范德蒙行列式用vb编程计算

VB_矩阵运算建立模块模块中的子过程是为了计算方便而编写的针对于某一重复使用的计算功能而写。

具体过程如下：'---------------矩阵转置的通用过程----------------------------------------Public Sub Matrix_Trans(A, C)Dim i%, j%Dim R1%, C1%On Error Resume NextC1 = UBound(A, 2) - LBound(A, 2) + 1If Err ThenMsgBox "输入的矩阵维数不对！"Exit SubEnd IfR1 = UBound(A, 1) - LBound(A, 1) + 1ReDim C(C1 - 1, R1 - 1)For i = 0 To R1 - 1For j = 0 To C1 - 1C(j, i) = A(i, j)Next jNext iEnd Sub'----------------------------------矩阵转置的通用过程---------------'-------------------------矩阵相乘的通用过程----------------------------------------Public Sub Matrix_Multy(A, B, C)Dim ia%, ib%, ja%, jb%ia = UBound(A, 1) - LBound(A, 1) + 1ja = UBound(A, 2) - LBound(A, 2) + 1ib = UBound(B, 1) - LBound(B, 1) + 1jb = UBound(B, 2) - LBound(B, 2) + 1If ja <> ib ThenMsgBox "输入数据有误！", , "警告"Exit SubEnd IfReDim C(ia - 1, jb - 1) As DoubleFor i = 0 To ia - 1For j = 0 To jb - 1For k = 0 To ja - 1C(i, j) = C(i, j) + A(i, k) * B(k, j)Next kNext jNext iEnd Sub'------------------------矩阵相乘的通用过程----------------------------------------'------------------------------矩阵相加的通用过程--------------------------------------- Public Sub Matrix_Plus(A, B, C) Dim ia%, ib%, ja%, jb%ia = UBound(A, 1) - LBound(A, 1) + 1ja = UBound(A, 2) - LBound(A, 2) + 1ib = UBound(B, 1) - LBound(B, 1) + 1jb = UBound(B, 2) - LBound(B, 2) + 1If ia = ib And ja = jb ThenReDim C(ia, ja) As DoubleFor i = 0 To iaFor j = 0 To jaC(i, j) = A(i, j) + B(i, j)Next jNext iElseMsgBox "输入数据有误！", , "警告"Exit SubEnd IfEnd Sub'-------------------------------矩阵相加的通用过程----------------------------------------'-------线性方程组求解通用过程(高斯约化)-------------------------------- Public Sub MajorInColGuass(A, B, X)Dim i, j, k, t, l, n As IntegerDim Row, Col As IntegerDim Temp As DoubleDim LLL() As DoubleDim SUM As DoubleRow = UBound(A, 1) - LBound(A, 1) + 1Col = UBound(A, 2) - LBound(A, 2) + 1n = UBound(B, 1) - LBound(B, 1) + 1ReDim X(n - 1, 0)ReDim LLL(1 To Row) As DoubleFor i = 0 To Col - 2k = 0For j = i + 1 To Row - 1If Abs(A(j, i)) > Abs(A(i, i)) Thenk = jEnd IfNext jIf k > i ThenFor l = i To Col - 1Temp = A(i, l)A(i, l) = A(k, l)A(k, l) = TempNext lTemp = B(i, 0)B(i, 0) = B(k, 0)B(k, 0) = TempEnd IfFor j = i + 1 To Row - 1LLL(j) = A(j, i) / A(i, i)For l = i To Col - 1A(j, l) = A(j, l) - LLL(j) * A(i, l)Next lB(j, 0) = B(j, 0) - LLL(j) * B(i, 0)Next jNext iX(n - 1, 0) = B(n - 1, 0) / A(n - 1, n - 1)For i = n - 2 To 0 Step -1SUM = 0For j = n - 1 To i + 1 Step -1SUM = SUM + A(i, j) * X(j, 0)Next jX(i, 0) = (B(i, 0) - SUM) / A(i, i)Next iEnd Sub'-------线性方程组求解通用过程(高斯约化)----------------------------------------'--------------------------矩阵相减的通用过程---------------------------------------- Public Sub Matrix_Subtraction(A, B, C)Dim ia%, ib%, ja%, jb%ia = UBound(A, 1) - LBound(A, 1) + 1ja = UBound(A, 2) - LBound(A, 2) + 1ib = UBound(B, 1) - LBound(B, 1) + 1jb = UBound(B, 2) - LBound(B, 2) + 1If ia = ib And ja = jb ThenReDim C(ia, ja) As DoubleFor i = 0 To iaFor j = 0 To jaC(i, j) = A(i, j) - B(i, j)Next jNext iElseMsgBox "输入数据有误！", , "警告"Exit SubEnd IfEnd Sub'------------------------矩阵相减的通用过程----------------------------------------。

