20052018浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题教师版

一、选择题1．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在直线的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝02．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( ) A ．9B ．3C ．2 3D ．23．(2016·丽水一模)已知圆x 2＋y 2＝4，过点P (0，3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是( ) A. 3B ．2C ．2 3D ．44．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7B ．6C ．5D ．45．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A ．m ∥l ，且l 与圆相交 B ．m ⊥l ，且l 与圆相切 C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离6．(2016·嘉兴期末)已知圆心在原点，半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中A (4,0)，B (6,8)，C (2,4)，则R 的取值范围是( ) A ．[855，10]B ．[4,10]C ．[25，10]D ．[655，10]7．(2016·西安西工大附中第一次适应性训练)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定8．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π12，π4B.⎣⎡⎦⎤π12，5π12C.⎣⎡⎦⎤π6，π3D.⎣⎡⎦⎤0，π2 二、填空题9．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB |最小，则直线l 的方程是________．10．(2016·杭州学军中学模拟)已知动直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________，动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________． 二、解答题11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．答案解析1．B [以PO 为直径的圆(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝134与圆x 2＋y 2＝1的公共弦即为所求，直线方程为2x ＋3y －1＝0.]2．B [由题意知，圆心⎝⎛⎭⎫1，－m2在直线2x ＋y ＝0上， ∴2－12m ＝0，解得m ＝4，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆的半径为3.]3．B [当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2，所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝4－d 2·d ＝(4－d 2)d 2≤4－d 2＋d 22＝2，当且仅当4－d 2＝d 2，即d ＝2时等号成立，所以△OAB 面积的最大值是2.]4．B [由题意知以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，且|OC |＝5，于是m －1≤5≤1＋m ，即4≤m ≤6.]5．C [∵P (a ，b )是x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内一点， ∴a 2＋b 2＜r .又∵m 是以P 为中点的弦所在直线． ∴m 的方程为y －b ＝－1b a(x －a )，即ax ＋by ＝a 2＋b 2＜r 2，而l 的方程为ax ＋by ＝r 2. ∴m ∥l .又圆心O (0,0)到直线l 的距离 d ＝|0＋0－r 2|a 2＋b 2＝r 2a 2＋b 2＞r 2r ＝r .∴l 与圆相离．]6．A [由图象(图略)可得当圆与AC 边相切时，R 取得最小值，直线AC 的方程为2x ＋y －8＝0，则由点到直线的距离公式可得R min ＝855.当圆经过点B 时，R 取得最大值，则R max ＝10，所以R 的取值范围是[855，10]，故选A.]7．B [圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，表示以O (1，－1)为圆心、3为半径的圆． 圆心到直线的距离d ＝|(a ＋1)－(a －1)＋2a |(a ＋1)2＋(a －1)2＝|2a ＋2|2a 2＋2.9－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1，而方程7a 2－4a ＋7＝0的判别式 Δ＝16－196＝－180＜0，故有9>d 2，即d <3，故直线和圆相交．] 8．B [由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0，得 (x －2)2＋(y －2)2＝18， ∴r ＝3 2.如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，从而易求l 1的倾斜角为π12，l 2的倾斜角为5π12，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤π12，5π12.]9．x －y ＋3＝0解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使|AB |最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. 10．0或2 27解析 若两直线垂直，则有m －m (m －1)＝0， 解得m ＝0或m ＝2；把圆C 的方程化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，所以圆心坐标为C (1,0)，半径为3. 因为动直线l 过定点P (0，－1)，所以最短弦长为过定点P 且与PC 垂直的弦，此时弦长L＝2r2－|PC|2＝232－(12＋12)2＝27. 11．解(1)易知直线l1：y＝2，设l1交l于点D，则D(23，2)，因为直线l的斜率为3 3，所以l的倾斜角为30°，所以l2的倾斜角为60°，所以k2＝3，所以反射光线l2所在的直线方程为y－2＝3(x－23)，即3x－y－4＝0.由题意，知圆C与l1切于点A，设圆心C的坐标为(a，b)，因为圆心C在过点D且与l垂直的直线上，所以b＝－3a＋8，①又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，所以a＝33，②由①②得a＝33，b＝－1，故圆C的半径r＝3，故所求圆C的方程为(x－33)2＋(y＋1)2＝9.综上，l2所在直线的方程为3x－y－4＝0，圆C的方程为(x－33)2＋(y＋1)2＝9.(2)设点B(0，－4)关于l对称的点为B′(x0，y0)，即y0－42＝33·x02，且y0＋4x0＝－3，解得x0＝－23，y0＝2，故B′(－23，2)．由题意易知，当B′，P，Q三点共线时，|PB|＋|PQ|最小，故|PB|＋|PQ|的最小值为|B′C|－3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P (32，12)， 故|PB |＋|PQ |的最小值为221－3， 此时点P 的坐标为(32，12)．。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：互斥，则 相互独立，则分别表示台体的上、下底面积，台体的高柱体的体积公式表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式表示锥体的底面积，表示锥体的高球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2. 双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.详解：因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4. 复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5. 函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：8. 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...10. 已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2018年高考浙江数学试题与答案解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}【解答】解：根据补集的定义，∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件．(∁U A={2，4，5}故选：C．2．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，；由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8·【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．故该几何体的体积为：V=．故选：C ．4．复数（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i 【解答】解：化简可得z===1+i ，—∴z 的共轭复数=1﹣i 故选：B ．5．函数y=2|x|sin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据函数的解析式x y x 2sin 2||=，得到：函数的图象为奇函数，故排除A 和B ．《当x=时，函数的值也为0，故排除C ．故选：D ．6．已知平面α，直线n m ,满足αα⊂∉n m ,，则“n m //”是“α//m ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：∵αα⊂∉n m ,，∴当nm//时，α//m成立，即充分性成立，当α//m时，nm//不一定成立，即必要性不成立，则nm//是α//m的充分不必要条件．故选：A．7．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ/12P@则当p在（0，1）内增大时，（）A．)(ξD减小B．)(ξD增大C．)(ξD先减小后增大 D. )(ξD先增大后减小￥【解答】解：设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是)(ξE=0×+1×+2×=p+；方差是)(ξD=×+×+×=﹣p2+p+=﹣+，∴)21,0(∈P p∈（0，）时，)(ξD单调递增；')1,21(∈P时，)(ξD单调递减；∴)(ξD先增大后减小．故选：D．8．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，连接SN，取CD 中点M ，连接SM ，OM ，OE ，则EN=OM ， 则θ1=∠SEN ，θ2=∠SEO ，θ3=∠SMO ． 显然，θ1，θ2，θ3均为锐角． ∵tanθ1==，tanθ3=，SN ≥SO ，∴θ1≥θ3，$又sinθ3=，sinθ2=，SE ≥SM ，∴θ3≥θ2．故选：D ．9．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（ ） A ．﹣1 B ．+1C ．2D ．2﹣【解答】解：由﹣4•+3=0，得，∴（）⊥（），《如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O 的两条射线y=（x＞0）上． 不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A ．￥10．已知4321,,,a a a a 成等比数列，且)ln(3214321a a a a a a a ++=+++，若11>a ，则（ ）A ．4231,a a a a <<B ．4231,a a a a <> C．4231,a a a a ><D ．4231,a a a a >>【解答】解：4321,,,a a a a 成等比数列，等比数列的性质奇数项符号相同，偶数项符号相同，11>a ，设公比为q ，当0>q 时，3214321a a a a a a a ++>+++，)ln(3214321a a a a a a a ++=+++不成立，[即：4231,a a a a >>，4231,a a a a <<，不成立，排除A 、D ．当1-=q 时，0)ln(,03214321>++=+++a a a a a a a ，等式不成立，所以1-≠q ； 当1-<q 时，)ln(,03214321>++<+++a a a a a a a ，)ln(3214321a a a a a a a ++=+++不成立，当)0,1(-∈q 时，0,04231<<>>a a a a ，并且)ln(3214321a a a a a a a ++=+++，能够成立， 故选：B ．^二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江高考历年真题之解析几何大题（教师版）1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 在直线l 上运动，求∠F 1PF 2的最大值．的最大值．解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则2111,a MA a A F a c c =-=-，()2222224aa a c c a abc ì-=-ïïï=íï=+ïïî由题意由题意,,得 2,3,1a b c \=== ，22 1.43x y +=故椭圆方程为(Ⅱ)()004,,0P y y -¹设2、（2006年）如图，椭圆by a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T 且椭圆的离心率e=23. (Ⅰ)求椭圆方程；求椭圆方程；(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2121||||||2AT AF AF ＝ 。

