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基本初等函数、函数与方程命题点1基本初等函数的图象与性质基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[高考题型全通关]1．(2020·陕西百校联盟第一次模拟)设a＝log318，b＝log424，c＝234，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜aD[c＝234＜2，a＝log318＝1＋log36＝1＋1log63，b＝log424＝1＋log46＝1＋1 log64.因为0＜log63＜log64＜1，所以1log63＞1log64＞1，所以1＋1log63＞1＋1log64＞2，即a＞b＞c，选D．]2．(2020·惠州第一次调研)已知函数f (x)＝|ln(x2＋1－x)|，设a＝f (log30.2)，b＝f (3－0.2)，c＝f (－31.1)，则()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．c＞b＞aC [法一：f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1x 2＋1＋x ＝|ln(x 2＋1＋x )|＝f (－x )，所以函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|是偶函数．当x ＞0时，f (x )＝ln(x 2＋1＋x )，此时函数f (x )单调递增，a ＝f (log 30.2)＝f (log 35)，b ＝f (3－0.2)，c ＝f (－31.1)＝f (31.1)，因为31.1＞log 35＞3－0.2＞0，所以c ＞a ＞b .选C ．法二：令g (x )＝ln(x 2＋1－x )，则g (－x )＋g (x )＝ln(x 2＋1＋x )＋ln(x 2＋1－x )＝ln 1＝0，所以g (x )为奇函数，y ＝f (x )＝|g (x )|为偶函数．当x ＞0时，函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|＝ln(x 2＋1＋x )单调递增，又f (0)＝ln 1＝0，所以函数f (x )的大致图象如图所示．－2＜log 30.2＝log 315＝－log 35＜－1，0＜3－0.2＝130.2＜1，－31.1＜－3，结合图象可知f (－31.1)＞f (log 30.2)＞f (3－0.2)，即c ＞a ＞b ，故选C ．]3．[教材改编]已知log 2a ＞log 2b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．1a ＞1bB ．ln(a －b )＞0C ．2a －b ＜1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D [由log 2a ＞log 2b 可得a ＞b ＞0，故a －b ＞0，逐一考查所给的选项：A 项，1a ＜1b ；B 项，a －b ＞0，ln(a －b )的符号不能确定；C 项，2a －b ＞1；D 项，⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b .] 4．(2020·合肥调研)函数f (x )＝ln x ·(e x －1)e x ＋1的图象大致为( )B [法一：因为f (－x )＝ln (－x )(e －x －1)e －x ＋1＝ln (－x )(1－e x )e x ＋1＝ln x (e x －1)e x ＋1＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故排除A ，D ；又f (1)＝ln e －1e ＋1＜0，f (2)＝ln 2e 2－2e 2＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4e 2＋1＞0，所以f (2)＞f (1)，故排除C ．故选B ．法二：因为f (x )＝ln x (e x －1)e x ＋1＝ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1，所以当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除A ，C ；当x →－∞时，1－2e x ＋1→－1，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1→＋∞，则f (x )→＋∞，排除D ．故选B ．]5．已知函数f (x )＝e x ＋2(x ＜0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e B [由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点．函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到，当a ＜0时，向右平移，两函数总有交点，当a ＝0时，两函数总有交点，当a ＞0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0，1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0，1)代入y ＝ln(x ＋a )，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a ＜e.]6．[多选](2020·济南模拟)已知函数f (x )＝2x 2－a |x |，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于原点对称B ．当a ＝－1时，函数f (x )的值域为[4，＋∞)C ．若方程f (x )＝14没有实数根，则a ＜－1D ．若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则a ≥0BD [由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝2(－x )2－a |－x |＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，其图象不关于原点对称，故A 选项错误．当a ＝－1时，f (x )＝2x 2＋1|x |，而x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2，所以f (x )＝2x 2＋1|x |≥4，即函数f (x )的值域为[4，＋∞)，B选项正确．由f (x)＝14，得x2－a|x|＝－2，得x2＋2|x|－a＝0.要使原方程没有实数根，应使方程x2＋2|x|－a＝0没有实数根．