2016届河南省百校联盟高三4月教学质量监测数学(理)试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知集合{A x y ==，{}1B x a x a =≤≤+，若A B A =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．[]1,2-C ．[]2,1-D ．[2,)+∞ 【答案】C考点：集合的运算2.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到22⨯列联表，经计算得25.231K =，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下， 22( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K ≥=≥=，则该研究所可以（ ） A ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C ．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D ．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” 【答案】A 【解析】试题分析：根据查对临界值表知22( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K ≥=≥=，故有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，即A 正确； 考点：独立性检验3.已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数，递增区间是(0,)+∞ B ．()f x 是偶函数，递减区间是(,1)-∞- C ．()f x 是奇函数，递增区间是(,1)-∞- D ．()f x 是奇函数，递增区间是(1,1)- 【答案】D考点：分段函数4.过点(1,2)-作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．y =B ．12y =-C ．y =D ．14y =-【答案】B 【解析】试题分析：圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)E ，设点(1,2)C -，则以线段EC 为直径的圆的方程为()22(1)11x y -++=，两圆方程相减可得12y =-即为AB 所在直线的方程，选B考点：圆的切线方程5.已知直线l 与平面α相交但不垂直，m 为空间内一条直线，则下列结论可能成立的是（ ） A ．//,m l m α⊥ B ．,m l m α⊥⊥ C ．,//m l m α⊥ D ．//,//m l m α 【答案】C 【解析】试题分析：对于A ．//,m l m m l α⊥⇒⊥，与题意不符；B ．,m l m α⊥⊥可知//l α或l α⊆，不合题意；D ．//,//m l m α可知可知//l α或l α⊆，不合题意；故只有C 正确 考点：直线与平面的位置关系6.已知*1log (2)()n n a n n N +=+∈，观察下列算式：1223lg3lg 4log 3log 42lg 2lg3a a ∙=∙=∙=；123456237lg3lg 4lg8log 3log 4log 83lg 2lg3lg 7a a a a a a ∙∙∙∙∙=∙=∙=，…；若*1232016()m a a a a m N ∙∙∙∙=∈，则m 的值为（ ）A ．201622+ B ．20162 C ．201622- D ．201624-【答案】C考点：归纳推理7.已知函数2()cos(4)2cos (2)3f x x x π=-+，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递增区间为（ ） A ．[,]36ππ-B ．[,]44ππ-C ．2[,]63ππD ．3[,]44ππ【答案】B考点：函数cos()y A x ωϕ=+的图像和性质8.已知平面向量,,a b c 满足1a a a b b c ∙=∙=∙=，2a c ∙=，则a b c ++的取值范围为（ ）A ．[0,)+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．[4,)+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：如图，设由题意,,,OA a OB b OC c ===由1a a a b b c ⋅=⋅=⋅= ，可知()0b a c ⋅-=即()b a c ⊥-，即()OB OA OC ⊥-，即OB CA ⊥，设,AOB AOC θϕ∠=∠=，由2a c ⋅=可知cos 2c ϕ=即2OD =，由1a =知1OA =，则1AD =，在Rt OCD 和Rt ACD 中，可知考点：向量的应用9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．20π B ．19π C ．16π D ．12π【答案】C【解析】考点：三视图，几何体的表面积10.多次执行如图所示的程序框图，输出的mn的值会稳定在某个常数附近，则这个常数为（）A．13B．12C．23D．34【答案】A 【解析】试题分析：根据已知中的流程图我们可以得到：该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取[0]1，上的两个数a b ，，求222211442b a a a -+=-+＞（）的概率，由于，0101[][]a b ∈∈，，，，令22210]1[y x x x =-+∈，，对应的平面区域的面积为图形中阴影部分面积：232101221()(1)221110333x x dx x x x --+=--+=-=⎰故13p =，选A 考点：程序框图11.已知53878710(3)(1)(1)(1)x x a x a x a x a +=+++++++，则7531753a a a a +++=（ ）A ．-16B ．-8C ．8D ．16 【答案】B考点：二项式定理12.12,F F 分别为双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ∙=，若12PF F ∆为（ ）A 1 D 1 【答案】D考点：双曲线的简单性质【名师点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查三角形的外接圆的半径和内切圆半径的求法，考查运算能力，属于中档题．解题时注意运用向量垂直的条件和勾股定理，以及双曲线的定义，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.若复数4()1bib R i+∈+的实部与虚部互为相反数，则b =__________ 【答案】0b = 【解析】试题分析：()()()()()4144411122bi i b ibi b i i i +--++==+++-,由题意复数4()1bi b R i +∈+的实部与虚部互为相反数，即()44022b bb -+=-∴= 考点：复数的运算14.若不等式()0()f x x R ≤∈的解集为[]1,2-，则不等式(lg )0f x >的解集为__________. 【答案】110x x x ⎧⎫<<>⎨⎬⎩⎭|0或100考点：不等式的解法15.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD .为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得015DAC ∠=，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得045DBC ∠=.根据以上数据计算可得cos θ=__________.1． 【解析】试题分析：在ABD ，中，5015451530AB m DAB ADB =∠=︒∠=︒-︒=︒，， ，由正弦定理：301550B sin Dsin =︒︒，可得10015BD sin =︒，在DBC 中254590CD m CBD CDB θ=∠=︒∠=︒+，，，由正弦定理：()10015452590sin sin sin θ=︒︒︒+15cos θ∴=︒= 考点：解三角形16..已知曲线x a y e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为________【答案】223ln -∞-（，）．考点：导数的应用三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.数列{}n a 满足*196(,2)n n a n N n a -=-∈≥. （1）求证：数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列； （2）若16a =，求数列{}lg n a 的前999项的和. 【答案】（1）见解析；（2） 3999 3.S lg =+ 【解析】考点：等差数列的通项和性质18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且060,DAB PA PD ∠==，M 为CD 的中点，BD PM ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若060PAD ∠=，求直线AB 与平面PBM 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）AB 与平面PBM所成角的正弦值为7．（Ⅱ）解：设2PA PD a ==，由60APD ∠=︒可得2AD a =，PE . 可建立如图空间直角坐标系xyz E -，则3(,0,0),(0,),,0,,0)22A a P M a B -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．(,0)AB a ∴=-，3,2PM a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,)PB =.设(,,)x y z =n 为平面PBM 的法向量，则00,,PB PM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即30,220,ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩,,x y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩取z =(1=-n 为平面PBM 的一个法向量．又cos ,AB n==则AB 与平面PBM 所成角的正弦值为7． 考点：平面与平面垂直的判定定理，利用空间向量求直线AB 与平面PBM 所成角的正弦值 19.某人经营一个抽奖游戏，顾客花费2元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从装有1个黑球，3个红球，6个白球的不透明袋子中依次不放回地摸出3个球（除颜色外其他都相同）,根据摸出的球的颜色情况进行兑奖，顾客获得一等奖、二等奖、三等奖、四等奖时分别可领取奖金a 元、10元、5元、1元，若经营者将顾客摸出的3个球的颜色情况分成以下类别：:A 1个黑球2个红球；:B 3个红球；:C 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；:E 3个白球.且经营者计划将五种类别按照发生机会从小到大的顺序分别对应中一等奖、中二等奖、中三等奖、中四等奖、不中奖五个层次.（1）请写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可）； （2）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求a 的最大值；（3）若50a =，当顾客摸出的第一个球是红球时，求他领取的奖金的平均值.【答案】（1）中一至四等奖分别对应的类别是B ，A ，E ，C ；（2）a 的最大值为74元；(3) 顾客领取的奖金的平均值为229元考点：古典概型，离散型随机变量的分布列及其期望，条件概率20.已知椭圆22:12x E y +=的右焦点为F ，过F 作互相垂直的两条直线分别与E 相交于,A C 和,B D 四点.（1）四边形ABCD 能否成为平行四边形，请说明理由； （2）求AC BD +的最小值.【答案】（1）ABCD 不是平行四边形，理由见解析；（2）AC BD +的最小值为3【解析】试题分析：（1）若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形ABCD 为菱形, ∴AC 与BD 在点F 处互相平分，又F 的坐标为121,0,0,y y +=（） 显然这时ABCD 不是平行四边形．（2）直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的方程为()()y k x k =-≠1，0,与椭圆方程联立，消去y ，利用韦达定理及弦长公式()()()k AC BD k k ++=++22221212，令kty +=21,则S =≥考虑当直线AC 的斜率不存在时和直线AC的斜率为零时情况得到AC BD +的最小值考点：直线与椭圆的位置关系【名师点睛】本题考查椭圆的有关性质，考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想以及基本不等式的合理运用． 21.已知函数()ln(),f x x a x a R =+-∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若1x ≥时，不等式()212f x a ex +>成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(),12；单调递减区间为(),+∞2.（2）2(e 1)e 2a ->+(2) 由题意得，1x ≥时，>0x a +恒成立，可得1a >-.……① 由题意得，不等式2102ex a x ax ++->对于任意的1x ≥恒成立. 设2()12e x a x a g x x +=+-，1x ≥.e 1'()ex xa x x ag x -+-=. 当0a ≤时，222212(2)21(2)10e e e a g a a +=+-=+-+<，不满足题意； 当0a >时，要使1x ≥时，不等式()2e 12f x a x +>成立，须1111(1)1()102e 2e e a a g a +=+-=+-+>，即2(e 1)e 2a ->+；考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查了函数的单调性、恒成立问题，考查导数的应用，属中档题．解题时一是要注意分类讨论思想的应用；另一方面两次构造新函数一达到解题的目的，思维难度较大请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-1：几何证明选讲已知，ABC ∆内接于圆，延长AB 到D 点，使得2,DC DB DC =交圆于E 点. （1）求证：2AD DE =；（2）若AC DC =，求证：DB BE =. 【答案】（1）（2）见解析 【解析】试题分析：（1）利用切割线定理即已知2,DC DB =可证2AD DE =； （2）由已知AC DC =及弦切角定理证明BED D ∠=∠．即可考点：切割线定理弦，弦切角定理 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知曲线:cos()14C πρθ+=，过极点O 作射线与曲线C 交于点Q ，在射线OQ 上取一点P ，使OP OQ ∙=.（1）求点P 的轨迹1C 的极坐标方程；（2）以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，若直线:l y =与（1）中的曲线1C 相交于点E （异于点O），与曲线2122:2x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）相交于点F ，求EF 的值.【答案】（1）cos sin ρθθ-＝（2）1EF 【解析】 试题分析：试题解析：(Ⅰ)设((),,)P Q ρθρθ'，，，则ρρ'又1144cos ,cos ππρθρθρρ⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++∴+4cos sin ρθθθπ⎛⎫=⎪-=⎝⎭为所求C 1的极坐标方程．(Ⅱ)C 2的极坐标方程为1()2cos sin ρθθ=＋, 把23πθ=代入C 2得112ρ=+， 把3πθ=-代入C 1得212ρ=+121EF ρρ∴+=＝考点：参数方程，极坐标22.设()11f x x x =-++，（x R ∈） （1）求证：()2f x ≥；（2）若不等式211()b bf x b+--≥对任意非零实数b 恒成立，求x 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）3322x x ≤≥－或解得3322x x≤≥－或，即为所求考点：绝对值不等式。

