正方体表面涂色问题

涂色正方体每个面的规律
涂色正方体每个面的规律是从正方体的六个面中，选择一个面作
为底面，然后在它对面的面（即正对着的面）上涂上与底面对应的颜色，剩下的四个面再按照特定的规律依次涂上颜色。

具体规律如下：
1、选择一个面作为底面，涂上固定的颜色。

2、底面对面的面上涂上与底面相同的颜色。

3、旋转正方体，使剩下的四个面分别与底面相邻。

4、在相邻的两个面上，用两种不同的颜色交替涂色。

5、顺时针（或逆时针）旋转正方体，让相邻的三个面再按照特定
的顺序涂上不同的颜色。

经过以上步骤，涂色正方体六个面就可以按照固定的规律完成涂色。

这种规律涂色方法可以使正方体各个面颜色均匀分布，且不重复，是一种常用的涂色方式。

涂色正方体每个面的规律正方体是一种常见的几何体，它有六个面，每个面都是一个正方形。

如果我们把正方体的每个面涂上不同的颜色，会有多少种不同的涂色方案呢？这是一个有趣的问题，涉及到组合数学和颜色理论等多个领域。

首先，我们可以考虑正方体的对称性。

正方体有24个对称操作，包括旋转和翻转。

这些对称操作可以把一个涂色方案变成另一个涂色方案，如果两个涂色方案在对称操作下是等价的，那么它们只算一种涂色方案。

因此，我们只需要找出不同的涂色方案中的一个代表，然后计算它的数量即可。

其次，我们可以用颜色理论来描述涂色方案。

假设我们有n种颜色可供选择，那么每个面可以涂上任意一种颜色，共有n种选择。

因此，总的涂色方案数为n的6次方，即n×n×n×n×n×n。

例如，如果我们有3种颜色可供选择，那么总的涂色方案数为3的6次方，即729种。

然而，这个数字并不是我们所需要的答案，因为它包含了很多等价的涂色方案。

为了消除这些等价的方案，我们需要考虑正方体的对称性。

具体来说，我们可以分类讨论正方体的对称群，然后计算每个对称群的置换群指数，从而得到不同的涂色方案数量。

对称群是指一组保持正方体不变的对称操作，它们可以用一个群来表示。

正方体的对称群有24个元素，可以表示为S4群的一个子群。

S4群是4个元素的置换群，它包含了所有4个元素的排列。

正方体的对称群可以用旋转和翻转操作来表示，其中旋转操作有6个，分别是绕x轴、y轴和z轴旋转90度、180度和270度，翻转操作有4个，分别是绕x轴、y轴和z轴翻转。

这些操作可以组合在一起，形成不同的对称操作。

置换群指数是指在对称群中不动点的数量，它可以用Burnside引理来计算。

Burnside引理是组合数学中的一个定理，它可以计算在一个群作用下不动点的数量。

对于正方体的涂色问题，我们可以把每个涂色方案看作是对正方体的一种染色，然后用对称群来描述不同的染色方案。

一、选择题1. 下图是用8个小正方体搭成的，如果拿走其中的1个，它的表面积（）。

A．变大B．变小C．不变2. 一个表面涂色的正方体，把每条棱都平均分成5份，再切成同样大小的小正方体，两面涂色的小正方体有（）个。

A．8 B．36 C．543. 如图，把一个大正方体表面涂上颜色，然后切成若干个小正方体，三面涂色的小正方体有（）个。

A．12 B．8 C．6 D．44. 将一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的27个小正方体，只有一个面涂上红色的小正方体有（）个。

A．4 B．6 C．8 D．105. 用若干个相同的小正方体拼一个大正方体，再在大正方体的表面涂色。

已知两面涂色的小正方体共24块。

那么，这个立体图形中，没有涂色的有（）块。

A．0 B．1 C．8 D．27二、填空题6. 用若干个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体后，如果把它们的表面分别涂上颜色，那么三面涂色的小正方体有( )块；如果两面涂色的小正方体有36块，那么这个大正方体的体积是( )cm3。

