正方体表面涂色问题

涂色正方体每个面的规律
涂色正方体每个面的规律是从正方体的六个面中，选择一个面作
为底面，然后在它对面的面（即正对着的面）上涂上与底面对应的颜色，剩下的四个面再按照特定的规律依次涂上颜色。

具体规律如下：
1、选择一个面作为底面，涂上固定的颜色。

2、底面对面的面上涂上与底面相同的颜色。

3、旋转正方体，使剩下的四个面分别与底面相邻。

4、在相邻的两个面上，用两种不同的颜色交替涂色。

5、顺时针（或逆时针）旋转正方体，让相邻的三个面再按照特定
的顺序涂上不同的颜色。

经过以上步骤，涂色正方体六个面就可以按照固定的规律完成涂色。

这种规律涂色方法可以使正方体各个面颜色均匀分布，且不重复，是一种常用的涂色方式。

涂色正方体每个面的规律正方体是一种常见的几何体，它有六个面，每个面都是一个正方形。

如果我们把正方体的每个面涂上不同的颜色，会有多少种不同的涂色方案呢？这是一个有趣的问题，涉及到组合数学和颜色理论等多个领域。

首先，我们可以考虑正方体的对称性。

正方体有24个对称操作，包括旋转和翻转。

这些对称操作可以把一个涂色方案变成另一个涂色方案，如果两个涂色方案在对称操作下是等价的，那么它们只算一种涂色方案。

因此，我们只需要找出不同的涂色方案中的一个代表，然后计算它的数量即可。

其次，我们可以用颜色理论来描述涂色方案。

假设我们有n种颜色可供选择，那么每个面可以涂上任意一种颜色，共有n种选择。

因此，总的涂色方案数为n的6次方，即n×n×n×n×n×n。

例如，如果我们有3种颜色可供选择，那么总的涂色方案数为3的6次方，即729种。

然而，这个数字并不是我们所需要的答案，因为它包含了很多等价的涂色方案。

为了消除这些等价的方案，我们需要考虑正方体的对称性。

具体来说，我们可以分类讨论正方体的对称群，然后计算每个对称群的置换群指数，从而得到不同的涂色方案数量。

对称群是指一组保持正方体不变的对称操作，它们可以用一个群来表示。

正方体的对称群有24个元素，可以表示为S4群的一个子群。

S4群是4个元素的置换群，它包含了所有4个元素的排列。

正方体的对称群可以用旋转和翻转操作来表示，其中旋转操作有6个，分别是绕x轴、y轴和z轴旋转90度、180度和270度，翻转操作有4个，分别是绕x轴、y轴和z轴翻转。

这些操作可以组合在一起，形成不同的对称操作。

置换群指数是指在对称群中不动点的数量，它可以用Burnside引理来计算。

Burnside引理是组合数学中的一个定理，它可以计算在一个群作用下不动点的数量。

对于正方体的涂色问题，我们可以把每个涂色方案看作是对正方体的一种染色，然后用对称群来描述不同的染色方案。

一、选择题1. 下图是用8个小正方体搭成的，如果拿走其中的1个，它的表面积（）。

A．变大B．变小C．不变2. 一个表面涂色的正方体，把每条棱都平均分成5份，再切成同样大小的小正方体，两面涂色的小正方体有（）个。

A．8 B．36 C．543. 如图，把一个大正方体表面涂上颜色，然后切成若干个小正方体，三面涂色的小正方体有（）个。

A．12 B．8 C．6 D．44. 将一个正方体的6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的27个小正方体，只有一个面涂上红色的小正方体有（）个。

A．4 B．6 C．8 D．105. 用若干个相同的小正方体拼一个大正方体，再在大正方体的表面涂色。

已知两面涂色的小正方体共24块。

那么，这个立体图形中，没有涂色的有（）块。

A．0 B．1 C．8 D．27二、填空题6. 用若干个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体后，如果把它们的表面分别涂上颜色，那么三面涂色的小正方体有( )块；如果两面涂色的小正方体有36块，那么这个大正方体的体积是( )cm3。

