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浮点运算

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浮点数的运算方法

浮点数的运算方法

浮点数的运算方法浮点数是计算机中一种表示实数的数据类型，其特点是可以表示带有小数部分的数字。

在进行浮点数的运算时，需要考虑到浮点数的精度问题、舍入误差以及运算顺序等因素。

浮点数的表示方法为：±m×be，其中m为尾数（即小数部分的数值），b为基数或底数，e为指数（表示位移的量）。

1.浮点数加法运算：-对两个浮点数的指数进行比较，将较小指数的浮点数的尾数左移指数之差的位数，使两个浮点数的小数点对齐。

-对齐后的尾数相加，得到一个和。

-对和进行规格化，即将结果的尾数进行处理，使其满足指定的位数限制。

-对规格化后的结果进行舍入运算，得到最终结果。

2.浮点数减法运算：-先将减数的指数调整与被减数的指数相等。

-对齐后的尾数相减，得到一个差。

-对差进行规格化和舍入运算，得到最终结果。

3.浮点数乘法运算：-将两个浮点数的指数相加，得到加法的和，并相应地调整两个浮点数的尾数。

-尾数相乘，得到一个乘积。

-对乘积进行规格化和舍入运算，得到最终结果。

4.浮点数除法运算：-将被除数的指数减去除数的指数，得到差，并相应地调整两个浮点数的尾数。

-尾数相除，得到一个商。

-对商进行规格化和舍入运算，得到最终结果。

在进行浮点数运算时需要注意一些问题：-浮点数的精度问题：由于浮点数的尾数有限位数，所以会存在精度丢失的问题。

这就意味着进行浮点数运算时，可能会出现舍入误差，导致结果有微小的偏差。

-运算顺序：浮点数的运算顺序可能会影响最终结果。

在连续进行多次浮点数运算时，可能会得到不同的结果。

这是因为浮点数的运算不满足交换律和结合律。

因此，在编程中需要谨慎选择运算顺序，以避免结果的不确定性。

-溢出和下溢问题：由于浮点数的范围限制，可能会出现溢出（结果超出浮点数的表示范围）或下溢（结果过小，无法表示）的情况。

针对这些情况，需要进行特殊处理，如返回特定的错误码或进行科学计数法表示。

在实际编程中，可以使用编程语言提供的浮点数运算库或内置函数来进行浮点数运算，以确保运算结果的准确性和可靠性。

浮点数的四则运算

浮点数的四则运算
❖X-Y的结果需要右规，将尾数右移1位，阶码加1，得：[X-Y]浮 =0011；00100010，阶码未超出+Emax，∴未溢出
6
4）舍入 ❖由于X+Y是左规，结果不需要舍入； ❖X-Y为右规，若采用末位恒置1法，则
[X-Y]浮=0011；00100011。 ❖若采用0舍1入法，则结果相同。
7
2.7.2 浮点乘除运算
11
例 设不含阶符的阶码位数n＝4，Ex=－1010，Ey=＋ 0111,求[Ex±Ey]移。
解： [Ex]移 ＝000110，[Ey]补 ＝000111， [－Ey]补 ＝111001
[Ex＋ Ey ]移＝[Ex]移 ＋ [Ey]补 ＝000110＋000111＝ 001101，Ex＋ Ey＝－0011；
解：先将两浮点数表示为规格化的浮点数： [X]浮=00 01；00 110101 [Y]浮=00 10；11 010110
1）对阶 求阶差△E=0001补-0010补=1111补=-1 Ex<Ey,按小阶对大阶原则，X的尾数右移1位，阶码加1，尾 数舍入采用末位恒置1法，则： [Xห้องสมุดไป่ตู้浮=00 10；00 011011
• 当结果尾数出现01.××…×或10.××…×时，需右 移一位，并使阶码加1，这个过程称为右移规格化， 简称右规。
• 当结果尾数出现00.0××…×或11.1××…×时，需 要进行左移规格化处理，简称左规。左规时尾数左 移一位，阶码减1。
3
浮点加减运算（续）
右规和对阶操作时尾数右移，需要进行舍入处理。 计算机中的舍入方法： ❖ 截断法：
同理： [Ex]移 + [－Ey]补 ＝ [Ex－Ey ]移（mod 2n+1 ）