解析：（Ⅰ）过（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为的直线方程为 12x y +=因为由题意得22221112x y a b y x ì+=ïï+íï=-+ïî有惟一解．即2222221()04b a x a x a b +-+=有惟一解, 所以2222(44)0(0),a b a b ab D =+-=¹， 故22(44)0a b +-=又因为又因为 32c =,即22234a b a -= ， 所以224a b = ，从而得2212,,2a b == 故所求的椭圆方程为22212x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）得62c =,所以所以 1266(,0),(,0)22F F - 由 22221112x y a b y x ì+=ïï+íï=-+ïî解得解得 121,x x ==, 因此1(1,)2T =.从而从而 254AT =, 因为1252AF AF ×=, 所以21212AT AF AF =× 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．的方程．解析：（I ）设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，．由2214x y +=，解得21,221x b =±-所以222121||21112S b x x b b b b =-=-£+-=，当且仅当22b =时，．S 取到最大值1．（Ⅱ）解：由2214y kx bx y =+ìïí+=ïî得222(41)8440k x kbx b +++-=2216(41)k b D =-+ ①｜AB ｜＝222212216(41)1||1241k b k x x kk -++-=+=+ ②又因为O 到AB 的距离2||21||1b Sd AB k===+ 所以221b k =+ ③③代入②并整理，得424410k k -+=，解得，2213,22k b ==，代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是的方程是2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+或2622y x =--．4、（2008年）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹。

2018年浙江省高考数学试题答案（详细解析版）1．解：根据补集的定义，∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件．∁U A={2，4，5}故选：C．2．解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B．3．解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：V=．故选：C．4．解：化简可得z===1+i，∴z的共轭复数=1﹣i故选：B．5．解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．解：∵m⊄α，n⊂α，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．7．解：设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是E（ξ）=0×+1×+2×=p+；方差是D（ξ）=×+×+×=﹣p2+p+=﹣+，∴p∈（0，）时，D（ξ）单调递增；p∈（，1）时，D（ξ）单调递减；∴D（ξ）先增大后减小．故选：D．8．解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，连接SN，取CD中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO．显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．∵tanθ1==，tanθ3=，SN≥SO，∴θ1≥θ3，又sinθ3=，sinθ2=，SE≥SM，∴θ3≥θ2．故选：D．9．解：由﹣4•+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．10．解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．11．解：，当z=81时，化为：，解得x=8，y=11．故答案为：8；11．12．解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图：其中B（4，﹣2），A（2，2）．设z=F（x，y）=x+3y，将直线l：z=x+3y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值．∴z最小值=F（4，﹣2）=﹣2．可得当l经过点A时，目标函数z达到最最大值：z最大值=F（2，2）=8．故答案为：﹣2；8．13．解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．14．解：由=．令=0，得r=2．∴二项式（+）8的展开式的常数项是．故答案为：7．15．解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）=的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则λ∈（1，3]．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]．16．解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法，从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有种方法，可以组成=720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有=540，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．17．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），=2，可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，可得y1﹣2y2=﹣m，解得y1=，y2=，则m=x22+（）2，即有x22=m﹣（）2==，即有m=5时，x22有最大值16，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．18．解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．19．（I）证明：∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，∴AA1∥BB1，=4，BB1=2，AB=2，∵AA∴A1B1==2，又AB1==2，∴AA12=AB12+A1B12，∴AB1⊥A1B1，同理可得：AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1=B1，∴AB1⊥平面A1B1C1．（II）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，∵AB=BC，∴OB⊥OC，∵AB=BC=2，∠BAC=120°，∴OB=1，OA=OC=，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，﹣，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，，1），∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2，1），设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（﹣，1，0），∴cos＜＞===．设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=．∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为．20．解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n+1﹣b n）a n=4n﹣1，即有b n+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．21．解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为（，），抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，可得（）2=4•，（）2=4•，化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根，可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，可得n=，则PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，可得m2+=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，由（Ⅰ）可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=|PM|•|y1﹣y2|=（﹣m）•=[•（4n2﹣16m+2n2）﹣m]•=（n2﹣4m），可令t===，可得m=﹣时，t取得最大值；m=﹣1时，t取得最小值2，即2≤t≤，则S=t3在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，△PAB面积的取值范围为[6，]．22．证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣lnx，∴x＞0，f′（x）=﹣，∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，∴=﹣，∵x1≠x2，∴+=，由基本不等式得：=≥，∵x1≠x2，∴x1x2＞256，由题意得f（x 1）+f（x2）==﹣ln（x1x2），设g（x）=，则，∴列表讨论：∴g（x）在[256，+∞）上单调递增，∴g（x1x2）＞g（256）=8﹣8ln2，∴f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．（Ⅱ）令m=e﹣（|a|+k），n=（）2+1，则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，f（n）﹣kn﹣a＜n（﹣﹣k）≤n（﹣k）＜0，∴存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h′（x）==，其中g（x）=﹣lnx，由（1）知g（x）≥g（16），又a≤3﹣4ln2，∴﹣g（x）﹣1+a≤﹣g（16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0，∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴方程f（x）﹣kx﹣a=0至多有一个实根，综上，a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．。