范德蒙行列式计算公式范德蒙行列式（Determinants of Vandamme）也称为特征式，是一种用来表示矩阵由其元素及其各个特征构成的数值，它反映了矩阵的行列式。

由荷兰数学家十九世纪范德蒙（G. L. Vandamme）提出。

范德蒙行列式公式是通过计算每行每列元素数值的乘积与加减交替组合计算出来的，随着矩阵行列数增加，公式计算也会更加复杂，一般来说，范德蒙行列式公式只用于二维、三维以及四维的矩阵的计算，超过四维的矩阵计算可能过于复杂，我们就采用计算机来完成。

范德蒙行列式计算公式可以用于解决几何图形，如平面容器、三维立方体等各种平面几何图形的容积计算等问题，而这种图形的容积表示可以用范德蒙行列式来表达。

假如某个矩阵是一个2×2矩阵，a11，a12，a21和a22是该矩阵的四个元素，则范德蒙行列式公式如下：|a11 a12||a21 a22|=a11*a22-a21*a12接下来我们来看3*3的范德蒙行列式公式，假如某个矩阵是一个3×3矩阵，a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33是该矩阵的九个元素，范德蒙行列式公式如下：|a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32 -a13*a22*a31 -a12*a21*a33 -a11*a23*a32从上面的例子中可以看出，范德蒙行列式公式的计算随着矩阵的元素增加就会变得越来越头疼，因此在大型矩阵的计算中，我们一般都会采用计算机来完成范德蒙行列式的计算，这样不仅计算速度快，而且准确度高。

总之，范德蒙行列式（Determinants of Vandamme）是一种用来表示矩阵由其元素及其各个特征构成的数值，由荷兰数学家十九世纪范德蒙提出，它能够计算出矩阵的容积，计算复杂的大型矩阵时则需要借助计算机来完成。

从而 D = a11A11, 即结论成立.
再证一般情形, 此时
a11 a1 j a1n



D 0 aij 0



an1 anj ann
把D的第 i 行依次与第 i –1行,第 i –2行, ···, 第1行
交换, 得
0 aij 0



D 1 i1 ai1,1 ai1, j ai1,n
5 0 0 0
3 2 4
2
1 3
1 3
2 1 4 5
2 3 1
2 3 1
2 5 4 1 4 10 0 7 2
2 35
0 66
10 2
7 6
2 6
20 42 12 1080.
推论: 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即





an1 an2 anj1 anj anj1 ann
= aij Aij .
证: 当 aij 位于第一行第一列时,
a11 0 0
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann 由上节例3, 即教材中的例10得: D = a11M11 .
又由于 A11=(–1)1+1M11=M11,
,
a j1 a jn