7. 将一个长方体表面涂上油漆再分割成小正方体（如图），每个小正方体三个面涂上油漆的有( )个，两个面涂上油漆的有( )个。

8. 下边正方体是由27个棱长为3cm的小正方体垒成的，并按规律涂上了阴影。

大正方体的表面积是________平方厘米。

阴影部分的面积是________平方厘米。

涂有阴影的小正方体有________个。

9. 这个图形是由8个小正方体拼成的，如果把这个图形的表面都涂上红色。

（不考虑底面）（1）只有1个面涂红色的有( )个小正方体。

（2）只有2个面涂红色的有( )个小正方体。

（3）只有3个面涂红色的有( )个小正方体。

（4）只有4个面涂红色的有( )个小正方体。

（5）只有5个面涂红色的有( )个小正方体。

10. 将棱长为2cm的小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是( )cm2。

三、解答题11. 下图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？12. 一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面、两面涂有颜色的小正方体分别有多少个？13. 一个大正方体，先在它的每个面上都涂上红色，再把它切成棱长是的小正方体。

1.一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成2份。

如图所示，能切成多少个同样大的小正方体？每个小正方体有几个面涂色？2×2×2=8个都有三个面涂色2.如果把棱长是3、4的小正方体切开，那么有几个3面涂色、2面涂色、1面涂色、0面涂色呢？棱长为3：3面（8）个，2面（12）个，1面（6）个，0面（ 1 ）个棱长为4：3面（8 ）个，2面（24）个，1面（24）个，0面（8）个3.那如果这个正方体的棱长为5，此时的3面、2面、1面、0面各是多少个呢？06 表面涂色的正方体【例1】如图，将边长为3和4的两个大正方体的表面刷上红色的漆，再将其分割成边长为1的小正方体，其中三面、两面、一面有红色的小正方体的个数如下表，请尝试找到规律并在【答案】 8 8 36 48 54 96【分析】结合图形以及数据分析，得出规律：边长为n 的大正方体表面涂红色，则3面红色的小正方体在大正方体的顶点处，每个顶点上有一个，共8个；2面红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有（n－2）个，共有（n－2）×12个；1面红色的小正方体在大正方体每个面的中间，每个面中间有（n－2）2个，共有（n－2）2×6个；据此得出边长为5和6的大正方体对应的情况。

【详解】（1）边长为5的大正方体：3面红色的小正方体个数：8个；2面红色的小正方体个数：（5－2）×12＝3×12＝36（个）1面红色的小正方体个数：（5－2）2×6＝9×6＝54（个）（6）边长为6的大正方体：3面红色的小正方体个数：8个；2面红色的小正方体个数：（6－2）×12＝4×12＝48（个）1面红色的小正方体个数：（6－2）2×6＝16×6＝96（个）【点睛】利用图形找到涂色的小正方体的位置，发现规律是解题的关键。

【例2】小明将一个表面涂色的正方体木块的棱长平均分成若干份，并锯成同样大的小正方体。

涂色技巧：在涂色 时，可以采用“跳 步涂色法”，即先 涂一个面，再跳过 一个面涂下一个面， 以此类推，直至涂 完所有的面。
涂色顺序：在涂色 时，可以采用“从 上到下”、“从左 到右”、“从外到 内”等顺序进行涂 色，以保证每个面 都有一个不同的颜 色。
正方体的表面涂色问题实例解析
3面涂色：只在棱 上出现，代表顶 点
涂色规律在其他形状上的推广：可添加标题
添加标题
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涂色规律在不同维度上的推广：可 以应用于三维、四维等更高维度的 正方体表面涂色问题。
涂色规律在其他领域的应用：可以 应用于计算机图形学、建筑学等领 域。
正方体的表面涂 色问题
正方体的表面涂色问题概述
感谢您的观看
汇报人：XX
计算机图形学： 涂色规律可以应 用于计算机图形 学中，实现更逼 真的三维模型渲 染效果。
物理学模拟：涂 色规律可以应用 于物理模拟中， 如量子力学和分 子动力学的模拟。
游戏开发：涂色 规律可以应用于 游戏开发中，如 角色皮肤和场景 的渲染。
涂色规律的推广
涂色规律的应用范围：适用于所有 正方体表面涂色问题，包括大、中、 小正方体。
涂色方法：可以采用递归、数学归纳法等方法证明涂色规律，并给出具体的涂色方案。
应用领域：表面涂色问题在计算机图形学、组合数学等领域有广泛应用，可以用于设 计图案、解决几何问题等。
对未来研究的展望
深入研究不同涂色方式对正方体表面涂色问题的影响 探索更高效的算法和计算模型，以解决大规模正方体表面涂色问题 结合其他领域的知识，如计算机图形学、统计学等，对正方体表面涂色问题进行多角度研究 拓展正方体表面涂色问题的应用场景，将其应用于实际问题的解决中
2面涂色：在棱上 出现，代表棱上 非顶点

