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小波分析及其应用小波分析是一种将信号分解成不同频率的方法，它具有时频局域性等优点，广泛应用于信号处理、模式识别、图像处理、生物医学工程等领域。
本文将从小波分析的概念、算法及其应用等方面进行详细介绍。
小波分析最早由法国数学家莫尔。
尼斯特雷（Morlet）于20世纪80年代初提出。
它可以将原始信号分解成不同频率的小波基函数，通过对小波基函数进行不同尺度的平移和伸缩来适配信号的不同频率成分。
与传统的傅里叶变换相比，小波分析可以提供更精确的时频信息，适用于非平稳信号的分析。
小波分析的算法主要有两种：连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。
连续小波变换是将信号与连续的小波基函数进行卷积得到小波系数，然后通过小波系数的时频表示来分析信号。
离散小波变换则是通过对信号进行多级滤波和下采样得到不同频率的小波系数，然后通过小波系数的分解和重构来还原信号。
小波分析的应用非常广泛。
在信号处理领域，小波分析可用于信号的去噪、特征提取和模式分析等。
例如，在语音信号处理中，小波分析可以提取出语音信号的共振峰位置和共振器参数，从而实现语音识别和语音合成。
在图像处理领域，小波分析可用于图像的边缘检测、纹理分析和压缩等。
例如，在图像压缩中，小波变换可以将图像的低频和高频信息分开编码，从而实现更高的图像压缩比。
在模式识别领域，小波分析可以用于图案识别和模式分类。
例如，在人脸识别中，小波分析可以对人脸图像的尺度和方向进行多尺度和多方向的分析，从而提取出不同特征，进而实现人脸的识别。
在生物医学工程领域，小波分析可用于心电信号的分析和疾病检测等。
例如，在心电信号的分析中，小波分析可以提取出心电信号的不同频率成分，从而实现对心脏疾病的检测和分析。
总之，小波分析是一种重要的信号分析方法，具有时频局域性和多分辨率分析的特点，广泛应用于信号处理、模式识别、图像处理和生物医学工程等领域。
通过对小波基函数进行不同尺度的平移和伸缩，可以实现对信号不同频率成分的分解和分析，并提取出信号的时频特征，从而实现对信号的处理和分析。
小波分析的原理和应用1. 小波分析的基本概念小波分析是一种用于信号处理和数据分析的数学工具。
它的核心思想是将信号分解成不同频率的小波成分，以便更好地理解和处理信号。
小波是一种局部化的基函数，具有时频局部化的特点，因此可以更好地描述非平稳和非周期性信号。
2. 小波分析的原理小波分析的原理可以归结为两个关键步骤：小波变换和逆小波变换。
2.1 小波变换小波变换是将信号分解成不同尺度和频率的小波成分的过程。
它通过将信号与小波基函数进行内积运算来完成。
小波基函数可以用于描述信号中不同频率和时间域的特征。
小波变换的计算过程可以通过连续小波变换（CWT）或离散小波变换（DWT）来实现。
CWT适用于连续信号，DWT适用于离散信号。
2.2 逆小波变换逆小波变换是将小波表示的信号重构回原始信号的过程。
逆小波变换可以基于小波系数和小波基函数进行计算。
3. 小波分析的应用领域小波分析在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个主要的应用领域。
3.1 信号处理小波分析在信号处理领域中被广泛应用。
它可以用于信号压缩、滤波器设计、特征提取等方面。
由于小波具有时频局部化的特点，因此可以更好地处理非平稳和非周期信号。
3.2 图像处理小波分析在图像处理中也有重要的应用。
它可以用于图像压缩、图像增强、纹理分析等方面。
小波变换可以提取图像中的局部特征，并通过逆小波变换将处理后的图像重构回原始图像。
3.3 生物医学信号处理小波分析在生物医学信号处理领域起着重要的作用。
例如，可以将小波分析应用于心电信号分析、脑电信号分析等方面。
通过对生物医学信号进行小波变换，可以提取信号中的特征，并用于疾病诊断和监测等应用。
3.4 金融数据分析小波分析在金融数据分析中也有广泛的应用。
它可以用于金融时间序列数据的分析和预测。
通过对金融数据进行小波变换，可以识别出数据中的周期性和趋势性成分，从而帮助分析师做出更准确的预测。
4. 小结小波分析是一种重要的信号处理和数据分析工具。
小波分析小波分析是一种在信号处理领域中常用的数学工具。
它可以分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像和视频等。
小波分析的概念来源于法国数学家Jean Morlet在20世纪80年代提出的一种数学理论，经过不断的发展和改进，如今已成为信号处理中不可或缺的技术之一。
小波分析的基本思想是将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数。
这些小波基函数可以看作是时间和频率的局部性的权衡。
相比于传统的傅里叶分析和傅立叶变换方法，小波分析更加适用于处理非平稳信号，因为它允许信号在时间和频率上的变化。
小波分析的核心概念是小波变换，它将信号分解成不同频率的小波分量，并用小波系数表示。
这些小波系数可以提供关于信号的时间和频率信息。
小波变换可以通过离散小波变换（DWT）或连续小波变换（CWT）来实现。
DWT适用于离散信号，而CWT适用于连续信号。
小波分析有许多优点。
首先，它可以提供更精确的时间和频率信息。
由于小波基函数具有局部性，它们可以更好地捕捉信号的瞬时特性。
