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小波分析实验报告课程：小波分析姓名：学院：学号：一、实验目的：1、运用傅里叶变换知识对常用的基本函数做基本变换。
2、通过观察小波变换系数建立对小波变换及其有关性质的感性认识3、加深对因果滤波器的理解，并会判断因果滤波器的类型。
4、运用卷积公式对基本信号做滤波处理并作出分析，以加深理解。
5、熟悉Matlab中相关函数的用法。
二、实验原理：1、“小波”就是小区域、长度有限、均值为0的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。
小波转换分成两个大类：离散小波变换(DWT)和连续小波转换(CWT)。
两者的主要区别在于，连续转换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散转换采用所有缩放和平移值的特定子集。
小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的。
它要求的就是一个个小波分量的系数也就是“权”。
其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地“量”信号，也就是去比较信号与小波的相似程度。
信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小。
当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比较，从而得出一组组数据。
如此这般循环，最后得出的就是信号的小波分解（小波级数）。
当尺度及位移均作连续变化时，可以理解必将产生大量数据，作实际应用时并不需要这么多的数据，因此就产生了离散的思想。
将尺度作二进离散就得到二进小波变换，同时也将信号的频带作了二进离散。
当觉得二进离散数据量仍显大时，同时将位移也作离散就得到了离散小波变换。
2、二维离散小波变换常用函数三、实验内容：1. 对信号noissin 分别采用图形接口和命令行两种方式进行单尺度小波分解重构和多尺度小波分解重构层数为4，并显示各层低频高频图形，加以比较。
实验四一、实验目的理解小波阈值去噪法原理。
对所得的去噪效果进行分析。
二、实验要求在载入原始图片后，对图片进行含噪和消噪处理，再对所得的图片效果进行分析。
三、主要内容载入原始图片，对原始图片添加一个随机噪声，得出含噪图片。
用sym6小波对图像进行1层分解，设置一个全局阈值，对图像分解系数，将低频系数进行重构，得出消噪后的图像。
再与原图像，含噪图像一起进行分析比较。
运行代码如下clear all;load woman;subplot(2,2,1);image(X);colormap(map);xlabel('(a)原始图像');axis square;init=2055615866;randn('seed',init);x=X+48*randn(size(X));subplot(2,2,2);image(x);colormap(map);xlabel('(b)含噪图像');axis square;%用sym6小波对图像进行1层分解t1=wpdec2(x,1,'sym6');%设置一个全局阈值thr=10.358;%对图像分解系数t2=wpthcoef(t1,0,'s',thr);%对低频系数进行重构x1=wprcoef(t1,1);subplot(2,2,3);image(x1);运行结果四、思考体会小波去噪的根本任务是在小波域将信号的小波变换与噪声的小波变换有效的分离。
噪声的能量分布于整个小波域内，小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值，也可以认为，幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而比较小的系数在很大程度上是噪声。
于是，采用阈值的方法可把信号系数保留，而把大部分噪声系数减少至零。
将含噪信号在各尺度上进行小波分解，保留大尺度（低分辨率）下的全部系数，对于小尺度（高分辨率）下的小波系数，设定一个阈值，幅值不超过阈值的小波系数设置为零，幅值高于该阈值的小波系数或者完整保留，或者做相应的收缩处理，最后将处理后的小波系数利用逆小波变换进行重构，恢复出有效信号。
一、小波分析基本原理：信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。
傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。
与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。
