2020年高考解析几何大招题型梳理学生

高考解析几何大题题型归纳
高考解析几何大题主要分为以下几类：
1. 平面向量问题：涉及向量加减、点积（数量积）、叉积（向量积）及其性质，例如线段长度、平行四边形面积、点到直线距离等等。

2. 空间几何问题：涉及空间中点、线、面的位置关系、相交情况、垂直或平行关系、大小关系等问题，例如两平面夹角、直线与平面的交点、平面方程等。

3. 三角形问题：涉及三角形内部、外部、垂心、垂足、中线、中心、外心、内心等概念，例如三角形的外接圆、内切圆、垂心定理等。

4. 圆锥曲线问题：涉及圆、椭圆、抛物线、双曲线等曲线的定义、性质、焦点、方程、参数等问题，例如椭圆离心率、抛物线焦点、双曲线渐近线等。

5. 空间向量问题：涉及空间中平行六面体、四面体的体积、重心、外接球、内切球等问题。

以上是高考解析几何大题的主要题型归纳，但具体涉及哪些内容还是要根据题目的情况来确定的。

历年高考真题考点归纳 2020年 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线1一、选择题1.（重庆理8）在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．25B ．210 C． D ．220【答案】B2.（浙江理8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则A ．2132a =B ．213a =C ．212b =D ．22b =【答案】C3.（四川理10）在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为A ．(2,9)--B ．(0,5)-C ．(2,9)-D ．(1,6)-【答案】C【解析】由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则223651(2)b a =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b ⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩4.（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A ．28y x =-B ．28y x =C ．24y x =-D ．24y x = 【答案】B5.（山东理8）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为 A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -=【答案】A6.（全国新课标理7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 （A（B（C ） 2 （D ） 3 【答案】B7.（全国大纲理10）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-【答案】D8.（江西理9）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．（-，） B ．（，0）∪（0，）C ．[3-，3]D ．（-∞，3-）∪（3，+∞）【答案】B9.（湖南理5）设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C10.（湖北理4）将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n ≥3【答案】C11.（福建理7）设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或 B ．23或2 C ．12或2 D ．2332或 【答案】A 12.（北京理8）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为 A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12 D ．{}10,11,12【答案】C13.（安徽理2）双曲线8222=-y x 的实轴长是（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）42【答案】C14.（辽宁理3）已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（A ）34 （B ）1 （C ）54 （D ）74【答案】C15.在极坐标系中，点(,)π23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为 （A ）（答案 D 【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离.【解析】极坐标(,)π23化为直角坐标为(2cos ,2sin )33ππ，即(1.圆的极坐标方程2cos ρθ=可化为22cos ρρθ=，化为直角坐标方程为222x y x +=，即 22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式d ==故选D.二、填空题15.（湖北理14）如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系''x Oy （其中'y 轴一与y 轴重合）所在的平面为β，'45xOx ∠=︒。

重难点04 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1，0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题1．（2020·四川高三期末（文））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A ．2214x y -= B ．221205x y -= C ．221123y x -= D ．2218x y -= 2．（2019·天津南开中学高考模拟（文））过抛物线24y x =焦点F 的直线与双曲线221(0)y x m m -=>的一条渐近线平行，并交抛物线于,A B 两点，若|||AF BF >且||3AF =，则m 的值为（ ）A ．8B ．CD ．43．（2020·宁夏高三月考（文））已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=( )A ．13B ．3C ．23D ．34．（2019·山东高考模拟（文））已知抛物线2:4C y x =的焦点F 和准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-u u u v u u u v ，则||AB =（ ）A ．23B ．43C ．323D ．1635 （2019·天津实验中学高考模拟（文））（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，,则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．BC ．=0D ±y=0二、填空题 6．（2020·福建省龙岩第一中学高三期中（文））过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________．7．（2019·辽宁高三开学考试（文））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且4FM PM =，则双曲线C 的离心率为__________．三、解答题8．（2020·广东高三期末（文））已知动圆C 过定点()F 1,0，且与定直线x 1=-相切． （1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（2）过点()M 2,0-的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点P,Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N （异于点M ），使得QNM PNM π∠∠+=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．9．（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p . （∠）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（∠）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.10．（2019·广东高考模拟（文））过点()2,0M 的直线l 与抛物线()2:20C y px p =>交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥．（1）求p 的值；（2）若l 与坐标轴不平行，且A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 恒过定点．11．（2020·四川高三期末（文））已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率为12，过椭圆1C 的左焦点1F ，且斜率为1的直线l ，与以右焦点2F 2C 相切.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦，且22MF F N λ=u u u u r u u u u r ，求1MF N ∆的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.12．（2019·贵州高考模拟（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为FM . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线l ：(0,0)y kx m k m =+与椭圆C 交于,A B 两点，且与圆221x y +=相切.试探究ABF ∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.13．（2019·河南高考模拟（文））已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB u u u r u u u r ⋅=-． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，证明：221211S S +为定值.以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