其次，小波分析可以有效地处理非平稳信号。
传统的傅里叶变换方法基于信号是稳态的假设，对于非平稳信号的处理效果会相对较差。
而小波分析通过局部分析的方式，可以更好地处理非平稳信号。
此外，小波分析还可以提供多分辨率分析的能力。
通过对小波系数的分层表示，可以在不同的分辨率下对信号进行分析，从而可以同时关注信号的整体结构和细节。
在实际应用中，小波分析有广泛的应用。
在音频和音乐领域，小波分析可以用于音频信号的压缩、去噪和特征提取等方面。
在图像和视频领域，小波分析可以用于图像压缩、边缘检测和运动分析等。
此外，小波分析还可以应用于金融领域的数据分析、生物医学信号的处理和地震信号的分析等。
总的来说，小波分析是一种强大的信号处理技术，它可以提供更精确和全面的信号分析。
小波分析在不同领域有广泛的应用，并且随着技术的发展和创新，其应用范围还会不断扩大。
通过深入研究和应用小波分析，我们可以更好地理解和处理各种类型的信号，为我们的生活和工作带来更大的便利和效益。
第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
浅谈小波分析理论及其应用
小波分析是一种在时间上和频率上非常灵活的方法，它将函数分解为不同频率的小波，从而更好地理解信号特征。
小波分析对于信号和图像处理领域有着广泛的应用，它可以用于去噪、压缩、特征提取和模式识别等方面。
小波分析的基本原理是根据小波函数的特点进行信号的分解。
小波函数有时域和频域的双重特性，这使得小波分析可以在时间和频率上同时分析信号。
小波函数有许多种类，其中最著名的是Morlet小波函数和Haar小波函数。
不同类型的小波函数有着不同的特点，可以用于处理不同类型的信号。
小波分析的应用非常广泛，其中最重要的是信号的去噪。
小波去噪可以利用小波分解的多尺度分析特性，将信号分成多个不同的频率带，去除噪声后再进行重构。
由于小波函数的好处在于可以在不同的时间尺度和频率上描述函数的特征，因此可以避免传统傅里叶变换中产生的频域和时间域之间的不确定性问题。
小波分析还可以用于信号的压缩。
小波变换可以将信号表示为一组小波系数，这些小波系数可以提供基于特征的图像压缩，以适合数字传输。
此外，小波变换还可以使用不同的频带系数来减少压缩过程中所需的位数，从而减小数据存储和传输的成本。
除了去噪和压缩之外，小波分析还可以用于图像处理中的特征提取、形态学分析和模式识别。
小波分析可以提供对图像特征的多尺度分析和检测，以便更有效地检测和分类图像。
在医学图像处理和物体识别领域，小波分析成为了一种广泛使用的工具。
总之，小波分析是一种非常有用的信号和图像分析工具，它在不同领域中有着广泛的应用。
随着技术的进步，小波分析的应用还将不断发展和拓展，成为更有效的数学工具。
《结合小波分析及优化理论的组合预测方法及应用》篇一一、引言随着现代科技的发展，预测问题在各个领域中显得尤为重要。
为了更准确地预测各种现象和趋势，研究者们不断探索新的预测方法。
小波分析作为一种有效的信号处理工具，在预测领域具有广泛应用。
同时，优化理论则为组合预测模型提供了强大的理论支持。
本文将结合小波分析和优化理论，探讨一种组合预测方法及其应用。
二、小波分析简介小波分析是一种在时间-频率平面上对信号进行局部分析的方法。
它通过对信号进行多尺度分解，可以有效地提取信号中的有用信息，并对不同频率成分进行针对性处理。
小波分析在信号处理、图像分析、时间序列分析等领域具有广泛应用。
三、优化理论概述优化理论是一种数学方法，旨在寻找最优解或近似最优解的问题。
在预测领域，优化理论为组合预测模型提供了强大的理论支持。
通过优化理论，我们可以选择合适的预测模型参数，使得预测结果的准确度达到最优。
四、组合预测方法本文提出的组合预测方法结合了小波分析和优化理论。
首先，利用小波分析对原始数据进行多尺度分解，提取不同频率成分的信息。
然后，根据优化理论，选择合适的预测模型参数，对不同频率成分进行预测。
最后，将各频率成分的预测结果进行组合，得到最终的预测结果。
五、应用实例以某股票价格预测为例，本文将该方法应用于实际数据中。
首先，利用小波分析对股票价格数据进行多尺度分解，提取不同时间尺度的价格波动信息。
然后，根据优化理论选择合适的股票价格预测模型参数，如线性回归模型、神经网络模型等。
通过这些模型对不同时间尺度的价格波动进行预测。
最后，将各时间尺度的预测结果进行组合，得到最终的股票价格预测结果。
六、实验结果与分析实验结果表明，本文提出的组合预测方法在股票价格预测中取得了较好的效果。
与传统的单一预测方法相比，该方法能够更准确地捕捉价格波动的不同时间尺度信息，提高了预测的准确度。
同时，通过优化理论选择合适的预测模型参数，使得模型能够更好地适应不同数据集的特点，提高了模型的泛化能力。
东北大学研究生考试试卷考试科目：状态监测与故障诊断课程编号：阅卷人：考试日期：2013.12*名：***学号：*******注意事项1．考前研究生将上述项目填写清楚2．字迹要清楚，保持卷面清洁3．交卷时请将本试卷和题签一起上交东北大学研究生院小波分析的基本理论小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。
经过大量学者不断探索研究，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的。
小波分析在保留傅里叶分析优点的基础上，具有许多特殊的性能和优点。