对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。
相关原理详见附件资料和系统设计书。
注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。
本人找到了相对好理解些的两个外文的资料：Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.docTen.Lectures.of.Wavelets.pdf二、搜索到的小波分析源码简介（仅谈大体印象，还待继续研读）：１、83421119WaveletVCppRes.rar源码类型：VC++程序功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。
说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。
但这是为专业应用写的算法，通用性差。
２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序）源码类型：fortran程序功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。
说明：用的是墨西哥帽小波。
程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。
３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）源码类型：fortran和matlab程序各一份功能是：气象应用。
小波分析及其应用（学习总结）一、 初步认识小波小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，是小的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
与Fourier 变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。
小波变换被人们称为“数学显微镜”。
从数学的角度来看，小波实际上是在特定空间内按照称之为小波的基函数（通常具有鲜明的物理意义）对数学表达式的展开与逼近。
作为一种快速高效、高精度的近似方法，小波理论构成调和分析领域中Fourier 分析的重要发展。
与Fourier 变换由三角基函数构成相比，小波基函数大多具有快速衰减、充分光滑、能量集中在一个局部区域的函数()x ψ经过伸缩与平移得到的函数集合，其中b 起到平移的作用，而a 为伸缩因子（a 作为一种尺度在变化时产生多分辨特性）。
因此，从信号处理的角度来看，作为一种新的时频分析工具，小波克服了Fourier 分析方法表示信息时能够清晰的揭示出信号的频率特性而不能反映时间域上的局部信息的缺陷，而局部性质的描述无论是在理论上还是在实际应用方面都十分重要。
当利用小波实施视频分析时，由于同时具有时间和频率的局部特性以及多分辨分析特性，使得对非平稳信号的处理变得相对容易。
二、 第一代小波由L 2(R)空间的正交分解和变换相关知识，对于给定信号f(t)，关键是选择合适的标准正交基g i (t)，使得f(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能得到我们需要的函数表示。
常用的变换有：(1) K-L 变换 (2) Walsh 变换 (3) Fourier 变换 (4) 小波变换如图1所示是信号f(t)的Fourier 变换示意图。
小波分析学习心得学习小波分析这门课程已经有一段时间了，我对于这一门课程已经有了一定程度的认识。
由于学科专业所限，我平时接触小波分析的机会并不是很多，很高兴在这个学期能够有机会专门学习小波分析。
经过这一段时间小波分析的学习，虽然我还不能说是精通小波分析，不过也是对其中的一些基本概念有了一定的理解。
后文中，我将会对在小波分析学习过程中所得到的一些学习心得进行总结。
我们通常说的波一般指的是物质的一种运动方式，在数学中它对应于时间域或空间域的震荡方程。
正弦波就是一种最为常见的波，它的振幅均匀的分布时域中，并不收敛，所具有的能量是无穷的。
小波，顾名思义，就是小的波，它的能量是有限的，相对于正弦波而言，它的振幅在时域上是收敛的，能量并不是无穷的。
傅里叶变换将函数投影到正弦波上，将函数分解成了不同频率的正弦波，这是一个非常伟大的发现，但是在大量的应用中，傅里叶变换的局限性却日趋明显，事实上在光滑平稳信号的表示中，傅里叶变换已经达到了近似最优表示，但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的，傅里叶变换在奇异点的表现就令人非常不满意，从对方波的傅里叶逼近就可以看出来，用了大量不同频率的正弦波去逼近其系数衰减程度相当缓慢。