2016——2017学年普通高中高三教学质量监测文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2|2730,|lg 1A x x x B x Z x =-+<=∈<，则阴影部分所表示的集合的元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 42.已知复数z 的共轭复数为z ，若()31522zz ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 3.已知命题()2:1,,168p x x x ∀∈+∞+>，则命题p 的否定为A. ()2:1,,168p x x x ⌝∀∈+∞+≤ B. ()2:1,,168p x x x ⌝∀∈+∞+<C. ()2000:1,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤ D.()2000:1,,168p x x x ⌝∃∈+∞+<4.已知等比数列{}n a 满足23210log log 1a a +=，且568916a a a a =，则数列{}n a 的公比为 A. 2 B. 4 C. 2± D.4±5.已知向量()()1,2,1,m n λ=-=，若m n ⊥，则2m n +与m 的夹角为 A.23π B. 34π C. 3π D.4π 6. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F,第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的渐近线方程为 A. y x =± B. 2y x =± C.3y x =± D.4y x =±7. 已知23cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos 263ππαα⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A.332 B. 332- C. 316 D.316- 8. 如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 328π+ B. 8323π+C.8163π+ D.168π+ 9. 《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，谋教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为 A. 4 B. 5 C. 7 D. 1110. 某颜料公司生产A,B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为 A. 14000元 B. 16000元 C. 16000元 D. 20000元11.已知函数()2x x e af x e=-，若对任意的[]12,1,2x x ∈，且12x x ≠时，()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦则实数a 的取值范围是A.22,44e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 22,33e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.22,e e ⎡⎤-⎣⎦12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,61n n n n a S n a m S S +++==-+，现有下列说法： ①25a =；②当n 为奇数时，33n a n m =+-；③224232n a a a n n +++=+.则上述说法正确的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中()2,3A （点A 为图象的一个最高点）5,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()f x = . 14.折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也是正方形，连接EB,CI,则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 .15.若圆C 过点()()0,1,0,5-，且圆心到直线20x y --=的距离为C 的标准方程为 .16.已知关于x 的方程()221ln 2x x x k k +=++在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，()01,3,.3BD mBC m AC AD C π=<<===（1）求ABC ∆的面积；（2）若cos B =，求AB 的长度以及BAC ∠的正弦值.18.（本题满分12分）如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由直角SAB ∆和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=,且点A 为线段SD 的中点，21,AD DC AB SD ===现将SAB ∆沿AB 进行翻折，使得二面角S AB C --的大小为90，得到的图形如图（2）所示，连接SC,点E,F 分别在线段SB,SC 上.（1）证明：BD AF ⊥；（2）若三棱锥B-AEC 的体积为四棱锥S-ABCD 体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离.19.（本题满分12分）国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示开业第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：经过进一步的统计分析，发现Y 与X 具有线性相关关系.（1）若从这7天中随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过10天的概率；（2）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计若该活动持续10天，共有多少名顾客参加抽奖.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F，点1,⎛ ⎝是椭圆C 上的点，离心率为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）点()()000,0A x y y ≠在椭圆上C 上，若点N 与点A 关于原点对称，连接2AF ,并延长与椭圆C 的另一个交点为M,连接MN,求AMN ∆面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()ln 1.xf x x x e =-+（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）证明：()sin f x x <在()0,+∞上恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

河南省百校联盟2016届高三第四次教学质量监测理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x ｜2x －5x ＋4＞0}，集合B ＝{x ｜y ＝lg （x －2）}，则（CR A ）∩B ＝ A ．（2，4] B ．[2，4] C ．[4，＋∞） D ．（2，＋∞）2．复数z ＝－1，z 为z 的共轭复数．则zz＝A ．1B ．－1iC ．12D ．－123．设命题p ：n ∃∈N ﹡，2n≤2n ＋1，则p ⌝是A ．n ∃∈N ﹡，2n ＞2n ＋1B ．n ∀∈N ﹡，2n＞2n ＋1 C ．n ∃∈N ﹡，2n＝2n ＋1 D ．n ∀∈N ﹡，2n≥2n ＋1 4．若角α的终边在直线y ＝－3x 上，则cos2α＝ A ．45 B ．－45 C ．45± D ．35± 5．若双曲线C ：22221y x a b－＝（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆22(2)x y ＋－＝1相切，则双曲线C 的离心率是A ．2BC D6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．24π＋B ．20π＋C ．24π＋D ．20π＋7．已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，点M 为AB 边上任意一点，则CM uuu r ·CA uu r ＋CM uuu r ·CB uu r的取值范围是A ．[0，100]B ．[36，64]C ．（36，100）D ．[6，10]8．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为 A ．－1008 B ．1008 C ．－2016 D ．20169．将函数f （x ＋cos2x 的图象向右平移m （m ＞0）个单位，所得的函数y ＝g （x ）的图象关于直线x ＝2π对称，当m 取最小值时，f （x ）－g （x ）的最大值是A ．2B ．C ．3D ．10．已知平面区域Ω＝{（x ，y ）｜0≤x ≤1，0≤y ≤12}，曲线C ：y ＝3132x x ＋＋，点A 为区域Ω内任意一点，则点A 落在曲线C 下方的概率是 A ．ln3－ln2 B ．2ln3－2ln2 C ．2ln2－ln3 D ．4ln2－2ln311．如图所示，点E ，F 分别为棱长为的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，C 1D 1的中点，点P 在EF 上，过点P 作直线l ，使得l ⊥EF ，且l ∥平面ACD 1，直线l 与正方体 的表面相交于M ，N 两点，当点P 由点E 运动到点F 时， 记EP ＝x ，△EMN 的面积为f （x ），则y ＝f （x ）的图象是12．不等式2()aa b e－≥m －2(3)a b －＋对任意实数a ，b 恒成立，则实数m 的最大值是 A ．92BC ．2 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知z 是复数z 的共轭复数，且满足(1)(1)2z z i -+=，则z =（ ）A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -【答案】B考点：共轭复数2.函数()4x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C【解析】试题分析：x y e =与4y x =-在R 上都是增函数，∴函数()4x f x e x =+-在R 上都是增函数，又221430,2420f e e f e e =+-=-=+-=-（1）＜，（2）＞，∴函数()4x f x e x =+-在(1,2)上有零点，∴函数()4xf x e x =+-有且只有一个零点，在区间(1,2)上．考点：函数的零点3.过点(3,1)作圆222(1)x y r -+=的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ）A ．250x y +-=B ．270x y +-=C ．250x y --=D ．270x y --=【答案】B考点：圆的切线方程4.5个数依次组成等比数列，且公比为-2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（ ）A ．2120-B ．-2C ．2110-D ．215- 【答案】C【解析】试题分析：由题意可设这5个数分别为24816a a a a a --，，，，， 故奇数项和与偶数项和的比值为416210281a a a a a =-++--.故选C 考点：等比数列的性质5.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到22⨯列联表，经计算得2 5.231K =，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下， 22( 3.841)0.05,(6.635)0.01P K P K ≥=≥=，则该研究所可以（ ）A ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C ．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D ．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”【答案】A【解析】试题分析：根据查对临界值表知22( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K ≥=≥=，故有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，即A 正确；考点：独立性检验6.已知直线l 与平面α相交但不垂直，m 为空间内一条直线，则下列结论可能成立的是（ ）A ．//,m l m α⊥B ．//,//m l m αC ．,m l m α⊥⊥D ．,//m l m α⊥【答案】C考点：直线与平面的位置关系7.某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是100分，在答题过程中，各小组每答对1题都可以使自己小队的积分增加5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是4道，7道，7道，2道，则四个小组积分的方差为（ ）A ．50B ．75.5C ．112.5D ．225【答案】C【解析】试题分析：四个小组积分分别为120,135,135,110，其均值为1201351351101254+++=。

2016年高三复习前期摸底考试理科数学参考答案及评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】集合{|12,}N x x x R =-<<∈，所以{0,1}M N ⋂=2．【答案】C 【解析】2sin 2415sin(636018075)sin 75+=⨯++=-=-3．【答案】D 【解析】01,012≠+=-a a 得1=a ，i i i ai i a -=++=++11120152015 4．【答案】 C【解析】p ⌝:2,1x x R x e ∀∈+<，故选C ．5．【答案】 B【解析】频率0.00025000.00035000.25=⨯+⨯=，所以人数为0.25100002500⨯=6．【答案】A【解析】0]cos )32[cos()sin()1)((320320=---=-=+⎰⎰ϕϕπϕππdx x dx x f 得3πϕ= ,()sin()13f x x π=--的零点56π 7．【答案】D 【解析】当111,11110=⨯==S i , 当221,22121=⨯==S i , 当242,33132=⨯==S i 8．【答案】B【解析】 2212()3333CM CB BM CB BA CB CA CB CB CA =+=+=+-=+． 212121()33333CM CB CB CA CB CB CA CB ∴=+=+= 9．【答案】A【解析】由三视图知道，这个四面体的两个面都是两直角边分别为公共斜边为2的直角三角形，所以外接球的一条直径是这条公共斜边，所以半径1R =，表面积4S π=．10．【答案】B【解析】直线l 为圆C 的切线，所以，因为||PC 的最小值是点C 到y 轴的距离为5，所以||PM 的最小值是3．11．【答案】B 【解析】55215135577576266C x C C x C C x x ---=-. 12．【答案】A【解析】记()()x x g x e f x e =⋅-，则'()()'()(()'()1)0x x x xg x e f x e f x e e f x f x =⋅+⋅-=+->，所以()g x 是R 上的增函数，不等式可以化为：()(0)g x g >，所以0x >．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．【答案】1【解析】函数()f x 为R 上奇函数、增函数，(1)()0f a f b -+=得(1)()()f a f b f b -=-=-， 1,1a b a b -=-+=.14．【答案】2241x y +=【解析】抛物线的准线方程是2x =-，那么椭圆的半焦距2c =，2a b =，结合222a b c =+，解得2211,4a b ==，所以方程是2241x y +=． 15．【答案】3 【解析】试题分析：如下图所示，不等式组1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩表示的区域为阴影部分：z ＝OM →·ON →,∴3z x y =-易知，当直线30x y z --=经过点(1,0)A 时，z 取得最大值，max 3z =，16．【答案】420【解析】由给出排列规律可知，第1列的每个数为该数所在行数的平方，第1行的每个数满足（列数-1）2+1，则上起第20行左起第21列的数为（21-1）2+1+（20-1）=420.三、解答题：满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）当1m n ==时，1122(111)1a a =+-⇒=，………………………1分 当1m =时，12(11)21n n a a n a n +=+-⇒=-，………………………………3分 ∴{}n a 是等差数列，其前n 项和21212n n S n n +-=⨯=；…………………………5分 （2）(21)2n n b n =-⋅，∴23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，…………………………………7分从而23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，两式相减得：2311122(222)(21)2226(21)2n n n n n T n n +++-=++++--⋅=⨯---⋅，∴1(23)26n n T n +=-⋅+．