐｌ：对信号进行方位向ＦＦＴ，变成距离信号一多普勒域的表达式：Ｓｔｅｐ２：将上述变换后的信号与ｃｈｉｒｐｓｃａｌｉｎｇ相位因子相乘，使散射点的距离徙动相位项都等于参考距离的距离徙动相位；Ｓｔｅｐ３：利用驻相位原理，对Ｃｓ操作后的信号做距离向傅立叶变换，得到二维频率域表达式；Ｓｔｅｐ４：在二维频率域内与一个相位函数相乘，完成距离徙动校正，距离压缩，二次距离压缩处理；Ｓｔｅｐ５：所有的距离向调频相位都补偿完以后，在距离向作逆傅立叶变换，完成距离处理；Ｓｔｅｐ６：通过距离空变信号与距离一多普勒信号相乘，进行方位压缩和剩余相位补偿。
Ｓｔｅｐ７：最后通过方位逆傅立叶变换，得到二维图像。
２．３传统ＣＳ算法的缺点ＣＳ算法在推导过程中，只做了很少的近似，因此，它是一种高精度成像，能满足斜视ＳＡＲ系统的成像要求，尤其是避免了插值运算，ＣＳ算法能保持很好的相位精度。
但是，成功的执行上述算法要求正确的选择输出采样间隔，由ｃｈｉｒｐ间隔，信号采样率，信号带宽三个参数构成的函数决定【ｌ０１。
主要有四个原因限制ｃＳ算法使用。
第一，ＰＣＳ算法使用驻相位积分法近似做Ｆｏｕｒｉｅｒ变换。
第二，ＣＳ算法使用泰勒级数近似展开，在最后的成像中引入额外的相位差并且限Ｎｃｓ算法只有在某些小带宽中心频率比和小斜视角类型的ＳＡＲｓ系统中使用。
第三，实际的回波信号都是空变的，而在匹配滤波的时候为降低运算复杂度，使用空问无变化的匹配滤波器，引入了一定的误差。
最后，ｃｓ算法忽略了距离依赖方位向数据变化从而简化了空间方位窗函数的表达式。
为了提高ＣＳ算法的整体作用和性能，这些因素被广泛的研究。
然而，对于ＣＳ算法所有的改进和比较都是基于传统Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的。
３．基于分数阶傅立叶变换的ｃｓ算法ＣＳ算法最重要的参量是发射信号和参考信号都使用的ｃｈｉｒｐ信号。
在探测线性调频信号（ｃｈｉｒｐ）过程中使用分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换获得很好的效果。
一个新的基于分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的ＣＳ算法称为”分数阶线频调变标算法”（ＦｒＣｓ算法），算法首先提出一个最优转换模型，以产生合适的旋转角度，用于接收的ｃｈｉｒｐ信号和所有的参考信号。
在传统的ＣＳ算法中，所有使用ＦＦＴ的模型都用分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换模型取代，并且充分利用分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换本身的聚焦性能。
其算法流程如图２所示［１１】。
下面对该流程作详细介绍。
图１ＣＳ舅＝法框图图２ＦｒＣＳ算法框图３．１最优转换转换最优操作的思想指用分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的旋转角度口调整转换［１２１，以达到线性调频信号最优响应。
当轴的旋转与信号的调频率相匹配时，即可达到幅度响应的最大值。