专题六解析几何题型一直线方程及位置关系1．(1)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)在△ABC 中，A (1,1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4,2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝( B ) A.32 B.94 C.12D.14突破点拨(1)利用直线平行的判断方法．(2)先求AC 的值，再利用点到直线的距离公式求出点B 到AC 的距离，最后表示出面积． 解析 (1)直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎨⎧－a 3＝－1a －2，1a －2≠1，解得a ＝－1.故选C.(2)由两点间的距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0. 所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫m －322－14. 又1<m <4.所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值．故选B.2．(1)(2017·湖南长沙模拟)在平面内，点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且l 1∥l 2∥l 3(l 2在l 1与l 3之间)，l 1与l 2之间的距离为a ，l 2与l 3之间的距离为b ，若AB →2＝AB →·AC →，则△ABC 的面积的最小值为( B )A.a ＋b 2B ．abC ．2abD.a 2＋b 22(2)(2017·湖北荆州调考)若点P (1,1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__2x －y －1＝0__.突破点拨(1)由AB →2＝AB →·AC →⇒AB →⊥BC →.(2)由圆心C (3,0)知k PC ＝－12，且MN ⊥PC .解析 (1)以直线l 2为x 轴，点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则l 1：y ＝a ，l 3：y ＝－b .由AB →2＝AB →·AC →，得AB →·CB →＝0，即AB ⊥BC .设直线AB 的斜率为k ，则AB ：y ＝kx ，得A ⎝⎛⎭⎫a k ，a ，直线BC ：y ＝－1k x ，得C (kb ，－b )，所以S △ABC ＝12⎝⎛⎭⎫a k 2＋a 2·(kb )2＋(－b )2 ＝122a 2b 2＋a 2b 2k 2＋k 2a 2b 2≥122a 2b 2＋2a 2b 2＝ab ， 当且仅当k ＝±1时等号成立．(2)圆心C 的坐标为(3,0)，直线PC 的斜率为－12，故直线MN 的斜率为2，所以直线MN的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(1)确定直线的几何要素是直线上的一点和直线的方向，刻画直线方向的要素是其倾斜角，当倾斜角不等于90°时可以使用斜率表示直线的方向．解题时要善于分析确定直线的几何要素，写出正确的直线方程．(2)讨论两直线的位置关系时，要注意两直线斜率是否存在．题型二 圆的方程及性质1．(1)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46D ．10(2)已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为( A )A ．5B ．10C ．15D ．20突破点拨(1)由已知三点，求出圆的方程，然后求出M ，N 的坐标，进而求出|MN |. (2)借助平面几何的相关知识辅助求解． 解析 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26， 所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26) 或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)， 所以|MN |＝4 6.故选C.(2)由题意知圆心为O (0,0)，半径为2.设圆心O 到AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2，作OE⊥AC ，OF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，则四边形OEMF 为矩形，连OM ，则有d 21＋d 22＝OM2＝3.由平面几何知识知|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 22)＝5， 即四边形ABCD 的面积的最大值为5.故选A.2．(1)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的标准方程为( A )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4 B.⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4 C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝2 D.⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝2 (2)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －1)2＋y 2＝2__.突破点拨(1)利用已知条件和圆的性质求出圆心和半径即可． (2)先确定直线过的定点，再求圆的标准方程．解析 (1)由题设知抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以圆C 2的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫0，12.因为四边形ABCD 是矩形，所以BD 为直径，AC 为直径，又F ⎝⎛⎭⎫0，12为圆C 2的圆心，所以点F 为该矩形的两条对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到直线AB 的距离相等．又直线CD 的方程为y ＝－12，点F 到直线CD 的距离为1，所以直线AB 的方程为y ＝32，可取A ⎝⎛⎭⎫－3，32，所以圆C 2的半径r ＝|AF |＝(－3－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－122＝2，所以圆C 2的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4，故选A. (2)直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.故所求方程为(x －1)2＋y 2＝2.圆的性质在求圆的方程中的应用(1)圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上．(2)圆上异于某直径端点的点与该直径的两端点连线垂直．(3)已知某圆与某直线相切，则过切点且垂直于该切线的直线必过该圆的圆心．题型三 直线与圆的位置关系1．(1)(2017·哈尔滨一模)过直线kx ＋y ＋3＝0上一点P 作圆x 2＋y 2－2y ＝0的切线，切点为Q .若|PQ |＝3，则实数k(2)(2017·江西重点学校模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0 . 突破点拨(1)考虑圆心到直线的距离的最大值．(2)利用数形结合，把问题转化为圆心C 到直线l 的距离小于或等于两个圆的半径之和问题．解析 (1)圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径是r ＝1.根据题意，PQ 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，Q 是切点，|PQ |＝3，则|PC |＝2.当PC 与直线kx ＋y ＋3＝0垂直时，圆心到直线的距离最大．由点到直线的距离公式得|4|k 2＋1≤2，解得k ∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)将圆C 的方程化为标准形式为(x ＋4)2＋y 2＝1，其圆心为(－4,0)，半径r ＝1.因为直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以圆心(－4,0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤r ＋1，即d ＝|－4k －2|k 2＋1≤2，整理可得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故实数k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0.2．(1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( C )A ．2B ．42C ．6D ．210(2)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( A )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°突破点拨(1)先利用圆心在直线l 上，求得a 的值，再利用线段AB ，BC ，AC 构成的直角三角形求解．(2)方法一：设出直线l 的方程，表示出S △AOB ，再利用均值不等式求解．方法二：先利用sin ∠AOB 表示出S △AOB ，然后求出当S △AOB 取得最大值时|OC |的值，进而求出直线l 的倾斜角．解析 (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.(2)由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，如图所示．方法一 由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A. 方法二 S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取最大值．此时，|OC |＝1，则∠OPC ＝30°，得直线l 的倾斜角为150°.圆的综合应用(1)求点C 的轨迹E 的方程；(2)当AC 不在y 轴上时，设直线AC 与曲线E 交于另一点P ，该曲线在点P 处的切线与直线BC 交于Q 点．求证：△PQC 恒为直角三角形．思维导航(1)由圆的几何性质知BA ⊥BC ，通过设点列式可求E 的方程．(2)只需证明PQ ⊥QC .可用判别式方法或导数方法求出E 在点P 处的切线的斜率，再求解．规范解答(1)设C 点的坐标为(x ，y )，则B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫x2，0.因为AC 是直径，所以BA ⊥BC ，或C ，B 均在坐标原点． 因此BA →·BC →＝0，而BA →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y ， 故有－x 24＋2y ＝0，即x 2＝8y .另一方面，设C ⎝⎛⎭⎫x 0，x 28是曲线x 2＝8y 上一点， 则有|AC |＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 208－22＝x 20＋168，AC 中点的纵坐标为2＋x 2082＝x 20＋1616，故以AC 为直径的圆与x 轴相切． 综上可知，C 点轨迹E 的方程为x 2＝8y . (2)设直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝8y得x 2－8kx －16＝0. 设C (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－16. 由y ＝x 28对x 求导得y ′＝x 4，从而曲线E 在点P 处的切线斜率k 2＝x 24，直线BC 的斜率k 1＝x 218x 1－x 12＝x 14，于是k 1k 2＝x 1x 216＝－1616＝－1，因此QC ⊥PQ .所以△PQC 恒为直角三角形．【变式考法】 已知圆O ：x 2＋y 2＝25，圆O 1的圆心为O 1(m,0)(m ≠0)，且与圆O 交于点P (3,4)，过点P 且斜率为k (k ≠0)的直线l 分别交圆O ，O 1于点A ，B .(1)若k ＝1，且|BP |＝72，求圆O 1的方程；(2)过点P 作垂直于直线l 的直线l 1分别交圆O ，O 1于点C ，D .当m 为常数时，试判断|AB |2＋|CD |2是否为定值？若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．