其内在的原因是其基底为全局性基底，没有局部化能力，以至局部一个小小的摆动也会影响全局的系数。
很多应用场合要求比较精确的时频定位，傅里叶变换的缺点就越来越突出了。
窗口傅里叶变换将信号乘上一个局部窗，然后再做傅里叶变换，获得比较好的时频定位特性，再沿时间轴滑动窗口，得到整个时间轴上的频率分布，似乎到这里就应该结束了，因为我们可以把窗设计小点获得较高的时间分辨率，并期望有同样高的频率分辨率，但测不准原理无情的告诉我们，没有这么好的窗能在时间和频率都任意小的，最优的就是高斯窗了（窗的选取还需满足频率域也为窗函数，并不是每个时窗都满足这个条件的）。
通过短时傅里叶变换我们可以画出时频图，但是存在问题：当我们分析频率较高部分信号时应该用更窄的窗，反之用宽窗，但短时傅里叶变换一旦选定窗过后，分辨率就固定了，若要其他分辨率则需要更换窗。
小波分析结课论文基于正交滤波器组的Daubechies 小波设计及Quartus ll 仿真1.非平稳信号的局部变换信号s(t)和其频谱S(w)构成Fourier 变换对,由于Fourier 变换或反变换都属于全局变换，不能告知某种频率分量发生在那些时间内，因此用来不能描述信号的局部统计特性。
对于非平稳信号s(t)，应该采用局部变换来描述其随时间变化的统计特性。
并且信号的局部性能需要使用时域和频域是我二维联合表示，才能精确描述。
1.1用内积构造信号变换任何一种信号变换都可以写成该信号与某个选定的核函数之间的内积，因此可以用下面两种基本形式来构造。
信号s(t)的局部变换 = <取信号s(t)的局部，核函数无穷长> 或信号s(t)的局部变换 = <取信号s(t)的全部，核函数局域化>1.2小波变换1.2.1选用小波变换的原因三个信号局部变换的典型例子是短时Fourier 变换、Gabor 变换、小波变换，它们都是时频信号分析的线性变换。
而短时Fourier 变换和Gabor 变换都属于“加窗Fourier 变换”，都以固定的滑动窗对信号进行分析，可以表征信号的局部频率特性。
显然，这种时域固定等宽的滑动窗处理并不是对所有的信号都合适。
因为有较多的自然界信号在低频端应具有很高的频率分辨率，在高频端的频率分辨率可以比较低。
而从不相容原理的角度看，这类信号的高频分量应该具有高的时间分辨率，低频分量应该具有低的时间分辨率。
对这类非平稳信号的线性时频分析，应该在时频平面的不同位置具有不同的分辨率，小波变换就是这样一种多分辨（率）分析方法，其目的是既见森林——信号概貌，又见树木——信号细节，所以，小波分析被称为数学显微镜。
1.2.2连续小波变换的定义及参数含义平方可积分函数s(t)的连续小波变换定义为(,)()*()(),()s ab t b W T a b s t dt s t t aψψ∞-==〈〉⎰, a > 0其中小波变换的基函数()()ab t b t aψ-=是窗函数()t ψ的时间平移b 和尺度压缩a 的结果，乘以因子1/是因为要使变换结果归一化，a 是尺度参数，b 是平移参数。
小波分析小结（小编整理）第一篇：小波分析小结小波分析的形成小波分析是一门数学分支，是继Fourier变换之后新的时频域分析工具。
小波理论的形成经历了三个发展阶段：Fourier变换阶段：Fourier变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。
设信号f(t)，其Fourier变换为：F(ω)=⎰f(t)e-iωtdt-∞∞F(ω)确定了f(t)在整个时间域上的频谱特性。
但Fourier变换不能对信号从时域和频域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。
例：f(t)=1,(-2<=t<=2)，其Fourier变换对应图如下：短时Fourier变换阶段：短时Fourier变换即加窗Fourier变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。
其表达式为：Gf(ω,τ)=〈f(t),g(t-τ)ejωt〉=⎰f(t)g(t-τ)e-jωtdtR式中，g(t)为时限函数，即窗口函数，e-jωt起频限作用，Gf(ω,τ)大致反映了f(t)在τ时、频率为ω的信号成分含量。
由上式，短时Fourier变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。
小波分析阶段：为了克服上述缺点，小波变换应运而生。
小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。