2005年高考浙江理科数学试题及答案本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按能上能下要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径. 球的表面积公式：24S Rπ=，其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑， 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤,则M N =A.[1,2）B.[1,2]C.[2,3]D.[2,3]2. 复数22iz i-=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若点(,9)a 在函数3xy =的图像上，则tan6a π的值为 A.0C.14.不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A.[-5，7]B.[-4，6]C.(][),57,-∞-+∞D.(][),46,-∞-+∞5.对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图像关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若函数()sin f x x ω=（ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A.23B.32C.2D.37.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 23 5 销售额y （万元） 49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元8.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆:C 22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 9.函数2sin 2xy x =-的图像大致是10.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A.6B.7C.8D.911.右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是 A.3B.2C.1D.012. 设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=()λ∈ ，1412A A A A μ= （μ∈ ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点(,0),(,0)(,)C c D d c d ∈ 调和分割点(0,0),(1,0)A B ，则下面说法正确的是A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.,C D 可能同时在线段AB 上D. ,C D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 执行右图所示的程序框图，输入2,3,5l m n ===，则输出的y 的值是14.若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . 15.设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .16. 已知函数()f x =log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数()f x 的零点*0(,1),x n n n ∈+∈ ,则n = ．三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=．（I ）求sin sin CA的值； （II ）若1cos 4B =，2b =，求ABC ∆的面积S .18.（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员,,A B C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立. （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ. 19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ACB ∠=︒，EA ABCD ⊥平面，//EF AB ，//FG BC ，//EG AC ，2AB EF =.（Ⅰ）若M 是线段AD 的中点，求证：//GM ABFE 平面; （Ⅱ）若2AC BC AE ==,求二面角A BF C --的大小． 20.（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何（Ⅰ）求数列n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和n S ．21.（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞．设该容器的建造费用为y 千元．（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ． （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．22.（本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆:C 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且OPQ ∆的面积OPQ S ∆其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点,,D E G ，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1—12 ADDDBCBACBAD 二、填空题13．68 14．4 15．(21)2n nxx -+ 16．2三、解答题 17．解：（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C=== 则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B ---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C AB B--= 即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=，所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin CA = （II ）由sin 2sin CA=得2.c a = 由余弦定理22222212cos cos ,2,4144.4b ac ac B B b a a =+-==+-⨯及得4=a解得a=1。

浙江历年理科高考题之立体几何大题（教师版）1、（2005年）18．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)当k ＝21时，求直线P A 与平面PBC 所成角的大小； (Ⅱ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？解：方法一：(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点，OD PA ∴ ∥PA PAB ⊂又平面， OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)AB BC OA OC ⊥= ，，OA OB OC ∴== ，OP ABC ⊥ 又 平面，.PA PB PC ∴== E PE BC POE ⊥取BC 中点，连结，则平面OF PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面 ODF OD PBC ∴∠ 是与平面所成的角.又OD PA ∥，∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠，sin OF Rt ODF ODF OD ∆∠==在中，APBC ∴ PA 与平面所成的角为 （Ⅲ）由(Ⅱ)知，OF PBC ⊥平面，∴F 是O 在平面PBC 内的射影 ∵D 是PC 的中点，若点F 是PBC ∆的重心，则B ，F ，D 三点共线， ∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，,,OB PC PC BD PB PC ⊥∴⊥∴= ，即k =反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥，∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心方法二：OP ABC ⊥ 平面，,OA OC AB BC ==，,,.OA OB OA OPOB OP ∴⊥⊥⊥以O 为原点，射线OP 为非负z轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）设,AB a =则,0,0,0,,0,222A a B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设OP h =，则()0,0,P h(Ⅰ) D 为PC的中点，1,0,42OD a h ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，又1,0,,,//22PA a h OD PA OD PA ⎛⎫=-∴=-∴ ⎪⎪⎝⎭，∴ (Ⅱ)12k = ，即2,,,0,PA a h PA ⎫=∴=∴=⎪⎪⎝⎭，可求得平面PBC 的法向量1,1,n ⎛=- ⎝ ，cos ,30||||PA n PAn PA n ⋅∴〈〉==⋅， 设PA 与平面PBC 所成的角为θ，则sin |cos ,|30PA n θ=〈〉= ，（Ⅲ）PBC ∆的重心1,663G a h ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,663OG a h⎛⎫∴=- ⎪⎪⎝⎭，,OG PBC OG PB ⊥∴⊥ 平面，又22110,,,0,2632PB a h OGPB a h h a ⎛⎫=-∴⋅=-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭， PA a ∴=，即1k =，反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥，∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心2、（2006年）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点.(Ⅰ)求证：PB ⊥DM;(Ⅱ)求CD 与平面ADMN 所成的角。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．=++++∞→2321lim nnn （ ）A ．2B ．1C ．21D ．0 2．点（1，－1）到直线01=+-y x 的距离是（ ）A ．21B ．23 C ．22 D ．223 3．设=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=)]21([,1||,11,1||,2|1|)(2f f x x x x x f 则（ ）A ．21B ．134 C ．59-D ．4125 4．在复平面内，复数2)31(1i ii+++对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是 （ ）A ．74B ．121C ．－74D ．－1216．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且βα⊂⊂m l ,. 有如下两个命 题：①若m l //,//则βα；②若.,βα⊥⊥则m l 那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题7．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边 界的阴影部分）是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知4-<k ，则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是 （ ）A ．1B ．－1C ．12+kD ．12+-k9．设})(|{}.7,6,5,4,3{},5,4,3,2,1{),(12)(P n f N n P Q P N n n n f ∈∈===∈+=记， P Q n f N n Q (},)(|{则∈∈= )Q Q ( =)P（ ）A ．{0，3}B ．{1，2}C ．{3，4，5}D ．{1，2，6，7}10．已知向量a ≠e ，|e |=1满足：对任意∈t R ，恒有|a －t e |≥|a －e |. 则 （ ）A ．a ⊥eB ．a ⊥（a －e ）C ．e ⊥（a －e ）D ．（a +e ）⊥（a －e ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. 11．函数∈+=x x xy (2R ，且)2-≠x 的反函数是 . 12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E(如图).现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ， 则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于 .13．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 . 14．从集合{O ，P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母O 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法种 数是 （用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数.cos sin sin 3)(2x x x x f +-= （Ⅰ）求)625(πf 的值； NDABC（Ⅱ）设ααπαsin ,2341)2(),,0(求-=∈f 的值.16．已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f += （Ⅰ）求函数)(x g 的解析式； （Ⅱ）解不等式.|1|)()(--≥x x f x g17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线x l 与轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线11),1|(|:l P x m x l 为>=上的动点，使21PF F ∠最大的点P 记为Q ，求点Q的坐标（用m 表示）.18．如图,在三棱锥P —ABC 中,,,kPA BC AB BC AB ==⊥点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,OP ⊥底面ABC.（Ⅰ）求证OD//平面PAB ； （Ⅱ）当21=k 时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小; （Ⅲ）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?P19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p .（Ⅰ）从A 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有3次摸到红球即停止. ( i ) 求恰好摸5次停止的概率; ( ii ) 记5次之内 (含5次) 摸到红球的次数为ξ, 求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（Ⅱ）若A 、B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A 、B 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是52, 求p 的值.20．设点)2.(),0,(1-n n n n n x P x A 和抛物线),(:2*∈++=N n b x a x y C n n n 其中n n n x n a ,21421----=由以下方法得到：)2,(,1221x P x 点=在抛物线1121:b x a x y C ++=上，点A 1（x 1，0）到P 2的距离是A 1到C 1上的最短距离，……，点)2,(11n n n x P ++在抛物线上n n n b x a x y C ++=2:上，点1)0,(+n n n P x A 到的距离是A n到C n 上点的最短距离. （Ⅰ）求12C x 及的方程；（Ⅱ）证明}{n x 是等差数列.数学试题（理科）参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。

