行列式的定义 化零降阶法 行列式的性质 范德蒙行列式 克莱姆法则

第一章行列式行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。

在线性代数中，行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer（克莱姆）法则.§1.1 行列式定义一、数域定义1.1 设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域．如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。

因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域. 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域依次用Q、R、C来记。

全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数.要指出的是所有的数域都包含有理数域。

这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对加法封闭，所以1+1=2，2+1=3， ，n+1全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是 0 - n = - n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。

即任何一个数域都包含有理数域.今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的数，文中一般不再特别加以说明.二、排列为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念．定义1.2 由自然数1 ，2 ，…，n组成的全排列称为n级排列．记作i1 i2…i nn级排列共有n!个.n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2…i n的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 （i1i2…i n）．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因 τ（1 2 … n ）= 0，所以排列1 2 … n 是偶排列。

行列式的定义化零降阶法行列式的性
质范德蒙行列式克莱姆法则
行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理
矩阵的运算矩阵的转置可逆矩阵分块矩阵初等变换伴随矩阵矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算
线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵秩的计算及性质施密特正交法向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质
线性方程组解的情况的判别（非）齐次线性方程组的通解线性方程组的克莱姆法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解
相似的定义及性质
对角化特征值的性质特征向量的性质特征值和特征向量的求法实对称矩阵的相似对角化矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
二次型的形式合同化二次型为标准形的方法判别二次型的正定性二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性。