an1 ann
把 ajk 换成 aik (k=1, 2, ···, n ), 当 i j 时, 可得
a11 a1n


ai1 ain
第i行
ai1 Aj1 ain Ajn

范德蒙行列式李代数
范德蒙行列式 (Vandermonde matrix) 是一种特殊的行列式，它由一组线性方程的系数组成。

李代数 (Lie algebra) 是一种特殊的
代数结构，它用于描述线性变换之间的关系。

它们之间的关系可以用范德蒙行列式来描述。

范德蒙行列式的计算可以通过以下步骤来完成:
1. 将一组线性方程的系数表示为行列式的形式。

2. 对每个方程，取它的系数与下一个方程的系数之间的差，并
求出所有可能的差。

3. 对所有可能的差求积，并乘以系数，即可得到范德蒙行列式。

范德蒙行列式在多项式插值和 RS 编码中有着广泛的应用。

在多项式插值中，范德蒙行列式用于求解线性方程组的解。

而在 RS 编码中，范德蒙行列式用于构建一个线性方程组，以确保每个方程都是有效的。

范德蒙行列式的一个重要性质是其行列式不可能为零。

这意味着，如果用范德蒙行列式的系数构建一个线性方程组，那么该方程组一定有解。

此外，范德蒙行列式还可用于计算线性方程组的最小二乘法解。

x →+ ∞
li m f ( x ) = A , x → li m f + ∞
(n )
(x ) = B .
第 3 期 程伟健, 等: 范德蒙行列式在微积分中的应用 求证: lim f x →+ ∞
[1] (k )
129
( x ) = 0, k = 1, 2, …, n.
(n ) (x ) ≤ 例 3 设 f (x ) 在区间 I 上 n 阶可导 ( n ≥2) , 若对Πx ∈ I , f ( x ) ≤ M 0, f M n (M 0 , M n 为 (k ) 正常数) , 证明: 存在 n - 1 个正常数 M 1 , M 2 , …, M n- 1 , 使对Πx ∈ I , f (x ) ≤M k ( k = 1, 2, …, n - 1). 证 设 a 1 , a 2 , …, a n- 1 ∈ I , 且 a i ≠0, a i ≠a j ( i≠ j ) , 由泰勒公式, 对Πi= 1, 2, …, n - 1.
( x ) = 0, 只要将 f
m
2
( x ) 写成 f ( x ) 与 f
k- 1
( x ) 的线性组合即可 . 利用
m f k!
k
(x ) + f (x + m ) = f (x ) + m f ′
m (x ) + …+ f ″ ( k - 1) ! f 2!
( k - 1)
(x ) +
(k )
n- 1
f ( x + a i ) = f (x ) +
∑
k= 1
f
(k )
( x ) k f (n ) ( Ν ) n ai + a i. k! n!

利用范德蒙行列式计算行列式原理(一)利用范德蒙行列式计算行列式引言范德蒙行列式是一种非常有用的工具，用于计算行列式。

作为一名资深的创作者，学习并掌握如何利用范德蒙行列式计算行列式，将为你的创作过程带来一定的便利和灵感。

本文将由浅入深地解释相关原理，帮助你掌握范德蒙行列式的计算方法。

什么是行列式行列式是线性代数中一个重要的概念，它可以用来描述线性方程组的性质以及矩阵的可逆性。

行列式一般记作det(A)，其中A 为一个n 阶方阵。

它的计算方法有很多，其中之一就是利用范德蒙行列式。

范德蒙行列式的定义范德蒙行列式是一种特殊的行列式，它的元素由指数函数组成。

一个范德蒙行列式的定义如下：∣∣∣∣∣∣∣1x 1x 12⋯x 1n−11x 2x 22⋯x 2n−1⋮⋮⋮⋱⋮1x n x n 2⋯x nn−1∣∣∣∣∣∣∣ 其中x 1,x 2,⋯,x n 是范德蒙行列式的元素。

利用范德蒙行列式计算行列式的方法利用范德蒙行列式计算行列式的方法相对简单，可以通过以下步骤进行：1. 将要计算的行列式表示成范德蒙行列式的形式。

2. 将范德蒙行列式的元素填入对应的位置。

3. 计算行列式的值。

范德蒙行列式的计算方法可以简化繁琐的计算过程，特别适用于高阶行列式的计算。

应用举例现在我们来看一个具体的例子，通过范德蒙行列式计算行列式的值。

要计算如下的行列式：∣∣∣∣1231491827∣∣∣∣我们可以将它表示成范德蒙行列式的形式：∣∣∣∣1112483927∣∣∣∣然后，将范德蒙行列式的元素填入对应的位置：∣∣∣∣1112222333233∣∣∣∣最后，我们可以计算行列式的值：∣∣∣∣1112483927∣∣∣∣=1×(4×27−8×9)−1×(2×27−8×3)+1×(2×9−4×3)=0因此，该行列式的值为0。

总结通过本文的介绍，我们了解了范德蒙行列式的定义以及如何利用范德蒙行列式计算行列式。

范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。

它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质 1.范德蒙行列式的定义 定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---= (1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在级行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积 ，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得=根据上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有=同样可得=（）()()此处是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得=（）()（）由以上的计算可以得出，定理1 n 阶范德蒙行列式n V （1x ,2x ,…n x ）=12222121111211...1nn n n n nx x x x x x x x x ---=∏(i j x x -).有这个结果立即得出定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.二． 范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.1. 范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助. 例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证 不妨设n>0,如果 f(x)=2012n n a a x a x a x ++++有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有 ()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x ++++≤≤，11即 201121120222222012110,0,.......................0.n n nn n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式211122222111111nn n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.因此010n a a a ====，这个矛盾表明 ，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.证明 ：设()1011n n f x c c x c x --=+++，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知101111110121221011,,.n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c ac a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式()21111212221211101n n ji i j nn nnna a a a a a D aa a a a --≤<≤-==-≠∏.则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=+++，使得(),1,2,i i f a b i n ==.例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即()i i f a b =()1i n ≤≤.证明： 设()12121n n n n f x c xc x c x c ---=++++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关于12,,,n c c c 的线性方程组：12111211112212221212121,,.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：121111222212111121111n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a D a a a a a a -----------=.当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.2. 范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用例 4 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++22221122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++=222121311222322333333()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++=0.123,,a a a 线性无关，故有2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解， 即2,,b Ab A b 线性无关.例 5 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=那么，()11220,11jr r Ax x x j r ααα+++=≤≤-，即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα====，又0i α≠于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.3. 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例。