解析 (1)当k ＝1时，直线l ：y －4＝x －3，即x －y ＋1＝0， 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫|m ＋1|22＋⎝⎛⎭⎫7222＝(m －3)2＋42， 整理得m 2－14m ＝0，解得m ＝14或m ＝0(舍去)， 所以圆O 1的方程为(x －14)2＋y 2＝137. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线l ：y －4＝k (x －3)，即y ＝kx －(3k －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －(3k －4)，x 2＋y 2＝25，消去y 得 (k 2＋1)x 2＋(8k －6k 2)x ＋9k 2－24k －9＝0， 由一元二次方程根与系数的关系，得 3·x 1＝9k 2－24k －9k 2＋1，所以x 1＝3k 2－8k －3k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －(3k －4)，(x －m )2＋y 2＝(m －3)2＋42，消去y 得， (k 2＋1)x 2＋(8k －6k 2－2m )x ＋9k 2－24k －9＋6m ＝0， 由一元二次方程根与系数的关系，得3·x 2＝9k 2－24k －9＋6m k 2＋1，所以x 2＝3k 2－8k －3＋2m k 2＋1，所以x 1－x 2＝3k 2－8k －3k 2＋1－3k 2－8k －3＋2m k 2＋1＝－2mk 2＋1.|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝(k 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m k 2＋12＝4m 2k 2＋1. 同理可得，|CD |2＝4m 2⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＝4m 2k 2k 2＋1，所以|AB |2＋|CD |2＝4m 2k 2＋1＋4m 2k 2k 2＋1＝4m 2为定值．1．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2，则以下命题中正确的是( D )A ．若d 1－d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交解析 当d 1＝d 2＝0时，可排除A 项，B 项，C 项，若d 1·d 2<0，则点P 1，P 2在直线l 的两侧，所以直线P 1P 2与直线l 相交．故选D.2．(高考改编)已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( B )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析 由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1， 即k AB ＝2－(－1)3－a＝1，a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b ＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.3．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( A )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析 圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，结合题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2⇒a <－2，故选A.4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( B )A ．7B ．6C ．5D ．4解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.故选B.5．(2017·河南洛阳一模)已知{(x ，y )|(m ＋3)x ＋y ＝3m －4}∩{(x ，y )|7x ＋(5－m )y －8＝0}＝∅，则直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4与坐标轴围成的三角形面积是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由于{(x ，y )|(m ＋3)x ＋y ＝3m －4}∩{(x ，y )|7x ＋(5－m )y －8＝0}＝∅，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m －4与直线7x ＋(5－m )y －8＝0平行，则有7×1＝(5－m )·(m ＋3)且7×(3m －4)≠8×(m ＋3)．由7×1＝(5－m )·(m ＋3)整理得m 2－2m －8＝0，解得m ＝－2或m ＝4.由7×(3m －4)≠8×(m ＋3)，得m ≠4，所以m ＝－2，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4的方程为x ＋y ＝－2，交x 轴于点(－2,0)，交y 轴于点(0，－2)，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4与坐标轴围成的三角形面积是12×2×2＝2，故选B.6．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为__x 2＋(y －1)2＝1__.解析 根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为2555. 解析 易知圆心为(2，－1)，r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝35，∴弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555. 8．(教材回归)如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为13 .解析 由题意，知直线l 过圆心C (2，－3)，当直线OC ⊥l 时，坐标原点到直线l 的距离最大，且最大距离为|OC |.|OC |＝22＋(－3)2＝13.9．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为 (x －1)2＋(y －2)2＝2 .(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点．下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是__①②③__(写出所有正确结论的序号)． 解析 (1)设圆心C (a ，b )，半径为r ，∵圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，∴a ＝1，r ＝|b |，又∵圆C 与y 轴正半轴交于两点，∴b >0，则b ＝r . ∵|AB |＝2，∴2＝2r 2－1，∴r ＝2， 故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. (2)设N (x ，y )，而A (0，2－1)，B (0，2＋1)， 则|NB |2|NA |2＝x 2＋(y －2－1)2x 2＋(y －2＋1)2＝x 2＋y 2－2(2＋1)y ＋3＋22x 2＋y 2－2(2－1)y ＋3－22， 又x 2＋y 2＝1，∴|NB |2|NA |2＝4＋22－2(2＋1)y4－22－2(2－1)y ＝2＋12－1·22－2y 22－2y ＝(2＋1)2， ∴|NB ||NA |＝2＋1，同理|MB ||MA |＝2＋1. ∴|NA ||NB |＝|MA ||MB |，且|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2＋1－12＋1＝2， |NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2＋1＋12＋1＝2＋1＋2－1＝22， 故正确结论的序号是①②③.10．(2017·河南郑州一模)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解析 (1)由题意，得|MP ||MQ |＝5，即(x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段长度为2×52－32＝8. 所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1.由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512.所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.1．(2017·四川绵阳质检)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C.2．若过点A (0，－1)的直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心的距离记为d ，则d 的取值范围为( A )A ．[0,4]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[0,1]解析 设圆心为B (0,3)，圆心B 到直线l 的距离d 的最大值为|AB |＝4，最小值为0(此时直线l 过圆心)，故选A.3．(2017·山东青岛模拟)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( D )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3)∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解析 ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ， 即d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn .又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋22，故选D.4．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( A )A.3 B ．2 C.2D ．4解析 如图所示，∵P A ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP ，|AB |＝2|AC |. ∵P (1，3)，O (0,0)，∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AC |＝2|AO |·sin ∠AOP ＝3，故选A.5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46D ．10解析 设圆心为P (a ，b )，由点A (1,3)，C (1，－7)在圆上，知b ＝3－72＝－2.再由|P A |＝|PB |，得a ＝1，则P (1，－2)，|P A |＝(1－1)2＋(3＋2)2＝5，于是圆P 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝－2±26，则|MN |＝|(－2＋26)－(－2－26)|＝4 6.6．(2017·陕西西安调研)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( A )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14解析 因为a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝(a ＋b )2－4ab 2＝(－1)2－4c 2＝12－2c ，因为0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22，故选A. 7．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( D )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析 当直线AB 的斜率不存在，且0<r <5时，有两条满足题意的直线l .当直线AB 的斜率存在时，由抛物线与圆的对称性知，k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l .