大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。

线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

第一章 行列式行列式的理论起源于线性方程组，是线性代数中的重要概念之一.在数学的许多分支和工程技术中有广泛的应用.本章主要介绍n 阶行列式的概念、性质、计算方法及其用行列式解n 元线性方程组的克莱姆（Cramer ）法则.1.1 n 阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式在许多实际问题中，人们常常会遇到求解线性方程组的问题，我们在初等数学中曾学过如何求解二元一次线性方程组和三元一次线性方程组.例如对于以12,x x 为未知元的二元一次线性方程组11112212112222,.a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩ (1.1) 利用消元法，得112212211122122112212212112121(),().a a a a xb a a b a a a a x a b b a -=--=-当112212210a a a a -≠时，方程组（1.1）有唯一解122122*********b a a b x a a a a -=-,112121211221221a b b a x a a a a -=-. （1.2）根据这个解的特点得到启发，为了简明的表达这个解，引入了二阶行列式的概念. 定义1.1 记号11122122a a a a 表示代数和11221221a a a a -，称为二阶行列式，即1112112212212122a a a a a a a a =-.其中数11122122,,,a a a a 叫做行列式的元素，横排叫行，竖排叫列.元素ij a 的第一个下标i 叫做行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标j 叫做列标，表明该元素位于第j 列.由上述定义可知，二阶行列式是由4个数按一定的规律运算所得的代数和.这个规律性表现在行列式的记号中就是“对角线法则”.如下图1-1，把11a 到22a 的实连线称为主对角线，把12a 到21a 的虚连线称为副对角线.于是，二阶行列式等于主对角线上两元素的乘积减去副对角线上两元素的乘积.11122122a a a a 图1-1由上述定义得，112122122222b a b a a b b a =-，111112121212.a ba b b a a b =-若记11122122a a D a a =，1121222b a D b a =，1112212a b D a b =.则方程组（1.1）的解可用二阶行列式表示为1212,D Dx x D D==. （1.3） 注 从形式上看，这里分母D 是由方程组（1.1）的系数所确定的二阶行列式（称为系数行列式），1x 的分子1D 是用常数项1b ，2b 替换D 中的第一列所得的行列式，2x 的分子2D 是用常数项1b ，2b 替换D 中的第二列所得的行列式.本节后面讨论的三元一次线性方程组的解也有类似的特点，请读者学习时注意比较.总之，当（1.1）式中未知量的系数排成的行列式0D ≠时，方程组（1.1）的解可由（1.3）式给出.例1.1 解线性方程组12122313,54 2.x x x x +=⎧⎨-=-⎩ 解 因为232(4)3523054D ==⨯--⨯=-≠-，而113313(4)3(2)4624D ==⨯--⨯-=---，22132(2)1356952D ==⨯--⨯=--.所以1146223D x D -===-， 2269323D x D -===-. 现在来看三元一次线性方程组：111122133121122223323113223333,,.a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （1.4） 同样，由消元法可得，当111213212223112233122331132132313233a a a D a a a a a a a a a a a a a a a ==++ 1322311221331123320a a a a a a a a a ---≠时，（1.4）的解为1122331223313232132231223312332211233123311321313231121331123331122312231121321223112213112321(),1(),1().x b a a a a b a b a a a b a b a b a a D x a b a b a a a a b a b a b a a a a b D x a a b a b a b a a b a a a a b a b a D ⎧=++---⎪⎪⎪=++---⎨⎪⎪=++---⎪⎩（1.5） 同前面一样，为方便记忆，我们引入三阶行列式的概念：定义1.2 记号111213212223313233a a a a a a a a a 表示代数和 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为三阶行列式，即111213212223112233122331132132313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++ 132231122133112332a a a a a a a a a ---.注 这个行列式含有三行、三列，其展开式是6个项的代数和.这6个项中的每一项都是由不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正号或负号构成的.我们可用一个简单的规律来记忆，就是所谓三阶行列式的对角线规则：111213212223313233a a a a a a a a a 图1-2即实线上三个元的乘积构成的三项都冠以正号，虚线上三个元的乘积都冠以负号.例1.2 计算三阶行列式212431235-. 解 按对角线法则，有2124312351122(4)32321(4)5231235-=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯302241220610=+--+-=.有了三阶行列式后，（1.5）可以很有规律的表示为312123,,.D D Dx x x D D D===其中1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =，111213212223313233a a a D a a a a a a =上面三式右边居分母的位置的三个行列式都是D ，它是线性方程组（1.4）的系数按原有相对位置而排成的三阶行列式，也称为方程组（1.4）的系数行列式，而在123,,x x x 的表达式中的分子分别是把系数行列式D 中第1,2,3列换成常数项123,,b b b 而得到的三阶行列式.依次记为1D ，2D ，3D .这与二元线性方程组的解具有相同的规律.不仅如此，以后我们还可以看到：n 元线性方程组的解也同样可以用“n 阶行列式”来表达，其情况与二元、三元线性方程组解的表达式完全类似.例1.3 解线性方程组123123123241,532,1.x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ 解 因为24115380111--=-≠-， 114125311111D -=-=--，22111239111D ==-，32411526111D -=-=--.故有11118D x D ==-，2298D x D ==-，3334D x D ==-. 1.1.2 n 阶行列式通过前面的讨论，对于二阶和三阶行列式可用对角线法则定义，但是对于n 阶行列式如果用对角线法则来定义，当3n >时，它将与二阶、三阶行列式没有统一的运算性质，因此，对一般的n 阶行列式要用其它的方法来定义，在线性代数中有不同的定义方式，我们在本书中采用下面的递推法来定义.