VB程式设计题：求二维阵列a（m...VB程式设计题：求二维阵列a（m,n）中的最大值以及最大值所在的行号和列号，行数m、列数n及阵列元素从键盘输入；Private Sub Command1_Click()Dim a() As Integerm = InputBox("请输入行数m:")n = InputBox("请输入列数n:")ReDim a(m, n)For i = 1 To mFor j = 1 To na(i, j) = InputBox("请输入a(" & i & "," & j & ")")Print a(i, j);Next jPrintNext iMax = a(1, 1)For i = 1 To mFor j = 1 To nIf Max < a(i, j) ThenMax = a(i, j)x = iy = jEnd IfNext jNext iPrintPrint "最大值为" & Max & "在第" & x & "行" & y & "列"End Sub、程式设计，求二维阵列X（m*n）中的最大值以及最大值所在的行号和列号，m、n及阵列元素从键盘输入。

#include<iostream>#include<string>using namespace std;int main(){int **a,m,n,max=0,row=0,col=0;cout<<"输入阵列行列值:";cin>>m>>n;a=new int*[m];for(int i=0;i<m;i++)a[i]=new int[n];for(int i=0;i<m;i++)for(int j=0;j<n;j++){cin>>a[i][j];if(max<a[i][j]){max=a[i][j];row=i;col=j;}}cout<<max<<' '<<row<<' '<<col;for(int i=0;i<m;i++)delete []a[i];delete []a;return 0;}程式设计求一个m*n的二维阵列中所有元素的最大值以及所在的行号和列号，元素可以随机产生int main(){int a[3][4]=各种赋值。