例如，当计算方位向傅立叶变换时，ＬＯＰ计算每一个距离域的数据，以产生每一个距离数据的最优转换因子。
这样，可以适应飞行路径的突然变化或者急剧的非线性变化，因为这些变化会改变转换所需的最优阶次，以达到最优响应转换。
同样，距离傅立叶变换也是如此。
由式（３）得信号的瞬时频率为、．ｆ一≯‘（ｆ’＝２ｚＴｒ一二兰￡用ｏ．Ｒｓ）（４）则旋转角为：≯咖，１ｔ专）－ｌａｎ－ｌ（南，（５）对于时间频率离散化的采样信号，有ｆ坐１…蚓鲫‘ｌ器Ｉ—ｔａｎ１【嘉】∞）其中，力’＝只‘．、ｒ为频率分辨率疣＝１只！时间分辨率；Ⅳ是采样数。
％一寺驴一ｔａｎ。
Ｉ、盖Ｊ（７）３．２方位向分数阶傅立叶变换对于ＦｒＣＳ算法提出的数学模型，在方位向仍然采用传统的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换。
这不但不会影响算法的实际执行过程，反而使算法更容易被处理。
对回波信号进行方位向Ｆｏｕｒｉｅｒ变换后输出信号为：墨（；．工．％）：ｑｌ曲．ｅｘｐｌ一心Ｌ＾）ｅｘｐ《厉．ｒ。
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ｘｐＩＪｙ，（上．ＪＲｅ｝Ｉ‘ｔ一；ｌ型ｌ：Ｊ（８）其中，ｑ‘啪窗函数，一般用矩形窗表示；，。
妒ｔ为位于载机正前方点目标的回波的多普勒（最大多普勒）；力＝÷ｓｉｎＯ为回波的多普勒；ｐ为斜视角（雷达波束指向与载机运动方向夹角的余角）；／ｂ，石为点目标的垂直距离和横坐标：线性调频率为ｌ１。
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Ｃ：Ｃ０８’０３．３ｃｓ￥１｜位因子相乘先在｝一Ｚ域里将不同如的曲线的弯曲调整成一样，即将距离硒的空变调整为非空变。
ＣＳ操作因子为％：％ｊ（ｉ．‘）＝ｅｘｐ【．刚正．Ｒｎ）Ｄ（ｔ“－．掣）。
）（９）其中Ｄ＝！等一系ＣｉＯ而ｔｃＺ一１为修正后的ｃｈｉｒｐ参数，通过驻相位积分法得到。
．ｔ：、Ｆ万＿虿，尼为场景中心处的最近距离，Ｄ对不同距离ｍ的回波起Ｎｃｓ的作用，使所有距离向线性调频相位结构都发生了微小的、与距离和方位波数有关的畸变，使得所有信号的距离弯曲都是相同的。
式（８）与ＣＳ因子相乘的输出信号为：ｓｉ（ｔ五；岛）＝吧国ｅ冲（－Ｊ积，屯４）ｅｘｐ（＿』列≯．）四畈儿ｕ；Ｒ）（１＋ＤｘＩ望！：垂型）：＋懿ｐ（儿Ｕ；Ｒ）（１＋ＤＸ卜＝∑墨÷二型）２＋以瓴；岛ｘ工掣飓一争＋＾Ｄ以（五；％×足一半）２）（１０）３．４距离向分数阶傅立叶变换对式（１０）作距离向傅立叶变换后为：岛（石，‘；岛）５岛国‘唧卜∥‘杀曩卷一ｏＩ口）一）ｘ“ｐ（－／万（Ｉ一４；）足Ｚ）ｅｘｐ（－，万ＲＢ厶４）ＸｃｘｐＵ形．（ｆ．：也ｘｌ－叁ｘ鲁一Ｒ）２）（１１）３．５距离徙动校正距离压缩及二次距离压缩参考信号Ｓ峨形式如下：％２（Ｚ·正）２ｃｘｐ＜ｊ州ｌ一■：）矗Ｚ）ｅｘｐ（ｊ州焘焉一ｃ毗∥）（１２）第一个指数项为距离向的线性函数；第二个指数项为距离向线性调频项。
３．６距离向逆分数傅立叶变换经过上述操作后，直接对其进行逆分数傅立叶变换，结果如下：蜀（正，艺）ｔ＾·册ｔｃ（÷＝二Ｌ（ｒｃｓｃａ＋Ｒ—Ｒｊ））ｔｘＭ＿，ｒ，７，（ｆｏ：舭一急）（争吲２）ｅｘｐ（彬如Ｍ）ｕ”Ｙ，＝Ｃ≠／２为距离向变量。
