(4 ) lim 0 .9 9 9 9 1 n
n 个
n 1 ( 2 )n1 3 (5 ) lim n n ( 2 )n 3
n 1 2 n 1 3 1 3 1 lim n n 3 n 2 3 1 3
不为零，但无限接近零
刘徽割圆术
割之弥细，所失弥少，割之又割，以 致于不可割，则与圆周合体而无所失矣
数列的概念
数列 就是指按自然数编了号的一列数
a ,a ,a , a , 1 2 3 n
记为 {an }, 其中 an 称为该数列的通项。
几个数列的例子:
n 2
2，4，8，... , 2n ，... ,
函数的极限
类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对
应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定 的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。 1 im 0 对于数列极限 l 很自然地 n n
1 lim 0 x x
1 lim 0 x x
故
1 lim 0 x x
又如：当 x 1时， x 1 2 ，记作
lim (x1 ) 2
x 1
相似地
lim( x 2 1) 1 x0
自变量趋于无穷大时函数的极限
如 果 x 无 限 增 加 (记 作 x ) 时 ， 函 数 值 f ( x )可 以 无 限 逼 近 常 数 A , 则 称 常 数 A是 函 数 f ( x )在 x 时 的 极 限 ， 记 作 lim f ( x ) A。
x
l i m f ( x ) A 0 , M 0 , x M 时< ,( f x ) A x
0
1 lim 0 x x
x
lim
1 x
0
y
y=1/x o x
所以
2
y
2
观察 y = arctan x 的图像
x
lima rc ta nx
y=arctan x
x
lima rc ta nx
2
o
x
2
l i m a r c t a n x 不 存 在
x
考虑函数 f (x) = ax , 分 a>1,, 0<a<1两种情形下，
分别求 x → +∞, x →－∞， x →∞时 f (x)的极限。
a 1
y
y a
x
0 a 1
y
y ax
0 a 1
a 1
o
x
x
x
o
x
x
lim a
x
lim a 0
x
x
lim a 0
x
x
lim a
x
lim a 所以， a 10 或 a1 时 ，
x
都不存在。
4 2 3 3 3 2 3 x 4 x 2 3 x x lim ( 1 ) lim 3 2 x 5 3 x 7 x 5 x 3 7 3 7 x x 3 2 1 2 2 3 0 3 x 2 x 1 x x x 0 (2 ) lim 3 lim 2 x 2 2 x x 5 x 2 1 5 x x3 对 x 类 型 ， 两 个 多 项 式 之 比 的 极 限 只 与 最 高 次 项 有 关 ，
当 n 越 来 越 大 时 ，越 a 1来 越 小 ， 而 且 不 管 先 指 定 一 个 多 么 小 的 n
数列的极限
a ,a ,a , a , 1 2 3 n
liman A
n
A
存在 Exist
任意 Arbitrary （不够确切） （定性描述）
下面逐步给出极限的定义
随着项数 n 的增大， an 越来越接近 A n充分大时， an 的值可以无限逼近A
第二节
极限
学习重点
理解极限的概念，掌握极限的运算法则 利用两个重要极限计算极限 无穷小的概念及其比较
极限思想
在中国古代的萌芽和应用 我国战国时期（公元前4世纪）名家公孙龙等人提出命题：
一尺之棰，日取其半，万世不竭
• 剩余长度依次为• 1， 1/2 ， 1/4 ， 1/ 8 ， 1/16 ，1/32 ， …,
x
y
A
A
A
-M
O
M
x
或
f (x) A
x
i m f ( x ) A 0 , M 0 , x M 时< ,( f x ) A 即l
相似地，可定义单侧情形：
x
(x )
l i m f ( x ) A 0 , M 0 , x M 时< ,( f x ) A
1 2 3 , , , 2 3 4 , n , n 1
n 1
n n 1
,
1
n 1
1 , 1 ,1 , , (1 )
,
n 1 ( 1 ) 引 例 ： 考 察 数 列 a ， a 1 n 1 ,2 , n n n 1
3 2 5 4 7 6 , , , , , , 2 3 4 5 6 7
对， 0N , 当 n N 时 aA （精确定义） n
数列极限的定义
设有数列 {an }和常数 A，如果对任意给定的正数ε，总存 在一个正整数 N，使得对于 n > N 时的一切 an，总有
an A
成立，则称常数 A是数列{an }的极限，或称数列{an }收敛于A 记作 或
lim an A
n
a A( n ) n
如果数列没有极限，就称数列是发散的。
数列极限举例
求下列极限：
2n 3 (1) lim n 3n 1
2 3
n2 a2 (2) lim 1 n n
1 ( 3 ) l i m ( n 1 n ) lim 0 n n n 1 n
n
an
an 1
10 0.9000
30
39
50
99
1000
… …
0.96775 1.02500 0.98040 1.01000 0.99901
0.10000 0.03225 0.02500 0.01960 0.01000 0.00099
…
正 数 （ 如 0 . 0 0 1 ) ， 一 定 可 以 找 到 数 列 的 某 一 项 a ( 如 N 1 0 0 0 ) , 使 得 N 对 a 后 面 的 每 一 项 a 都 有 a 1 ,我 们 就 说 数 列 a 以 1 为 极 限 。 N n n n