正方体的表面涂色问题福州市仓山小学林勍教学目标：1.使学生通过自主探究，发现表面涂色的正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。

2.学生在探索规律的过程中，经历观察、想象、比较、推理、归纳、反思等过程，培养学生空间观念和推理想象能力。

3.使学生进一步感受图形学习的乐趣，获得成功的体验，提高数学学习的兴趣，增强学习数学的信心教学重点：探究并发现表面涂色的正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。

教学难点：切成小正方体的总个数和不同涂色面的小正方体的个数之间的关系。

教学准备：希沃课件，3阶、4阶的大正方体教学过程：课前游戏:师：认真观察，仔细思考。

按照这样的规律，涂色部分的正方形面积怎么表示？说说你的想法。

（生汇报）一、课前复习。

1.唤醒旧知。

1）认识2）拼棱长为10cm的大正方体，需要几个这样的小正方体？3）接着再把这个大正方体的表面涂上颜色，需要涂几个面？1000个小正方体的6个面都被涂上颜色了吗？想一想，会有几种情况？大概在什么位置？4）生汇报，师介绍4类小正方体2.提出问题，化繁为简。

1）同意吗？接下来，你想研究什么问题？2）我们从1000个开始研究？有什么好方法？想从棱长是几的正方体开始？二、自主探究，发现规律1.研究棱长3厘米的正方体。

1）小组合作：（明确先找位置，再数，数完填表，最后还要思考。

）2）小组汇报。

2.研究棱长4等分的正方体。

师：刚刚我们研究棱长3cm的正方体，这是同学们刚刚的操作过程，同样是数，有的同学拆开分类数，有的同学分类找位置，边观察边数。

你觉得哪一种更便于我们寻找规律？（分类找位置，边观察边数）师：方法千万种，要找最优的那一种！现在挑战升级。

请看活动要求。

1）小组合作：温馨提示，眼观手不动2）小组汇报。

3.研究棱长5等分的正方体。

1）研究棱长5cm的正方体，它在哪里呢？在我们的头脑里！2）你能详细地和同学们介绍下每个算式表示什么吗？→有异议，看演示。

数学———正⽅体涂⾊问题 将⼀个正⽅体的表⾯涂上颜⾊.把正⽅体的棱等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到个⼩正⽅体,通过观察我们可以发现个⼩正⽅体全是个⾯涂有颜⾊的. 如果把正⽅体的棱三等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到27个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有12个是两⾯涂有颜⾊的,有6个是⼀⾯涂有颜⾊的,还有1个⾯没有涂⾊. 如果把正⽅体的棱四等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到64个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有24个是两⾯涂有颜⾊，有24个⾯是⼀⾯涂有颜⾊的，还有8个⾯没有涂⾊。

如果把正⽅体的棱五等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到125个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有8个是三⾯涂有颜⾊的,有36个是两⾯涂有颜⾊，有54个⾯是⼀⾯涂有颜⾊的，还有27个⾯没有涂⾊。

如果把正⽅体的棱n等分,然后沿等分线把正⽅体切开,能够得到n3个⼩正⽅体,我们可以发现这些⼩正⽅体中有 8个是三⾯涂有颜⾊的,有12(n-2)个是两⾯涂有颜⾊，有6(n-2)(n-2)个是⼀⾯涂有颜⾊的，还有(n-2)3个⾯没有涂⾊。

例：将棱长4厘⽶的正⽅体表⾯涂成蓝⾊，再将它锯成棱长1厘⽶的⼩正⽅体，则三⾯涂蓝，两⾯涂蓝，⼀⾯涂蓝和没有颜⾊的⾯各⼏个？ 解： 1、以原来⼤正⽅体的顶点为顶点的⼩正⽅体才有可能三⾯涂⾊，共8个。