令|x|＝t(t＞0)，则方程t2＋2t－a＝0应没有正实数根，于是需Δ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2≤0，－a≥0，即4＋4a＜0或⎩⎪⎨⎪⎧4＋4a≥0，－2≤0，－a≥0，解得a＜－1或－1≤a≤0，综上，a≤0.故C选项错误．要使函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，需g(x)＝x2－a|x|在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x)＝x2－ax＝x－ax在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x)＝1＋ax2≥0在(0，＋∞)上恒成立，得a≥0，故D选项正确．]命题点2函数的零点1．判断函数零点的方法(1)解方程法，即解方程f (x)＝0，方程有几个解，函数f (x)有几个零点；(2)图象法，画出函数f (x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f (x)的零点个数；(3)数形结合法，即把函数等价地转化为两个函数，通过判断两个函数图象的交点个数得出函数的零点个数；(4)利用零点存在性定理判断．2．解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．[高考题型全通关]1．(2020·四川五校联考)已知函数f (x)＝13x3＋a⎝⎛⎭⎪⎫12x2＋x＋2，则f (x)的零点个数可能为()A．1个B．1个或2个C．1个或2个或3个D．2个或3个A[当a＝0时，函数f(x)＝13x3，只有1个零点；当a≠0时，令f (x)＝13x3＋a⎝⎛⎭⎪⎫12x2＋x＋2＝0，显然x≠0，故－1a＝12x2＋x＋213x3＝6x3＋3x2＋32x，设t＝1x(t≠0)，则－1a＝g(t)＝6t3＋3t2＋32t(t≠0)，g′(t)＝18t2＋6t＋32，Δ＝36－4×32×18＝－72＜0，g′(t)＞0恒成立，故g(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，且g(t)可取遍除0外的所有实数，所以－1a＝g(t)只有一个解，即函数f (x)只有1个零点．故选A．]2．(2020·凉山质检)已知函数f (x)＝⎩⎨⎧e x，x＜0，4x3－6x2＋1，x≥0，其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f (x)]2－10f (x)＋3的零点个数为() A．4B．5 C．6D．3A[当x≥0时，f (x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f (x)单调递减，x＞1时，f (x)单调递增，可得f (x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1，作出函数f (x)的图象，如图所示．g(x)＝3[f (x)]2－10f (x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f (x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t ＝3或13，当t ＝13，即f (x )＝13时，g (x )有三个零点；当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根，综上，g (x )共有四个零点．]3．(2020·大同调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞03x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1] B [h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，即方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f (x )的图象和直线y ＝－x ＋a ，如图所示，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点，则有a ＞1，故选B ．]4．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则在区间(－2，6)内关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2，0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交点．]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x e x ，x ≤0，2－|x －1|，x ＞0，若函数g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e D [当x ≤0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ＜－1时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－∞，－1)上为减函数，当－1＜x ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－1，0]上为增函数，所以当x ≤0时，f (x )的最小值为f (－1)＝－1e .又当x ≥1时，f (x )＝3－x ，当0＜x ＜1时，f (x )＝x ＋1，作出f (x )的图象，如图所示，因为g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点，所以方程f (x )＝m 有两个不同的根，等价于直线y ＝m 与f (x )的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，由图可知1＜m ＜2或m ＝0或m ＝－1e .若1＜m ＜2，则x 1＋x 2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e .故选D ．]6．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有3个互异的实数根，则实数a 的取值集合为________．{1，9} [法一：依题意得，关于x 的方程|x 2＋3x |＝a |x －1|有3个互不相等的实根，注意到x ＝1不是方程|x 2＋3x |＝a |x －1|的根，于是有a ＝|x 2＋3x ||x －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1. 