从二阶、三阶行列式的展开式中，可发现它们都遵循着相同的规律——可按第一行展开.即1112112212212122a a D a a a a a a ==-，111213222321232122212223111231323331333132313233a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a ==-+ （1.6）111112121313a M a M a M =-+.其中2223113233a a M a a =，2123123133a a M a a =，2122133132a a M a a =.11M 是原来三阶行列式D 中划掉元素11a 所处的第1行和第1列的所有元素后剩下的元素按原来的次序排成的低一阶的行列式.称11M 为元素11a 的余子式.同理，12M 和13M 分别是12a 和13a 的余子式.为了使三阶行列式的表达式更加规范化，令111111(1)A M +=-，121212(1)A M +=-，131313(1)A M +=-，111213,,A A A 分别称为元素111213,,a a a 的代数余子式.因此，式（1.6）即为111112121313D a A a A a A =++， （1.7）同样，111211221221111112122122a a D a a a a a A a A a a ==-=+. （1.8）其中11112222(1)A a a +=-=，12122121(1)A a a +=-=-.注 定义一阶行列式1111a a =（不要把一阶行列式11a 与11a 的绝对值相混淆）. 如果把式（1.8）和式（1.7）作为二阶、三阶行列式的定义，那么这种定义的方法是统一的，它们都是利用低一阶的行列式来定义高一阶的行列式.因此，我们自然而然地会想到，用这种递推的方式来定义一般的n 阶行列式.这样定义的各阶行列式就会有统一的运算性质，下面我们具体给出n 阶行列式的递推法定义，定义1.3 由2n 个数组成的n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =是一个计算式.当1n =时，定义1111D a a ==；当2n ≥时，定义1111121211111nn n j j j D a A a A a A a A ==+++=∑， （1.9）其中111(1)jj j A M +=-，1j M 是原来n 阶行列式D 中划掉元素1j a 所处的第1行和第j 列的所有元素后剩下的元素按原来的次序排成的低一阶的行列式.即212121231313131111j j n j j n j n nj nj nna a a a a a a a M a a a a -+-+-+=，(1,2,,)j n =.在D 中, 1122,,,nn a a a 所在的对角线称为行列式的主对角线，另外一条对角线称为行列式的副对角线.由定义可见，二阶行列式的展开项共有2!项，三阶行列式的展开项共有3!项，n 阶行列式的展开项共有!n 项，其中每一项都是不同行不同列的n 个元素的乘积，在!n 项中，带正号的项和带负号的项各占一半.例1.4 计算下三角形行列式（主对角线以上所有的元素全为零的行列式称为下三角形行列式）11212212000n n nna a a D a a a =.解 行列式第一行的元素121310n a a a ====，由定义得1111D a A =.11A是1n -阶下三角形行列式，则334344112234000n n nna a a A a a a a =.依次类推，不难求出1122nn D a a a =，即下三角形行列式等于主对角线上各元素的乘积.注 主对角线下方所有的元素全为零的行列式称为上三角形行列式，除了主对角线上元素之外其余元素全为零的行列式，称为主对角形行列式.特别地，有1122112200000nn nna a D a a a a ==.例1.5 证明1(1)2122121112100000(1).n n n nn n n n n n nn nna a a D a a a a a a a ----==-证 行列式第一行的元素111213110n a a a a -=====，由定义得1212123231111112112100000000(1)n n n n n n n n n nn n nn nnn nn nn a a a a a a D a A a a a a a a a a ----+---===-.依次类推，不难求出(1)21211(1)n n n n n D a a a --=-.特别地，有1(1)21212111000000(1).0n n n n n n n n a a D a a a a ---==-例1.6 计算四阶行列式0004004304334333D =.解 由例1.6知43200040043(1)444425604334333D ⨯==-⨯⨯⨯=.习题 1.11. 计算下列二阶行列式. （1）1314； （2）22a b ab； （3）22111x xx x -++.2. 计算下列三阶行列式.（1）123312231； （2）111314895； （3）xyx y yx y x x y yy+++.3. 当x 为何值时，314000xx x x=.1.2行列式的性质上一节已经介绍了行列式的定义,从定义中我们可以看出一个n 阶行列式的展开式共有!n 项,而且每一项都是n 个元素的乘积.因此直接用定义来计算行列式一般是比较困难的.为了简便地计算行列式的值,我们给出行列式的性质,利用这些性质简化行列式的计算. 1.2.1 行列式的性质定义1.4 设111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =，如果把它的行变成列，就得到了一个新的行列式112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =，此时，T D 称为D 的转置行列式，记为T D （或'D ）.例如，令321124236D =，那么D 的转置行列式就是312223146T D =.性质1 行列式与它的转置行列式相等，即TD D =.注 由性质1知，行列式中行和列具有相同的地位，行列式的行具有的性质，它的列也同样具有.反之亦然.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 行列式中如果有两行（列）的对应元素相等，则此行列式的值为零. 证 互换行列式中相同的两行（列），有D D =-，故0D =. 性质3 用数k 乘行列式的某一行（列），等于用数k 乘此行列式，即1112111121112121212n ni i in i i in n n nnn n nna a a a a a D ka ka ka k a a a kD a a a a a a ===. 推论2 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面. 推论3 如果行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式的值为零. 推论4 行列式中如果有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式的值为零.例1.7 设1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，求11121321222331323362233a a a a a a a a a ----. 解 11121311121321222321222331323331323362233(2)333a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----=----111213212223313233(2)(3)6a a a a a a a a a =--=. 