2、两个⾯相交成⼀条棱，所以只有以原来⼤正⽅体的棱为⼀条棱【此时不包括顶点】的⼩正⽅体才有可能两⾯涂⾊，⼀条棱上两⾯涂⾊的⼩正⽅体2个，12条棱共有12*2=24个。

3、⼀⾯涂⾊的正⽅体是被三⾯涂⾊和两⾯涂⾊的正⽅体包围在中间，且在⼤正⽅体表⾯的，原⼤正⽅体⼀⾯有（4-2）*（4-2）=4个，6个⾯有6*4=24个。

4、没有涂⾊的⼩正⽅体有：4*4*4-8-24-24=8个或（4-2）*（4-2）*（4-2）=8个。

（2）正方体表面涂色方法：单色涂法、双色涂法、三色涂法等。
（举例：介绍不同的涂色方法，并让学生动手实践，理解各种涂色方法在实际操作中的应用。）
（3）计算涂色所需的颜料数量：根据不同涂色方法，计算所需颜料的数量。
（举例：引导学生运用数学计算方法，根据正方体的特征和涂色方法，求解涂色所需的颜料数量。）
2.教学难点
4.在实践活动和小组讨论中，学生们的表现让我深感他们在合作学习中的潜力。今后，我将继续采用这种教学方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
5.本次教学中，我尝试将正方体表面涂色问题与学生的日常生活相结合，让他们感受到数学知识在实际生活中的应用。从学生的反馈来看，这种教学方式取得了较好的效果。今后，我会继续探索更多贴近生活的教学案例，提高学生的学习兴趣和积极性。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方体表面涂色问题在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（1）空间观念的培养：学生对三维图形的认知能力较弱，难以把握正方体的空间结构。
（举例：通过观察、操作正方体模型，引导学生从不同角度观察正方体，提高空间观念。）
（2）逻辑推理能力的运用：学生在解决正方体表面涂色问题时，可能难以运用逻辑推理方法进行分析。
（举例：在教学过程中，教师应引导学生通过逻辑推理，分析不同涂色方法的规律，从而解决问题。）
（二）新课讲授Leabharlann 用时10分钟）1.理论介绍：首先，我们要了解正方体表面涂色问题的基本概念。正方体表面涂色是指对正方体的六个面进行不同颜色或同颜色的涂抹。它可以帮助我们了解正方体的特征，提高空间观念和逻辑推理能力。

每个面中间位置的正方体露出1个面，一面涂色的个数与 面 有关，一个
面上1面涂色的小正方体个数（有n-2）² 个，正方体有6个面，所以1 面涂色的小正方体个数为6：x（n-2）² 个。
2021
17
导入
思 考：
（1）三面涂色的小正方体有多少块？
8个
（2）两面涂色的小正方体有多少块？
12 x（10-2）=96（个）
8
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
2021
9
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
棱等分 的份数
3
2面涂色 的位置
棱上
1条棱上有几个两 面涂色的正方体
（列式）
3—2=1
2面涂色的个数 （列式）
12x（3-2）=12
2021
10
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
棱等分 的份数
4
2面涂色 的位置
顶点处 顶点处 顶点处 顶点处
三面涂色的个数
8 8 8 8
2021
7
探索规律1
棱等分的 份数
2 3 4 5
n
三面涂色的位置
顶点处 顶点处 顶点处 顶点处 顶点处
三面涂色的个数
8 8 8 8
8
在顶点位置的正方体露出 3 个面，三面涂色的个数与顶点数相
同，无论是哪一种情况，三面涂色的个数都是8个 。
2021
棱上
1条棱上有几个两 面涂色的正方体
（列式）
4—2=2
2面涂色的个数 （列式）
12x（4-2）=24
2021
11
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
棱等分 的份数
5
2面涂色 的位置

表面涂色的正方体练习
1、小明将一个表面涂色的正方体木块的棱长平均分成若干份，并锯成同样大小的小正方体。

其中三面涂色的一定是8个。

（）
2、把体积是1立方分米的木头放在桌上，木头所占的桌面面积一定是1平方分米。

（）
二、选择题。

1、一个表面涂色的正方体,把每条棱都平均分成n份,然后切开能得到许多个小正方体。

(1)3面涂色小正方体有( )个。

(2)2面涂色的小正方体共有( )个。

(3)1面涂色小正方体共有( )个。

(4)6面都不涂色的小正方体有( )个
A．8 B．12(n-2) C．6(n-2)² D.(n-2)³
三、解决问题
1、一个长方体的无盖铁皮水桶，长和宽都是2.5分米，深6分米。