糖果工作室 原创 欢迎下载！第 1 页 共 11 页绝密★考试结束前2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．limn →∞2123nn ++++＝( )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)0 2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C) 2(D)23．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 25414．在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点位于( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －1216．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题7．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )(A) (B) (C) (D)8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩NQ ∧)∪(Q ∧∩NP ∧)＝( )(A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7} 10．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则(A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

1．双曲线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】 巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ×)(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析 由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A.2B ．22C ．4D ．8 答案 C解析 设C ：x 2a 2－y 2a2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4，得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)，∴|AB |＝216－a 2＝43， ∴a ＝2，∴2a ＝4. ∴C 的实轴长为4.3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.4．(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 答案 (27，8)解析 由已知a ＝1，b ＝3，c ＝2，则e ＝ca ＝2，设P (x ，y )是双曲线上任一点， 由对称性不妨设P 在右支上，则1<x <2，|PF 1|＝2x ＋1，|PF 2|＝2x －1， 又∠F 1PF 2为锐角，则|PF 1|2＋|PF 2|2>|F 1F 2|2， 即(2x ＋1)2＋(2x －1)2>42，解得x >72， 所以72<x <2，|PF 1|＋|PF 2|＝4x ∈(27，8).题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |， 所以|MC 1|－|AC 1|＝ |MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题例3 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2| ＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1．本例中若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝2 3. 2．本例中若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 由于PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．(1)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( ) A.37＋4 B.37－4 C.37－2 5D.37＋2 5(2)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3答案 (1)C (2)B解析 (1)由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ， 要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值， 当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值， 则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 故选C.(2)不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ， 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝(ba)2＋1(43)2＋1＝53， 故选B.题型二 双曲线的几何性质例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 答案 (1)A (2)32解析 (1)由题意可得m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. (2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－bax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·b ax ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb 2a 2－p22pb a·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2016·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C.3D ．2答案 A 解析 离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A. 题型三 直线与双曲线的综合问题例5 (2016·兰州模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直， ∴直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c . 将其代入x 2a 2－y 2b2＝1，求得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a，∴|AB |＝2b 2a .依题意，得2b 2a ＝4a ，∴c 2－a 2a 2＝2，即e 2－1＝2，∴e ＝ 3.1．直线与圆锥曲线的交点典例 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？ 错解展示现场纠错解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①可化为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． 纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件．(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.1．(2016·广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，1＝b a×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.2．(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.3．(2016·佛山模拟)已知双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△ABF 1的周长为( ) A ．16B ．20C ．21D ．26 答案 D解析 由双曲线x 216－y 29＝1，知a ＝4.由双曲线定义|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|＋16＝21，∴△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝21＋5＝26.故选D.4．(2016·江西联考)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|MF 1→|＝3|MF 2→|，则双曲线的离心率为( ) A.5－1 B.3＋12C.5＋12D.3＋1答案 D解析 ∵F 2M →＝OM →－OF 2→，∴(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝(OM →＋OF 2→)·(OM →－OF 2→)＝0， 即OM →2－OF 2→2＝0，∴|OF 2→|＝|OM →|＝c ，在△MF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于|F 1F 2|的一半，可得MF 1→⊥MF 2→. ∵|MF 1→|＝3|MF 2→|，∴可设|MF 2→|＝λ(λ>0)，|MF 1→|＝3λ， 得(3λ)2＋λ2＝4c 2，解得λ＝c ， ∴|MF 1→|＝3c ，|MF 2→|＝c ，∴根据双曲线定义得2a ＝|MF 1→|－|MF 2→|＝(3－1)c ， ∴双曲线的离心率e ＝2c2a＝3＋1.5．(2016·绍兴质量检测二)已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4答案 C解析 由题意，得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x . 设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)， ∴AB 的中点为(x 1＋x 22，x 1－x 22)，∴(x 1＋x 22)2－(x 1－x 22)2＝2⇒x 1x 2＝2，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝x 1x 2＝2.6．(2016·安徽庐江第二中学月考)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2，则e 1e 2等于( ) A.22B ．1C.3D ．2 答案 B解析 由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1. 7．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 答案 A解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 8．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2)答案 B解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0， 即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a )>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)，故选B.9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________. 答案 1 2解析 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.10．(2016·杭州模拟)已知点A ，B 分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，点P是双曲线C 上异于A ，B 的另外一点，且△ABP 是顶点为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 x ±y ＝0解析 如图所示，过点P 作PC ⊥x 轴，因为|AB |＝|BP |＝2a ， 所以∠PBC ＝60°，BC ＝a ， y P ＝|PC |＝3a ，点P (2a ，3a )， 将P (2a ，3a )代入x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以其渐近线方程为x ±y ＝0.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 53解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.12．(2015·课标全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________． 答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S △APF ＝1AF FS －1F PFS＝12 6.13．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知c ＝13，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a ，b ， 双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m ，n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ， 解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2. ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左，右焦点，P 是第一象限的一个交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.。