令x －1＝t ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5. 记g (t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5，则函数g (t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，作出函数g (t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5的图象如图所示，结合图象可知，a ＝1或a ＝9.因此，实数a 的取值集合是{1，9}．法二：依题意得，关于x 的方程|x 2＋3x |＝a |x －1|有3个互不相等的实根，因此a ＞0，所以|x 2＋3x |＝|ax －a |有3个互不相等的实根，即方程x 2＋3x ＝ax －a 与x 2＋3x ＝a －ax 共有3个互不相等的实根，即方程x 2＋(3－a )x ＋a ＝0与x 2＋(3＋a )x －a ＝0共有3个互不相等的实根．注意到当a ＞0时，方程x 2＋(3＋a )x －a ＝0的判别式大于0，所以方程x 2＋(3＋a )x －a ＝0必有2个不相等的实根．假设方程x2＋3x＝ax－a与x2＋3x＝a－ax有相同的根，可得相同的根为x ＝1，但当x＝1时，x2＋3x＝ax－a与x2＋3x＝a－ax均不成立，所以方程x2＋3x ＝ax－a与x2＋3x＝a－ax没有相同的根，所以方程x2＋(3－a)x＋a＝0有2个相等的实根，故其判别式Δ＝(3－a)2－4a＝0(a＞0)，解得a＝1或a＝9.所以实数a 的取值集合是{1，9}．]命题点3函数建模与信息题1．构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义．2．解决新概念信息题的关键(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题．[高考题型全通关]1．我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：“每车坐3人，有2辆车空出来；每车坐2人，多出9人步行．问人数和车辆数各是多少？”该问题中的车辆数为()A．12B．14C．15D．18C[设车有x辆，则3(x－2)＝2x＋9，解得x＝15.]2．对于函数f (x)，若存在实数m，使得g(x)＝f (x＋m)－f (m)为R上的奇函数，则称f (x)是位差值为m的“位差奇函数”．给出下列三个函数：①f (x)＝2x＋1；②f (x)＝x2－2x＋1；③f (x)＝2x.其中是“位差奇函数”的有()A．0个B．1个C．2个D．3个B[对于①，f (x)＝2x＋1，则g(x)＝f (x＋m)－f (m)＝2(x＋m)＋1－(2m＋1)＝2x，则对任意实数m，g(x)＝f (x＋m)－f (m)均是R上的奇函数，即f (x)＝2x＋1是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于②，f (x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，则g(x)＝f (x＋m)－f (m)＝x2＋2(m－1)x，无论m取何值，g(x)都不是R上的奇函数，则f(x)＝x2－2x＋1不是“位差奇函数”；对于③，f(x)＝2x，则g(x)＝f(x ＋m)－f (m)＝2x＋m－2m＝2m(2x－1)，无论m取何值，g(x)＝f (x＋m)－f (m)都不是R上的奇函数，则g(x)不是“位差奇函数”．故选B．]3．[多选](2020·烟台模拟)我们定义这样一种运算“⊗”：①对任意a∈R，a ⊗0＝0⊗a＝a；②对任意a，b∈R，(a⊗b)⊗c＝c⊗(ab)＋(a⊗c)＋(b⊗c)．若f(x)＝e x－1⊗e1－x，则以下结论正确的是()A．f (x)的图象关于直线x＝1对称B．f (x)在R上单调递减C．f (x)的最小值为3D．f (223)＞f (232)＞f (log319)AC[对任意a，b∈R，(a⊗b)⊗c＝c⊗(ab)＋(a⊗c)＋(b⊗c)，令c＝0，得(a⊗b)⊗0＝0⊗(ab)＋(a⊗0)＋(b⊗0)，得(a⊗b)⊗0＝a⊗b＝ab＋a＋b，所以f (x)＝e x－1⊗e1－x＝e x －1＋e1－x＋1.f (1－x)＝e－x＋e x＋1，f (1＋x)＝e－x＋e x＋1，所以f (1－x)＝f (1＋x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，A项正确；f′(x)＝e x－1－e1－x，当x＞1时，f′(x)＞0，当x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，B项不正确；f (x)＝e x－1＋e1－x＋1≥2e x－1·e1－x＋1＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，C项正确；根据f (x)的图象关于直线x＝1对称，得f (log319)＝f (log381)，又f (x)在(1，＋∞)上单调递增，log 381＝4，1＜223＜232＜4，所以f (223)＜f (232)＜f (log 381)，所以f (223)＜f (232)＜f (log 319)，故D 项错误．]4．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|＜n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1e 2，4eB ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 2，2eD ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 3，2e 2 B [由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|＜1，得1＜β＜3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1，3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ，所以h (x )在区间(1，2)上单调递增，在区间(2，3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3＞1e ，要使函数g (x )在区间(1，3)上存在零点，只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2，故选B ．] 5．[一题两空]某种物质在经过时间t (单位：min)后的浓度为M (单位：mg/L)，M 与t 满足函数关系M ＝ar t ＋24(a ，r 为常数)．当t ＝0 min 和t ＝1 min 时测得该物质的浓度分别为124 mg/L 和64 mg/L ，当t ＝4 min 时，该物质的浓度为________mg/L ；若该物质的浓度小于24.001 mg/L ，则最小的整数t 的值为________．(参考数据：lg 2≈0.3.)26．56 13 [由题意得ar 0＋24＝124且ar ＋24＝64，解得a ＝100，r ＝0.4，∴M ＝100×0.4t ＋24，当t ＝4时，M ＝100×0.44＋24＝26.56.由100×0.4t ＋24＜24.001得0.4t ＜0.15，∴lg 0.4t ＜lg 0.15，∴t lg 0.4＜－5，∴t[lg 2－(1－lg 2)]＜－5，∴t(2lg 2－1)＜－5，∴t＞51－2lg 2≈12.5，∴最小的整数t的值是13.]。