……………………………………………………………10分18．解：（1）依题意，得()f x 1cos 2sin 222x x -=+1sin(2)62x π=-+ …………2分 ∴()f x 的最小正周期为π， …………………………………………………3分 由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得：,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈即()f x 的递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈．……………………………6分 （2）由3(),2f A =得sin(2)16A π-=， 0A π<<， ∴262A ππ-=， ∴3A π=，……………………………………………………………………………8分根据余弦定理得，2222242cos ()393b c bc A b c bc b c bc bc =+-=+-=+-=-,∴53bc =， ……………………………………………………………………10分∴1155sin 322312ABC S bc A ∆==⨯⨯=1235.…………………………………12分 19．解：（1）由表格计算得： 6.5,80x y ==，所以804 6.5106a a =-⨯+⇒=，…2分 所以估计日销售利润2( 3.5)(4106)4120371z x x x x =--+=-+-， 当15x =元时，估计日销售利润最大，即定价15元；…………………………………6分（2）散点图中，有两个样本点在回归直线下方，所以X 可能取值有0,1,2，…………7分34361(0)5C P X C ===，2142363(1)5C C P X C ===，1242361(2)5C C P X C ===，……………10分 所以X 的分布列是：0121555EX =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………12分 20．解：（1）存在，且2BF =.…………………………………………………………1分 证明： O 是AB 的中点，AC BC =，∴CO AB ⊥，又平面ABDE ⊥平面ABC ，所以CO ⊥平面ABDE ，CO AF ∴⊥，…………3分 又tan 60AE EOA EOA AO∠==∠=︒，tan 30BF FAB FAB BA ∠==⇒∠=︒， 90EOA FAB AF EO ∴∠+∠=︒⇒⊥，AF ∴⊥平面EOC ；……………………………………………………………………6分(2)如图，分别以,OC OB ，过点O 且平行AE 的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．……………………………………………………………………………………7分则(0,A，B ，(3,0,0)C ，(0,E，F ，平面EOC的法向量AF =，………………………………………………9分 设平面EBC 的法向量(,,)n x y z =，由(,,)(0n CB x y z y ⊥⇒⋅-=⇒=，由(,,)(0,3)03n EB x y z z y ⊥⇒⋅-=⇒=， 令1x =，得(1,3,2)n =，……………………………………………………………11分cos ,8AF n <>==，∴所求二面角的余弦值是812分 21．解：（1）a =C过点，∴221313b +=，解得1b =， ∴椭圆C 的方程为：2213x y +=.…………………………………………………4分 （2）直线l 过点B 时，AB //QR ，直线l ⊥x 轴时，(1,(1,)33P Q -，13:1(2)12PB y x --=--，∴(3,23R -， A∴(1,1),(2,2)AB QR ==，//AB QR ，猜测，无论l 转动到何位置，都有//AB QR .…………………………………………6分 证明：直线l ⊥x 轴时，由上述知道//AB QR ，直线l 不垂直x 轴时，设l 的方程为：(1)y k x =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 将l 的方程代入椭圆方程得：2222(13)6330k x k x k +-+-=， 得：22121222633,1313k k x x x x k k-+==++.………………………………………………8分 又PB 的方程为：1111(2)2y y x x --=--，令3x =得：11112R y y x -=+-， ∴12211(3,1)2y QR x y x -=-+--. ∴11222211111(1)(3)1222y y y x x y x x --⨯+---⨯=+---- 11212211(1)12()4(1)(2)2k x x x x x k x x x --+-++---=- 22221212111233(1)[3](1)[2()3]1313022k k k k x x x x k k x x -----+--++===-- ∴//AB QR .……………………………………………………………………12分22．解：（1） 2()ln 32()f x a x x x a R =+-+∈,∴)(x f 的定义域为),0(+∞, ∴223'()23a x x a f x x x x-+=+-=. 由20'()0230x f x x x a >⎧≥⇔⎨-+≥⎩，判别式. （一）980a -≤即98a ≥时，'()00f x x ≥⇔>，∴递增区间是(0,)+∞；………2分（二）980a ->即98a <时，1x =2x =①0a ≤时，10x <，2'()0f x x x ≥⇔≥，递增区间是)+∞； ②908a <<时，120x x <<，12'()00f x x x x x ≥⇔<≤≥或.∴递增区间是0（，)+∞．…………………………………5分（2） (1)0f =，1314x =<，23114x a ==⇔=. （一）98a ≥时，()f x 是区间(0,)+∞的增函数，对任意的1x >，()(1)0f x f >=恒成立； ………………………………………………………………………………………………7分（二）891 a ≤时，21x ≤，()f x 是区间[1,)+∞上的增函数，对任意的1x >，()(1)0f x f >=恒成立；………………………………………………………………9分（三）1a <时，21x >，∴()f x 是区间2[1,)x 上的减函数，存在02(1,)x x ∈，使得0()(1)0f x f <=．综上：实数a 的取值范围是[1,)+∞．………………………………………………………12分。

2016年河南省百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x﹣x2＞0}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（0，1）2．若复数z的共轭复数为，且满足：=1﹣2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为（）A．1 B．3 C． D．43．下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（）A．f（x）=﹣xe|x| B．f（x）=x+sinxC．f（x）=D．f（x）=x2|x|4．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S3+S6=18，则S5=（）A．14 B．10 C．9 D．55．从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，则十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为（）A．B．C．D．6．已知O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，直线l：y=m（x﹣1）与抛物线交于A，B两点，点A 在第一象限，若|FA|=3|FB|．则m的值为（）A．3 B．C．D．7．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）A．2 B．C．﹣1 D．以上都不正确8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，若三棱锥E﹣ADD1的外接球的体积为36π，则正方体的棱长为（）A．2 B．2C．3D．49．已知f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，则下列结论错误的是（）A．f（x）在区间（0，）上单调递增B．f（x）的一个对称中心为（﹣，0）C．当x∈[0，]时，fx）的值域为[1，]D．先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位后得到函数y=2cos（4x+）的图象10．如图所示为某几何体的三视图，其体积为48π，则该几何体的表面积为（）A．24πB．36πC．60πD．78π11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，=，直线PF2交双曲线C于另一点N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知不等式ln（x+1）﹣（a+2）x≤b﹣2恒成立，则的最小值为（）A．﹣2 B．1﹣2e C．1﹣e D．2﹣二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．向量||=1，||=，（+）（2﹣）=﹣1，则向量与的夹角为______．14．已知（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为m，则（x m+）dx=______．15．若点Q（2a+b，a﹣2b）在不等式组表示的平面区域内，则z=a2+b2的最大值为______．16．已知△ABC中，AB+AC=6，BC=4，D为BC的中点，则当AD最小时，△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=，公比为q＞0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=，c n=b n（b n+1﹣b n+2），求数列{c n}的前n项和T n．18．随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，99%的把握认为4人中赞成“使用微信交流”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．19．如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O为AC与BD 的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆的右焦点F（c，0），椭圆的右顶点为A，上顶点为B，原点到直线AB的距离为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断在x轴上是否存在异于F的一点G，满足过点G且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，N、F、P三点共线，若存在，求出点G坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=blnx．（1）当b=1时，求G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间[，e]上的最值；（2）若存在一点x0∈[1，e]，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，等边三角形ABC内接于圆O，以B、C为切点的圆O的两条切线交于点D，AD交圆O于点E．（Ⅰ）证明：四边形ABDC为菱形；（Ⅱ）若DE=2，求等边三角形ABC的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（I）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，求a的取值范围．2016年河南省百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）答案与解析一、选择题1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x﹣x2＞0}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（0，1）解：由A中y=2x﹣1＞﹣1，得到A=（﹣1，+∞），由B中不等式变形得：x2﹣x＜0，即x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即B=（0，1），则A∩B=（0，1），选D2．若复数z的共轭复数为，且满足：=1﹣2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为（）A．1 B．3 C． D．4解：=1﹣2i，∴=（1+i）（1﹣2i）=3﹣i，∴z=3+i．则|z|==．选C3．下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（）A．f（x）=﹣xe|x|B．f（x）=x+sinxC．f（x）=D．f（x）=x2|x|解：满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数，A中函数f（x）=﹣xe|x|，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，且f′（x）=≤0恒成立，故在R上为减函数，B中函数f（x）=x+sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数，C中函数f（x）=，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；D中函数f（x）=x2|x|，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数，选A4．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S3+S6=18，则S5=（）A．14 B．10 C．9 D．5解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，∴S3+S6=3a1+d+6a1+ d=9a1+18d=9（a1+2d）=18，∴a3=a1+2d=2，∴S5=5a3=10，选B5．从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，则十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为（）A．B．C．D．解：从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，基本事件总数n==120，十位数字比个位数字和百位数字都大包含的基本事件个数m==40，∴十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为p==．选C6．已知O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，直线l：y=m（x﹣1）与抛物线交于A，B两点，点A 在第一象限，若|FA|=3|FB|．则m的值为（）A．3 B．C．D．解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=ky+1（k＞0），代入抛物线方程可得y2﹣4ky﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4k，y1y2=﹣4，由|AF|=3|BF|，可得y1=﹣3y2，由代入法，可得k2=，∴k=，∴m=．选B7．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）A．2 B．C．﹣1 D．以上都不正确解：模拟执行程序，可得a=2，n=1执行循环体，a=，n=3满足条件n≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5满足条件n≤2016，执行循环体，a=2，n=7满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=9…由于2015=3×671+2，可得：n=2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=2017不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为．