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，设11121112212ni i i i in in n n nna a a Dbc b c b c a a a =+++， 则D 等于两个行列式之和11121111211212121212nni i in i i in n n nnn n nna a a a a a Db b bc c c D D a a a a a a =+=+. 注 （ⅰ）上述结论可推广到有限个行列式的情形.（ⅱ）行列式1D 、2D 的第i 行是把D 的第i 行拆成两行，其它的1n -行与D 的各对应的行完全一样.（ⅲ）当行列式的某一行（列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（列）可分解成两个行列式.若n 阶行列式的每个元素都表示成两数之和，则它可分解成2n个行列式. 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另外一行（列）对应的元素上去，则行列式的值保持不变.例如，以数k 乘第j 列加到第i 列上，有1111111111121222212222111i j n i j j n i j n i j j n n ninjnnn ni njnjnna a a a a a ka a a a a a a a a ka a a D D a a a a a a ka a a ++===+.证1111111111212i 22212221115i j n j j n j n j j n n ninjnnn njnjnna a a a a ka a a a a a a a ka a a D a a a a a ka a a +性质40D D +=性质.高阶行列式计算比较复杂，因此我们考虑是否将其化为较低阶的行列式进行计算.在1.1节n 阶行列式的定义中，已经包含了这一思想，相当于按第一行展开.实际上，n 阶行列式可以根据需要按照任何一行任何一列进行展开.定义1.5 在n 阶行列式D 中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的次序排成的1n -阶行列式称为D 中元素ij a 的余子式，记为ij M .再记(1)i jij ij A M +=-，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那么这个行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积.即ij ij D a A =.证明从略.定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122,i i i i in in D a A a A a A =+++ (1,2,).i n =或1122,j j j j nj nj D a A a A a A =+++ (1,2,).j n =证明从略.这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.特别地当行列式中某一行或某一列中含有较多零时比较实用.推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即11220,i j i j in jn a A a A a A +++= ().i j ≠或11220,i j i j ni nj a A a A a A +++= ().i j ≠1.2.3 行列式的计算利用前面行列式几个关于行和列的性质，我们可以把行列式化为上三角形行列式，从而计算行列式的值.今后为了表示方便，记i r 表示第i 行，i c 表示第i 列；i j r r ↔()i j c c ↔表示互换第i 行（列）和第j 行（列）的元素；i j r kr +()i j c kc +表示第j 行（列）的元素乘以k 加到第i 行（列）上去.例1.8 计算行列式0113110212302110D -=-.解 3112411102110201130113(1)(1)12300132221100314r r D r r r r ---↔-------32344211211020*******(1)004100213300213041r r r r r r --+-↔-----43110201132500021325r r -+=---.例1.9 计算行列式3111131111311113D =.解 注意到行列式各行（列）的元素之和为6，故可把第2行，第3行，第4行的元素同时加到第一行，提出公因子6，然后每一行减去第一行化为上三角形行列式来计算.1234666611111311131161131113111131113D r r r r +++=2131411111020064800200002r r r r r r --=-.注 仿照上述方法，可到更一般的结果：1[(1)]()n a b b bb a b ban b a b b b a b bbba-=+--.例1.10 计算行列式1122330000001111a a a a D a a --=-.解 根据行列式的特点，可把第1列加到第2列，然后第2列加到第3列，再将第3列加到第4列，使行列式中的零元素增多.112222132333300000000000000012111231a a a a a D c c c c a a a a -++--1243123300000040001234a a c c a a a a +=.例1.11 解方程1231112311223112321123110n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a xa a a a a a a x-------+-+-=+-+-，其中10a ≠.解 对左端的行列式，从第二行开始每一行都减去第一行得：12311211212100000000()()()00000n n n n n a a a a a a x a x a a x a x a x a x a x------=-----.即1121()()()0n a a x a x a x ----=.解得方程的1n -个根112211,,,n n x a x a x a --===.例1.12 计算五阶行列式52112112112112D --=--.解 方法一 把5D 化为上三角形行列式521322121551122121212112551211211212D r r r r ----------435421215511221251212115122952929111212701229r r r r ----------5122970270.251229=⨯⨯⨯⨯=方法二 把5D 按第1行展开,建立递推关系.544311212212112D D D D --=+=+-，继续用递推关系，得5433233222(2)52D D D D D D D D =+=++=+ 212215(2)2125.D D D D D =++=+而221512D -==，122D ==.故51255270D =⨯+⨯=.习题1.21. 用行列式的性质计算下列行列式.（1）34215352152809229092； （2）1111111111111111------；（3）ab acae bd cdde bf cfef---. 2. 利用行列式的性质计算下列行列式（1）1234234134124123； （2）1200340000511111.3.用行列式的性质证明下列行列式.（1）111111112222222233333233a kb bc c a b c a kb b c c a b c a kb b c c a b c ++++=++； (2) 22322(b)111a ab b aa b b a +=-4. 解方程2211231223023152319x x -=-.1.3 克莱姆法则本节将应用行列式讨论一类线性方程组的求解问题，这里只讨论未知量个数和方程的个数相等的情形，至于一般情形留到第三章讨论.