7. 将一个长方体表面涂上油漆再分割成小正方体（如图），每个小正方体三个面涂上油漆的有( )个，两个面涂上油漆的有( )个。

8. 下边正方体是由27个棱长为3cm的小正方体垒成的，并按规律涂上了阴影。

大正方体的表面积是________平方厘米。

阴影部分的面积是________平方厘米。

涂有阴影的小正方体有________个。

9. 这个图形是由8个小正方体拼成的，如果把这个图形的表面都涂上红色。

（不考虑底面）（1）只有1个面涂红色的有( )个小正方体。

（2）只有2个面涂红色的有( )个小正方体。

（3）只有3个面涂红色的有( )个小正方体。

（4）只有4个面涂红色的有( )个小正方体。

（5）只有5个面涂红色的有( )个小正方体。

10. 将棱长为2cm的小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是( )cm2。

三、解答题11. 下图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？12. 一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面、两面涂有颜色的小正方体分别有多少个？13. 一个大正方体，先在它的每个面上都涂上红色，再把它切成棱长是的小正方体。

1.一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成2份。

如图所示，能切成多少个同样大的小正方体？每个小正方体有几个面涂色？2×2×2=8个都有三个面涂色2.如果把棱长是3、4的小正方体切开，那么有几个3面涂色、2面涂色、1面涂色、0面涂色呢？棱长为3：3面（8）个，2面（12）个，1面（6）个，0面（ 1 ）个棱长为4：3面（8 ）个，2面（24）个，1面（24）个，0面（8）个3.那如果这个正方体的棱长为5，此时的3面、2面、1面、0面各是多少个呢？06 表面涂色的正方体【例1】如图，将边长为3和4的两个大正方体的表面刷上红色的漆，再将其分割成边长为1的小正方体，其中三面、两面、一面有红色的小正方体的个数如下表，请尝试找到规律并在【答案】 8 8 36 48 54 96【分析】结合图形以及数据分析，得出规律：边长为n 的大正方体表面涂红色，则3面红色的小正方体在大正方体的顶点处，每个顶点上有一个，共8个；2面红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有（n－2）个，共有（n－2）×12个；1面红色的小正方体在大正方体每个面的中间，每个面中间有（n－2）2个，共有（n－2）2×6个；据此得出边长为5和6的大正方体对应的情况。

【详解】（1）边长为5的大正方体：3面红色的小正方体个数：8个；2面红色的小正方体个数：（5－2）×12＝3×12＝36（个）1面红色的小正方体个数：（5－2）2×6＝9×6＝54（个）（6）边长为6的大正方体：3面红色的小正方体个数：8个；2面红色的小正方体个数：（6－2）×12＝4×12＝48（个）1面红色的小正方体个数：（6－2）2×6＝16×6＝96（个）【点睛】利用图形找到涂色的小正方体的位置，发现规律是解题的关键。

【例2】小明将一个表面涂色的正方体木块的棱长平均分成若干份，并锯成同样大的小正方体。

正方体的表面涂色问题福州市仓山小学林勍教学目标：1.使学生通过自主探究，发现表面涂色的正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。

2.学生在探索规律的过程中，经历观察、想象、比较、推理、归纳、反思等过程，培养学生空间观念和推理想象能力。

3.使学生进一步感受图形学习的乐趣，获得成功的体验，提高数学学习的兴趣，增强学习数学的信心教学重点：探究并发现表面涂色的正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。

教学难点：切成小正方体的总个数和不同涂色面的小正方体的个数之间的关系。

教学准备：希沃课件，3阶、4阶的大正方体教学过程：课前游戏:师：认真观察，仔细思考。

按照这样的规律，涂色部分的正方形面积怎么表示？说说你的想法。

（生汇报）一、课前复习。

1.唤醒旧知。

1）认识2）拼棱长为10cm的大正方体，需要几个这样的小正方体？3）接着再把这个大正方体的表面涂上颜色，需要涂几个面？1000个小正方体的6个面都被涂上颜色了吗？想一想，会有几种情况？大概在什么位置？4）生汇报，师介绍4类小正方体2.提出问题，化繁为简。