对信号可以进行概貌和细节上的分析。
小波的定义：∝(ω)，若满足设ψ(t)∈L2(R)（为能量有限的空间信号），其Fourier变换为ψ容许条件：|ψ(ω)|2⎰-∞|ω|dω<+∞∞∝∝(0)=∞ψ(t)dt=0，说明ψ(t)具有波动则称ψ(t)为母小波，由容许条件可得：ψ⎰-∞性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.t-12以Marr小波ψ(t)=(1-t)e2为例，如下图：2π2将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下:ψb,a(t)=1t-bψ(),a>0aa其中a为伸缩因子，b为平移因子。
小波分析浅析—— 李继刚众所周知，以π2为周期的复杂的波都可以用以π2为周期的函数)(t f （模拟信号）来描述，它可以由形如)sin(n n nt A θ+的若干谐波叠加而成，因此，完全有理由认为)(t f 有如下的表现形式：∑∑∑∞=∞=∞=+=+=+=)sin cos ()cos sin cos sin ()sin()(n n n n n n n n n n n nt b nt a nt A nt A nt A t f θθθ为了确定上式中的系数n n b a ,，可以利用Fourier 变换，可以得到函数)(t f 的Fourier 级数，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====++=⎰⎰∑--+∞=ππππππ.,2,1,sin )(1,,1,0,cos )(1),sin cos (2)(10 n ntdt t f b n ntdt t f a nt b nt a a t f n n n n n 如果函数以T 为周期，则通过对t 作Tw x Tt ππ2,2=∆=变换，可以得到函数的Fourier级数，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∆==∆=∆+∆+=⎰⎰∑--+∞=ππππ.,2,1,sin )(2,,1,0,cos )(2),sin cos (2)(10 n wtdt n t f T b n wtdt n t f T a wt n b wt n a a t f n n n n n 从时域角度来理解Fourier 级数，将}sin ,{cos wt n wt n ∆∆看作是具有频率w n ∆的谐波，则时域表现的函数)(t f 可分解为无穷个谐波之和。
从频域角度来理解Fourier 级数，因为)(t f 的频域范围是[)+∞∈,0w ，所以，可将w 轴用间距w ∆作离散分化，离散点w n ∆处对应着频率为w n ∆的谐波}sin ,{cos wt n wt n ∆∆，这样就可将时域函数)(t f 与谐波组成1-1对应关系，即+∞∆∆↔0}sin ,cos {)(wt n b wt n a t f n nFourier 分析在信号分析处理时，将复杂的时域信号转换到频域中，时域信号和频域信号组成Fourier 变换对，人们既可以在时域中分析信号，也可以在频域中细致的作出特殊分析。
小波分析知识点总结小波分析的基本思想是利用小波函数对信号进行分解，得到不同尺度和频率的成分，然后对这些成分进行分析。
小波函数通常具有局部化特性，能够反映信号的局部特征，在时域和频域上都具有一定的分辨率，因此可以更准确地描述信号的时频特性。
小波分析主要包括小波变换、小波系数的选择、小波包分析、小波域滤波等内容。
下面将从这些方面对小波分析进行介绍。
1. 小波变换小波变换是小波分析的核心内容，它将信号分解成不同尺度和频率的成分。
小波变换包括连续小波变换和离散小波变换两种形式。
连续小波变换将信号分解成不同尺度和频率的成分，并且可以实现任意精细程度的分解。
但是由于小波函数是连续的，计算复杂度较高，因此应用较为有限。
离散小波变换是将连续小波变换进行离散化处理，从而降低计算复杂度。
离散小波变换可以通过小波分解和小波重构过程来实现信号的分解和重构，具有较好的实用性和计算效率。
小波变换具有多重分辨率分析的特点，可以在不同尺度和频率上对信号进行分析，具有较好的时频局部化特性。
2. 小波系数的选择小波系数对信号的分解和重构效果具有重要影响。
通常情况下，小波系数是由小波函数的形状和尺度决定的，不同的小波函数对信号的分解和重构效果有一定的影响。
常用的小波函数包括哈尔小波、Daubechies小波、Meyer小波、Gabor小波等。
这些小波函数具有不同的形状和尺度特性，可以适用于不同类型的信号。
在选择小波系数时，需要考虑信号的特点和分析的目的，选择合适的小波函数和尺度参数，以实现更好的分解效果。