而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。
所以理论基础渐已扎实，理论体系逐步完善，在工程领域已得到广泛应用。
1 小波变换理论1.1 连续小波变换定义1.1 小波函数的定义：设ψ（x ）为一平方可积函数，也即ψ（x ）∈ L 2（R ），若其傅里叶变换ψ（ω）满足条件：C ψ=∫|ψ̂（ω）||ω|d ω<+∞+∞−∞1-1则称ψ（x ）是一个基本小波或小波母函数（Mother Wavelet ），并称上式为小波函数的容许性条件。
由定义1.1可知，小波函数具有两个特点：（1）小：它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。
由定义的条件知道任何满足可容许性条件的L 2（R ）空间的函数都可以作为小波母函数（包括实数函数或复数函数、紧支集或非紧支集函数等）。
但是在一般的情况下，常常选取紧支集或近似紧支集的同时具有时域和频域的局部性实数或复数函数作为小波母函，让小波母函数在时域和频域都具有较好的局部特性，这样可以更好的完成实验。
（2）波动性：若设ψ̂（ω）在点ω=0连续,则由容许性条件得:∫ψ(x )dx =ψ̂(0)=0+∞−∞ 1-2也即直流分量为零,同时也就说明ψ（x ）必是具有正负交替的波动性,这也是其 称为小波的原因。
定义1.2 连续小波基函数的定义:将小波母函数ψ（x ）进行伸缩和平移,设其收缩因子(即尺度因子)为a,平移因子为b,使其平移伸缩后的函数为ψa,b （x ）,则有:ψa ，b (x )=|a |−12ψ(x−b a)，a >0，b ∈R 1-3称ψa,b （x ）为依赖于参数a,b 的小波基函数。
小波分析在地震信号处理中的研究一、引言地震是自然界中最猛烈的力量之一，而地震信号的分析与处理是地震学领域内最重要的工作之一。
传统的地震信号处理方法中，常用的包括峰值振幅、FFT等，但随着科技的不断进步和理论的不断深入，新的地震信号处理方法也逐渐被引入其中，其中小波分析便是其中之一。
在本文中，将对小波分析在地震信号处理中的研究进展作一概括性的介绍。
二、小波分析简介小波分析（Wavelet Analysis）自上世纪90年代以来被广泛应用于信号分析领域。
它是一种新型的时频分析方法，与传统的傅里叶分析有所不同。
小波分析的主要优势在于能够分析不同时间尺度下的信号变化规律，因此被广泛应用于地震信号处理领域中。
三、小波分析在地震信号处理中的应用1、小波包分析小波包分析（Wavelet Packet Analysis）是小波分析的一种扩展形式。
相对于小波分析，小波包分析的优势在于可以更加精确地刻画时频特征，因此被广泛应用于地震信号处理中。
在地震信号处理中，小波包分析可以通过将信号分解成不同频带的小波包，再对这些小波包进行处理和重构，从而获取更加精准的信号特征。
2、小波去噪地震信号通常会受到各种噪声的干扰，因此在处理地震信号时，除了要对信号本身进行分析外，还需要对噪声进行处理。
小波去噪法（Wavelet Denoising）应用较为广泛，其主要原理是通过小波分析将地震信号与噪声分离，进而进行噪声抑制，从而获取更加准确的地震信号特征。
3、小波包分析在地震信号挖掘中的应用小波包分析在地震信号处理中也应用较多，主要是在地震信号挖掘中。
传统的地震信号挖掘方法往往会遇到准确性与实时性等问题，而小波包分析则可以通过数据集成和自动化分析等手段，提高地震信号挖掘的准确性与实时性。
四、小波分析在地震信号处理中的优势相对于传统的地震信号处理方法，小波分析在地震信号处理中有较为明显的优势，主要表现在以下几个方面：1、时频分辨率更高小波分析能够通过分解多个频带来增加时频分辨率，从而更加准确地描述信号的变化规律。
小波分析理论简介（一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（JeanBaptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=π2)的函数)(t f ，都可以用三角级数表示：)(t f = ∑∞-∞=k iktk e C = 20a + ∑∞=1cos k k kt a + ∑∞=1sin k k kt b (1)k C =π21⎰-π20)(dt e t f ikt= *ikt e f , (2)k k k C C a -+= )(k k k C C i b --= (3)对于离散的时程 )(t f ，即 N 个离散的测点值 m f ，=m 0,1，2，……,N-1,T 为测量时间：)(t f =20a +)sin cos (121∑-=+N k k k k k t b t a ωω+t a N N 22cos 21ω=∑-=10N k t i k k e C ω （4） 其中 ∑-==102cos2N m m k N km x Na π ，=k 0，1，2， (2)(5) ∑-==12sin2N m m k N km xN b π , =k 1,2,…, 2N-1 (6) ∑-=-=10)/2(1N m N km i mk e xNC π ，=k 0，1，2，…,N-1 (7)t N k k ∆=πω2 ，NTt =∆ (8) 当T ∞→ 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）：⎰∞∞--=dt e t f f t i ωω)()(=t i e f ω, （9）ωωπωd e f t f t i )(21)(⎰∞∞-=(10)傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807 年开始，直到1966年(1807年傅立叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅立叶级数的结论是有误的，直到1966年才证明了2L可积的周期函数才能表示为傅立叶级数)，整整用了一个半世纪多，才发展成熟。