选B8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，若三棱锥E﹣ADD1的外接球的体积为36π，则正方体的棱长为（）A．2 B．2C．3D．4解：如图所示，设三棱锥E﹣ADD1的外接球的半径为r，∵三棱锥E﹣ADD1的外接球的体积为36π，则=36π，解得r=3．取AD1的中点F，连接EF．则三棱锥E﹣ADD1的外接球的球心一定在EF上，设为点O．设正方体的棱长为x，在Rt△OFD1中，由勾股定理可得：+（x﹣3）2=32，x＞0．化为：x=4．∴正方体的棱长为4．选D9．已知f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，则下列结论错误的是（）A．f（x）在区间（0，）上单调递增B．f（x）的一个对称中心为（﹣，0）C．当x∈[0，]时，fx）的值域为[1，]D．先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位后得到函数y=2cos（4x+）的图象解：f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+===，当x∈（0，）时，∈（），则f（x）在区间（0，）上单调递增，A正确；∵f（）=，∴f（x）的一个对称中心为（﹣，0），B正确；当x∈[0，]时，∈[]，f（x）的值域为[1，2]，∴C错误；先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到y=2sin（4x+）的图象，再向左平移个单位后得到函数y=2sin[4（x+）+]=2sin（）=2cos（4x+）的图象，D正确．∴错误的命题是C．选C10．如图所示为某几何体的三视图，其体积为48π，则该几何体的表面积为（）A．24πB．36πC．60πD．78π解：根据三视图可知几何体是：一个圆柱挖掉两个顶点相同的圆锥所得的组合体，且底面分别是圆柱的上下底面所得的组合体，圆柱的高是8、圆锥的高是4，设圆柱、圆锥的底面半径是r，∵体积为48π，∴=48π，解得r=3，则圆锥的母线长是=5，∴该几何体的表面积S=2π×3×8+2×π×3×5=78π，选D11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，=，直线PF2交双曲线C于另一点N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意，|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，可得c=a，即e==．选B12．已知不等式ln（x+1）﹣（a+2）x≤b﹣2恒成立，则的最小值为（）A．﹣2 B．1﹣2e C．1﹣e D．2﹣解：令y=ln（x+1）﹣（a+2）x﹣b+2，则y′=﹣（a+2），a+2＜0，y′＞0，函数递增，无最值．当a+2＞0时，﹣1＜x＜时，y′＞0，函数递增；当x＞时，y′＜0，函数递减．则x=处取得极大值，也为最大值，且为﹣ln（a+2）+a﹣b+3，∴﹣ln（a+2）+a﹣b+3≤0，∴b﹣3≥﹣ln（a+2）+a，∴≥，令t=a+2（t＞0），则y=，∴y′=，∴（0，）上，y′＜0，（，+∞）上，y′＞0，∴t=，y min=1﹣e．∴的最小值为1﹣e．选C二、填空题13．向量||=1，||=，（+）（2﹣）=﹣1，则向量与的夹角为．解：因为||=1，||=，（+）（2﹣）=﹣1，所以，所以=﹣1，所以向量与的夹角的余弦值为=，所以向量与的夹角为135°14．已知（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为m，则（x m+）dx=．解：（x+y）5的通项公式：T r+1=，令5﹣r=1，r=4，解得r=4；令5﹣r=2，r=3，解得r=3．（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为m=×1﹣=﹣5，则（x m+）dx=dx==ln2+．15．若点Q（2a+b，a﹣2b）在不等式组表示的平面区域内，则z=a2+b2的最大值为．解：∵Q（2a+b，a﹣2b）在不等式组表示的平面区域内，∴，即，作出不等式组对应的平面区域如图：z=a2+b2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，由得，即A（，），则z的最大值为z=（）2+（）2=16．已知△ABC中，AB+AC=6，BC=4，D为BC的中点，则当AD最小时，△ABC的面积为．解：∵AB+AC=6，BC=4，D为BC的中点，根据余弦定理可得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，且AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB，即AC2=AD2+22﹣4AD•cos∠ADC，且，∵∠ADB=π﹣∠ADC，∴，∴，当AC=2时，AD取最小值，此时cos∠ACB==，∴sin∠ACB=，∴△ABC的面积S=AC•BC•sin∠ACB=，三、解答题17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=，公比为q＞0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=，c n=b n（b n+1﹣b n+2），求数列{c n}的前n项和T n．解：（I）∵S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，∴2（S3+a3）=S1+a1+S2+a2，∴=3a1+2a2，化为9a3=a1，∴q2=，q＞0，解得q=．∴a n=．（II）b n==，c n=b n（b n+1﹣b n+2）==﹣，∴数列{c n}的前n项和T n=﹣++…+=1﹣﹣=﹣．18．随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，50“”（为“”（Ⅱ4人中赞成“使用微信交流”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望参考数据如下：参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．K2=≈9.524＞6.635所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，ξ所以ξ的期望值是Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O为AC与BD 的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．证明：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∵O为AC与BD的交点，∴O为BD的中点，又△BDF为等边三角形，∴BD⊥OF，∵AC⊂平面ACEF，OF⊂平面ACEF，AC∩OF=O，∴BD⊥平面ACEF．（Ⅱ）∵AF=FC，O为AC中点，∴AC⊥OF，∵BD⊥OF，∴OF⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB=2，∵∠DAB=60°，∴B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），A（，0，0），F（0，0，），∵=，∴E（﹣2，0，），=（﹣，﹣1，0），=（﹣2，﹣1，），设=（x，y，z）为平面BEC的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣，1），则理求得平面ECD的法向量=（1，，1），设二面角B﹣EC﹣D的平面角为θ，则cosθ==，∴sinθ==，∴二面角B﹣EC﹣D的正弦值为．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆的右焦点F（c，0），椭圆的右顶点为A，上顶点为B，原点到直线AB的距离为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断在x轴上是否存在异于F的一点G，满足过点G且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，N、F、P三点共线，若存在，求出点G坐标；若不存在，说明理由．解：（I）由题意可得e==，直线AB的方程为bx+ay=ab，由题意可得=，又a2﹣b2=c2，解得a=，b=c=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）在x轴上假设存在异于F的一点G，设为（n，0），设直线l的方程为y=k（x﹣n），代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（1+2k2）x2﹣4nk2x+2k2n2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，由假设可得P（x1，﹣y1），F（1，0），N（x2，y2）三点共线，可得k PN=k NF，即=，由y1=k（x1﹣n），y2=k（x2﹣n），可得（x1+x2﹣2n）（x2﹣1）=（x2﹣x1）（x2﹣n），化简为（n+1）（x1+x2）﹣2x1x2﹣2n=0，即有（n+1）•﹣2•﹣2n=0，化简可得n=2，代入判别式可得2k2＜1，故存在异于F的一点G，且为（2，0），使N、F、P三点共线．21．已知函数f（x）=blnx．（1）当b=1时，求G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间[，e]上的最值；（2）若存在一点x0∈[1，e]，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求实数b的取值范围．解：（1）当b=1时，G（x）=x2﹣x﹣f（x）=x2﹣x﹣lnx（x＞0），，令G'（x）=0，得x=1，∵，∴G（x）在区间上；（2）若在[1，e]上存在一点x0，使得成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得成立，设，又，①当1+b≤0，即b≤﹣1时，在x∈（0，+∞）上h'（x）＞0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；②当b+1＞0，即b＞﹣1时，在x∈（0，1+b）上h'（x）＜0，在x∈（1+b，+∞）上，h'（x）＞0，∴h（x）在（0，1+b）上单调递减，在（1+b，+∞）上单调递增；综上所述：当b＞﹣1时，h（x）的递减区间为（0，1+b）；递增区间为（1+b，+∞）；当b≤﹣1时，h（x）只有递增区间为（0，+∞）．∴要使得在[1，e]上存在一点x0，使得成立，则只需要函数在[1，e]上的最小值小于零．①当1+b≥e，即b≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由，可得，∵，∴；②当1+b≤1，即b≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，故h（x）在[1，e]上最小值为h（1），由h（1）=1+1+b＜0，可得b＜﹣2（满足b≤0）；③当1＜1+b＜e，即0＜b＜e﹣1时，h（x）在[1，1+b]上单调递减，在（1+b，e]上单调递增，∴h（x）在[1，e]上最小值为h（1+b）=2+b﹣bln（1+b），∵0＜ln（1+b）＜1，∴0＜bln（1+b）＜b，∴2+b﹣bln（1+b）＞2，即h（1+b）＞2，不满足题意，舍去．综上b＜﹣2或b＞，∴实数b的取值范围为．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等边三角形ABC内接于圆O，以B、C为切点的圆O的两条切线交于点D，AD交圆O于点E．（Ⅰ）证明：四边形ABDC为菱形；（Ⅱ）若DE=2，求等边三角形ABC的面积．（Ⅰ）证明：由弦切角定理可得∠DBC=∠DCB=∠BAC=60°，∴△DBC是等边三角形∴四边形ABDC为菱形；（Ⅱ）解：设AB=2x，则AE=x，由切割线定理可得DB2=DE•DA，∴4x2=2（2+x），∴x=，∴AB=2，∴等边三角形ABC的面积S==3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（I）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求|AB|的值．解：（I）∵ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴﹣y=4，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=4．（II）将代入曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ得ρ=，∴A点的极坐标为（，）．将θ=代入直线l的极坐标方程得﹣ρ=4，解得ρ=4．∴B点的极坐标为（4，）．∴|AB|=4﹣=3．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，求a的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，而3和﹣3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，故不等式f（x）≤6的解集为{x|x≤﹣2，或x≥2}．（Ⅱ）∵f（x）=|x+2|+|x﹣2|=，∴f（x）≥4，若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y=a|x﹣1|（图中红色部分）有2个不同的交点，如图所示：由于A（﹣2，4）、B（2，4）、C（1，0），∴﹣2＜﹣a＜K CA，或a＞K CB，即﹣2＜﹣a＜﹣，或a＞4，求得＜a＜2，或a＞4．。

数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()11sin 2tan cos 2223f x x x π=+的最小正周期为（ ） A ．3πB ．πC ．2πD ．4π2．已知复数z 满足()2321234i z i i i +=+++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A ．6255i + B ．6255i -C ．6255i -+D ．6255i -- 3．“5C =”是“点()2,1到直线340x y C ++=的距离为3”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3737S S +=，则31119a a +=（ ） A ．47B ．73C ．37D ．745．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（ ） A ．870B ．30C ．6D ．36．我国数学史大有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ） A ．1998立方尺B ．2012立方尺C ．2112立方尺D ．2324立方尺7．如图所示，函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线231122y x x =-++上，则()f x =（ ） A ．()1sin 63f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()1sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 26f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭8．在ABC ∆中，1cos ,3sin 2sin 3A B C ==且ABC ∆的面积为，则边BC 长（ ）A ．B ．3C ．2D9．已知n S 和n T 分别为数列{}n a 与数列{}n b 前n 项和，且()45*11,,n b n n n a e S eS e a e n N +==-=∈，则当n T 取得最大值时，n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或610．已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=，若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎭D ．⎛ ⎝ 11．已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ） A ．7B ．523C ．553D ．1812．定义在R 上的函数()f x 对任意1x 、()212x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于()1,0成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数()()()919x kx f x k R =+⋅∈为偶函数，则实数k 的值为______．14．已知实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函数2z x ay =+仅在点()3,4取得最小值，则a 的取值范围是______． 15．