3. 小波包分析小波包分析是小波变换的一种扩展形式，它能够对信号进行更为细致的分解。
小波包分析将信号进行逐层分解，得到更为丰富的频率成分，能够更准确地描述信号的时频特性。
小波包分析通常采用二叉树结构进行信号分解，在每层分解中都能够获得更为细致的频率分量。
小波包分析可以实现任意精细程度的频率分解，能够更充分地利用小波函数的局部化特性，对信号进行更为全面的时频分析。
小波分析小结小波分析的形成小波分析是一门数学分支，是继Fourier 变换之后新的时频域分析工具。
小波理论的形成经历了三个发展阶段：Fourier 变换阶段：Fourier 变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。
设信号()f t ，其Fourier 变换为：()()i tF f t e dt ωω∞--∞=⎰()F ω确定了()f t 在整个时间域上的频谱特性。
但Fourier 变换不能对信号从时域和频域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。
例：()1,(22)f t t =-<=<=，其Fourier 变换对应图如下：短时Fourier 变换阶段：短时Fourier 变换即加窗Fourier 变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier 分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。
其表达式为：(,)(),()()()j t j t f RG f t g t e f t g t e dtωωωτττ-=〈-〉=-⎰式中，()g t 为时限函数，即窗口函数，j te ω-起频限作用，(,)fGωτ大致反映了()f t 在τ时、频率为ω的信号成分含量。
由上式，短时Fourier 变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。
小波分析阶段：为了克服上述缺点，小波变换应运而生。
小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。
对信号可以进行概貌和细节上的分析。
小波的定义：设2()()t L R ψ∈ （为能量有限的空间信号），其Fourier 变换为µ()ψω，若满足容许条件：·2|()|||d ψωωω∞-∞<+∞⎰则称()t ψ为母小波，由容许条件可得：µ(0)()0t dt ψψ∞-∞==⎰，说明()t ψ具有波动性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.以Marr 小波222())2tt t e ψπ-=-为例，如下图：将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下:,()(),0b a t b t a a aψψ-=>其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。
a以Marr 小波为例，分别取伸缩平移因子a ，b 为0.5、1、2、4；-1、0、1，对应图形如下:Daubichies小波常见的小波有Daubechies、Symlets、Morlet、Mexican Hat、Meyer小波等，其对应的图形及性质如下：Daubechies小波是正交小波，没有解析表达式（除Haar小波外）。
其简写形式为dbN，N表示阶数，支集区间为（0，2N-1）。
Symlets小波与db小波的差别是sym小波有更好的对称性。
Morlet 小波不具备正交性，不存在紧支集，不能做离散小波变换，没有解析尺度函数，其小波函数为：2/2()cos(5)x x e x ψ-=Mexican Hat 小波不具有正交性，不存在尺度函数，是高斯函数的二阶导数，小波函数为：21/4/2()3x x e ψ--=Meyer 小波为在频域定义的具有解析形式的正交小波，不存在紧支集，但其频谱有限，具有对称性。
小波函数的特点：正交性：小波函数与自身内积为1，而与其伸缩平移后的小波系列内积为0。
正交小波的优点是小波变换可将信号分解到无重叠的子频带上，并且可以进行高效的离散小波变换。
对称性：不具有对称性的小波函数所重构的信号会有相位失真。
紧支性：具有紧支性的小波其小波函数仅在有限区间内是非零的，其局部化能力强，小波变换复杂度低。
正则性：用于刻画小波函数的光滑程度，正则性越高，函数越光滑。
消失矩：用于衡量小波逼近光滑函数时的能力。
消失矩越大，压缩比越大。
尺度函数：若函数2()()t L R ϕ∈，其整数平移系列()()kt t k ϕϕ=-满足：(),()k k kk t t ϕϕδ''=则称()t ϕ为尺度函数。