VB计算器加减乘除代码以下是一个简单的VB计算器程序，可以进行加减乘除运算。

```vbPublic Class Form1Dim num1 As DoubleDim num2 As DoubleDim op As StringPrivate Sub btnNum_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles btn0.Click, btn1.Click, btn2.Click, btn3.Click,btn4.Click, btn5.Click, btn6.Click, btn7.Click, btn8.Click,btn9.ClickDim btn As Button = DirectCast(sender, Button)txtDisplay.Text += btn.TextEnd SubPrivate Sub btnClear_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles btnClear.ClicktxtDisplay.Text = ""End SubPrivate Sub btnOperator_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles btnPlus.Click, btnMinus.Click,btnMultiply.Click, btnDivide.ClickDim btn As Button = DirectCast(sender, Button)num1 = Double.Parse(txtDisplay.Text)op = btn.TexttxtDisplay.Text = ""End SubPrivate Sub btnEquals_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles btnEquals.Clicknum2 = Double.Parse(txtDisplay.Text)Dim result As DoubleSelect Case opCase "+"result = num1 + num2Case "-"result = num1 - num2Case "*"result = num1 * num2Case "/"If num2 <> 0 Thenresult = num1 / num2ElseMessageBox.Show("除数不能为0！", "错误", MessageBoxButtons.OK, MessageBoxIcon.Error)txtDisplay.Text = ""ReturnEnd IfEnd SelecttxtDisplay.Text = result.ToStringEnd SubEnd Class```在这个计算器程序中，我使用了一个文本框(txtDisplay)来显示用户输入的数字和运算结果。

python 范德蒙德行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述Python 范德蒙德行列式是一种常用的数学工具，它在线性代数和统计学等领域发挥着重要作用。

范德蒙德行列式是由荷兰数学家亨利·范德蒙德于1772年引入的，在当今的数据分析和机器学习中广泛应用。

范德蒙德行列式可以用来描述向量或数据集中元素之间的关系。

它是一个特殊的行列式，由一组向量的各个元素的乘积所组成。

具体而言，给定一个向量集合X = [x1, x2, ..., xn]和一个向量y = [y1, y2, ..., yn]，范德蒙德行列式定义为：x1^0 x2^0 ... xn^0x1^1 x2^1 ... xn^1... ... ... . ..x1^n x2^n ... xn^n其中，^表示幂运算。

通过计算范德蒙德行列式，我们可以得到一组向量之间的特定关系，比如它们是否线性相关或者是否存在关联性。

这对于数据分析和机器学习中的特征选择和模型评估等任务非常重要。

范德蒙德行列式在Python中可以通过多种方式进行计算。

在NumPy 和SciPy等科学计算库中，我们可以利用现有的函数或方法来直接计算范德蒙德行列式。

此外，还可以使用Python中的列表推导式来快速生成范德蒙德矩阵并进行计算。

这些方法提供了灵活和高效的方案来处理范德蒙德行列式。

在本文中，我们将详细介绍范德蒙德行列式的概念、计算方法和实际应用。

首先，我们将介绍范德蒙德行列式的基本概念和定义，并探讨其几何和统计学意义。

然后，我们将介绍使用Python进行范德蒙德行列式计算的方法，并给出相应的代码示例。

最后，我们将通过实际案例展示范德蒙德行列式在特征选择、模型评估和数据压缩等领域的应用。

通过本文的阅读，读者将能够全面了解范德蒙德行列式在Python中的应用以及其在数据分析和机器学习中的重要性。

同时，读者还将学会如何使用Python编写代码来计算范德蒙德行列式，并能够灵活应用于实际问题中。