设圆的圆心为C (5,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2y 0. ∵k CM ＝y 0x 0－5，且k AB k CM ＝－1，∴x 0＝3.∴r 2＝(3－5)2＋y 20>4(∵y 0≠0)，即r >2.另一方面，由AB 的中点为M 知B (6－x 1,2y 0－y 1)， ∵点B ，A 在抛物线上， ∴(2y 0－y 1)2＝4(6－x 1)，① y 21＝4x 1，②由①和②，得y 21－2y 0y 1＋2y 20－12＝0. ∵Δ＝4y 20－4(2y 20－12)>0，∴y 20<12.∴r 2＝(3－5)2＋y 20＝4＋y 20＝4＋y 20<16，∴r <4.综上，r ∈(2,4)，故选D.8．(2017·湖南七校一模)已知圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ，B ，则P A →·PB →的取值范围为( C )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．[22－3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤22－3，569 D.⎣⎡⎦⎤32，569解析 如图，设P A 与PB 的夹角为2α，则0<α<π2，|P A |＝|PB |＝1tan α，所以P A →·PB →＝|P A |·|PB |cos 2α＝1tan 2α·cos 2α＝cos 2αsin 2α·cos 2α＝cos 2α(1＋cos 2α)1－cos 2α＝(cos 2α－1)＋(cos 22α－1)＋21－cos 2α＝－1－(cos 2α＋1)＋21－cos 2α＝－3＋(1－cos 2α)＋21－cos 2α，令t ＝1－cos 2α，则设f (t )＝P A →·PB →＝t ＋2t －3.由图易知，点P 在椭圆左顶点时，α取得最小值，此时sin α＝13，而点P 接近椭圆右顶点时，α→π2，所以sin α∈⎣⎡⎭⎫13，1，所以t ＝1－cos 2α＝2sin 2α ∈⎣⎡⎭⎫29，2.易知f (t )在⎣⎡⎭⎫29，2上单调递减，在(2，2)上单调递增，则f (t )min ＝f (2)＝22－3，而f ⎝⎛⎭⎫29＝569，f (2)＝0，所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫29＝569，所以P A →·PB →的取值范围为⎣⎡⎦⎤22－3，569，故选C.9．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为__2__. 解析 依题意得a ×1＋(3－a )×(－2)＝0，解得a ＝2.10．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)，B (0,2)，C (0，－2)．易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0.令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52.故该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 11．过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝__5__. 解析 由x 2＋y 2－4y －1＝0，得x 2＋(y －2)2＝5，可知圆心为C (0,2)，半径r ＝5，∴|AC |＝(3－0)2＋(1－2)2＝10，∴|AB |＝10－5＝5，∴∠ACB ＝45°，∴CA →·CB →＝10×5×cos 45°＝5.12．(2017·四川成都一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上的动点为P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为__2__.解析 过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0(P 为垂足)，过P 作圆O 的切线P A (A 为切点)，连接OA，易知此时|P A|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝|1×0－2×0＋5|12＋22＝ 5.又|OA|＝1，所以|P A|＝|OP|2－|OA|2＝2，即所求最小值为2.第2讲椭圆、双曲线、抛物线题型一 椭圆及其性质1．(1)(2017·云南四市联考)F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为( D )A.24B.23C.63D.64(2)若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是__4__.突破点拨(1)利用椭圆的定义和几何性质转化求解． (2)运用椭圆的定义求解． 解析 (1)设P (x ，y )，|OP |2＝x2＋y 2＝a 28.由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，c 2a 2＝38，e ＝c a ＝64，故选D.(2)由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－6＝4.2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．突破点拨(1)利用原点到直线的距离，列关于a ，c 的方程求解．(2)利用(1)得出椭圆方程(含有字母b )，再利用弦AB 的长等于圆M 的直径求解． 解析 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.方法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0. 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.圆锥曲线的离心率的算法技巧(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解关键．(2)在求解有关离心率的问题时，并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．题型二 双曲线及其性质1．(1)(2017·山东部分重点中学模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，且△ABF 1为等边三角形，则双曲线的离心率是( B )A.2B.3C.2＋1D.3＋1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( D )A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 突破点拨(1)根据等边三角形列出等式，将等式用双曲线方程中的量表示，并转化为求离心率．(2)利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．解析 (1)由题意知，△F 1AB 为等边三角形，故|AF 1|＝|AB |.由双曲线的定义，得|AF 1|－12|AB |＝2a .因为|AB |＝2b 2a，可得b 2＝2a 2，所以e ＝ 3.故选B.(2)由双曲线的渐近线y ＝±bax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 2．(1)(2017·河南信阳二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( C )A ．4B ．6C ．8D ．10(2)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( D )A.433B ．23C ．6D ．43突破点拨(1)用渐近线方程确定a 的值，再利用定义求|PF 2|. (2)可用特殊位置法求解，如F 的横坐标x ＝2.解析 (1)双曲线x 2a 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2a x ，即2x ±ay ＝0.已知双曲线的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，∴a ＝3.由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即|2－|PF 2||＝6，∴|PF 2|＝8或－4，舍去－4.故选C.(2)双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F (2,0)， 其渐近线方程为3x ±y ＝0.不妨设A (2,23) ，B (2，－23)，所以|AB |＝43，故选D. 题型三 抛物线及其性质1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( C )A.72B.52 C ．3 D ．2突破点拨利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． 解析 因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF|＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.【变式考法】 把本例条件“FP →＝4FQ →”改为“PF →＝12PQ →”，其他条件不变，则|QF |＝__8__.解析 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，A 为l 与x 轴的交点．因为PF →＝12PQ →，所以|PF →|＝12|PQ →|.因为△P AF ∽△PQ ′Q ，所以|AF ||QQ ′|＝|PF ||PQ |，所以|QQ ′|＝8，则|QF |＝|QQ ′|＝8.2．(2017·福建福州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上．若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．突破点拨(1)利用抛物线的定义可求解．(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .联立抛物线方程，可推出b ＝1－2k 2，再写出S △OPQ ＝f (k )，利用基本不等式或求导的方法求f (k )max .解析 (1)抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2. 因为|AO |＝|AF |＝32，所以可求得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫±1436－p 2，p 4. 将点A 的坐标代入x 2＝2py ，得116(36－p 2)＝2p ×p4，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)依题意，可知l 与x 轴不垂直，故可设l 的方程为y ＝kx ＋b ， 并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点M (x 0,1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b . 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝4k 2＋2b ＝2，即b ＝1－2k 2.因为直线l 与C 交于P ，Q 两点， 所以Δ＝16k 2＋16b >0，得k 2＋b >0， 故k 2＋b ＝k 2＋1－2k 2>0，k 2∈[0,1)． 由y ＝kx ＋b ，令x ＝0得y ＝b ＝1－2k 2， 故S △OPQ ＝12|b ||x 1－x 2|＝12|1－2k 2|×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1－2k 2)2(1－k 2). 设t ＝1－2k 2，则t ∈(－1,1]．设y ＝(1－2k 2)2(1－k 2)＝t 2·t ＋12＝12(t 3＋t 2)，令y ′＝12(3t 2＋2t )＝32t ⎝⎛⎭⎫t ＋23＝0，得t ＝0或t ＝－23， 由y ′>0得t ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23∪(0,1]； 由y ′<0得t ∈⎝⎛⎭⎫－23，0. 