1．向量的有关概念2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ )1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②答案 A解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．2．(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →答案 A 解析 如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1答案 D解析 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB →＝tAC →， 所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1，故选D.4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 由向量加法的平行四边形法则， 得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →， ∴λ＝2.题型一 平面向量的概念 例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．②④答案 A解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例2 (1)(2016·临安中学统练三)在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CD →＝BD →(2)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 (1)C (2)A解析 (1)AB →＝DC →，AD →＋AB →＝AC →， AD →＋CD →＝BD →正确．而AB →－AD →＝DB →，故C 错误．故选C. (2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)(2016·台州模拟)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 答案 (1)12(2)D解析 (1)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29 B.27 C.25 D.23答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A.题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 (1)B (2)2 解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)取AC 的中点D ，连接OD ， 则OA →＋OC →＝2OD →， ∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点， ∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2.4．容易忽视的零向量典例 下列叙述错误的是________． ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同． ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同．④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0. ⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0. 答案 ⑤ 现场纠错解析 对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行．对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同． 对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在． 对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量， 所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错． 答案 ①②③④⑤⑥纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.1．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等．2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝23AB →＋12AD →. 3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 答案 B解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．4．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析 由P A →＋PB →＋PC →＝AB →得P A →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－P A →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6．设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos ∠BAC ＝25，则k 等于( ) A.514B.17C.57D.37 答案 A解析 取BC 的中点D ，连接PD ，AD ， 则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →， ∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线， ∴AB ＝AC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠DPC ＝DP PC ＝DP P A ＝25， ∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514，故选A. 7.(2016·宁波一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案 135解析 如图，取单位向量i ，j ，则a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎨⎧ x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135. 8．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________．答案 －1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*9.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________．答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.*10.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连接AM 并延长交BC 于点D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.11．已知O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(λ－1)OC →＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积的比值为13，则λ的值为________． 答案 32解析 因为OA →＋λ(OB →＋OC →)－OC →＝0，所以AC →＝λ(OB →＋OC →)，设G 为BC 的中点，所以AC →＝2λOG →，所以点O 在过点G 且与AC 平行的直线上，分别过点B ，C 作BF ⊥OA ，CE ⊥OA ，因为S △OAB S △OAC ＝13，所以BF CE ＝BH HC ＝13，所以AC OG ＝CH GH＝3，所以2λ＝|AC →||OG →|＝3，得λ＝32. 12.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b . AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →) ＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . *13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解 由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO → ＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →， 又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ(34AD →＋14AB →)， 所以⎩⎨⎧ m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎨⎧ m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.。

浙江高考历年真题之解析几何大题（教师版）1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2222224a a a c c a abc ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩由题意,得2,1a b c ∴=== ，221.43x y +=故椭圆方程为(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102F PF PF M π<∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m =+，直线2PF 的斜率021y k m =-，021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠==≤=+-+0||y =时，12F PF ∠最大，(,,||1Q m m ∴>2、（2006年）如图，椭圆by a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=23。

(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。

解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为12xy += 因为由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+12112222x y b y a x 有惟一解，即0)41(2222222=-+-+b a a x a x a b 有惟一解, 所以2222(44)0(0),a b a b ab ∆=+-=≠故4422-+b a =0又因为e 2c =即22234a b a -= ， 所以224a b = 从而得2212,,2a b == 故所求的椭圆方程为22212x y +=（Ⅱ）由（Ⅰ）得2c =, 所以12(,0),(22F F -，从而M （1+46，0） 由 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+12112222x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T =因为126tan 1-=∠T AF ，又21tan =∠TAM ，62tan =∠2TMF ，得 1266112162tan -=+-=∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．解析：（I ）设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，．由2214x y +=，解得1,2x =±所以22121||2112S b x x b b =-=≤+-=，当且仅当2b =时，．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kbx b +++-= 2216(41)k b ∆=-+ ①｜AB12|2x x -== ②又因为O 到AB的距离21||Sd AB === 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理，得424410k k -+=，解得，2213,22k b ==， 代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是22y x =+或22y x =-或22y x =-+或22y x =--． 4、（2008年）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹。

浙江高考历年真题之解析几何大题（教师版）1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2222224a a a c c a abc ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩由题意,得2,1a b c ∴=== ，221.43x y +=故椭圆方程为(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102F PF PF M π<∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m =+，直线2PF 的斜率021y k m =-，021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠==≤=+-+0||y =时，12F PF ∠最大，(,,||1Q m m ∴>2、（2006年）如图，椭圆by a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=23。

(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。

解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 12xy +=因为由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+12112222x y b y a x 有惟一解，即0)41(2222222=-+-+b a a x a x a b 有惟一解, 所以2222(44)0(0),a b a b ab ∆=+-=≠故4422-+b a =0又因为e c =即22234a b a -= ， 所以224a b = 从而得2212,,2a b == 故所求的椭圆方程为22212x y +=（Ⅱ）由（Ⅰ）得c =, 所以12(F F ，从而M （1+46，0）由 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+12112222x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T =因为126tan 1-=∠T AF ，又21tan =∠TAM ，62tan =∠2TMF ，得 1266112162tan -=+-=∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．解析：（I ）设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，．由2214x y +=，解得1,2x =±所以22121||2112S b x x b b =-=≤+-=，当且仅当2b =时，．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kbx b +++-=2216(41)k b ∆=-+ ①｜AB12|2x x -== ②又因为O 到AB的距离21||Sd AB === 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理，得424410k k -+=，解得，2213,22k b ==， 代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是y x =+或y x =-或y x =+y x =-． 4、（2008年）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹。