第章 线性代数方程组的解法本章包括线性代数方程组的求解、矩阵求逆、行列式计算、奇异值分解和线性最小二乘问题等的算法和程序，所给算法具有广泛的适用性和很强的通用性一般实矩阵高斯约当全主见节）元消去法（具有数值稳定的特点，所给过程在得到解的同时还得到系数矩阵的逆，但计算量大，对于方程组阶数不高而要求精度较高时，可采用此方法分解法采用隐式的部分选主元方法，数值稳定性好，存储量小，特别对于要解系数矩阵相同的多个方程组时最为适用，它还可用于求矩阵的逆和行列式分解法的计算量大约是，与列主元消去法相当，而高斯约当消去法的计倍，即算量大约是它们的大约见是对于对称矩阵，特别是正定矩阵宜采用乔累斯基分解法（节），它的程序简单，计算量小节）分解法即正交三角分解法（见，由于其数值稳定性非常好，因此现在已越来越多地应用于各种数值求解中，现常用分解代替缺点是计分解算量和存储量均较大，计算速度亦较慢病态矩阵病态矩阵即条件数很大的矩阵对于病态矩阵，高斯消去法和分解法都不能给出满意的结果，方法有时也同样不能给出满意的解，通常采用以下的处理办法：增加计算的有效位数，如采用双精度（双倍字长）计算，这是一个比较有效的措施但这样做会使计算时间增加，且所需存储单元也会增到近两倍见采用迭代改善的办法（节），它是成功地改进解的精度的办法之该方法的基本思想是在消去法的基础上利用迭代逐步改善方程组的解关键在于在迭代过程中有些运算必须用双精度）。

采用奇异值分解法或共见节）。

轭斜量法（实验表明，共轭斜量法对病态矩阵常常是一种有效的方法特殊形式的矩阵这里包节）括三对角矩阵（见和五对角矩阵（节见追赶法、的）范德蒙矩阵的方法（方法和陶普立兹矩阵的推广的见对于以节这些特殊矩阵为系数矩阵的方程组，若用一般矩阵的方法，效率太低，时间和空间的浪费也很大，因此对它们有专门有效的方法稀疏矩阵对于大稀疏矩阵的方程组，常用迭代法求解，这里我们给出两种迭代法：共轭斜量法见和松弛迭代法节它们均不要求矩阵具有任何特殊结构，因此可用于一般时其中松弛稀疏矩阵方程组的求解迭代法当取松弛因子为，即为高斯塞德尔迭代法当然要注意迭代章具体应用可参考第可能不收敛奇异值分解和最小二乘问题对于奇异矩阵或数值上很接近奇异的矩阵是一个非常有效的方法，它可以精确将不仅诊断问题，而且也解地诊断问题在某些情形，决问题对于最小二乘问题，也是一个常选用的方法分解法和都是先对系数矩阵作分解，然后再用分解矩阵对于解方程组，求解它们的解方程组之前即调用子过程重大差别是用的用法细剪辑，请参考的验证程序节可参考第全约当主元高斯功能为用高斯约当消去法求解，其中由于消去过程是在全矩阵中选主元未知阵，均已知；行的，故可使舍入误差对结果的影响减到最小方法变为单位矩施行初等变换把阵，则记算法步第的矩阵为步的第计算为①选主元，设为若，则转③的第行与，第否则交换矩阵的对角线上，阵得到的矩阵仍记为③消元过程计算公式：使用说明整型的阶数；变量，输入参数，矩阵实型数组，输入、输出参数，输入时按列存放实方阵阵之前要对奇异值进行章消去法矩为非奇异矩阵，绝对值最大的来进元素行，则移至矩，主元为，计算结束时输出逆矩实型数组，输入、输出参数，输入时按列存放实方阵，计算结束时输出解过程例子可以对例子中的每一个矩阵求出其逆验证程序调用子过程矩阵，并通过它们相乘看是否成为单位矩阵，最后将解乘以已知系数矩阵检查是否和方程右端的向量相等验证如下：程序输入已知的方程组的系数矩阵输入已知的方程组的右端向量计算结果如下：已知的方程组的右端向量已知的方程组的右端向量计算出的方程组的解乘以系数矩阵将计算出的解，以验证计算结果正确计算出的解乘以系数矩阵的结果计算出的方程组的解计算出的解乘以系数矩阵的结果分解法功能求解系数矩阵为相同不非奇异的线性代数方程组，它能串联式地逐次解方同的本方法也叫杜利图方程组法，它将高斯主元消去法中的中间结果的记录将系数矩阵分解为上三角矩阵和下次次减次数少到约子过程从约的分解结果求得线子三角矩阵利用过程性方程组的解方法采用隐式部分选主元的杜利图方法）的分解：首先作考虑到数计算如下：值稳定性，其中①选绝对取中每值最大元）行中的主元②取，则交换第行与第一般地，令若行得行与第行，于由于非奇异，所以若，则交换与所得的第是等解价于解即计算公式为一般地说，优先推荐解线性方程组将中已经存储在原始被存储矩阵而不同的线性方程如果要连续解具有相同组时，只需重复所需要的输和可从入使用说明整型变量，输的阶数；入参数，实型数组，输入、输出参数在出时，对角线以下部分存放单位下三角矩阵三角矩阵在中，将整型数组，在子过程中为输向量，在子过程入参数，输入子过程输出参数，依赖于行交换次数为偶实型数组，输入、输出参数，输入实向量中组过程子过程此式等价于求解的方法是：解因中得到为中，输入时按列输存放实方阵，对角线及其以上部分存放上中输出作为输入；结果中为输出参数，用于记录置换矩阵，称为置换的输出结果；还是奇（输出时存储在数，方程组的解中，为了解线性方程组，为了验证程序的正确在验证程序还需调用性，将解与原系数矩阵相乘，以便与给定的右端向不能单独使用，必量相比较联合使如下：须和验证程序用输入已知的方程组的系数矩阵输入已知的方程组的右端向量已知的方程组的右端向量计算出的方程组的解乘以系数矩阵，以验证计算将计算出的结果正确算出的解乘以系数矩阵的结果原方程等价于计算公式：追过程赶过程计算结果如下：已知的方程组的右端向量计算出的方程组的解＋计算出的解乘以系数矩阵的结果追 赶法功能求解三对角方程组方法分解把三对角矩阵作：如下计其中算：使用说明，整型变量，输入参数，方程的阶数；，，实型数组，输入参数，存放，实型数组，输入参数，存放，，实型数组，输入参数，存放，实型数组，输入参数，存放实型数组，输出参数，输出解向量。

范德蒙的行列式摘要：一、范德蒙行列式的定义二、范德蒙行列式的性质1.行列式与其转置行列式之间的关系2.行列式的可逆性3.行列式的乘积性质三、范德蒙行列式的计算方法1.递推法2.矩阵的行列式公式3.扩展行列式公式四、范德蒙行列式在数学中的应用1.线性方程组的求解2.矩阵的逆矩阵求解3.矩阵的LU 分解五、范德蒙行列式的推广1.范德蒙行列式的更高阶数2.带标号的范德蒙行列式正文：范德蒙行列式是一种特殊的行列式，它是以法国数学家范德蒙命名的。