1）同意吗？接下来，你想研究什么问题？2）我们从1000个开始研究？有什么好方法？想从棱长是几的正方体开始？二、自主探究，发现规律1.研究棱长3厘米的正方体。

1）小组合作：（明确先找位置，再数，数完填表，最后还要思考。

）2）小组汇报。

2.研究棱长4等分的正方体。

师：刚刚我们研究棱长3cm的正方体，这是同学们刚刚的操作过程，同样是数，有的同学拆开分类数，有的同学分类找位置，边观察边数。

你觉得哪一种更便于我们寻找规律？（分类找位置，边观察边数）师：方法千万种，要找最优的那一种！现在挑战升级。

请看活动要求。

1）小组合作：温馨提示，眼观手不动2）小组汇报。

3.研究棱长5等分的正方体。

1）研究棱长5cm的正方体，它在哪里呢？在我们的头脑里！2）你能详细地和同学们介绍下每个算式表示什么吗？→有异议，看演示。

数学———正⽅体涂⾊问题 将⼀个正⽅体的表⾯涂上颜⾊.把正⽅体的棱等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到个⼩正⽅体,通过观察我们可以发现个⼩正⽅体全是个⾯涂有颜⾊的. 如果把正⽅体的棱三等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到27个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有12个是两⾯涂有颜⾊的,有6个是⼀⾯涂有颜⾊的,还有1个⾯没有涂⾊. 如果把正⽅体的棱四等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到64个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有24个是两⾯涂有颜⾊，有24个⾯是⼀⾯涂有颜⾊的，还有8个⾯没有涂⾊。

如果把正⽅体的棱五等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到125个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有36个是两⾯涂有颜⾊，有54个⾯是⼀⾯涂有颜⾊的，还有27个⾯没有涂⾊。

如果把正⽅体的棱n等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到n3个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有 8个是三⾯涂有颜⾊的,有12(n-2)个是两⾯涂有颜⾊，有6(n-2)(n-2)个是⼀⾯涂有颜⾊的，还有(n-2)3个⾯没有涂⾊。

例：将棱长4厘⽶的正⽅体表⾯涂成蓝⾊，再将它锯成棱长1厘⽶的⼩正⽅体，则三⾯涂蓝，两⾯涂蓝，⼀⾯涂蓝和没有颜⾊的⾯各⼏个？ 解： 1、以原来⼤正⽅体的顶点为顶点的⼩正⽅体才有可能三⾯涂⾊，共8个。

2、两个⾯相交成⼀条棱，所以只有以原来⼤正⽅体的棱为⼀条棱【此时不包括顶点】的⼩正⽅体才有可能两⾯涂⾊，⼀条棱上两⾯涂⾊的⼩正⽅体2个，12条棱共有12*2=24个。

3、⼀⾯涂⾊的正⽅体是被三⾯涂⾊和两⾯涂⾊的正⽅体包围在中间，且在⼤正⽅体表⾯的，原⼤正⽅体⼀⾯有（4-2）*（4-2）=4个，6个⾯有6*4=24个。

4、没有涂⾊的⼩正⽅体有：4*4*4-8-24-24=8个或（4-2）*（4-2）*（4-2）=8个。

表面涂色的正方体练习
1、小明将一个表面涂色的正方体木块的棱长平均分成若干份，并锯成同样大小的小正方体。

其中三面涂色的一定是8个。

（）
2、把体积是1立方分米的木头放在桌上，木头所占的桌面面积一定是1平方分米。

（）
二、选择题。

1、一个表面涂色的正方体,把每条棱都平均分成n份,然后切开能得到许多个小正方体。

(1)3面涂色小正方体有( )个。

(2)2面涂色的小正方体共有( )个。

(3)1面涂色小正方体共有( )个。

(4)6面都不涂色的小正方体有( )个
A．8 B．12(n-2) C．6(n-2)² D.(n-2)³
三、解决问题
1、一个长方体的无盖铁皮水桶，长和宽都是2.5分米，深6分米。

做一对这样的水桶，至少需要多少平方分米铁皮？
2、有一个长方体密封容器，长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米，如果把这个容器再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？。