她在各个领域产生了深刻的影响，得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。
其原因是，傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。
所以说，傅立叶理论是万古流芳的。
数学上的插值方法。
除傅立叶级数外，还有拉格朗日插值，有限元插值，勒让德多项式插值即高斯积分使用的插值方法。
遗憾的是，这种理论具有一定的局限性：（1）傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数，不随时间 t 变化，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会带来很大误差，甚至与实际情况大相径庭。
（举例：无阻尼与有阻尼的单自由度的自由振动、打秋千、座钟、讨论会与大合唱等）。
在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号衰减了而低频信号尚未衰减，所以，在不同时刻，信号的频谱成分是不同的。
硬要用傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分，硬要把幅值的变化用频率的变化来补偿，不仅高频的傅立叶系数有误差，低频的傅立叶系数也有很大误差，包括求出的频率当然也有误差。
（2）求傅立叶系数是全时间域上的加权平均，这从上面的（5）、（6）、（7）公式可以清楚看到。
局部突变信息被平均掉了，局部突变信息的作用很难反映出来（好比吃大锅饭，平均主义）。
差别很大的信号，如方波、三角波、正弦波，都可以得到相同的频率，所以，处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。
处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换。
为了克服以上两点局限性，这就要求：（1）将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。
（2） 使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只 能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或 加窗傅立叶变换的窗函数。
2 Garbor 变换—窗口 Fourier 变换在时间—频率分析中， Fourier 变换公式的不足已经被 D. Garbor 注意到了，在 1946 年的论文中，为了提取信号的Fourier 变换的局部信息，引入了一个时间局部化的 Gaussian 函数作为“窗函数” g(t-b),其中参数 b 用于平移动窗以便覆盖整个时间域。
因为一个 Gaussian 函数的Fourier 变换还是Gaussian 函数，所以Fourier 逆变换即频率也是局部的。
窗口 Fourier 变换简介。
对于时间局部化的“最优”窗，用任一Gaussian 函数 at a eat g 4221)(-=π （11）“Garbor 变换”的定义为⎰∞∞---=dt b t g t f e f G a t i a b)())(())((ωω （12） 由于⎰∞∞- =-db b t g a )(⎰∞∞-=dx x g a )( 1 （13）所以⎰∞∞-{⎰∞∞-dt b t g t f ea ti )())((--ω} db = )(ωf（14）令 )(,t G ab ω =)(b t g e a ti -ω （15）利用 Parseval 恒等式，⎰∞∞---=dt b t g t f ef G a ti a b)())(())((ωω=a b Gf ω,,=a b G f ωπ,,21 =))((241b f G ae aib --ωωπ=ηωηηππηωd g f ee a aib ib )()((2141-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰∞∞--（16）这个等式说明，除去乘数项 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ωπib e a 之外，在b t = 具有窗函数a g 的f 的“窗口 Fourier 变换”，与在 ωη=具有窗函数ag 41的f的“窗口 Fourier 逆变换”一致，根据窗函数 a g 的宽度是 2a 的结论，这两个窗的宽度分别是2a 和a1这两个窗的笛卡儿积是[a b a b +-,]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯a a 21,21ωω加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。