范德蒙行列式具有很多重要的性质和应用，下面我们来详细了解一下。

一、范德蒙行列式的定义范德蒙行列式是一个n 阶行列式，它的定义如下：|A| = a11 * a22 * ...* ann- a12 * a21 * ...* an1+ a13 * a22 * ...* an2- a14 * a23 * ...* an3+ ...+ (-1)^(n-1) * a1n * a2n-1 * ...* ann其中，a11, a12, ..., ann 是矩阵A 的主对角线元素，a12, a21, ..., an1 是矩阵A 的次对角线元素，以此类推。

二、范德蒙行列式的性质1.行列式与其转置行列式之间的关系范德蒙行列式的转置行列式等于其本身，即|A| = |A^T|。

2.行列式的可逆性当且仅当矩阵A 可逆时，范德蒙行列式不为零。

3.行列式的乘积性质设矩阵A 和矩阵B 都是n 阶矩阵，则有|AB| = |A| * |B|。

三、范德蒙行列式的计算方法1.递推法对于n 阶矩阵A，我们可以通过递推的方式计算范德蒙行列式。

具体来说，我们可以先计算出n-1 阶矩阵A"的范德蒙行列式，然后用主对角线元素和次对角线元素的关系来计算n 阶矩阵A 的范德蒙行列式。

2.矩阵的行列式公式根据矩阵的行列式公式，我们可以直接计算出范德蒙行列式。

3.扩展行列式公式通过扩展行列式公式，我们也可以计算范德蒙行列式。

Option Base 1 '标识数组下标从1开始Dim x, y, z As IntegerPrivate Sub Command1_Click()Dim a(4) As StringDim b As IntegerText1.Text = Int(10 * Rnd + 0) '文本框1中随机产生0 - 9中的一个数a(1) = "+"a(2) = "-"a(3) = "*"a(4) = "/"b = Int(4 * Rnd + 1)Label1.Caption = a(b) '标签１随机产生“加”、“减”、“乘”、“除”号If Label1.Caption = a(4) ThenText2.Text = Int(9 * Rnd + 1) '如果标签１出现的是“／”号，则文本框２随机产生１－９中的一个数ElseText2.Text = Int(10 * Rnd + 0) '如果不是则文本框２随机产生０－９中的一个数End IfText3.SetFocusEnd SubPrivate Sub Command2_Click()Dim c As SingleIf IsNumeric(Text3.Text) = False ThenMsgBox "请输入数字!", vbOKOnly + vbExclamation, "提示" '如果文本框３输入的不是数字或没有输入，则提示“请输入数字!”Text3.Text = ""Text3.SetFocusElseSelect Case Label1.CaptionCase "+"c = Val(Text1.Text) + Val(Text2.Text)Case "-"c = Val(Text1.Text) - Val(Text2.Text)Case "*"c = Val(Text1.Text) * Val(Text2.Text)Case "/"c = Val(Text1.Text) / Val(Text2.Text) End SelectIf Text3.Text = c ThenMsgBox "恭喜你，回答正确！", vbOKOnly + vbInformation, "提示"x = x + 1Text4.Text = xz = z + 10Text6.Text = zElseMsgBox "回答错误！" & " " & "正确结果为" & c, vbOKOnly + vbCritical, "提示"y = y + 1Text5.Text = yz = z - 10Text6.Text = zEnd IfEnd IfEnd SubPrivate Sub Form_Load() RandomizeEnd SubPrivate Sub Label1_Change() Text3.Text = ""End SubPrivate Sub Text1_Change() Text3.Text = ""End SubPrivate Sub Text2_Change() Text3.Text = ""End Sub。

另一视角下范德蒙行列式的求法作者：凌卫平刘会灵来源：《科技风》2021年第01期摘要：针对范德蒙行列式比较单一的求解方法，基于多项式分解理论，给出了一个新的求解方法，不仅拓宽了解题的思路，而且使解法中包含更多技术性。

关键词：范德蒙行列式;多项式变形;列变换范德蒙（Vandermonde）行列式是線性代数中重要的行列式之一，它在微积分、向量空间理论、线性变换理论等方面都有应用[1]，在某些类型行列式的计算中起着重要的作用，如利用范德蒙行列式的值和待定系数法可以计算一类广义范德蒙行列式的值[2-3]。

这两种证法都建立在列变换的基础上，使用多项式的两种变形形式，证法1是根据行列式的上下行元素的关系，把多项式变形为引理1中（**）的形式，再利用行变换，进而得到n-1阶范德蒙行列式。

证法2是通过观察第二行开始每个元素都是两个元素乘积和，把行列式分解为两个行列式的乘积，成功地把n范德蒙行列式降阶为n-1阶。