1．线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理【知识拓展】 重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(×)1．(教材改编)下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．2．(2016·烟台模拟)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 A解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.3．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条． 答案 6解析 各中点连线如图，只有平面EFGH 与平面ABB 1A 1平行，在四边形EFGH 中有6条符合题意．4.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________．答案 平行四边形解析 ∵平面ABFE ∥平面DCGH ，又平面EFGH ∩平面ABFE ＝EF ，平面EFGH ∩平面DCGH ＝HG ， ∴EF ∥HG .同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形．题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：GH ∥平面P AD . 证明(1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点．又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ， FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， ∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面P AD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面P AD . 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面P AD . 命题点2 直线与平面平行的性质例2 (2016·长沙模拟)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6， 所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK ＝4＋82×3＝18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．证明∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∵CD∥EF.同理HG∥CD，且HE∥AB，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角（或补角）．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形．题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.引申探究1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．(2016·西安模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积． (1)证明 由题设知，BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高． 又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又S △ABD ＝12×2×2＝1，∴111三棱柱－ABD A B D V ＝S △ABD ·A 1O ＝1.题型三 平行关系的综合应用例4 (2016·盐城模拟)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．解方法一存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，∵AB的中点为E，连接EF，ED，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.方法二假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG ，EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α(α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CGBC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba (a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αa x (a －x )．∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴b sin αa x (a －x )≤ab sin α4，当且仅当x ＝a －x 时等号成立． 此时x ＝a 2，y ＝b 2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大．．立体几何中的探索性问题典例 (14分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan ∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明． 规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan ∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.4分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2， 6分] V S －ABCD ＝13·SA ·12·(BC ＋AD )·AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.8分](2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .10分]证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .12分]又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB . 14分]解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性；第三步：给出明确答案；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．(2016·金华模拟)有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案 A解析命题①：l可以在平面α内，不正确；命题②：直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选A.2．(2016·余姚模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2答案 D解析由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.3．(2017·嘉兴月考)对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n答案 D解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D 正确．4．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 B解析 ①中易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，∴平面MNP ∥平面AA ′B 可得出AB ∥平面MNP (如图)． ④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP .5．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( ) A ．16 B ．24或245C ．14D ．20答案 B解析 由α∥β得AB ∥CD . 分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则P A PC ＝PBPD ，∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P在α，β之间，则P APC＝PBPD，∴PB＝16，∴BD＝24.6．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.7．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．8．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面P AO.答案Q为CC1的中点解析假设Q为CC1的中点．因为P为DD1的中点，所以QB∥P A.连接DB，因为O是底面ABCD的中心，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面P AO，QB⊄平面P AO，且P A∩PO于P，所以D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，又D1B∩QB于B，所以平面D1BQ∥平面P AO.故点Q满足条件，Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面P AO.9．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.*10.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．答案45 2解析如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ， 故AC ⊥平面SGB ， 所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ， 则SB ∥HD . 同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 则H ，F 也为AS ，SC 的中点， 从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形． 又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ， 所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形， 其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.11.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ， 由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1. 如图，连接HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF . 又B 1D 1∩HD 1＝D 1， BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12．(2017·贵州兴义八中月考)在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，且∠DAB ＝60°，DF ＝2BE ＝2a ，DF ∥BE ，DF ⊥平面ABCD . (1)在AF 上是否存在点G ，使得EG ∥平面ABCD ，请证明你的结论； (2)求该多面体的体积．解 (1)当点G 位于AF 中点时，有EG ∥平面ABCD .证明如下：取AF 的中点G ，AD 的中点H ，连接GH ，GE ，BH . 在△ADF 中，HG 为中位线， 故HG ∥DF 且HG ＝12DF .因为BE ∥DF 且BE ＝12DF ，所以BE 綊GH ，即四边形BEGH 为平行四边形，所以EG ∥BH .因为BH ⊂平面ABCD ，EG ⊄平面ABCD ， 所以E G ∥平面ABCD . (2)连接AC ，BD .因为DF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形， 所以AC ⊥平面BDFE .所以该多面体可分割成两个以平面BDFE 为底面的等体积的四棱锥． 即V ABCDEF ＝V A －BDFE ＋V C －BDFE ＝2V A －BDFE ＝2×13×a ＋2a 2×a ×32a＝32a 3. *13.(2016·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC的值．解 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1.∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 得BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1， ∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DCAD， 又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即AD DC＝1.。

2018年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题1.【2018•浙江】已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则（）A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【考点】补集及其运算【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得,故答案为：C.【分析】根据补集的定义直接求解：∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．2.【2018•浙江】双曲线的焦点坐标是（）A. (−，0)，( ，0) B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，) D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【考点】双曲线的简单性质【解析】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，故答案为：B.【分析】求得双曲线的a，b，由c=，求得c=2，即可得到所求焦点坐标．3.【2018•浙江】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【考点】由三视图求面积、体积【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为故答案为：C.【分析】直接利用三视图的复原图求出几何体的体积．注意画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．4.【2018•浙江】复数 (i为虚数单位)的共轭复数是（）A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】，∴共轭复数为，故答案为：B.【分析】由复数的除法运算化简复数为a+bi（a，b∈R）的形式，则其共轭复数可求．5.【2018•浙江】函数y= sin2x的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质，奇偶函数图象的对称性【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，故答案为：D.【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．可根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．6.【2018•浙江】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故答案为：A.【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．7.【2018•浙江】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，（）A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】，，，∴先增后减,故答案为：D.【分析】求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．解题的关键是掌握离散型随机变量的数学期望与方差.8.【2018•浙江】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（）A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面之间的位置关系【解析】设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，故答案为：D.【分析】根据图形的特征作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．9.【2018•浙江】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（）A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为故答案为：A.【分析】则向量b的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到向量a的终点在不含端点O的两条射线y=± （x＞0）上，利用直线和圆的位置关系可得答案．10.【2018•浙江】已知成等比数列，且．若，则（）A. B. C. D.【答案】B【考点】函数的单调性与导数的关系，等比数列，数列的应用【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，故答案为：B.【分析】先构造函数f ( x ) = x − ln x − 1，利用函数的单调性与导数的关系，得出其单调性，再利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．二、填空题11.【2018•浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