所以y ＝12(t 3＋t 2)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－1，－23，(0,1]，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，0， 当t ＝－23时，y ＝227；当t ＝1时，y ＝1>227，故y max ＝1，所以S △OPQ 的最大值是2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的策略解答直线与圆锥曲线的位置关系的题，常常用到“设而不求”的方法，根据条件设出直线方程，与曲线联立，消去y ，整理出一个关于x 的二次方程，设出两个交点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2为二次方程的两个根，根据根与系数的关系，结合题中条件带入求解．注意：设直线方程时，考虑是否有斜率不存在的情况，若有，要讨论．圆锥曲线与其它知识的交汇和新定义问题(一)知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.思维导航把抛物线、圆、新定义综合起来，是不落俗套的新题．最值问题是圆锥曲线中的一类重要题型，这类问题中含有变化的因素，解题时需要在变化的过程中，掌握运动规律，抓住主变元．如本题，读懂新定义的含义，再依据题干中所含的等式，即可找到关于参数的方程，即可破解此类交汇性试题．规范解答C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2，圆心(0，－4)，圆心到直线l ：y ＝x 的距离为d ＝|0－(－4)|2＝22，故曲线C 2到直线l ：y ＝x 的距离为 d ′＝d －r ＝22－2＝ 2.对于曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令y ′＝2x ＝1， 得x ＝12，该切点为⎝⎛⎭⎫12，14＋a ， 则曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离为d ′＝2＝⎪⎪⎪⎪12－⎝⎛⎭⎫14＋a 2⇒a ＝94或a ＝－74(舍去)．答案 94【变式考法】 已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为 57. 解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×55±45×255＝11525或－55(舍去)．如图，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由正弦定理得 r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57.1．(教材回归)抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( B )A ．4B ．5 C.15D.10解析 由抛物线的定义知，点A 到焦点的距离等于点A 到其准线的距离．所以|AF |＝y 1＋p2＝4＋1＝5.故选B. 2．(2017·湖北武昌调考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( D )A.2B.3C.5D ．2解析 双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0.由于直线与圆相切，所以|3b －a |a 2＋b 2＝1，即(3b－a )2＝a 2＋b 2，所以ba＝3，双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.故选D.3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m ＝( D ) A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或8解析 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8.故选D. 4．(2017·上海浦东模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线上存在点P 使△OPF 2是以O 为顶点的等腰三角形，且|PF 1|＋|PF 2|＝22c 2－b 2，其中c 为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为( A )A.2B.2＋1C.3D.3＋1解析 由题意知|OP |＝|OF 2|，因为O 为F 1F 2的中点， 由平面几何知识有PF 1⊥PF 2. 由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝22c 2－b 2，从而有 |PF 1|＝a ＋2c 2－b 2，|PF 2|＝－a ＋2c 2－b 2. 由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，解得a 2＝b 2， 即ba＝1，所以双曲线的离心率为e ＝ 2. 5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( A )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1解析 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2，又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝1－b 24，因为1≤b <2，所以0<e ≤32.故选A.6．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的—个焦点，则p ＝ 22 .解析 拋物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，故直线x ＝－p2过双曲线x 2－y 2＝1的左焦点(－2，0)，从而－p2＝－2，得p ＝2 2.7．(2017·山东青岛二模)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点P是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为3 .解析 由已知和双曲线的定义有⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a 或⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a . 因为2c >2a ，所以△PF 1F 2中30°角所对的边长为2a . 由余弦定理有4a 2＝4c 2＋16a 2－16ac ·32， 即3a 2－23ac ＋c 2＝0，两边同除以a 2， 得e 2－23e ＋3＝0，所以e ＝ 3.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解析 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，点P (0,1)在C 1上， 所以c ＝1，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2. 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ， 消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0. 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 9．(考点聚焦)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解析 (1)由题设知，c a ＝22，b ＝1.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0. 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2. 10．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解析 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一 连接F 1Q ，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0， 从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|， 有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|. 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4， 解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 方法二 连接F 1Q ，由椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ， 从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2.因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.1．(2017·山东青岛二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C 的方程为( B ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 25＋y 24＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 225＋y 220＝1 解析 将直线方程y ＝x ＋3代入C 的方程并整理得(a 2＋b 2)·x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0.由椭圆与直线只有一个公共点，知Δ＝0，得a 2＋b 2＝9.又c a ＝a 2－b 2a ＝55，∴b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且两曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( C )A.2B.3 C ．1＋2D ．1＋3解析 因为两曲线的交点的连线过点F ，所以两曲线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫p2，±p ，代入双曲线方程可得⎝⎛⎭⎫p 22a 2－p 2b 2＝1，因为p2＝c ，所以c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，所以e 4－6e 2＋1＝0，又e >1，解得e ＝1＋2，故选C.3．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，c ＞0，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( B )A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12.故选B.4．(2017·山西太原模拟)已知抛物线K ：x 2＝2py (p >0)，焦点为F ，P 是K 上一点，K 在点P 处的切线为l ，d 为F 到l 的距离，则( D )A.d |PF |＝pB.d |PF |2＝pC.d |PF |＝2p D.d 2|PF |＝p 2解析 使点P 为原点O ，则切线l 为x 轴，且d ＝p 2，|PF |＝p2.代入四个选项中检验知选D.5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上的一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( B )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x解析 依题意，设M (x ，y )，因为|OF |＝p2.所以|MF |＝2p ，即x ＋p 2＝2p ，解得x ＝3p2，y ＝3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .故选B.6．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程为( A )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， 解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ， 所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°， 所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°， 得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.故选A.7．(2017·湖南雅礼中学调研)已知抛物线E ：y 2＝2px (0<p <4)的焦点为F ，点P 为E 上一。