做一对这样的水桶，至少需要多少平方分米铁皮？
2、有一个长方体密封容器，长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米，如果把这个容器再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？。

大正方体的棱平均分的份数
3
4
5
…
n
没有涂色的小正方体位置
中心
中心
中心
中心
没有涂色的小正方体个数
1பைடு நூலகம்
8
27
…
（n-2）³
先仔细观察，想一想。
三面涂色的小正方体有8个，在顶点处。
两面涂色的小正方体有12个，在棱的中间。
一面涂色的小正方体有6个，在面的中间。
如果把这个正方体的每条棱都平均分成4份、5份，再切成同样大小的小正方体，结果怎样？
三面涂色
两面涂色
一面涂色
8个
2×12=24（个）
4×6=24（个）
每条棱平均分成4份
每条棱平均分成5份
三面涂色
两面涂色
一面涂色
8个
3×12=36（个）
9×6=54（个）
大正方体的棱平均分的份数
2
3
4
5
……
切成小正方体的总个数
8
27
64
125
……
3面涂色的小正方体个数
8
8
8
8
……
2面涂色的小正方体个数
0
12
24
36
……
1面涂色的小正方体个数
0
6
24
54
……
观察填出的表格，你会发现什么规律？
大正方体的棱平均分的份数
2
3
4
5
…
n
切成小正方体的总个数
8
27
64
125
…
n³
3面涂色的小正方体个数
8
8
8
8
…
8
2面涂色的小正方体个数

正方体表面涂色公式正方体表面涂色公式是指在一个正方体的表面涂颜色时，所需要的颜料的总量的计算公式。

这个公式对于很多行业来说都是非常重要的，包括建筑、设计以及制造等领域。

因为只有通过合理的涂色公式，才能准确的计算出需要的颜料数量，帮助控制成本，从而使生产过程更加高效。

正方体表面的计算公式可以非常简单，只需要几个基本的参数，例如正方体的长宽高和每平方厘米的颜料使用量等。

这些参数将被用于计算所需要的颜料的总量。

在计算中，首先需要计算出正方体的总表面积，然后通过每平方厘米的颜料使用量来计算总共需要的颜料数量。

公式如下：总颜料数量 = 正方体总表面积 x 每平方厘米颜料使用量其中，正方体的总表面积为：正方体总表面积 = 6 x 长 x 宽正方体的总表面积等于正方体六个面的面积之和，也就是说一个正方体的面积是所有面积之和的6倍。

每平方厘米的颜料使用量是根据实际情况来确定的。

通常在涂装生产中，使用到的颜料需要考虑深度和防水性，因此其使用量会根据不同的颜料品种而有所不同。

例如，一座建筑的立方体表面需要用黑色涂料来漆涂。

这个建筑的长、宽和高分别是10米。

因此，我们可以得到这座建筑的表面积是600平方米（6 x 10 x 10）。

假设这种涂料的每平方厘米使用量是1毫升，那么涂料的总量就是6,000升（600平方米 x 10000平方厘米/平方米 x 1毫升/平方厘米 / 1000毫升/升）。