在较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的Fourier 变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。
若减小时间窗（减小a ），高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。
总上所述，加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。
3 窗口 Fourier 变换的测不准原理 对于一个非平凡函数w )(2IR L ∈，若满足tw )(2IR L ∈ （A ）条件，则w 可作为短时窗口 Fourier 变换的窗函数，若其Fourier 变换也满足上述条件，那么21≥∆∆ww （B ） 而且，等号成立，如且仅如)()(b t g ce t w a iat -= （C ）其中 IR b a a c ∈>≠,0,0和 。
小结：（1） 傅立叶级数的正弦与余弦系数为常数，不能反映振幅变化的情况； （2） 求傅立叶系数需要所考虑的时间域上所有信息，不能反映局部信息的特征；（3） 加窗傅立叶变换时间窗是固定不变的，高频与低频的时间局部化不能同时满足。
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。
（二） 小波分析将时程函数)(t f 表示为下面的小波级数：∑∑∞-∞=∞-∞=><=j k kj k j t f t f )(~,)(,,ψψ =∑∑∞-∞=∞-∞=j k k j kj t d)(,,ψ （17）)2(,k t j k j -=ψψ （18）其中， )(t ψ 是小波函数，k j d , 是小波系数，且k j d , =><kj f ,~,ψ ( 19） 由公式（17）到（19） 可以看到，小波级数是两重求和，小波系数的指标不仅有频率的指标j ，而且还有时间的指标 k 。
也就是说，小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标 j ，在不同时刻 k ，小波系数也是不同的。
这样就克服了上面所述的第一个不足。
由于小波函数具有紧支撑的性质，即某一区间外为零。
这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息，从而克服了上面所述的第二个不足。
与有限元比较。
在这一点，小波插值要比有限元高明。
有限元虽然是局部的“单元插值”，但单元之间的公共节点上，只能保证0C 阶连续，而导数不连续。
小波插值可保证二阶导数连续，只要选三次样条小波就能做到。
第三个不足，小波分析是如何克服的呢？通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积是[ψψ∆++∆-+**a atb a at b ,]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆-⨯••ψωψω a a a a 1,1 （20）其中j a -=2，时间窗的宽度为 ψ∆a 2，随着频率的增大（即j 的增大）而变窄，随着频率的减小（即j 的减小）而变宽，之所以有这样的结果，关键在于公式（18）中，时间变量 t 前面乘了个“膨胀系数”j 2 。
小波变换的“时间—频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间—频率分析所希望的。
根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。
如，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。
然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。
再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。
为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，首先要选好小波函数。
选择小波函数的“四项原则”。
在求小波系数公式（19）中，如果 )(k t -ψ 是)(2IR L 空间的正交基，则的k j ,~ψ为kj ,ψ的复共轭。
小波分析的最重要的应用是滤波，为了保证滤波不失真，小波函数必须具有线性相位，至少具有广义线性相位。
小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号，这就要使用函数的导数，小波函数至少是1C 连续。
由前面分析可知，小波函数必须具有紧支撑的性质。
所以，正交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。
如果选择某个小波函数，同时满足四项指标，那真是人类的福气。
遗憾的是，上帝像是有意考验我们的数学家，没有将“四合一”的小波函数“直接”恩赐给人类。
数学家们已经证明，具有正交、线性相位、紧支撑的小波函数只有 Harr 函数，而Harr 函数是间断函数，对于工程应用来说，是不理想的。
目前，一种倾向是坚持正交性。
另一种倾向是放弃正交性，另辟途径，进行艰辛的长征，前仆后继，花费了将近半个世纪的探索，才使小波分析理论成熟起来，得以在工程中应用。