2021届高考数学总复习：第二章 - 函数与基本初等函数I第二章函数与基本初等函数I 第一节函数的概念与性质第一部分五年高考荟萃2021年高考题1.（2021全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若f(x?1则( ) )与f(x?1)都是奇函数，A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)?f(x?2)D.f(x?3)是奇函数答案 D解析 ?f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，?f(?x?1)??f(x?1),f(?x?1)??f(x?1)，?函数f(x)关于点(1,0)，及点(?1,0)对称，函数f(x)是周期T?2[1?(?1)]?4的周期函数.?f(?x?1?4)??f(x?1?4)，f(?x?3)??f(x?3)，即f(x?3)是奇函数。
故选D2.(2021浙江理）对于正实数?，记M?为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：?x1,x2?R且x2?x1，f(x)有??(x2?x1)?f(x2)?1?(?x2x?)1．下列结论中正确的( )是A．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2 B．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且g(x)?0，则f(x)g(x)?M?1?2C．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2D．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且?1??2，则f(x)?g(x)?M?1??2 答案 C解析对于??(x2?x1)?f(x2)?f(x1)??(x2?x1)，即有???f(x2)?f(x1)x2?x1f(x2)?f(x1)x2?x1??，令?k，有???k??，不妨设f(x)?M?1，g(x)?M?2，即有??1?kf??1,??2?kg??2，因此有??1??2?kf?kg??1??2，因此有1f(x)?g(x)?M?1??2．3.（2021浙江文）若函数f(x)?x2?ax(a?R)，则下列结论正确的是（）A.?a?R，f(x)在(0,??)上是增函数B.?a?R，f(x)在(0,??)上是减函数C.?a?R，f(x)是偶函数D.?a?R，f(x)是奇函数答案 C【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．解析对于a?0时有f?x??x是一个偶函数24. (2021山东卷理)函数y?e?ee?exx?x?x的图像大致为 ( ).y 1O 1 x 1yyy 1 O D1 x1 O1xO1 xA 答案 AB C 解析函数有意义,需使e?ee?ee?exx?x?xx?x?0,其定义域为?x|x?0?,排除C,D,又因为y??ee2x2x?1?1?1?2e2x?1,所以当x?0时函数为减函数,故选A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. ?log2(1?x),x?05.(2021山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?，f(x?1)?f(x?2),x?0?则f（2021）的值为 ( )A.-1B. 0C.1D. 2答案 C解析由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2021）= f（5）=1,故选C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 6.(2021山东卷文)函数y?e?ee?exx?x?x的图像大致为( ).y 1O 1 x 1yyy 1 O1xO1 xO 1 1 x DA答案 A.B C解析函数有意义,需使ex?e?x?0,其定义域为?x|x?0?,排除C,D,又因为e?ee?exx?x?xy??ee2x2x?1?1?1?2e2x?1,所以当x?0时函数为减函数,故选A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. x?0?log2(4?x),7. (2021山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?，f(x?1)?f(x?2),x?0?则f（3）的值为 ( )A.-1B. -2C.1D. 2 答案 B解析由已知得f(?1)?log25,f(0)?log24?2,f(1)?f(0)?f(?1)?2?log25,f(2)?f(1)?f(0)??log25,f(3)?f(2)?f(1)??log25?(2?log25)??2,故选B.【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.8.(2021山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ).3A.f(?25)?f(11)?f(80)B. f(80)?f(11)?f(?25)C. f(11)?f(80)?f(?25)D. f(?25)?f(80)?f(11) 答案 D解析因为f(x)满足f(x?4)??f(x),所以f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的周期函数, 则f(?25)?f(?1),f(80)?f(0),f(11)?f(3),又因为f(x)在R上是奇函数， f(0)?0,得f(80)?f(0)?0,f(?25)?f(?1)??f(1),而由f(x?4)??f(x)得f(11)?f(3)??f(?3)??f(1?4)?f(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)?f(0)?0,所以?f(1)?0,即f(?25)?f(80)?f(11),故选D.【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.9.（2021全国卷Ⅱ文）函数y=?x(x?0)的反函数是（）（A）y?x2（x?0）（B）y??x2（x?0）（B）y?x2（x?0）（D）y??x2（x?0）答案 B解析本题考查反函数概念及求法，由原函数x?0可知AC错,原函数y?0可知D错.10.（2021全国卷Ⅱ文）函数y=y?log2?x22?x的图像（）（A）关于原点对称（B）关于主线y??x对称（C）关于y 轴对称（D）关于直线y?x对称答案 A解析本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。