需要注意的是，这个公式只用于正方体表面涂色的场合。

如果要涂装长方体表面，计算过程也是类似的。

只需要把表面积的公式替换，即可用于计算长方体表面涂色需要的颜料总量。

在生产过程中，通过使用这个公式，您可以根据实际的涂色需求来计算需要的颜料数量，从而减少浪费和控制成本。

无论您是在运用涂料涂装建筑还是制造产品，了解并正确运用正方体表面涂色公式，都是非常重要的。

05
正方体涂色的物理原理
光的反射和吸收
光的反射
当光线照射到物体表面时，一部分光线会被反射回来，另一部分则被吸收或穿透。不同颜色的物体对 光的反射和吸收特性不同，因此呈现出不同的颜色。
光的吸收
物体对光的吸收能力取决于其表面涂层的颜色和厚度。涂层颜色越深，对光的吸收能力越强，反射的 光线越少，反之亦然。
虚拟现实
在虚拟现实中，涂色正方体可以作 为虚拟物体，为用户提供沉浸式的 体验。
04
正方体涂色的数学原理
欧拉公式
总结词
欧拉公式是数学中一个重要的公式，用于计算多面体的面数 、棱数和顶点数之间的关系。
详细描述
欧拉公式是由数学家莱昂哈德·欧拉发现的，它表示多面体的面 数（F）、棱数（E）和顶点数（V）之间的关系为：F + V - E = 2。对于正方体，这个公式可以帮助我们理解其几何结构。
数学教育
涂色正方体可以作为教学 工具，用于教授几何学、 数学建模等课程，帮助学 生更好地理解抽象概念。
计算机图形学应用
3D渲染
涂色正方体是计算机图形学中常 用的模型之一，可用于3D渲染和 动画制作，创建逼真的视觉效果。
游戏开发
在游戏开发中，涂色正方体可以作 为游戏元素，用于构建游戏场景、 角色和道具等。
02
正方体的涂色规律
顶点涂色规律
总结词
每个顶点涂色方式相同，均为3种 颜色中的一种。
详细描述
正方体有8个顶点，每个顶点都可 以涂上3种不同的颜色中的一种， 因此顶点的涂色方式共有3^8种 。
棱涂色规律
总结词
每条棱的涂色方式相同，均为3种颜色中的一种。
详细描述
正方体有12条棱，每条棱都可以涂上3种不同的颜色中的一种，因此棱的涂色方式共有3^12种。

《正方体的涂色问题》教学反思《正方体的涂色问题》是在《长方体和正方体》这一单元中新增的一个实践活动。

在以前的教材中，这一内容只是以一道思考题的形式出现，以前在讲这道题的时候只是把三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体数清楚就可以了。

但是新版的教材提高了要求，首先它立足于找规律，同样的一题，要求教师引导学生站得更高，透过现象去寻找本质规律，并能总结出一般性规律。

仔细研读教材，亲自展开教学实践，才发现原以为40分钟对于这一内容来讲太奢侈了，事实证明，恰恰相反。

40分钟，学生似乎还意犹未尽。

教学感悟之一：借助直观手段，丰富表象。

“长方体和正方体”这一单元系统学习后，学生虽然对正方体的特征已了然于胸，但对于探究表面涂色的大正方体每条棱等分若干份后，各小正方体表面涂色的情况毕竟还是个新问题新挑战。

正好学生每人都有一个魔方，借助这一直观实物，学生一眼就能观察得到。

在学习的过程中，把学生不易理解、无法看见的数学知识转变成直观表象，同时借助动作、语言建立起表象与数学符号之间的关系，丰富学生的表象，帮助建立空间观念。

教学感悟之二：善用信息载体，突破难点。

原教材的那道思考题一题一解，学生所作的仅仅统计棱长4厘米表面涂色的大正方体切割等分后各小正方体的涂色情况，归纳无从谈起。

而《正方体的涂色问题》在教材中是用统计表填空形式呈现的。

正是利用学生已经学过的统计和归纳的知识，引导学生在想象、观察后归纳、发现现象后面的本质规律。

而没有涂色的小正方体，藏在大正方体的中心，学生看不见摸不着，是本节课学习的重点，更是学习的难点。

在本课时，我借助媒体展示，制作了一组微课，生动了展示了“剥层”的方法，让学生真真切切的看到“里面”，这样学生才能把数学形象、数学语言、数学符号一一对应起来，轻松地突破了难点。

教学感悟之三：反思探索过程，突出方法。

本节课突出的特点就是借助多元表征帮助学生经历探究正方体涂色规律的全过程。

本教学设计借助语义、动作表征的活动把握了学生的学习起点，借助多种表征引导学生展开探究学习，在学习的过程中建立起各种表征之间一一对应的关系，让学生深刻、形象、直观的把握了学习内容的本质，同时也渗透了对学生学习方法的指导。

（1）三面涂色：大正方体每个顶点处的
小正方体有三面涂色，正方体共有8个顶
点，所以是8个
（2）两面涂色：大正方体每条棱上除去
顶点处的1个小正方体，其余每个小正方
体各有两面被涂色，共有12条棱，所以是
12个
（3）一面涂色：大正方体每个面上除上、
下两排和左、右两列外，剩下的小正方体有
一面被涂色，大正方体共有6个面，所以
是6个
（4）分析法解决数正方体的问题，我们知道正中间的那个小整体被余下了，所以没涂色的就剩1个。