在ABC ∆中，点D 满足23BD BC =，点E 是线段AD 上的一个动点（不含端点），若BE AB AC λμ=+ ，则1λμ+=______． 16．已知函数()cos 2sin f x x a x =+在区间()()*0,n n N π∈内恰有9个零点，则实数a 的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且满足cos cos 2A aC b c=-+． （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆的周长的取值范围．18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”． （1）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（2）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a b >的概率； （3）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值．（只需写出结论）（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中x为12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）19．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，O 是BC 的中点，,22AB AC AO OC ===，将BAO ∆沿AO 折起，使B 点到达图中B '点位置． （1）求证：AO ⊥平面B OC '；（2）当三棱锥B AOC '-的体积取最大时，求二面角A B C O '--的余弦值；（3）在（2）条件下，试问在线段B A '上是否存在一点P ，使CP 与平面B OA '所成角的正弦值为23？证明你的结论．20．设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上任一点，12,F F 为椭圆的焦点，12=4PF PF +，． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线():0l y kx m m =+≠与椭圆交于A 、B 两点，若线段AB 的中点C 在直线12y x =上，D 为坐标原点，求OAB ∆面积S 的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数()(),ln xf x eg x x m ==+．（1）当1m =-时，求函数()()()f x F x x g x x=+⋅在()0,+∞上的极值； （2）若2m =，求证：当()0,x ∈+∞时，()()110f xg x >+． （参考数据：ln 20.693,ln 3 1.099,ln 5 1.609,ln 7 1.946====）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为3与2，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），AD 是圆1O 的一条直径． （1）求ACAB的值； （2）若BC =，求2O 到弦AB的距离．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线2cos :sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B ． （1）若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标；（2）若2PA PB OP ⋅=，其中(P ，求直线l 的斜率． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()21,2,,f x x a g x x m a m R =--=-+∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为3-． （1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方，求实数a 的取值范围．河南省罗山县高级中学新老校区2016届高三4月毕业班联考数学（理）试题答案1-5 BCBDC 6-10 CCBCB 11-12 BD13．12-14．(),2-∞- 15．1216．1a =± 17．解：（1）由正弦定理，得cos sin cos 2sin sin A AC B C=-+， ∴2cos sin cos sin sin cos 0A B A C A C ++=，则()2cos sin sin 0A B A C ++=． ∵A B C π++=，∴()sin sin A C B +=，∴2cos sin sin 0A B B +=． ∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =-，∴120A =︒．………………………………………………………………5分)sin sin 60cos cos 60sin B B B =+︒-︒………………………………………………………………8分()1sin 602B B B ⎫=+=+︒⎪⎪⎭．………………………………………………………9分∵120A =︒，∴()0,60B ∈︒︒，∴()6060,120B +︒∈︒︒，∴()sin 60B ⎤+︒∈⎥⎦，∴b c ⎛+∈ ⎝，故ABC ∆的周长4,2a b c ⎛++∈ ⎝．………………………………………12分18．解：（1）根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5．……………………………………………………4分 （2）记事件A 为“a b >”，……………………………………………………………………………………5分 因为乙组数据的平均数为26.7，所以()()1018202223313230304326.710a b +++++++++++=，解得8a b +=，……………………………………………………………………………………………………7分所以a 和b 的取值情况共有9种情况，分别是：()()()()()()()()()0,8,1,7,2,6,3,5,4,4,5,3,6,2,7,1,8,0，………………………………………………8分其中a b >有4种情况，分别是：()()()()5,3,6,2,7,1,8,0，………………………………………………9分所以a b >的概率为()49P A =．………………………………………………………………………………10分 （3）当0b =，2a 达到最小值．19．解：（1）∵AB AC =，且O 是BC 的中点，∴AO BC ⊥，即,AO OB AO OC '⊥⊥ 又∵OB OC O '⋂=，∴AO ⊥平面B OC '则由（1）可知B D OA '⊥，又OC OA O ⋂=，∴B D '⊥平面OAC 即B D '是三棱锥B AOC '-的高，又B D B O ''≤， ∴当D 与O 重合时，三棱锥B AOC '-的体积最大 过O 点作OH B C '⊥于点H ，连接AH由（1）知，AO ⊥平面B OC '，∵B C '⊂平面B OC '，∴B C AO '⊥ ∵AO OH O ⋂=，∴B C '⊥平面AOH ，B C AH '⊥，所以AHO ∠即为二面角A B C O '--的平面角在Rt AOH ∆中，2,AO OH ==∴AH =，∴1cos 3OH AHO AH ∠== （3）存在，且为线段AB '的中点，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设()()2,0,,22,1,AP AB CP CA AP λλλλλ==-=+=--又平面B OA '的一个法向量为()0,1,0=m∴22220321133CP CP λλ⋅=⇒=⇒-+⋅m m 解得：12λ=（11110λ=>，舍去）20．解：（Ⅰ）24,2,a a c ae b =====所以椭圆方程：22142x y +=……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）设()()()1122,,,,,C C A x y B x y C x y ．y kx m =+代入方程22142x y +=，得()()222124240k x kmx m +++-=* 所以12222,21212C C Cx x km mx y kx m k k +-===+=++， 所以2212,112212m km k k k-=⋅=-++………………………………………………………………………………8分则()*变为2234240x mx m -+-=y x m =-+得()1212y y x x -=--OAB ∆底边AB 的高为h ，由AB 直线方程为0x y m +-=，及原点()0,0O，可得hS =因()()222226692m m m m ⎡⎤-+-≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以S ≤m =取等号），即S 的最大值为．………………………………………………12分21．解：（1）()()ln 1x e F x x x x =+-，∴()()21ln xe F x x x x'=-+∴()F x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以极小值为()11F e =-，无极大值；（2）构造函数()()()ln 2xh x f x g x e x =-=--∴()1x h x e x=-在区间()0,+∞上单调递增 ∵()120,ln 202h h ⎛⎫'=<>⎪⎝⎭，∴()h x '在区间()0,+∞上有唯一零点01,ln 22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴01x ex =，即00ln x x =-，由()h x 的单调性 有()()000001ln 22xh x h x e x x x ≥=--=+-构造函数()12t t t ϕ=+-在区间()0,ln 2上单调递减 ∵01,ln 22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴()011ln 22ln 210x ϕ>+->即()0110h x >， ∴()110h x >∴()()110f xg x >+． 22．解：（1）设AD 交圆2O 于点E ，连接,BD CE ，因为圆1O 与圆2O 内切于点A ，所以点2O 在AD 上，所以,AD AE 分别是圆1O 与圆2O 的直径所以2ABD ACE π∠=∠=，∴BD CE ，∴23AC AE AB AD == （2）若BC =，由（1）的结果可知，6AB AD ==∴在Rt ABD ∆中，30A ∠=︒，又由22AO =，得2O 到弦AB 的距离为1．23．解：（1）将曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，化为普通方程，得2214x y += 当3πα=，设点M 对应的参数为0t ，直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） 代入曲线C 的普通方程2214x y +=，即21356480t t ++= 设直线l 上的点,A B 对应的参数分别为12,t t 则12028213t t t +==-，所以点M的坐标为12,13⎛ ⎝． （2）将2cos :sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩代入曲线C 的普通方程2214x y += 得()()222cos 4sin 4cos 120t t αααα++++= 因为1222127cos 4sin PA PB t t αα⋅===+，得25tan 16α=由于()32cos cos 0ααα∆=->，故tan α=，所以直线l24．解：（1）由()1g x ≥，即21,21x m x m -+≥-+≤，所以1122m m x ---+≤≤．………………2分 ∵不等式的整数解为3-，则11322m m ---+≤-≤，解得57m ≤≤． 又不等式仅有一个整数解为3-，∴6m =．…………………………………………………………………4分（2）因为()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方，故()()102f xg x ->， 所以213a x x <-++对任意x R ∈恒成立．………………………………………………………………5分 设()213h x x x =-++，则()31,35,3131,1x x h x x x x x --≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪+>⎩……………………………………………………7分 作出()h x 图象得出当1x =时，()h x 取得最小值4，故4a <时，函数()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方， 即实数a 的取值范围是(),4-∞．……………………………………………………………………………10分。

2016年河南省洛阳市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（）A．（2，3）B．（2，3] C．（﹣3，﹣2）D．[﹣3，﹣2）2．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞03．复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．45．已知函数f（x）=sinx﹣cosx且f′（x）=2f（x），f′（x）是f（x）的导函数，则sin2x=（）A．B．﹣ C．D．﹣6．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=7．在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为（）A．75 B．100 C．120 D．1308．距某码头400公里的正东方向有一个台风中心，正以每小时20公里的速度向西北方向移动，据经验，台风中心距码头300公里时，将对码头产生影响，则这个台风对码头产生影响的时间为（）A．8小时B．9小时C．10小时D．12小时9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A． B．C．D．10．双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为（）A．B．C． D．11．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A．2386 B．2718 C．3413 D．477212．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，1] C．[1，2] D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a），则a= ．14．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= ．15．抛物线y=x2，若过点（0，m）且长度为2的弦恰有两条，则m的取值范围是．16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，b=c，△ABC面积的最大值是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性合计反感a=10 b=不反感c= d=8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是．（1）请将上面的2×2列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？（2）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据和公式：2×2列联表K2公式：K2=，K2的临界值表：P（K2≥k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.010.0050.001k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．分别过椭圆E： +=1（a＞b＞0）左右焦点F1，F2的动直线l1，l2交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）设点E1，E2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），证明|PE1|+|PE2|为定值．21．已知函数f（x）=﹣lnx+ax2+（1﹣a）x+2．（Ⅰ）当0＜x＜1时，试比较f（1+x）与f（1﹣x）的大小；（Ⅱ）若斜率为k的直线与y=f（x）的图象交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB 的中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＞k．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（Ⅰ）当∠PEC=60°时，求∠PDF的度数；（Ⅱ）求PE•PF的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．