【2021新高考数学二轮复习】第2讲 基本初等函数、函数与方程考点一 基本初等函数的图象与性质[学生用书P87][典型例题](1)(2020·贵阳市四校联考)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若a ＝f (20.3)，b ＝f (2)，c ＝(log 25)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a(2)(多选)若函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则( )A ．f (x )＝e x ＋e －x 2B ．g (x )＝e x －e －x 2C ．f (－2)＜g (－1)D ．g (－1)＜f (－3)【解析】 (1)因为20＜20.3＜21，即1＜20.3＜2，log 25＞log 24＝2，所以20.3＜2＜log 25.因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，所以f (20.3)＞f (2)＞f (log 25)，即a ＞b ＞c ，故选B.(2)因为函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ①，所以f (－x )＋2g (－x )＝e －x ，即f (x )－2g (x )＝e －x ②，联立①②得⎩⎨⎧f （x ）＋2g （x ）＝e x ，f （x ）－2g （x ）＝e －x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝e x ＋e －x 2，g （x ）＝e x －e －x 4，所以f (－2)＝e －2＋e 22，f (－3)＝e －3＋e 32，g (－1)＝e －1－e 4＜0，所以g (－1)＜f (－2)，g (－1)＜f (－3)，故选AD.【答案】 (1)B (2)AD基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[对点训练]1．(2020·高考天津卷)设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b 解析：选D.由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝(13)－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D.2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－3x 2，若f (2a －1)＞f (3)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)解析：选B.易知函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －3x 2，故函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，故f (2a －1)＞f (3)等价于|2a －1|＜3，解得－1＜a ＜2，故实数a 的取值范围为(－1，2)．3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋b ，x ＞1，e x －2，x ≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________．解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋2，x ＞1，e x －2，x ≤1.当x ＞1时，y ＝ln x ＋2＞2；当x ≤1时，y ＝e x －2∈(－2，e －2]．故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞)．答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞)考点二 函数与方程[学生用书P88][典型例题]命题角度1 确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎨⎧（x －1）2，0＜x ≤2，f （x －2）＋1，x ＞2，则函数g (x )＝f 2(x )－f (x )的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 (1)因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a －1－b <0，f (0)＝1－b >0，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．(2)因为x ∈(0，2]时，f (x )＝(x －1)2，当x ＞2时，f (x )＝f (x －2)＋1，所以将f (x )在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f (x )在(2，4]上的图象．同理可得到f (x )在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f (x )的图象关于y 轴对称得到f (x )在(－∞，0)上的图象，从而得到f (x )在其定义域内的图象，如图所示：令g (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝1，由图可知直线y ＝0与y ＝1和函数y ＝f (x )的图象共有6个交点，所以函数g (x )共有6个零点．故选C.【答案】 (1)B (2)C(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；②利用零点存在性定理进行判断；③画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(2)判断函数零点个数的方法①直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．