（十七） “解析几何”专题提能课A 组——易错清零练1．(2018·嘉兴模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，其中a ∈R ，则“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若l 1⊥l 2，则a ＋a (a ＋2)＝0，即a (a ＋3)＝0，解得a ＝0或a ＝－3，所以“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．故选A.2．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( )A.3＋72 B.11＋332C.3＋396D.1＋174解析：选C 由题意可知AB 是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB ＝∠OAB ，可知 △AOB 为等边三角形，所以tan ∠AOF ＝b 2a c ＝33，整理得b 2＝33ac ，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋33ac ，两边同时除以a 2，得e 2－33e －1＝0，解得e ＝3＋396.故选C. 3．过点P (2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±12x ，点P 在直线y ＝12x 上．①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 即y ＝kx ＋1－2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－2k ，x 2－4y 2＝4，消去y 得x 2－4(kx ＋1－2k )2＝4， 即(1－4k 2)x 2－8(1－2k )kx －4(1－2k )2－4＝0，(*)若1－4k 2＝0，则k ＝±12，当k ＝12时，方程(*)无实数解，因此k ＝12不满足题意；当k ＝－12时，方程(*)有唯一实数解，因此k ＝－12满足题意．若1－4k 2≠0，即k ≠±12，此时Δ＝64k 2(1－2k )2＋16(1－4k 2)[(1－2k )2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k 不存在．综上所述，满足题意的直线l 共有2条．4．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.解析：①当椭圆的焦点在x 轴上时， 则a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝4－(3)2＝1. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1，则b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故1－b 2a 2＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ， 所以a ＝4，m ＝a 2＝16.综上，m ＝1或16. 答案：1或165．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．解析：如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B 两点．连接MC 1，MC 2.根据两圆外切的条件，得 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2<6＝|C 1C 2|. 所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大)，可设轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0，x <0)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <0)． 答案：x 2－y 28＝1(x <0)B 组——方法技巧练1．已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|M Q |－|Q F |的最小值是( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：选C 抛物线的准线方程为x ＝－12，过Q 作准线的垂线，垂足为Q ′，如图．依据抛物线的定义，得|Q M |－|Q F |＝|Q M |－|QQ ′|，则当Q M 和QQ ′共线时，|Q M |－|QQ ′|的值最小，最小值为⎪⎪⎪⎪－3－⎝⎛⎭⎫－12＝52. 2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t ，0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：选D 依题意，设点P (3＋cos θ，1＋sin θ)， ∵∠APB ＝90°，∴AP ―→·BP ―→＝0，∴(3＋cos θ＋t )(3＋cos θ－t )＋(1＋sin θ)2＝0， 得t 2＝5＋23cos θ＋2sin θ＝5＋4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈[－1,1]，∴t 2∈[1,9]， ∵t ＞0，∴t ∈[1,3]．3．(2018·金华、台州、温州三市联考)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则 △PF 1Q 的周长为( )A.1633B ．5 3 C.1433D ．4 3解析：选A 易知双曲线C ：x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝2，则F 1(－2,0)，F 2(2,0)．因为点P 的横坐标为2，所以P Q ⊥x 轴．令x ＝2，则y 2＝43－1＝13，则y ＝±33，即|PF 2|＝33，则|PF 1|＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2＝733，故△PF 1Q 的周长为|PF 1|＋|Q F 1|＋|P Q |＝1633，故选A. 4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 B.⎝⎛⎭⎫2－22，2＋22 C ．[2－2，2＋2]D.()2－2，2＋2解析：选A 圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°.在Rt △PAO 中，|PO |＝AOsin ∠APO＝2，又圆M 的半径为1，圆心坐标为M (a ，a －4)， ∴|MO |－1≤|PO |≤|MO |＋1， ∵|MO |＝a 2＋(a －4)2， ∴a 2＋(a －4)2－1≤2≤a 2＋(a －4)2＋1，解得2－22≤a ≤2＋22. ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22. 5．(2018·宁波模拟)如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的交点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，则C 1与C 2的离心率之和为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．2 6解析：选A 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A ，B关于原点对称，又AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，故|AF 1|＝|OF 1|＝|OA |＝|OB |＝c ，∴A ⎝⎛⎭⎫－c 2，32c ，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，结合b 2＝a 2－c 2及e ＝c a ，整理可得，e 4－8e 2＋4＝0，∵0<e <1，∴e 2＝4－23＝(3－1)2，∴e ＝3－1. 同理可求得双曲线的离心率e 1＝3＋1， ∴e ＋e 1＝2 3.6．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p2， 由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2·x 1＋x 2p，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，∴b 2a 2＝12，故b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22xC 组——创新应用练1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，54 D.⎝⎛⎭⎫54，＋∞ 解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎨⎧y ＜b a x ，y ＞－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜2b a ，即b a ＞12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝ba ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB ||OA |，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ，∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB ||OA |＝m 34m ＝43，解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝ca ＝ 5.4．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上的一点．△F 1PF 2中，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .当点P 在椭圆上运动时，求点R 的轨迹方程．解：如图，直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线且点F 2与点Q 关于直线l 对称，由椭圆的光学性质知，F 1，P ，Q 三点共线．根据对称性，|P Q |＝|PF 2|，所以|F 1Q |＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a .连接OR ，因为O 为F 1F 2的中点，R 为F 2Q 的中点，所以|OR |＝12|F 1Q |＝a .设R (x ，y )，则x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)，故点R 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)．5．(2018·诸暨高三适应性考试)已知F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，过F 的直线交抛物线C 于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1x 2＝－1.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点B 作x 轴的垂线交直线AO (O 是原点)于D ，过点A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为E ，AE 中点为G .①求点D 的纵坐标； ②求|GB ||GD |的取值范围．解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y ，化简得x 2－2pkx －p 2＝0， ∴x 1x 2＝－p 2＝－1，∴p ＝1， ∴抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)①∵直线OA 的方程为y ＝y 1x 1x ＝x 12x ，∴D ⎝⎛⎭⎫x 2，x 1x 22，即D ⎝⎛⎭⎫x 2，－12. 即点D 的纵坐标为－12.②∵k DF ＝－1x 2，∴k AE ＝x 2，∴直线AE 的方程为y －y 1＝x 2(x －x 1)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x 2(x －x 1)，y ＝x 22消去y ，得x 22－x 2x －y 1－1＝0，∴x E＝2x2－x1，∴G(x2,2y2＋y1＋1)，∴G，B，D三点共线．∴|GB||GD|＝y2＋y1＋12y2＋y1＋32.∵y1·y2＝1 4，∴|GD||GB|＝2－y1＋1214y1＋y1＋1＝2－y1y1＋12＝2－11＋12y1∈(1,2)．∴|GB||GD|∈⎝⎛⎭⎫12，1.。