求实数a的取值范围．2016年河南省洛阳市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（）A．（2，3）B．（2，3] C．（﹣3，﹣2）D．[﹣3，﹣2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A，B中x的范围确定出A，B，再求出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A=[﹣1，3]，由log2（x2﹣x）＞1，得到x2﹣x﹣2＞0，即x＜﹣1或x＞2，∴B=（﹣∞，﹣1）∩（2，+∞），由B中则A∩B=（2，3]，故选：B．2．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．3．复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用除法的运算法则：复数=﹣a﹣3i，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得﹣a＜0，即可判断出．【解答】解：∵复数==﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．4．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划的应用；基本不等式．【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，∴4a+6b=12，即2a+3b=6，∴=（）×=（12+）≥4当且仅当时，的最小值为4故选D．5．已知函数f（x）=sinx﹣cosx且f′（x）=2f（x），f′（x）是f（x）的导函数，则sin2x=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】二倍角的正弦．【分析】利用函数f（x）=sinx﹣cosx且f′（x）=2f（x），可得cosx+sinx=2sinx﹣2cosx，从而可得tanx=3，再利用二倍角公式，弦化切，即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sinx﹣cosx且f′（x）=2f（x），∴cosx+sinx=2sinx﹣2cosx，∴sinx=3cosx，∴tanx=3，∴sin2x=2sinxcosx===．故选C．6．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【考点】程序框图．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．7．在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为（）A．75 B．100 C．120 D．130【考点】二项式系数的性质．【分析】求出（2+x）5的展开式中含有x3的项和含有x2的项，与第一个式子作积得答案．【解答】解：二项式（2+x）5的通项．其中含有x3的项为，含有x2的项为，∴在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为1×40+1×80=120．故选：C．8．距某码头400公里的正东方向有一个台风中心，正以每小时20公里的速度向西北方向移动，据经验，台风中心距码头300公里时，将对码头产生影响，则这个台风对码头产生影响的时间为（）A．8小时B．9小时C．10小时D．12小时【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得AO=OD=400，OA⊥OD，OB=OC=300，∠OAB=45°，由余弦定理求出AB=CD=200，由此能求出这个台风对码头产生影响的时间．【解答】解：如图，由已知得AO=OD=400，OA⊥OD，OB=OC=300，∠OAB=45°，设CD=AB=x，则90000=160000+x2﹣800x×，解得AB=CD=200，∴BC=﹣2=200，由题意当台风中心位于BC线段上时，将对码头O产生影响，∵台风中心正以每小时20公里的速度向西北方向移动，∴这个台风对码头产生影响的时间为：小时．故选：C．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A． B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图知最里面的面与底面垂直，高为2，结合直观图判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为2，如图：其中OA=OB=OC=2，SO⊥平面ABC，且SO=2，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，则=2﹣x⇒x=，∴外接球的半径R=，∴几何体的外接球的表面积S=4π×=π．故选：D．10．双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用条件可得A（）在双曲线上，=c，从而可得（c，2c）在双曲线上，代入化简，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，∴A（）在双曲线上， =c∴（c，2c）在双曲线上，∴∴c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴∵e＞1∴e=故选B．11．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，1] C．[1，2] D．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f （a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数t的取值范围．【解答】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故实数t的取值范围是[，2]，故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a），则a= ﹣1或．【考点】定积分．【分析】先求出f（x）在[﹣1，1]上的定积分，再建立等量关系，求出参数a即可．【解答】解：∫﹣11f（x）dx=∫﹣11（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|﹣11=4=2f（a），f（a）=3a2+2a+1=2，解得a=﹣1或．故答案为﹣1或14．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=10 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，利用坐标法，确定A，B，D，P的坐标，求出相应的距离，即可得到结论．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|=a，|CB|=b，则A（a，0），B（0，b）∵点D是斜边AB的中点，∴，∵点P为线段CD的中点，∴P∴===∴|PA|2+|PB|2==10（）=10|PC|2∴=10．故答案为：1015．抛物线y=x2，若过点（0，m）且长度为2的弦恰有两条，则m的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得弦所在直线的斜率存在，设为k，可得直线方程为y=kx+m，（k≠0），代入抛物线的方程，运用韦达定理和判别式大于0，弦长公式，运用换元法，以及函数的单调性和抛物线的对称性，即可得到所求范围．【解答】解：由题意可得弦所在直线的斜率存在，设为k，可得直线方程为y=kx+m，（k≠0），代入抛物线的方程，可得x2﹣kx﹣m=0，即有△=k2+4m＞0，设弦的端点的横坐标分别为x1，x2，可得x1+x2=k，x1x2=﹣m，即有弦长为|x1﹣x2|=•=2，化为4m=﹣k2，令t=1+k2（t＞1），即有f（t）=﹣t+1递减，则f（t）＜4，即有4m＜4，解得m＜1．检验由抛物线关于y轴对称，成立．故答案为：（﹣∞，1）．16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，b=c，△ABC面积的最大值是2．【考点】正弦定理．【分析】利用余弦定理计算cosA，得出sinA，代入面积公式得出S△ABC关于c的函数，利用基本不等式得出面积的最大值．【解答】解：由余弦定理得：cosA==，∴sinA==．∴S△ABC==．∵﹣c4+24c2﹣16=﹣（c2﹣12）2+128≤128，∴S△ABC≤=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I）由已知中（n∈N+），我们易变形得：，即，进而根据等差数列的定义，即可得到结论；（II）由（I）的结论，我们可以先求出数列的通项公式，进一步得到数列{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）由（II）中数列{a n}的通项公式，及b n=n（n+1）a n，我们易得到数列{b n}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知可得，即，即∴数列是公差为1的等差数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴（Ⅲ）由（Ⅱ）知b n=n•2nS n=1•2+2•22+3•23++n•2n2S n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1相减得： =2n+1﹣2﹣n•2n+1∴S n=（n﹣1）•2n+1+218．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性合计反感a=10 b=不反感c= d=8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是．（1）请将上面的2×2列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？（2）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据和公式：2×2列联表K2公式：K2=，K2的临界值表：P（K2≥k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.010.0050.001k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据在全部30人中随机抽取1人抽到中国式过马路的概率，做出中国式过马路的人数，进而做出男生的人数，填好表格．再根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明反感“中国式过马路”与性别是否有关．（2）反感“中国式过马路”的人数为X的可能取值为0，1，2，通过列举得到事件数，分别计算出它们的概率，最后利用列出分布列，求出期望即可．【解答】解：（1）男性女性合计反感10 6 16不反感 6 8 14合计16 14 30…设H0：反感“中国式过马路”与性别与否无关由已知数据得：K2=≈1.158＜3.841，所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．…（2）X的可能取值为0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==…所以X的分布列为：X 0 1 2PX的数学期望为：EX=0×+1×+2×=．…19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．证明AD⊥平面PBE，然后证明PB⊥AD；（Ⅱ）以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面APD的一个法向量为=（0，1，0），平面PDC的一个法向量为，利用向量的数量积求解二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．∵PA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…又PB⊂平面PBE，∴PB⊥AD；…（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2，∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0，0，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），则=（1，0，），=（﹣1，，0），由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；…设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），由得：，令y=1，则x=，z=﹣1，∴=（，1，﹣1）；则•=1，∴cos＜＞===，…由题意知二面角A﹣PD﹣C的平面角为钝角，所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣…20．分别过椭圆E： +=1（a＞b＞0）左右焦点F1，F2的动直线l1，l2交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）设点E1，E2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），证明|PE1|+|PE2|为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）当l1与x轴重合时，可得k1+k2=k3+k4=0，可得l2垂直于x轴，可得|AB|，|CD|的长，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）．当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2．可得l1的方程为y=m1（x+1），l2的方程为y=m2（x﹣1）．设A （x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系，再利用斜率计算公式和已知即可得出m1与m2的关系，进而得出答案．【解答】解：（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，即有l2垂直于x轴，可得|AB|=2a=2，|CD|==，解得a=，b=，可得椭圆的方程为+=1；（2）证明：当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）．当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2．∴l1的方程为y=m1（x+1），l2的方程为y=m2（x﹣1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立，得到（2+3m12）x2+6 m12x+3m12﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．同理x3+x4=，x3x4=．（*）∵k1===m1+，k2=m1+，k3=m2﹣，k4=m2﹣．又满足k1+k2=k3+k4．∴2m1+m1•=2m2﹣m2•，把（*）代入上式化为：2m1+m1•=2m2﹣m2•．（m1≠m2）．化为m1m2=﹣2．设点P（x，y），则•=﹣2，（x≠±1）化为+x2=1．由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P在椭圆上，则存在点E1，E2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），|PE1|+|PE2|=2为定值．21．已知函数f（x）=﹣lnx+ax2+（1﹣a）x+2．（Ⅰ）当0＜x＜1时，试比较f（1+x）与f（1﹣x）的大小；（Ⅱ）若斜率为k的直线与y=f（x）的图象交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB 的中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＞k．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用作差法得出f（1+x）﹣f（1﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，构造函数令g（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，通过求导，判断函数单调性，得出结论．（2）求出k和f'（x0），利用分析法得出只需证＜ln，构造函数h（t）=+lnt，利用导数判断单调性证得2＜+lnt．【解答】解：（1）f（1+x）﹣f（1﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x令g（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，∴g′（x）=∵0＜x＜1，g′（x）＜0，g（x）单调递减∴g（x）＜g（0）=0．