②利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．命题角度2 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)(2)(2020·南充市第一次适应性考试)函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，|x |≤1，|x |，|x |＞1，若方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则实数a 满足( )A ．a ＝1B ．a ＞1C ．0≤a ＜1D ．a ＜0【解析】 (1)因为f (x )在(1，2)内单调递增，依题意有f (1)·f (2)＜0，所以(－a )·(3－a )＜0，所以0＜a ＜3.(2)方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则直线y ＝a 与f (x )的图象有且只有一个交点，作出函数f (x )的图象如图所示，当a ＝1时，直线y ＝a 与函数f (x )的图象有且只有一个交点，故选A.【答案】 (1)C (2)A利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x －1），x ＞1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x ＞1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.2．(2020·济南模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0]，由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x <－1时，f (x )<0，f (0)＝1，x →－∞时，f(x)→0.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象，如图所示．要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则方程f(x)－b＝0，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x) 的图象与直线y＝b有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0，1]，故选D.考点三函数的实际应用[学生用书P89][典型例题](1)(2020·高考全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝K1＋e－0.23（t－53），其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)() A．60B．63C．66 D．69(2)已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝x4，投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝a2x(a＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为()A. 5 B．5C. 2 D．2【解析】(1)由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，K1＋e－0.23（t*－53）＝0.95K，即10.95＝1＋e－0.23(t *－53)，e－0.23(t*－53)＝119，e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，所以t*≈66.故选C.(2)设投资乙商品x 万元(0≤x ≤20)，则投资甲商品(20－x )万元．利润分别为Q ＝a 2x (a ＞0)，P ＝20－x 4.又因为0≤x ≤20时，P ＋Q ≥5恒成立，所以a x ≥x 2.①当x ＝0时，符合题意；②当0＜x ≤20时，a ≥x 2.要使a ≥x 2在x ∈(0，20]内恒成立，只需使a 不小于x 2的最大值．因为x 2的最大值为5，所以a ≥5，即a 的最小值为 5.故选A.【答案】 (1)C (2)A应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答. (2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练](2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1解析：选A.由题意可设太阳的星等为m 2，太阳的亮度为E 2，天狼星的星等为m 1，天狼星的亮度为E 1，则由m 2－m 1＝52lg E 1E 2，得－26.7＋1.45＝52lg E 1E 2，52lgE 1E 2＝－25.25，所以lg E 1E 2＝－10.1，lg E 2E 1＝10.1，E 2E 1＝1010.1.故选A.[学生用书(单独成册)P156]一、单项选择题1．函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A ，则下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )解析：选A.令x －1＝0，可得x ＝1，此时y ＝1，所以函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A (1，1)．把x ＝1，y ＝1代入各选项验证，只有A 选项中函数的图象没有经过A 点．故选A.2．设f (x )是区间[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，则方程f (x )＝0在区间[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根 解析：选C.因为f (x )在区间[－1，1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一的零点．所以方程f (x )＝0在区间[－1，1]内有唯一的实数根．3．若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1解析：选B.因为函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域为[a ，＋∞)，所以函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，所以当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.4．