在1.1节中我们给出了二阶行列式求解二元线性方程组的方法，把这个方法推广到利用n 阶行列式求解n 元线性方程组，这个法则就是著名的克莱姆（Cramer ）法则. 设含有n 个未知量，n 个方程的线性方程组为11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.10）称为n 元线性方程组，当其右端的常数项12,,n b b b 不全为零时，线性方程组（1.10）称为非齐次线性方程组；当其右端的常数项12,,n b b b 全为零时，称为齐次线性方程组，即1111221211222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.11）线性方程组（1.10）的系数ij a 构成的行列式，称为该方程组的系数行列式，记为D .即111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =.定理（克莱姆法则）若线性方程组（1.10）的系数行列式0D ≠，则线性方程组（1.10）有唯一解，其解为j j D x D=， (1,2,,)j n =，其中j D (1,2,,)j n =是把D 中第j 列元素12,,,j j nj a a a 对应地换成常数列12,,,n b b b ，而其余的各列保持不变所得到的行列式，即11111111111j j nj n nj nnj nna ab a a D a a b a a -+-+=.证明从略.推论 如果线性方程组（1.10）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 注 克里姆法则虽然给出了一种求解线性方程组的方法，但有其局限性.首先它只能解决方程个数和未知量个数相同的方程组，其次它的计算量比较大，需要计算1n +个n 阶行列式，当未知量的个数较多时就不太实用，最后要求系数行列式不等于零，对于系数行列式为零的情况就失去作用了.例1.13 解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解 该线性方程组的系数矩阵为215107513751313061306212021202127712147607712D -------===-------3533301027072772---=--==≠-----.从而由克莱姆法则知，方程组有唯一解.且1815193068152120476D ---==---，22851190610805121076D --==----，32181139********46D --==--，4215813092702151470D --==---. 于是得113D x D ==，224D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. 对于齐次线性方程组（1.11）易见120n x x x ====一定是该方程组的解，称其为齐次线性方程组的零解.如果一组不全为零的数是齐次线性方程组（1.11）的解，则称这种解为齐次线性方程组的非零解.定理1.2 如果齐次线性方程组（1.11）的系数行列式0D ≠，则它仅有零解. 定理1.3 如果齐次线性方程组（1.11）有非零解，则它的系数行列式必为零.注 定理1.3说明系数行列式0D =是齐次线性方程组有非零解的必要条件，在后面我们还会证明这个条件还是充分的.例1.14 问λ为何值时齐次线性方程组123123123(1)240,2(3)0,(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解?解 由定理1.2知，若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式0D =. 而124231(2)(3)111D λλλλλλ--=-=⋅-⋅--.如果齐次线性方程组有非零解，则(2)(3)0D λλλ=⋅-⋅-=. 即0λ=或2λ=或3λ=时，齐次线性方程组有非零解.习题1.31. 用克莱姆法则解下列线性方程组. （1）251,372;x y x y +=⎧⎨+=⎩（2）20,230,0;bx ay ab cy bz bc cx az -+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩2. 判断齐次线性方程组123123123220,240,5820x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩是否只有零解?总习题一1.填空题. （1）sin cos cos sin x x xx-= .（2）210341102-= .（3）232323232122313341445155= . （4）已知1112132122233132332a a a a a a a a a =，则212223111213311132123313222333a a a a a a a a a a a a =+++ .（5）当k = 时，方程组12312312330,230,0x x kx kx x x x kx x -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解.2. 选择题.（1）12410221λλ-=-，则λ=（ ）. （A ）3λ=- （B ）10λ= （C ）3λ=-或2λ= （D ）3λ=-或10λ=（2）四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ）. （A ）12341234a a a a b b b b - （B ）12341234a a a a b b b b + （C ）()()12123434a a bb a a b b -- （D ）()()23231414a a b b a a bb -- （3）已知n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是（ ）. （A ）n D 中有一行（或列）的元素全为零 （B ）n D 中有两行（或列）的元素对应成比例（C ）n D 中至少有一行的元素可用行列式的性质全化为零 （D ）n D 中各列的元素之和为零（4）已知线性方程组1223132,23,0,bx ax ab cx bx bc cx ax -=-⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩则（ ）.（A ）当0a =时，方程组无解（B ）当0b =时，方程组无解 （C ）当0c =时，方程组无解（D ）当,,a b c 取任意实数时，方程组均有解 3. 计算下列行列式的值.（1）a b a b a b a b+--+； （2）111xy zxy z xyz+++; （3）4111141111411114； （4）100110011001a b c d ---.4. 解下列方程.（1）1212110111x x x +-+=-+； （2）2222333311110x a b c x a b c x a b c =.5. 用克莱姆法则解线性方程组.12342341242342348,3,30,73 5.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=⎩ 6. 已知非齐次线性方程组12312312334,231,325x x x x x x x x x μ-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有多个解，求μ的值.7. 问λ为何值时，齐次线性方程组()()123123123(1)240,230,10x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解.8. 已知齐次线性方程组1231123213222,533,2x x x tx x x x tx x x tx-+=⎧⎪-+=⎨⎪+=-⎩只有零解，求参数t .。