第2课时 平面向量的综合应用题型一 平面向量与三角函数 命题点1 向量与三角恒等变换的结合例1 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.且a ＋b ＝(0,1)，则α＝________，β＝________. 答案5π6 π6解析 因为a ＋b ＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得cos α＝cos(π－β)． 由0<β<π，得0<π－β<π， 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12.又α>β，所以α＝5π6，β＝π6.命题点2 向量与三角函数的结合例2 已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求tan2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在－π2，0]上的值域．解 (1)∵a ∥b ，∴sin x ·(－1)－32·cos x ＝0，即sin x ＋32cos x ＝0，tan x ＝－32，∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝125. (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝a ·b ＋b 2 ＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1＝12sin2x －32＋12cos2x ＋12＋1＝22sin(2x ＋π4)． ∵－π2≤x ≤0，∴－π≤2x ≤0，－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－22≤22sin(2x ＋π4)≤12， ∴f (x )在－π2，0]上的值域为－22，12]．命题点3 向量与解三角形的结合例3 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x ,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 与c 的值．解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos(2x ＋π3)，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(2)∵f (A )＝1＋2cos(2A ＋π3)＝－1，∴cos(2A ＋π3)＝－1，又π3<2A ＋π3<7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7， ∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7. ①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ， 由正弦定理得2b ＝3c ， ②由①②得b ＝3，c ＝2.思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．(1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．(2)(2016·浙江五校一联)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝6，sin A －sin C ＝sin(A －B )，若1≤a ≤6，则sin C 的取值范围是________． 答案 (1)3 (2)32，1] 解析 (1)由图象可知，M (12，1)，N (x N ，－1)，所以OM →·ON →＝(12，1)·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. (2)由sin A －sin C ＝sin(A －B )，得sin A ＝sin C ＋sin(A －B )＝sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ， 又sin A ≠0，所以cos B ＝12.当a ＝6cos B ＝3∈1,6]时，sin C ＝1；当a ＝1时，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋36－2×1×6×12＝31，所以b ＝31，于是6sin C ＝31sin π3，得sin C ＝39331；当a ＝6时，△ABC 为等边三角形， 则sin C ＝32，39331>32， 从而得到sin C 的取值范围是32，1]． 题型二 向量与学科知识的交汇 命题点1 向量与不等式相结合例4 (1)设e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，AB →＝(a －1)e 1＋e 2，AC →＝b e 1－2e 2(a >0，b >0)，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 (2)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)因为A ，B ，C 三点共线， 所以(a －1)×(－2)＝1×b ，所以2a ＋b ＝2.因为a >0，b >0，所以1a ＋2b ＝2a ＋b 2·(1a ＋2b )＝2＋2a b ＋b2a ≥2＋22a b ·b 2a ＝4(当且仅当2a b ＝b 2a，即a ＝12，b ＝1时取等号)．(2)因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当直线z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18.命题点2 向量与数列结合例5 (2016·浙江五校联考)设数列{x n }的各项都为正数且x 1＝1.如图，△ABC 所在平面上的点P n (n ∈N *)均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3∶1，若(2x n ＋1)P n C →＋P n A →＝13x n ＋1P n B →，则x 5的值为( )A ．31B ．33C ．61D ．63答案 A解析 在(2x n ＋1)P n C →＋P n A →＝13x n ＋1P n B →中，令P n D →＝(2x n ＋1)P n C →，作出图形如图所示，则(2x n＋1)P n C →＋P n A →＝P n E →＝13x n ＋1P n B →，所以|P n E →||P n B →|＝13x n ＋1， n n P AE P ABS S＝13x n ＋1.又|P n C →||P n D →|＝P n C AE ＝12x n ＋1， 所以n n P AC P ADS S＝n n P AC P AES S＝12x n ＋1，则n n P AC P ABS S＝x n ＋13(2x n ＋1)＝13，所以x n ＋1＝2x n ＋1，x n ＋1＋1＝2(x n＋1)，故{x n ＋1}构成以2为首项、2为公比的等比数列，所以x 5＋1＝2×24＝32，则x 5＝31，故选A.思维升华 向量与其他知识的结合，多体现向量的工具作用，利用向量共线或向量数量积的知识进行转化，“脱去”向量外衣，利用其他知识解决即可．跟踪训练2 (1)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2(2)(2017·浙江新高考预测)角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，向量m 满足|m |＝62，且m ＝(2sin B ＋C 2，cos B －C 2)，当角A 最大时，动点P 使得|PB →|，|BC →|，|PC →|成等差数列，则|P A →||BC →|的最大值是( )A.233B.223C.24D.324答案 (1)B (2)A 解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图象可知，当直线z ＝2x ＋y 过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.(2)设BC ＝2a ，BC 的中点为D . 由题意得|m |2＝(2sinB ＋C 2)2＋(cos B －C 2)2＝1－cos(B ＋C )＋121＋cos(B －C )]＝32－12cos B cos C ＋32sin B sin C ＝32， 则12cos B cos C ＝32sin B sin C ，化简得tan B tan C ＝13，则tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－32(tan B ＋tan C )≤－32×2tan B tan C ＝－3，当且仅当tan B ＝tan C ＝33时，等号成立，所以当角A 最大时，A ＝2π3，B ＝C ＝π6，则易得AD ＝3a 3.因为|PB →|，|BC →|，|PC →|成等差数列，所以2|BC→|＝|PB →|＋|PC →|，则点P 在以B ，C 为焦点，以2|BC →|＝4a 为长轴的椭圆上，由图(图略)易得当点P 为椭圆的与点A 在直线BC 的异侧的顶点时，|P A →|取得最大值，此时|PD →|＝(2a )2－a 2＝3a ，则|P A →|＝|PD →|＋|AD →|＝43a3，所以|P A →||BC →|＝43a32a ＝233，故选A.题型三 和向量有关的创新题例6 称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( ) A ．a ⊥b B ．b ⊥(a －b ) C ．a ⊥(a －b ) D ．(a ＋b )⊥(a －b )答案 B解析 由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )， 即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0， 即(a ·b －1)2≤0， 得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0， 故b ⊥(a －b )．思维升华 解答创新型问题，首先需要分析新定义(新运算)的特点，把新定义(新运算)所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义(新运算)信息题难点的关键所在．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa ) ⊗b (λ∈R )； ③(a ＋b ) ⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ； ④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号) 答案 ①④解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的． 综上，结论一定正确的是①④.三审图形抓特点典例 (2016·镇海一模)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为()A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6E 为函数图象的对称中心，C 为图象最低点――――――――→作出点C 的对称点MD 、B 两点对称CD 和MB 对称―――――――→CD 在x 轴上的投影是π12BM 在x 轴上的投影OF ＝π12 ―――――――→π(,0)6A -AF ＝π4―→T ＝π―→ω＝2―――――――――→y ＝sin (2x ＋φ)和y ＝sin2x 图象比较φ2＝π6―→φ＝π3解析 由E 为该函数图象的一个对称中心，作点C 的对称点M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 A1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2AB →·AC →＝a 2－(b ＋c )2，a cos B ＋b cos A ＝2c sin C ，b ＝23，则△ABC 的面积为( ) A.334 B.332C ．33D ．6 3答案 C解析 由已知得2bc ·cos A ＝a 2－(b ＋c )2， 又a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，∴cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝23π.又sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin 2C ,0<C <π， 可得C ＝π6，∴B ＝C ＝π6，b ＝c ＝23，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝3 3.2．(2016·镇海中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于( ) A.45B.34C.35D.74 答案 C解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0，∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0，⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a ＝45，又0<A <π， ∴sin A ＝35，故选C.3.函数y ＝tan(πx 4－π2)(0<x <4)的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于C ，B 两点．则(OB →＋OC →)·OA →等于()A ．－8B ．－4C ．4D ．8答案 D解析 因为函数y ＝tan(πx 4－π2)(0<x <4)的图象对称中心是(4k ＋2,0)(k ∈Z )，所以点A 的坐标是(2,0)．因为点A 是对称中心，所以点A 是线段BC 的中点， 所以OC →＋OB →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2(OA →)2＝2×4＝8.故选D.4．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种运算：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝(12，4)，n ＝(π6，0)．点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间π6，π3]上的最大值是( )A ．4B ．2C ．22D ．2 3 答案 A解析 设OP →＝(x 0，y 0)，OQ →＝(x ，y )，由题意可得y 0＝cos x 0，OQ →＝(x ，y )＝m ⊗OP →＋n ＝(12，4)⊗(x 0，y 0)＋(π6，0)＝(12x 0,4y 0)＋(π6，0)＝(12x 0＋π6，4y 0)，即x ＝12x 0＋π6，y ＝4y 0，即x 0＝2x －π3，y 0＝14y ，所以14y ＝cos(2x －π3)，即y ＝4cos(2x －π3)．因为点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，所以f (x )＝4cos(2x －π3)，当π6≤x ≤π3时，0≤2x －π3≤π3，所以当2x －π3＝0时，f (x )取得最大值4.5．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 答案 D解析 由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错．当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.6．(2017·浙江新高考预测一)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上与A ，B 不重合的一个动点，且OC →＝xOA →＋yOB →，若u ＝x ＋λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(13，3)C ．(12，1)D ．(12，2)答案 D解析 设∠BOC ＝α，则∠AOC ＝π3－α，因为OC →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧OB →·OC →＝xOB →·OA →＋yOB →2，OA →·OC →＝xOA →2＋yOA →·OB →，即⎩⎨⎧cos α＝12x ＋y ，cos (π3－α)＝x ＋12y ，解得x ＝－23cos α＋43cos(π3－α)＝233sin α，y ＝cos α－33sin α， 所以u ＝233sin α＋λ(cos α－33sin α)＝(233－33λ)sin α＋λcos α＝(233－33λ)2＋λ2sin(α＋β)， 其中tan β＝λ233－33λ，因为0<α<π3，要使u 存在最大值，只需满足β>π6，所以λ233－33λ>33，整理得2λ－12－λ>0，解得12<λ<2，故选D.7.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.7π12C.7π6D.7π3答案 B解析 由题意知M (π12，A )，N (7π12，－A )，又∵OM →·ON →＝π12×7π12－A 2＝0，128．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.答案 150°解析 ∵AB →·AC →<0，∴∠BAC 为钝角， 又∵S △ABC ＝12|a||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又0°≤∠BAC <180°，又0°≤<BAC <180°，∴∠BAC ＝150°.9．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 3解析 ∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识，得当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.10．(2016·温州一模)已知△ABC 中，|BC →|＝1，BA →·BC →＝2，点P 为线段BC 上的动点，动点Q 满足PQ →＝P A →＋PB →＋PC →，则PQ →·PB →的最小值为________． 答案 －34解析 设BP →＝λBC →，λ∈0,1]，则P A →＝BA →－BP →＝BA →－λBC →，PB →＝－λBC →，PC →＝(1－λ)BC →，所以PQ →＝(BA →－λBC →)－λBC →＋(1－λ)BC →＝BA →＋(1－3λ)BC →，所以PQ →·PB →＝BA →＋(1－3λ)BC →]·(－λBC →)＝－λBC →·BA →－λ(1－3λ)BC →2＝3λ2－3λ，当λ＝12时，PQ →·PB →取得最小值－34.11．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ，若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________．2解析 由e 1·e 2＝32， 可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32，又〈e 1，e 2〉∈0，π]，故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos 5π6－(－e 1)·sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0. 所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1)，故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos C 2，sin C 2)，n ＝(cos C2，－sin C 2)，且m 与n 的夹角为π3.(1)求角C ；(2)已知c ＝72，S △ABC ＝332，求a ＋b 的值．解 (1)∵m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C ，又m ·n ＝|m |·|n |·cos π3＝12，0<C <π，∴C ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ，∴34ab ＝332， ∴ab ＝6，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，即12＝(a ＋b )2－2ab －c22ab ＝(a ＋b )2－12－(72)212，解得a ＋b ＝112.13．(2016·台州高三第二次适应性考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知AB →·AC →＝BA →·BC →，sin A ＝53.(1)求sin C 的值；(2)设D 为AC 的中点，若△ABC 的面积为85，求BD 的长． 解 (1)由AB →·AC →＝BA →·BC →得AB →·(AC →＋BC →)＝0， 即(AC →－BC →)·(AC →＋BC →)＝|AC →|2－|BC →|2＝0， ∴|AC →|＝|BC →|，∴A ＝B ，A 与B 都是锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝23，∴sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin2A ＝2sin A cos A ＝459.(2)由S ＝12ab sin C ＝259a 2＝85，得a ＝b ＝6， ∴CD ＝3，BC ＝6，又cos C ＝cos(π－2A )＝－cos2A ＝－(1－2sin 2A )＝19，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝32＋62－2·3·6·19＝41，∴BD ＝41.。