若函数y ＝a －a x (a ＞0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为当a ＞1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递减，所以a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0＜a ＜1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递增，所以a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．所以a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3.故选C. 5．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1，1)上的减函数D ．(－1，1)上的增函数解析：选D.由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，所以a ＝－1，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A ，B ，又y ＝21－x－1在(－1，1)上是增函数，所以f (x )在(－1，1)上是增函数，故选D.6．2018年9月，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于给定数值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈x ln x的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10 000以内的素数个数为(素数即质数，lg e ≈0.434 29，计算结果按四舍五入取整数)( )A ．1 089B ．1 086C ．434D ．145解析：选B.由题可知，小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈x ln x ，则10 000以内的素数的个数为π(10 000)≈10 000ln 10 000＝10 0004ln 10＝10 000lg e 4＝2 500lg e ≈0.434 29×2 500≈1 086，故选B.7．已知f (x )＝|ln(x ＋1)|，若f (a )＝f (b )(a <b )，则( )A ．a ＋b >0B ．a ＋b >1C ．2a ＋b >0D ．2a ＋b >1解析：选A.作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )(a <b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0，所以0＝ab ＋a ＋b <（a ＋b ）24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，又易知－1<a <0，b >0.所以a ＋b ＋4>0，所以a ＋b >0.故选A.8．对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ＜0，－x ＋2，x ≥0，则曲线f (x )的“优美点”个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选C.由“优美点”的定义可知，若(x 0，f (x 0))为“优美点”，则点(－x 0，－f (－x 0))也在曲线f (x )上，且(－x 0，－f (－x 0))也是“优美点”．如图所示，作出函数y ＝x 2＋2x (x ＜0)的图象，再作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)关于原点对称的图象，即曲线y ＝－x 2＋2x (x ＞0)，直线y ＝－x ＋2过点(2，0)，故与曲线y ＝－x 2＋2x (x ＞0)交于两点，所以曲线f (x )有4个优美点．故选C.二、多项选择题9．(2020·山东枣庄滕州一中月考)已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( )A ．函数f (x )为增函数B ．函数f (x )为偶函数C ．若x ＞1，则f (x )＞0D ．若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 解析：选ACD.由题意得2＝log a 4，所以a ＝2，故函数f (x )＝log 2x .对于A 项，函数f (x )＝log 2x 为增函数，故A 项正确；对于B 项，函数f (x )＝log 2x 不是偶函数，故B 项错误；对于C 项，当x ＞1时，f (x )＝log 2x ＞log 21＝0成立，故C 项正确；对于D 项，因为f (x )＝log 2x 往上凸，所以若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立，故D 项正确．故选ACD. 10．若函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |，其中a ＞0且a ≠1，则函数f (x )，g (x )在同一坐标系中的大致图象可能是( )解析：选AD.由题意知f (x )＝a x －2是指数函数，g (x )＝log a |x |是对数函数，且是一个偶函数．当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －2单调递减，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上递减，此时A 选项符合题意，当a ＞1时，f (x )＝a x －2单调递增，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，此时D 选项符合题意，故选AD.11．设函数f (x )＝x ＋e |x |e |x |，则下列选项正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1D ．f (x )的最小值为－1e ＋1解析：选BCD.f (x )＝x e |x |＋1，f (－x )＝1－x e |x |，不满足f (x )＝－f (－x )，故A 错误．令g (x )＝x e |x |，则g (－x )＝－x e|－x |＝－x e |x |＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，则f (x )关于点(0，1)对称，B 正确．设f (x )＝x e |x |＋1的最大值为M ，则g (x )的最大值为M －1，设f (x )＝x e |x |＋1的最小值为N ，则g (x )的最小值为N －1.