（五）平面解析几何中的高考热点问题[命题解读] 1. 圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上．2．高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考中的解答题，在第(1)问中常以求曲线的标准方程，在第(2)问以求作或证明位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主. 这些试题的命制有一个共同特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高.圆锥曲线的方程与性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常见题型，多以选择题或填空题的形式考查，各种难度均有可能．【例1】(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1 B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1 D.x24－y23＝1B[由y＝52x可得ba＝52.①由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为x24－y25＝1.故选B.](1)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )A ．2 B. 3C.2D.233(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10(1)A (2)A [(1)设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2， 由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝2.故选A.(2)因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k ，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1， 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4＝4(1＋k 2)k 2. 同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k 2＋4(1＋k 2) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，取得等号． 故选A.]定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等定值问题．【例2】 (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1， 所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t－4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. 而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ， 即y ＋1＝－m ＋12(x －2)， 所以l 过定点(2，－1)．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,1)，且离心率为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：y ＝12x ＋m 与椭圆E 交于A ，C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．[解] (1)由题意可知，椭圆的焦点在x 轴上，椭圆过点(0,1)，则b ＝1. 由椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32，解得a ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，线段AC 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0.由Δ＝(2m )2－4(2m 2－2)＝8－4m 2>0，解得－2<m <2， 所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2m ＝m ，所以线段AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，12m .则|AC |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋14×4m 2－4×(2m 2－2)＝10－5m 2.l 与x 轴的交点为N (－2m,0)，所以|MN |＝(－m ＋2m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝54m 2，所以|BN |2＝|BM |2＋|MN |2＝14|AC |2＋|MN |2＝52. 故B ，N 两点间的距离为定值102.圆锥曲线中的最值问题大致分为两类：一类是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二类是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．【例3】 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， 则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869 9－n 2，当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值． [解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，又y ′＝－x ，所以－x 0＝2，故x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，故x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，所以|AB |＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22×(－4)2－4×(－4)＝410.所以△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.圆锥曲线中的证明问题是高考的常考热点，其命题切入点较多，既可以考查位置关系，也可以与定点、定值、存在性问题综合命题，有时也涉及一些否定质命题，证明时一般常用直接法或反证法．难度一般较大．【例4】 (本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .[信息提取] 看到求直线方程，想到利用先求斜率再利用点斜式求直线方程；看到证明两角相等，想到利用两直线的斜率之和为0可证明两角相等． [规范解答] (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1. 1分 由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 2分又M (2,0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. 3分(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 4分当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .5分 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，6分则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.7分由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2). 8分将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1. 9分则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 11分 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .12分[易错与防范] 解答本题(2)时易漏掉对特殊情况讨论，即直线与x 轴重合及直线与x 轴垂直，想当然认为斜率一定存在而致错，解答此类问题时应特别注意直线斜率存在与否．[通性通法] 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． [解] (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，所以C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a .当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．[大题增分专训]1．(2019·衡水联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(－2，1)，离心率为22，直线l ：kx －y ＋2＝0与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在实数k ，使得|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由．[解](1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋2y 2＝4，消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋4＝0. 则Δ＝64k 2－16(1＋2k 2)>0，即k >22或k <－22.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝41＋2k 2. 由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，得OA →·OB →＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0. ∴4(1＋k 2)1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋4＝0，即8－4k 21＋2k 2＝0， ∴k 2＝2，即k ＝±2，满足(*)式．故存在实数k ＝±2，使得|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|成立．2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|.[证明] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m . 由题设得0<m <32，故k <－12. (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P 1，－32，|FP →|＝32. 于是|F A →|＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋31－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|.3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且F 2A →＝λF 2B →，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．[解] (1)由题易知c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎨⎧x ＝ky ＋1，x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0，Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得y 1＋y 2＝－2kk 2＋2，y 1y 2＝－1k 2＋2.QC →＝QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4(k 2＋1)k 2＋2，－2k k 2＋2，∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2， 由此可知，|QC →|2的大小与k 2的取值有关． 由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2，1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2，由λ∈[－2，－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－2，从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤27.令t ＝1k 2＋2，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12，∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742－172，∴当t ＝12时，|QC →|min ＝2.。

