小波分析简述(第五章)

时间序列—小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。

在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。

其中,时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换)虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析.然而，地学中许多现象(如河川径流、地震波、暴雨、洪水等)随时间的变化往往受到多种因素的综合影响,大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度"结构，具有多层次演变规律.对于这类非平稳时间序列的研究,通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息.显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时—频多分辨功能的小波分析(Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能,它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势,并能对系统未来发展趋势进行定性估计.目前,小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。

在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。

因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足:⎰+∞∞-=0dt )t (ψ (1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中,0a R,b a,≠∈ (2） 式中,)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。

小波分析的原理和应用1. 小波分析的基本概念小波分析是一种用于信号处理和数据分析的数学工具。

它的核心思想是将信号分解成不同频率的小波成分，以便更好地理解和处理信号。

小波是一种局部化的基函数，具有时频局部化的特点，因此可以更好地描述非平稳和非周期性信号。

2. 小波分析的原理小波分析的原理可以归结为两个关键步骤：小波变换和逆小波变换。

2.1 小波变换小波变换是将信号分解成不同尺度和频率的小波成分的过程。

它通过将信号与小波基函数进行内积运算来完成。

小波基函数可以用于描述信号中不同频率和时间域的特征。

小波变换的计算过程可以通过连续小波变换（CWT）或离散小波变换（DWT）来实现。

CWT适用于连续信号，DWT适用于离散信号。

2.2 逆小波变换逆小波变换是将小波表示的信号重构回原始信号的过程。

逆小波变换可以基于小波系数和小波基函数进行计算。

3. 小波分析的应用领域小波分析在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个主要的应用领域。

3.1 信号处理小波分析在信号处理领域中被广泛应用。

它可以用于信号压缩、滤波器设计、特征提取等方面。

由于小波具有时频局部化的特点，因此可以更好地处理非平稳和非周期信号。

3.2 图像处理小波分析在图像处理中也有重要的应用。

它可以用于图像压缩、图像增强、纹理分析等方面。

小波变换可以提取图像中的局部特征，并通过逆小波变换将处理后的图像重构回原始图像。

3.3 生物医学信号处理小波分析在生物医学信号处理领域起着重要的作用。

例如，可以将小波分析应用于心电信号分析、脑电信号分析等方面。

通过对生物医学信号进行小波变换，可以提取信号中的特征，并用于疾病诊断和监测等应用。

3.4 金融数据分析小波分析在金融数据分析中也有广泛的应用。

它可以用于金融时间序列数据的分析和预测。

通过对金融数据进行小波变换，可以识别出数据中的周期性和趋势性成分，从而帮助分析师做出更准确的预测。

4. 小结小波分析是一种重要的信号处理和数据分析工具。

小波学习总结小波分析理论和方法是从傅立叶分析分析演变而来的。

傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反应了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分，是研究周期现象不可缺少的工具。

傅立叶变换虽然有很强的频域局域化能力，但并不具有时间局域化能力，而后一点，对于很多信号处理工作而言，特别是对于涉及非平稳信号处理的任务而言，是至关重要的。

小波变换以牺牲部分频域定位性能来取得时-频局部性的折衷，其不仅能提供较精确的时域定位，也能提供较精确的频域定位。

我们所面对的真实物理信号，更多的表现出非平稳的特性，而小波变换恰恰是处理非平稳信号的有力工具。

从Fourier变换到小波变换，目的是要找到一组时频局域化特性都良好的正交基，即小波基它的伸缩和平移将形成一系列灵活窗，最终满足时频分析要求。

由Fourier变换、STFT和小波分析的基函数及相应的时间-频率窗可知，Fourier分析的基函数在时域上具有全局性，没有任何时间分辨特性，但在频域上是完全局部化的；短时Fourier 变换的基函数对信号进行等带宽分解，时频带宽恒定；小波分析的基函数由小波基伸缩而成，其时频窗宽度随信号自适应变化，高频时窗自动变窄，低频时窗自动变宽。

小波变换的基本思想是用一组小波函数或者基函数表示一个函数或者信号，例如图像信号。

其核心就是对图像对应的像素值或者叫做图像位置的系数进行均值和差值的操作计算，产生新的由像素值的平均值和细节系数表示的图像，进一步去除一些微不足道的细节系数，从而提高小波图像的编码效率，达到取得较好的图像压缩率的目的。

小波分析中常用的三个基本概念是：连续小波变换、离散小波变换和小波重构。

（1）连续小波变换傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因此正弦波是傅立叶变换的基函数。

同样，小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。

可以说，凡是能够用傅立叶分析的函数都可以用小波分析，因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换的正弦波。

小波分析小结（小编整理）第一篇：小波分析小结小波分析的形成小波分析是一门数学分支，是继Fourier变换之后新的时频域分析工具。

小波理论的形成经历了三个发展阶段：Fourier变换阶段：Fourier变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。

设信号f(t)，其Fourier变换为：F(ω)=⎰f(t)e-iωtdt-∞∞F(ω)确定了f(t)在整个时间域上的频谱特性。

但Fourier变换不能对信号从时域和频域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。

例：f(t)=1,(-2<=t<=2)，其Fourier变换对应图如下：短时Fourier变换阶段：短时Fourier变换即加窗Fourier变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。

其表达式为：Gf(ω,τ)=〈f(t),g(t-τ)ejωt〉=⎰f(t)g(t-τ)e-jωtdtR式中，g(t)为时限函数，即窗口函数，e-jωt起频限作用，Gf(ω,τ)大致反映了f(t)在τ时、频率为ω的信号成分含量。

由上式，短时Fourier变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。

小波分析阶段：为了克服上述缺点，小波变换应运而生。

小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。

对信号可以进行概貌和细节上的分析。

小波的定义：∝(ω)，若满足设ψ(t)∈L2(R)（为能量有限的空间信号），其Fourier变换为ψ容许条件：|ψ(ω)|2⎰-∞|ω|dω<+∞∞∝∝(0)=∞ψ(t)dt=0，说明ψ(t)具有波动则称ψ(t)为母小波，由容许条件可得：ψ⎰-∞性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.t-12以Marr小波ψ(t)=(1-t)e2为例，如下图：2π2将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下:ψb,a(t)=1t-bψ(),a>0aa其中a为伸缩因子，b为平移因子。

小波变换是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。

小波由一族小波基函数构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。

采用小波分析最大优点是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。

小波分析具有发现其他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机械故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。

如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有Haar、Daubechies(dbN)、Morlet、Meryer、Symlet、Coiflet、Biorthogonal 小波等15种。

但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。

小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。

另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。

如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。

由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。

根据实际运用的经验，Morlet小波应用领域较广，可以用于信号表示和分类、图像识别特征提取；墨西哥草帽小波用于系统识别；样条小波用于材料探伤；Shannon正交基用于差分方程求解。

现在对小波分解层数与尺度的关系作如下解释：是不是小波以一个尺度分解一次就是小波进行一层的分解？比如：[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中，N为尺度，若为1，就是进行单尺度分解，也就是分解一层。

但是W=CWT(X,[2:2:128],'wname','plot')的分解尺度又是从2～128以2为步进的，这里的“分解尺度”跟上面那个“尺度”的意思一样吗？[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中的N为分解层数, 不是尺度,'以wname'是DB小波为例, 如DB4, 4为消失矩,则一般滤波器长度为8, 阶数为7.wavedec针对于离散,CWT是连续的。