对尺度函数()t ϕ进行平移和伸缩，可得一个尺度和位移均可变的函数集合：/2,()2(2)(2)j j j j k k t t k t ϕϕϕ---=-=称每一个固定尺度j 上的平移系列(2)j k t ϕ-所张成的空间j V 为尺度j 的尺度空间：{}(2),j j k V span t k Z ϕ-=∈正交多分辨分析：Hilbert 空间2()L R 中，若一列闭子空间{}j j z V ∈满足如下性质：嵌套性：1,();j j V V j z -⊆∈ 逼近性：2{0},();j j j zj zV V L R ∈∈⋂=⋃=伸缩性：1()(2);j j f t V f t V -∈⇔∈平移不变性：()(),;jj f t Vf t k V j Z ∈⇔-∈∈正交性（Riesz 基）：存在0()t V ϕ∈，使得{(),}t k k z ϕ-∈是0V 的标准正交基。
滤波器：在二尺度方程中，对系数系列{}k k z h ∈和1(1),k k k g h k z -=-∈作Fourier 变换得()H ω和()G ω，其中1()2ik k k z H h e ωω-∈=∑，1()2ik k k zG g e ωω-∈=∑，称()H ω和()G ω分别为低通滤波器和高通滤波器。
称{}k k z h ∈和{}k k z g ∈分别为低通滤波器系数和高通滤波器系数。
小波变换连续小波变换：设ψ为一母小波，2()()f t L R ∈，称12,()(,),||()()a b t bW f a b f a f t dt aψψψ∞--∞-=〈〉=⎰为f 的连续小波变换。
离散小波变换离散小波：通过离散化连续小波变换中的平移因子b 和尺度因子a 得到，通常取000,,,m m a a b nb a m n Z ==∈.离散小波变换：2,000()(,),||()()m m a b W f a b f a f t a t nb dt ψψψ∞---∞=〈〉=-⎰若取002,1a b ==，可以得到二进小波：/2,()2(2),,m m m n t t n m n Z ψψ--=-∈信号的离散小波变换并不是直接由尺度函数()t ϕ和对应的小波()t ψ与信号内积来实现，而是利用滤波器组[]h n 和[]g n 来实现，用矩阵形式表述如下：111[0][0][0][1][]000[1][1]00[0][1][]0[1][]0000[0][1][1]2j j j j j j c c h h h k c c h h h k n c n h k h h c ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦LLL L M M MM M M O O O O L 111[0][0][0][1][]000[1][1]00[0][1][]0[1][]0000[0][1][1]2j j j j j j d c g g g k d c g g g k n c n g k g g d ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦LLL L M M MM M M O O O O L 其中，设滤波器长度为k 。
并且两滤波器系数间有如下关系：1(1),k k k g h k z -=-∈2||2kk zh∈=∑； 2kk z h∈=∑； 2211kk k zk zhh +∈∈==∑∑;202,k n kn k zhh n z δ-∈=∀∈∑以db5小波为例，其低通滤波器系数如下（这里取二尺度方程为()2(2)k k zt h t k ϕϕ∈=-∑）所得的系数：h[0]=0.160102397974;h[1]=0.603829269797;h[2]=0.724308528438;h[3]=0.138428145901;h[4]=-0.242294887066;h[5]=-0.032244869585; h[6]=0.0775********;h[7]=-0.006241490213;h[8]=-0.012580751999; h[9]=0.003335725285;变换所得系数j c 和jd 分别为离散小波变换的不同尺度下的低频和高频系数。
小波逆变换即信号的重建运算，重构是从尺度最低的近似系数j c和细节系数j d 开始，通过低频和高频重构滤波器恢复出上一尺度的近似信号1j c -，继续这个过程，直到恢复原始信号。
其计算公式为：1,,,(2)(2),j m j k j k k k c c h m k d g m k k Z -=-+-∈∑∑离散小波变换与重构实例如下：所采用的信号为添加白噪声的正弦信号，信号共1000个采样，采用db4小波做3层分解，其原始信号、低频系数、高频系数和重构信号如下图：。
