小波分析理论简介
（一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换
1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（Jean
Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=π2)的函数
)(t f ，都可以用三角级数表示：
)(t f = ∑∞
-∞=k ikt
k e C = 20
a + ∑∞=1cos k k kt a + ∑∞
=1
sin k k kt b (1)
k C =
π
21
⎰
-π
20
)(dt e t f ikt
= *
ikt e f , (2)
k k k C C a -+= )(k k k C C i b --= (3)
对于离散的时程 )(t f ，即 N 个离散的测点值 m f ，=m 0,1，2，……,N-1,
T 为测量时间：
)(t f =2
0a +
)sin cos (12
1∑-=+N k k k k k t b t a ωω+t a N N 2
2cos 21
ω=∑-=1
0N k t i k k e C ω （4） 其中 ∑-==
1
02cos
2
N m m k N km x N
a π ，=k 0，1，2， (2)
(5) ∑-==
1
2sin
2N m m k N km x
N b π , =k 1,2,…, 2
N
-1 (6) ∑-=-=
10
)/2(1N m N km i m
k e x
N
C π ，=k 0，1，2，…,N-1 (7)
t N k k ∆=π
ω2 ，N
T
t =∆ (8) 当T ∞→ 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）：
⎰
∞
∞
--=
dt e t f f t i ωω)()(
=t i e f ω, （9）
ωωπ
ωd e f t f t i )(21
)(⎰
∞
∞
-=
(10)
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807 年开始，直到1966年(1807年傅立叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅立叶级数的结论是有误的，直到1966年才证明了2L可积的周期函数才能表示为傅立叶级数)，整整用了一个半世纪多，才发展成熟。她在各个领域产生了深刻的影响，得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是，傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。所以说，傅立叶理论是万古流芳的。
数学上的插值方法。
除傅立叶级数外，还有拉格朗日插值，有限元插值，勒让德多项式插值即高斯积分使用的插值方法。
遗憾的是，这种理论具有一定的局限性：
（1）傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数，不随时间 t 变化，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会带来很大误差，甚至与实际情况大相径庭。（举例：无阻尼与有阻尼的单自由度的自由振动、打秋千、座钟、讨论会与大合唱等）。
在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号衰减了而低频信号尚未衰减，所以，在不同时刻，信号的频谱成分是不同的。硬要用傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分，硬要把幅值的变化用频率的变化来补偿，不仅高频的傅立叶系数有误差，低频的傅立叶系数也有很大误差，包括求出的频率当然也有误差。
（2）求傅立叶系数是全时间域上的加权平均，这从上面的（5）、（6）、（7）公式可以清楚看到。局部突变信息被平均掉了，局部突变信息的作用很难反映出来（好比吃大锅饭，平均主义）。差别很大的信号，如方波、三角波、正弦波，都可以得到相同的频率，所以，处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换。
为了克服以上两点局限性，这就要求：
（1）将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。
（2） 使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只 能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或 加窗傅立叶变换的窗函数。
2 Garbor 变换—窗口 Fourier 变换
在时间—频率分析中， Fourier 变换公式的不足已经被 D. Garbor 注意到了，在 1946 年的论文中，为了提取信号的Fourier 变换的局部信息，引入了一个时间局部化的 Gaussian 函数作为“窗函数” g(t-b),其中参数 b 用于平移动窗以便覆盖整个时间域。因为一个 Gaussian 函数的Fourier 变换还是Gaussian 函数，所以Fourier 逆变换即频率也是局部的。
窗口 Fourier 变换简介。
对于时间局部化的“最优”窗，用任一Gaussian 函数 a
t a e
a
t g 42
21)(-
=π （11）
“Garbor 变换”的定义为
⎰
∞
∞
---=
dt b t g t f e f G a t i a b
)())(())((ωω （12） 由于
⎰
∞
∞
- =-db b t g a )(
⎰
∞
∞
-=dx x g a )( 1 （13）
所以
⎰
∞
∞
-{
⎰
∞
∞
-dt b t g t f e
a t
i )())((--ω} db = )(ωf
（14）
令 )(,t G a
b ω =)(b t g e a t
i -ω （15）
利用 Parseval 恒等式，
⎰∞
∞
---=dt b t g t f e
f G a t
i a b
)())(())((ωω
=a b G
f ω
,,
=a b G f ωπ
,,21 =
))((241
b f G a
e a
ib --
ω
ωπ
=ηωηηπ
πη
ωd g f e
e a a
ib ib )()((21
41-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎰∞
∞
--
（16）
这个等式说明，除去乘数项 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-ωπib e a 之外，在b t = 具有窗函数a g 的f 的“窗口 Fourier 变换”，