1 1
，解得
x1 x2 1,
因此 T (1, 1) 2
2
因为 tan AF1T
6 2
1，又 tan TAM
1 2
，
tan
TMF2
2 ，得 6
2 1
tan ATM 6 1
2 1
6 2
1，因此， ATM
AF1T
6
3、（2007 年）如图，直线 y kx b 与椭圆 x2 y2 1交于 A，B 两点，记 △AOB 的面积为 S ． 4
x 2 2
y ．
所以 |
QA |2 | QM
|2
|
MA |2
(x 1)2 4(1 k 2)
(kx
2)2
.
| QA | | x 1|| kx 2 | ， | QB |2
2 1 k2
| QA |
2(1 k 2 ) 1 k 2 x 1
|k|
x 2
．
k
当 k 2 时， | QB |2 5 5 ， | QA |
(Ⅱ)若直线 l1 ：x＝m(|m|＞1)，P 为 l1 上的动点，使 F1PF2
最大的点 P 记为 Q，求点 Q 的坐标(用 m 表示)．
解析：(Ⅰ)设椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 ，半焦距为 c ，
则
MA1
a2 c
a, A1F1
ac
，由题意,得
a2 2ca
a 4
2
a
c
a2 b2 c2
2
1b2
所以
S
1 2
b
|
x1
x2
|
2b
1 b 2 b 2 1 b 2 1 ，当且仅当 b