高考解析几何大题题型归纳学而思
命题趋向：解析几何例命题趋势：
1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以填空题的形式出现，每年必考
2.考查直线与二次曲线的普通方程，属容易题，对称问题常以填空题出现
3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题。

考点透视：
一.直线和圆的方程
1.理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.
2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.
3.了解二元一次不等式表示平面区域.
4.了解线性规划的意义，并会简单的应用.
5.了解解析几何的基本思想，了解坐标法.
6.掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.
二.圆锥曲线方程
1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.
2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.
3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.
4.了解圆锥曲线的初步应用.。

高考解析几何大题题型归纳高考解析几何大题题型归纳一、三角形的性质与判定在高中数学中，三角形是一个重要的图形。

学生在高考中常常会遇到与三角形性质与判定相关的大题。

在这一题型中，常见的题目包括用三角形的边长、角度或者特殊性质来判断三角形的形状、大小或者其他性质。

二、直线与线段的相交问题直线和线段是解析几何题目中常见的图形。

学生在高考中常常会遇到关于直线和线段相交问题的大题。

在这一题型中，学生需要根据已知条件求解未知的角度、线段长度或者其他相关问题。

三、圆的性质与判定圆是解析几何题目中一个重要的图形。

学生在高考中经常会遇到与圆的性质与判定相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断圆的位置，或者通过已知条件求解未知物品与圆的关系。

四、平行线与垂直线的判定平行线与垂线也是高考解析几何题目中常见的考点。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判定两条线是否平行或者垂直，或者根据已知条件求解未知的线段长度或者角度。

五、多边形的性质与判定在解析几何题中，多边形也是一个重要的图形。

学生在高考中常常会遇到与多边形的性质与判定相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断多边形的形状、大小或者其他性质，或者求解未知的角度或者线段长度。

六、空间几何问题空间几何问题在高考中也是一个重要的考点。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来求解空间中的角度、线段长度或者其他相关问题。

这类题目常常需要学生运用立体几何知识和空间想像力来进行推理和求解。

七、向量的应用在解析几何题目中，向量是一个重要的工具。

学生在高考中常常会遇到与向量的应用相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用向量的性质来求解角度、线段长度或者其他相关问题。

总结：解析几何题目涉及到的题型很多，常见的包括三角形的性质与判定、直线与线段相交问题、圆的性质与判定、平行线与垂直线的判定、多边形的性质与判定、空间几何问题以及向量的应用等。

针对这些题型，学生在备考中应该重点复习相关知识，并且多进行一些练习题，以加深对题型的理解和应用能力。