∴f（1+x）＜f（1﹣x）；（2）不妨设x2＞x1k==﹣+a（x2+x1）+1﹣af'（x0）=﹣+ax0+1﹣a=﹣+a（x1+x2）+1﹣a要证f′（x0）＞k只需证＜即证＜ln令t= t＞1∴＜lnt即2＜+lnt令h（t）=+lnt∴h'（t）=＞0，h（t）递增∴h（t）＞h（1）=2∴2＜+lnt成立故f′（x0）＞k．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（Ⅰ）当∠PEC=60°时，求∠PDF的度数；（Ⅱ）求PE•PF的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连结BC，依题意知，∠CAB+∠CBA=∠EAP+∠PEC，继而可得∠CBA=∠PEC，又∠PEC=60°，于是可得∠PDF=∠CBA=∠PEC=60°；（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知∠PDF=∠PEC，利用D、C、E、F四点共圆PE•PF=PC•PD，及割线定理可得PC•PD=PB•PA=24，于是可得答案；解法2：由∠PEC=∠PDF，∠EPC=∠DPF可得△PEC～△PDF，从而可得PE•PF=PC•PD，再结合PC、PA都是圆O的割线，得到PC•PD=PB•PA=24，从而可求得PE•PF的值．【解答】解：（Ⅰ）连结BC，∵AB是圆O的直径，∴则∠ACB=90°，﹣﹣﹣﹣﹣又∠APF=90°，∠CAB+∠CBA=∠EAP+∠PEC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴∠CBA=∠PEC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵∠PEC=60°∴∠PDF=∠CBA=∠PEC=60°；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知∠PDF=∠PEC，∴D、C、E、F四点共圆，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴PE•PF=PC•PD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵PC、PA都是圆O的割线，∴PC•PD=PB•PA=24，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴PE•PF=24．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法2：∵∠PEC=∠PDF，∠EPC=∠DPF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴△PEC～△PDF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴即PE•PF=PC•PD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵PC、PA都是圆O的割线，∴PC•PD=PB•PA=24﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴PE•PF=24．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t即可得到直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线L的参数方程，代入曲线C的方程，利用参数的几何意义即可得出|PA|•|PB|，从而建立关于a的方程，求解即可．【解答】解：（I）由ρsin2θ=2acosθ（a＞0）得ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0）∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）…直线l的普通方程为y=x﹣2…（II）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax中，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0设A、B两点对应的参数分别为t1、t2则有t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）…∵|PA|⋅|PB|=|AB|2∴|t1t2|=（t1﹣t2）2，即（t1+t2）2=5t1t2…∴[2（4+a）]2=40（4+a）化简得，a2+3a﹣4=0解之得：a=1或a=﹣4（舍去）∴a的值为1…[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的范围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．。

2015-2016学年河南省百校联盟高三（上）质检数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．2．已知集合A={y|y=log2x，0＜x＜1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，）B．（0，1）C．（，1）D．∅3．（1+tan12°）（1﹣tan147°）=（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD=60°，∠BAD=90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为（）A．B． C． D．5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=﹣20，则﹣6a4+3a5=（）A．﹣20 B．4 C．12 D．206．在四边形ABCD中，M为BD上靠近D的三等分点，且满足=x+y，则实数x，y的值分别为（）A．，B．，C．，D．，7．设S n为等比数列{a n}的前n项和，记命题甲：4a2﹣a4=0，命题乙：S4=5S2，则命题甲成立是命题乙成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000π B．200π C．πD．π9．在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则•=（）A．B．﹣C．D．﹣10．已知实数x，y满足，的最大值为6，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图所示：一张正方形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b（2≤a≤10），剪去部分的面积为8，则+的最大值为（）A．1 B．C．D．212．已知定义域为R的函数g（x），当x∈（﹣1，1]时，g（x）=，且g（x+2）=g（x）对∀x∈R恒成立，若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（，） B．（﹣∞，]∪（，+∞）C．[，）D．[，]二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为．14．已知点（sin，a n+）在直线l：y=﹣x++2上，则数列{a n}的前30项的和为．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．16．定义函数：G（x）=，下列结论正确的①G（a）G（b）=G（a+b）；②G（a）+G（b）≥2G（）；③G（a+b）≥1+a+b；④G（ab）=G（a）G（b）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2015秋•河南月考）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）求sinAcosC的取值范围．18．（12分）（2015秋•河南校级月考）已知S n是数列{a n}的前n项和，S2=2，且2S n+nS1=na n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+﹣2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2015秋•沧州月考）设函数h（x）=x2﹣mx，g（x）=lnx．（Ⅰ）设f（t）=m（sinx+cosx）dx且f（2016π）=2，若函数h（x）与g（x）在x=x0处的切线平行，求这两切线间的距离；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）（2015秋•沧州月考）如图，在△ABC中，AO⊥BC于O，OB=2OA=2OC=4，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将△ABO 沿OA折起，使二面角B﹣OA﹣C为直二面角．（Ⅰ）在底面△BOC的边BC上是否存在一点P，使得OP⊥GH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣D的余弦值．21．（12分）（2015秋•河南月考）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（3）=1．（Ⅰ）集合A={x|f（x）＞f（x﹣1）+2}，B={x|f（）＞0}，且满足A∩B=∅，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）设a＜b，比较f（）与f（）的大小，并说明理由．22．（12分）（2015秋•河南校级月考）设函数f（x）=﹣ax．（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；（2）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．（其中e为自然对数的底数）2015-2016学年河南省百校联盟高三（上）质检数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】先对复数进行化简运算，由共轭复数的定义可得答案．【解答】解：==，∴复数（i为虚数单位）的共轭复数为，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算及复数的基本概念，属基础题．2．已知集合A={y|y=log2x，0＜x＜1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，）B．（0，1）C．（，1）D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中y=log2x，0＜x＜1，得到y＜0，即A=（﹣∞，0），∴∁R A=[0，+∞），由B中y=（）x，x＞1，得到0＜y＜，即B=（0，），则（∁R A）∩B=（0，），故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（1+tan12°）（1﹣tan147°）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；函数思想；转化思想；三角函数的求值．【分析】化简表达式，利用两角和的正切函数求解即可．【解答】解：（1+tan12°）（1﹣tan147°）=（1+tan12°）（1+tan33°）=1+tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1+tan45°（1﹣tan12°tan33°）+tan12°tan33°=2．故选：B．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，考查计算能力．4．已知斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD=60°，∠BAD=90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为（）A．B． C． D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间角．【分析】延长AD，过D1作D1E⊥AD于E，连结BE，说明∠D1BE为直线BD1与平面ABCD 所成的角，然后求解即可．【解答】解：延长AD，过D1作D1E⊥AD于E，连结BE，因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，所以D1E⊥平面ABCD，即BE为BE在平面ABCD内的射影，所以∠D1BE为直线BD1与平面ABCD所成的角，因为D1E=2sin60°=，BE==，所以，tan∠D1BE==．故选：C．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查计算能力，空间想象能力．5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=﹣20，则﹣6a4+3a5=（）A．﹣20 B．4 C．12 D．20【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】求出数列的第三项，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，S5=﹣20，可得a3=﹣4，﹣6a4+3a5=﹣6（a3+d）+3（a3+2d）=﹣3a3=12．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和的应用，考查计算能力．6．在四边形ABCD中，M为BD上靠近D的三等分点，且满足=x+y，则实数x，y的值分别为（）A．，B．，C．，D．，【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】可画出图形，根据向量加法、减法，及数乘的几何意义便有，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y的值，从而找出正确选项．【解答】解：如图，=；又；∴．故选：A．【点评】考查向量加法、减法，以及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．7．设S n为等比数列{a n}的前n项和，记命题甲：4a2﹣a4=0，命题乙：S4=5S2，则命题甲成立是命题乙成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；等差数列与等比数列；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质和通项公式的计算进行判断即可．【解答】解：若4a2﹣a4=0，则4a2=a4，即，解得q=±2，当q=1时，S4=5S2，不成立，即q≠1，则由S4=5S2，得=5×，即1﹣q4=5（1﹣q2），即（1﹣q2）（1+q2）=5（1﹣q2），则（1﹣q2）（q2﹣4）═0，即q2=1或q2=4，即q=±2或q=1（舍）或q=﹣1，则命题甲成立是命题乙成立的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式以及前n项和公式是解决本题的关键．8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000π B．200π C．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为A1B的中点，因为A1B=10，所以外接球的半径为5，体积为π•=π．故选：D．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．9．在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则•=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量加法、减法的三角形法则把用向量表示，平方后作差得答案．【解答】解：∵，=．∴，则•=．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，训练了向量加法、减法的三角形法则，是中档题．10．已知实数x，y满足，的最大值为6，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；换元法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质将条件进行化简，结合一元二次函数的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：=（）2﹣2•（）+3=（﹣1）2+2，设k=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即A（1，1），则点A（1，1）在直线x+y＜a内，即a＞1+1=2，由得．即B（1，a﹣1），AC对应直线为y=x，斜率k=1，则k=的最大值为k=a﹣1，则1≤k≤a﹣1，（a≥2），则当=a﹣1时，取得最大值为6，即（a﹣1﹣1）2+2=6，即（a﹣2）2=4，解得a﹣2=2或a﹣2=﹣2，即a=4或a=0（舍），故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式函数的性质结合一元二次函数的单调性和最值的关系是解决本题的关键．