或者用减法：27-8-12-6=1（个）
正方体涂色专项练习
【练习1】
如图是用27个小正方体拼成的一个大正方体，把它的
表面都涂成红色
请你数一数，算一算：每条棱上3个小正方体，a=3
（1）三面涂成红色的小正方体有（8）块；
（2）两面涂成红色的小正方体有（12）块；
（3）一面涂成红色的小正方体有（6）块；
（4）没有涂成红色的小正方体有（1）块。

【方法总结】
用若干个小正方体拼成一个大正方体，并将拼成的大正方体的表面涂色。

如果大正方体的每条棱上有a个小正方体，则
三面涂色的小正方体在顶点处，共有8 个；
两面涂色的小正方体在棱上，共有[(a-2)×12] 个；
一面涂色的小正方体在面上，共有[(a-2)×(a-2)×6] 个。

1.一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成2份。

如图所示，能切成多少个同样大的小正方体？每个小正方体有几个面涂色？2.如果把棱长是3、4的小正方体切开，那么有几个3面涂色、2面涂色、1面涂色、0面涂色呢？棱长为3：3面（）个，2面（）个，1面（）个，0面（）个棱长为4：3面（）个，2面（）个，1面（）个，0面（）个3.那如果这个正方体的棱长为5，此时的3面、2面、1面、0面各是多少个呢？06 表面涂色的正方体【例1】如图，将边长为3和4的两个大正方体的表面刷上红色的漆，再将其分割成边长为1的小正方体，其中三面、两面、一面有红色的小正方体的个数如下表，请尝试找到规律并在【例2】小明将一个表面涂色的正方体木块的棱长平均分成若干份，并锯成同样大的小正方体。

他想要48个两面涂色的小正方体，需要把棱长平均分成多少份？【例3】把一个正方体木块的表面全涂上红色，然后切成27个相同的小正方体（如下图）。

（1）三个面涂红色的有多少个？（2）两个面涂红色的有多少个？（3）一个面涂红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？1．（2023秋·六年级课时练习）如图，将一个正方体沿虚线切三刀以后，表面积增加96平方厘米，这个正方体的体积是（）立方厘米。

A．32B．64C．128D．2562．（2023秋·六年级课时练习）把一根长1米的长方体木料锯成两段后，表面积增加了200平方厘米，它的体积是（）。

A．100立方厘米B．10000立方厘米C．2立方分米3．（2022秋·安徽合肥·六年级统考期末）一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，如果照图的样子把它切开，切成同样大的小正方体。

切成的小正方体中2面涂色的有（）个。

A．8B．36C．544．（2022秋·江苏南通·六年级统考期末）小娟用棱长1厘米的小正方体木块拼成一个棱长5厘米的大正方体，并把这个大正方体的表面涂成红色，其中一面涂色的小正方体有（）个。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方体的定义及特征、表面涂色规律这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方体表面涂色相关的实际问题，如“如何用最少的颜色涂满整个正方体”。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。学生动手给正方体模型涂色，观察并验证表面涂色规律。
举例：给出具体的涂色要求，如“每个面都要涂上不同的颜色”，让学生设计涂色方案。
2.教学难点
（1）空间观念的培养：帮助学生建立空间观念，理解正方体的三维结构；
突破方法：通过实物模型、动态图示等手段，让学生从不同角度观察正方体，培养空间想象力；
（2）正方体表面涂色规律的发现：引导学生从实际操作中发现正方体表面涂色规律；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正方体的基本概念、表面涂色规律及其在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对正方体表面涂色的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.实践操作：学生动手操作，验证正方体表面涂色规律；
5.应用拓展：解决与正方体表面涂色相关的实际问题，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、核心素养目标
《表面涂色的正方体》核心素养目标：
1.培养学生的空间观念和几何直观，通过观察、操作正方体，理解正方体的特征，提高对立体图形的认知能力；
2.培养学生的逻辑思维和问题解决能力，通过探索正方体表面涂色规律，学会运用所学知识解决实际问题；