浮点数的运算方法

浮点数的运算方法

浮点数在计算机内的格式
X = MX * 2
EX
浮点数: X = M s Es E m-1 ...E1 E 0 M-1 M-2 ...M-n
IEEE 标准：尾数用原码
浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数 值来组成。在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的尾数， 对非 0 值的浮点数，要求尾数的绝对值必须 >= 1/2，称满足这 种表示要求的浮点数为规格化表示； 把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数 的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改 阶码实现。
四. 浮点运算器与浮点数运算
浮点运算器通常由 处理阶码的 和 处理尾数的 两个定点运算器组成
在早期的小或微型机中，浮点运算器通常以 任选件方式提供给用户 , 主要用于计算浮点数
浮点数加减运算
对阶 执行加减 规格化 舍入 (右归）判溢出
浮点数乘除运算
阶码加减 尾数乘除 舍入与规格化处理 判溢出
浮点数在计算机内的格式
浮点数格式：关于移码的知识
8 位的阶码能表示-128~+127，当阶码为-128时，其补码表 示为 00000000，该浮点数的绝对值<2-128,人们规定此浮点数的 值为零，若尾数不为 0 就清其为 0，并特称此值为机器零。 一位符号位和 n 位数值位组成的移码, 其定义为； [E]移 = 2n + E -2n<=E<2n 负数 正数 +127 0 表示范围： 00000000 ~ 11111111 8 位移码表示的机器数为数的真值 在数轴上向右平移了 128 个位置
浮点数除运算举例
X=2010*0.1011， Y=2100*（-0.1101） （1）阶码相减： 积的阶码 = EX - EY = EX + (-EY) = 1 010 + 0 100 = 0 110

什么是浮点运算

什么是浮点运算

什么是浮点运算
什么是浮点运算
浮点运算就是实数运算，因为计算机只能存储整数，所以实数都是约数，这样浮点运算是很慢的而且会有误差。

当我们用不同的电脑计算圆周率时，会发现一台电脑的计算较另一台来讲结果更加精确。

或者我们在进行枪战游戏的时候，当一粒子弹击中墙壁时，墙上剥落下一块墙皮，同样的场面在一台电脑上的表现可能会非常的呆板、做作；而在另外一台电脑上就会非常生动形象，甚至与我们在现实中看到的所差无几。

这都是浮点运算能力的差异导致的。

如果是实数的话，就不是这样了，机器有两种办法表示实数，一种是定点，就是小数点位置是固定的，一种是浮点，就是小数点位置不固定，计算方法也比较麻烦，通常会比整数运算代价大很多。

计算机里整数和小数形式就是按普通格式进行存储，例如1024、3.1415926等等，这个没什么特点，但是这样的数精度不高，表达也不够全面，为了能够有一种数的通用表示法，就发明了浮点数。

浮点数的表示形式有点像科学计数法，例如1024就能表示成0.1024×10^4，3.1415926就能表示成0.31415926×10^1，这就是浮点数。

浮点数进行的运算就是浮点运算。

浮点运算比常规运算更复杂，因此计算机进行浮点运算速度要比进行常规运算慢得多。

1。

浮点数的运算方法

浮点数的运算方法

阶码位 尾数数码位 总位数
1 1 1
8 11 15
23 52 64
32 64 80
浮点数的阶码的位数决定数的表示范围， 浮点数的阶码的位数决定数的表示范围， 阶码的位数决定数的表示范围 尾数的位数决定数的有效精度 的位数决定数的有效精度。 尾数的位数决定数的有效精度。
浮点数在计算机内的格式
X = MX * 2
负数 正数
[X]补 = X 2n+1 + X 0 ≤ X < 2n -2n ≤ X ≤ 0 0
机器数
浮点数格式：关于移码的知识 浮点数格式：关于移码的知识 移码
8 位的阶码能表示 位的阶码能表示-128~+127，当阶码为 ，当阶码为-128时，其补码表 时 示为 00000000，该浮点数的绝对值 -128,人们规定此浮点数的 ，该浮点数的绝对值<2 人们规定此浮点数的 值为零， 机器零。 值为零，若尾数不为 0 就清其为 0，并特称此值为机器零。 ，并特称此值为机器零 位数值位组成的移码, 其定义为； 一位符号位和 n 位数值位组成的移码 其定义为； [E]移 = 2n + E -2n<=E<2n 负数 正数 +127 0 -128 机器数 表示范围： 00000000 ~ 11111111 表示范围： 8 位移码表示的机器数为数的真值 向右平移了 在数轴上向右平移 在数轴上向右平移了 128 个位置
（2）尾数相除：MX/MY = 0.1011/(-0.1101) ）尾数相除： = -0.1101 (3) (4) (5) 已是规格化数 不必舍入 也不溢出 已是规格化数, 不必舍入, 最众的商 [MX]移 = 1 0110 1101， ， 即 2-2 *（-0.1101） （ ）