综合性较强．11．如图所示：一张正方形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b（2≤a≤10），剪去部分的面积为8，则+的最大值为（）A．1 B．C．D．2【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意，2ab=8，b=，从而将问题转化为关于a的函数，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：由题意，2ab=8，∴b=，∵2≤a≤10，∴+=+=1+=，当且仅当a=，即a=6时，+的最大值为，故选：C．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，正确转化是关键．12．已知定义域为R的函数g（x），当x∈（﹣1，1]时，g（x）=，且g（x+2）=g（x）对∀x∈R恒成立，若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（，） B．（﹣∞，]∪（，+∞）C．[，）D．[，]【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间[﹣1，5]内有6个交点．画出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：∵g（x+2）=g（x）对∀x∈R恒成立，∴函数g（x）的周期为2．又∵当x∈（﹣1，1]时，g（x）=，∴函数g（x）的图象如下图所示：令函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）=0，则g（x）=m（x+1），若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间[﹣1，5]内有6个交点．∵y=m（x+1）恒过点（﹣1，0），过（﹣1，0），（4，2）点的直线斜率为，过（﹣1，0），（2，2）点的直线斜率为，根据图象可得：x∈（，），故选：A【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，难度中档．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为2x﹣y﹣e=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=e时的导数值，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，则f′（e）=lne+1=2，又f（e）=e，∴函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e），即2x﹣y﹣e=0．故答案为：2x﹣y﹣e=0．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14．已知点（sin，a n+）在直线l：y=﹣x++2上，则数列{a n}的前30项的和为59．【考点】数列与解析几何的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；三角函数的求值．【分析】把点（sin，a n+）代入直线l，得a n=2﹣sin，由sin的取值是1，0，﹣1，0的循环，能求出数列{a n}的前30项和．【解答】解：点（sin，a n+）在直线l：y=﹣x++2上，∴a n=2﹣sin，sin的最小正周期为4，取值是1，0，﹣1，0的循环，∴数列{a n}的前30项和：S30=30×2﹣[7（1+0﹣1+0）+1+0]=59．故答案为：59．【点评】本题考查数列的前30项和的求法，是中档题，解题时要注意三角函数的周期性的合理运用．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；解三角形．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=3ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题．16．定义函数：G（x）=，下列结论正确的②③①G（a）G（b）=G（a+b）；②G（a）+G（b）≥2G（）；③G（a+b）≥1+a+b；④G（ab）=G（a）G（b）【考点】分段函数的应用．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】画出函数G（x）=的图象，数形结合逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：G（x）=的图象如下图所示：当a＜0，b＞0时，G（a）G（b）=G（a+b）不成立，故①错误；函数在y轴左侧的图象平等于x轴不具有凸凹性，函数在y轴右侧为凹函数，故G（a）+G（b）≥2G（）恒成立，故②正确；由图可得：G（x）≥1+x恒成立，故G（a+b）≥1+a+b恒成立，故③正确；当a，b＞2时，G（ab）=G（a）G（b）不成立，故④错误；故正确的结论是：②③，故答案为：②③【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，难度中档．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2015秋•河南月考）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）求sinAcosC的取值范围．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可解得tanB=，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）利用三角形内角和定理及两角和的余弦函数公式化简可得sinAcosC=﹣sin（2A+）+，结合范围0，利用正弦函数的图象和性质即可得解取值范围．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）∵由正弦定理可得，=．∴sinB=cosB，可得tanB=，∵B∈（0，π），∴B=…4分（Ⅱ）∵sinAcosC=﹣sinAcos（A+B）=﹣sinAcos（A+），∴﹣sinAcos（A+）=﹣sinA（cosA﹣sinA）=﹣sin（2A+）+，∵0，∴＜2A+＜，∴sinAcosC∈[，]…10分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，正弦函数的图象和性质及两角和的余弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2015秋•河南校级月考）已知S n是数列{a n}的前n项和，S2=2，且2S n+nS1=na n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+﹣2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由S2=2，且2S n+nS1=na n，得a1=0，a2=2，=，n＞2，由此利用累乘法能求出a n=2n﹣2．（Ⅱ）由a n=2n﹣2，得S n=n2﹣n，从而得到b n=+﹣2=2（），由此利用裂项法能求出数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S n是数列{a n}的前n项和，S2=2，且2S n+nS1=na n，①∴2a1+a1=a1，解得a1=0，∴a2=2，2S n﹣1+（n﹣1）S1=（n﹣1）a n﹣1，n≥2，②①﹣②，得：2a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1，n≥2，∴=，n＞2，∴a n===2n﹣2，当n=1时，上式成立，∴a n=2n﹣2．（Ⅱ）∵a n=2n﹣2，∴S n=2（1+2+3+…+n）﹣2n=2×﹣2n=n2﹣n，∴b n=+﹣2=+﹣2=﹣2==2（），∴数列{b n}的前n项和：T n=2（1﹣+…+）=2（1+）=3﹣．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意累乘法和裂项求和法的合理运用．19．（12分）（2015秋•沧州月考）设函数h（x）=x2﹣mx，g（x）=lnx．（Ⅰ）设f（t）=m（sinx+cosx）dx且f（2016π）=2，若函数h（x）与g（x）在x=x0处的切线平行，求这两切线间的距离；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；定积分．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）运用定积分的运算法则和三角函数的特殊值，可得m=﹣1，分别求出g（x），h（x）的导数，求得切线的斜率，切点，再由点斜式方程可得切线的方程，再由两直线平行间的距离，计算即可得到所求；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，即为x2﹣mx﹣lnx≥0，由x＞0，可得m≤x﹣，设F（x）=x﹣，求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1导数的符号，判断单调性，可得最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（t）=m（sinx+cosx）dx=m（sinx﹣cosx）|=m[（sint﹣cost）﹣（1﹣0）]=m（sint﹣cost﹣1），f（2016π）=2，可得m（﹣1﹣1）=2，解得m=﹣1，则h（x）=x2+x的导数为h′（x）=2x+1，g（x）=lnx的导数为g′（x）=，由题意可得2x0+1=，解得x0=（﹣1舍去），即有h（x）在x=处的切线的方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0；g（x）在x=处的切线的方程为y﹣ln=2（x﹣），即为2x﹣y﹣1﹣ln2=0．则两切线间的距离为d==；（Ⅱ）任意x＞0，不等式h（x）≥g（x）恒成立，即为x2﹣mx﹣lnx≥0，由x＞0，可得m≤x﹣，设F（x）=x﹣，F′（x）=1﹣=，当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增；当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减．即有x=1处取得极小值，且为最小值1，则有m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数运用单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）（2015秋•沧州月考）如图，在△ABC中，AO⊥BC于O，OB=2OA=2OC=4，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将△ABO 沿OA折起，使二面角B﹣OA﹣C为直二面角．（Ⅰ）在底面△BOC的边BC上是否存在一点P，使得OP⊥GH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣D的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）根据条件便知H，G分别为△AOB，△AOC的重心，从而有GH∥EF∥BC，并可说明∠BOC为直角，过O作OP⊥BC，从而有OP⊥GH，而根据摄影定理便有，这样即可求出BP的长度；（Ⅱ）根据上面知OB，OC，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可以根据条件求出图形上一些点的坐标，从而可以得到向量的坐标，可设平面AGH的法向量为，而根据即可求出，同样的方法可以求出平面DGH的一个法向量，根据cos=即可得出二面角A﹣GH﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）H，G分别为△AOB和△AOC的重心；∴；连接EF，则GH∥EF；由已知，EF∥BC，∴GH∥BC；∵OA⊥OB，OA⊥OC，二面角B﹣OA﹣C为直二面角；∴∠BOC为直角；∴在Rt△BOC中，过O作BC的垂线，垂足为P，OP⊥BC，又BC∥GH；∴OP⊥GH，则由摄影定理得：OB2=BP•BC；∴；（Ⅱ）分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，0，2），D（0，0，1），B（4，0，0），C（0，2，0），H（），；∴，；设为平面AGH的法向量，则：；取x1=1，则y1=2，z1=1，∴；设为平面DGH的法向量，则：；取x2=1，则；∴；∴由图可知二面角A﹣GH﹣D为锐角，∴该二面角的余弦值为．【点评】考查三角形重心的概念及其性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质，以及二面角的平面角的定义，直角三角形的摄影定理的内容，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角问题的方法，平面的法向量的概念及求法，能求空间点的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，向量垂直的充要条件，以及向量夹角的余弦公式，清楚两平面所成二面角的大小和两平面的法向量夹角的关系．21．（12分）（2015秋•河南月考）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（3）=1．（Ⅰ）集合A={x|f（x）＞f（x﹣1）+2}，B={x|f（）＞0}，且满足A∩B=∅，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）设a＜b，比较f（）与f（）的大小，并说明理由．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先证明函数的单调性，在分别求出集合A，B，根据A∩B=∅，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）首先判断﹣的正负情况，利用构造函数得出g（x）=x+2+（x﹣2）e x，根据导函数，判断函数的单调性，从而得出上述表达式的正负，利用单调性得出函数值的大小．【解答】解：（Ⅰ）设0＜x1＜x2＜+∞，则由条件“对任意正数x，x都有f（xy）=f（x）+f （y）”，可知：f（x2）=f（．x1）=f（）+f（x1），∵＞1∴由已知条件f（）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（）＞0即f（x2）＞f（x1），因此f（x）在（0，+∞）上为增函数；∵f（3）=1，∴f（9）=2，∴f（x）＞f（x﹣1）+2，∴f（x）＞f（9x﹣9），∴x＞9x﹣9，x＞0，x﹣1＞0，∴A=（1，），令x=y=1，得f（1）=0，∵f（）＞0=f（1），∴f（）＞1，∴＞0，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），∵A∩B=∅，∴≥，∴0＜a≤；（Ⅱ）﹣=，令b﹣a=x，g（x）=x+2+（x﹣2）e x，x＞0，∴g'（x）=1+（x﹣1）e x，令h（x）=g'（x）=1+（x﹣1）e x，∴h'（x）=xe x＞0，∴g'（x）在（0，+∞）上递增，g'（0）=0，∴g'（x）＞g（0）=0，∴g（x）在（0，+∞）上递增，g（0）=0，∴g（x）＞g（0）=0，∵b﹣a＞0，∴﹣=＞0，∴＞，∴f（）＞f（）．【点评】考查了抽象函数的单调性判断，利用函数单调性，利用定义法求解实际问题，利用导函数判断函数的单调性问题．22．（12分）（2015秋•河南校级月考）设函数f（x）=﹣ax．（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；（2）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】（1）求f（x）=的定义域，再求导f′（x）==b，从而讨论确定函数的单调性；（2）当b=1时，f（x）=﹣ax，f′（x）=﹣a，从而可得当x2=e2时，f′（x2）+a有最大值，从而只需使存在x1∈[e，e2]，使f（x1）≤0，从而可得a≥﹣，从而解得．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）==b，①当b＞0时，x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）的单调增区间为（e，+∞）；②当b＜0时，x∈（0，1）∪（1，e）时，f′（x）＞0；故f（x）的单调增区间为（0，1），（1，e）；（2）当b=1时，f（x）=﹣ax，f′（x）=﹣a，故f′（x2）+a==﹣（﹣）2+，故当x2=e2时，f′（x2）+a有最大值，故只需使存在x1∈[e，e2]，使f（x1）≤，故﹣ax1≤，即a≥﹣，令g（x）=﹣，g′（x）=；故g（x）=﹣在[e，e2]上是减函数，g（e）=1﹣，g（e2）=﹣；故只需使a≥﹣；故实数a的最小值为﹣．【点评】本题考查了导数的综合应用及存在性问题的化简与应用．2016年1月14日。