在行列式计算中，根据行列式的不同特点，采用不同的处理方式，可以简化计算。

参考文献：[1]李婷.范德蒙行列式的应用研究[J].枣庄学院学报，2017（2）：72-77[2]李海燕，陈娟华，吴康.两个范德蒙行列式问题及其推广[J].高等数学研究，2012，15（4）：46-47，64[3]汤健，范舒羽.广义范德蒙行列式[J].高等数学研究，2010，13（4）：50-51[4]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].第5版.北京：高等教育出版社，2007[5]张华民，殷红彩.范德蒙行列式的几种证法[J].蚌埠学院学报，2013（3）：15-18基金项目：本文系2016年度省级质量工程经济数学项目（项目编号：CXQX-ZL201602）作者简介：凌卫平（1969—），女，广东仁化人，广东白云学院讲师，主要从事教学与教法研究。

Module Module1Dim sum As IntegerFunction calc(ByVal arrayString As Object) As IntegerDim arrayCount As Integer'计算数组长度arrayCount = UBound(arrayString) - LBound(arrayString) + 1'定义计算结果sum = 1'利用双重循环计算范德蒙多行列式值For i = 0 To arrayCount - 1For j = i + 1 To arrayCount - 1'Val函数转字符串为整数sum *= (Val(arrayString(j)) - Val(arrayString(i)))Next jNext iReturn sumEnd FunctionSub Main()Dim array(100) As Integer'获取用户输入，测试数据用，隔开Dim arrayString() = Split(InputBox("请输入数据，用，隔开"), ",") Dim result = calc(arrayString)MsgBox(result)End SubEnd ModuleModule Module1Dim sum As IntegerFunction calc(ByVal arrayString As Object) As IntegerDim arrayCount As Integer'计算数组长度arrayCount = UBound(arrayString) - LBound(arrayString) + 1'定义计算结果sum = 1'利用双重循环计算范德蒙多行列式值For i = 0 To arrayCount - 1For j = i + 1 To arrayCount - 1'Val函数转字符串为整数sum *= (Val(arrayString(j)) - Val(arrayString(i)))Next jNext iReturn sumEnd FunctionSub Main()Dim array(100) As Integer'获取用户输入，测试数据用，隔开Dim arrayString() = Split(InputBox("请输入数据，用，隔开"), ",") Dim result = calc(arrayString)MsgBox(result)End SubEnd Module。

第三章 矩阵的基本计算程序设计方法§3-1 行列式的性质（参见文献[39]P91）矩阵的基本计算用到了行列式的内容。

行列式通常用记号A 或A det 表示，det 的英文单词是：determinant 。

为后面讨论矩阵计算时方便，下面先叙述行列式的十个主要性质。

1、把行列式的行变为同号数的列，行列式的值不变。

即一个行列式与它的转置行列式的值相等。

2、对调行列式的两行（或两列），行列式的符号改变，但绝对值不变。

3、有两行（或两列）相同的行列式的值必等于零。

4、行列式等于它任意一行（或一列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。

5、行列式某一行（或某一列）的各元素与另一行（或另一列）对应元素的代数余子式的乘积的和恒等于零。

6、行列式的某一行（或某一列）的各元素如果有公因子，这公因子可以提到行列式记号的外面去。

7、如果行列式的某一行（或某一列）的各元素都等于零，则此行列式等于零。

8、如果行列式的第i 行（或第i 列）的各元素是两个加数的和，则此行列式可表示为两个行列式的和，其中一个行列式的第i 行（或第i 列）的各元素是上述的一个加数，而另一个行列式的第i 行（或第i 列）的各元素是另一个加数；在这三个行列式中，其余的各元素完全相同。

9、如果行列式的两行（或两列）的对应元素成比例，则此行列式等于零。

10、把行列式的某一行（或某一列）所有的元素同乘以一个数后，加于另一行（或另一列）的各对应元素上，行列式的值不变。

§3-2 矩阵基本计算的程序设计原理矩阵的基本计算包括：矩阵的初等变换（行变换或列变换），矩阵的加、减法，矩阵的转置，矩阵乘法的定义及计算方法、代数余子式的定义及计算方法、按照定义式进行矩阵求逆等的编程方法。

矩阵的英文单词是matrix 。

一、矩阵的基本概念设有一个线性方程组，例如测量平差中的条件方程： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a等式的左边由三部分组成，即n 个改正数i v ，r 个改正数的系数，r 个闭合差。