当x ＞0时，g (x )＝x e x ，所以g ′(x )＝1－x e x .当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，所以当x ∈(0，1)时，g (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递减，所以g (x )在x＝1处取得最大值，最大值g (1)＝1e ，由于g (x )为奇函数，所以g (x )在x ＝－1处取得最小值，最小值g (－1)＝－1e ，所以f (x )的最大值为M ＝1e ＋1，最小值为N＝－1e ＋1，故C ，D 正确，故选BCD.12．(2020·辽宁省实验中学东戴河分校月考)设函数f (x )＝x |x |－bx ＋c ，则下列命题正确的是( )A ．当b ＞0时，函数f (x )在R 上有最小值B ．当b ＜0时，函数f (x )在R 上是单调递增函数C ．若f (2 019)＋f (－2 019)＝2 020，则c ＝1 010D ．方程f (x )＝0可能有三个实数根解析：选BCD.对于A 项，当b ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，令b ＝2，c ＝0，则f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，可知函数f (x )在R 上无最小值，故A 项错误；对于B 项，当b ＜0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，令0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 22＋b (x 2－x 1)，由x 21－x 22＜0，x 2－x 1＞0，b ＜0可知，f (x 1)－f (x 2)＜0，故函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增．同理可得f (x )在(－∞，0)上单调递增，且(x 2－bx ＋c )min ＝f (0)＝c ＞(－x 2－bx ＋c )max ，所以函数f (x )在R 上是单调递增函数，故B项正确；对于C 项，由f (2 019)＋f (－2 019)＝2 020，将x ＝2 019，x ＝－2 019分别代入f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，解得c ＝1 010，故C 项正确；对于D 项，令b ＝2，c ＝0，则f (x )＝x |x |－2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2，故D 项正确．故选BCD.三、填空题13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，log 12x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (log 2 16)＝________． 解析：由题可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 1214＝2，因为log 2 16<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 16＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 16＝8. 答案：814．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________． 解析：因为f (x )＝|log 3 x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，且函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2是最大值，得m ＝13，n ＝3，此时log 3n ＝1<2，满足题意，则n m ＝9；若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得m ＝13，n ＝3，故n m＝9. 答案：915．已知函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[a ，b ]上同时递增或同时递减时，[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”．若[1，2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围为________．解析：因为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝f (－x )＝|2－x ＋t |.因为[1，2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，所以函数y ＝|2x ＋t |和函数g (x )＝|2－x ＋t |在区间[1，2]上的单调性相同．又因为y ＝2x ＋t 和y ＝2－x ＋t 的单调性相反，所以(2x ＋t )·(2－x ＋t )≤0在[1，2]上恒成立，即2－x ≤－t ≤2x 在[1，2]上恒成立，得－2≤t ≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 16．(2020·开封市模拟考试)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (x )＋f (2－x )＝0，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝x 2，则f (1)＝________，g (x )＝f (x )－lg x ，则函数g (x )的零点共有________个．解析：依题意得f (－x )＋f (x )＝0，f (x )＋f (2－x )＝0，因此f (2－x )＝f (－x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数，于是f (1)＝f (－1)＝－f (1)，2f (1)＝0，即f (1)＝0.由此可得函数f (x )的值域为(－1，1)，由g (x )＝0得f (x )＝lg x ＜1，0＜x ＜10，且函数g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象在区间(0，10)内的公共点个数．在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )与函数y ＝lg x 的大致图象，如图所示，结合图象可得，它们的图象共有5个公共点，因此函数g (x )的零点共有5个．答案：0 5。