浮点数的运算方法

浮点数的运算方法

浮点数的运算方法浮点数是计算机中用于表示实数的一种数据类型，由于实数是无限的，而计算机只能存储有限的信息，所以必然存在精度误差。

浮点数的运算涉及到加法、减法、乘法和除法等基本运算，以及开方、幂函数等高级运算。

1.加法运算：浮点数相加时，先将较小的浮点数调整为与较大的浮点数相同的指数，然后进行尾数的相加，最后对结果进行规格化处理，即进行舍入操作，得到最终的结果。

2.减法运算：浮点数相减的原理与加法相同，只是在相减之前，需要将两个浮点数的指数调整为相等，然后进行尾数的相减操作，最后同样需要对结果进行规格化处理。

3.乘法运算：浮点数相乘时，将两个浮点数的指数相加，然后将尾数相乘得到结果的尾数部分，最后对结果进行规格化处理。

4.除法运算：浮点数除法的原理与乘法类似，先将两个浮点数的指数相减，然后将尾数相除得到结果的尾数部分，最后同样需要进行规格化处理。

5.开方运算：浮点数的开方运算是通过求解多项式的根来实现的，常用的方法有牛顿法、二分法和二次近似法等。

这些方法都是通过迭代的方式，逐步逼近平方根的值，直到达到所需的精度。

6.幂函数运算：浮点数的幂函数运算可以通过连乘或连乘的方式实现。

幂函数运算的精度取决于底数和指数的精度以及所需的结果精度。

在浮点数的运算过程中，需要注意以下几个常见问题：1.精度丢失：浮点数的表示是有限的，不可避免地存在精度误差，特别是在进行连续的浮点数运算时，会导致误差累积，可能导致结果的不准确。

2.舍入误差：浮点数的结果需要进行舍入操作以保持一定的精度。

舍入规则有多种，如四舍五入、向上取整、向下取整等，选择合适的舍入规则可以减小误差。

3.溢出和下溢：浮点数的范围是有限的，当计算结果超出范围时，会发生溢出；当结果接近零但无法表示时，会发生下溢。

这两种情况都需要进行特殊处理。

4. 特殊数值：浮点数中有几个特殊的数值，如无穷大（Infinity）、非数值（NaN）和零（0）。

这些特殊值的运算需要按照特定的规则进行处理，以免引起错误。

浮点运算方法和浮点运算器

浮点运算方法和浮点运算器


溢出判断和处理

课堂作业

设[ｘ1]补＝11.01100000,
[ｘ2]补＝11.01100001, [ｘ3]补＝11.01101000, [ｘ4]补＝11.01111001,
求执行只保留小数点后4位有效数字的 舍入操作值。
• 例：设X=2001*（-0.111），Y=2010*0. 101 ，求X-Y.(假设两数均以补码表示,阶码采 用3位,尾数采用4位，均包括符号位.)
(4).判溢出 阶码不溢出。所以最终的结果为 X+Y=2011*（-0.101）
2.6.2 浮点乘法和除法运算



设有两个浮点数ｘ和ｙ： ｘ＝2Eｘ· Mｘ ｙ＝2Eｙ· Mｙ ｘ×ｙ＝2(Eｘ＋Eｙ)· (Mｘ×Mｙ) ｘ÷ｙ＝2(Eｘ－Eｙ)· (Mｘ÷Mｙ) 乘除运算分为四步
浮点加减法运算
舍入
（1） “0舍1入”法，即右移时丢掉的最高位为0，则 舍去；是1，则将尾数的末位加1(相当于进入)。 （2）“恒置1”法，即不管移掉的是0还是1，都把尾数 的末位置1。
溢出处理
阶码最高位为00或11不溢出 [E]补=01 XX…X为上溢，真正溢出，需做溢出处理。 [E] 补=10 XX…X为下溢，浮点数值趋于零，用机器零 表示。
丢失
两个负数相加,结果为正数, 说明产生了溢出.
但是在浮点数的运算中，只有当阶码产生溢出时，才是溢出。 此时只是说明尾数的结果为不规格化数，应进行右规。
(3).规格化和舍入处理
由于结果产生了溢出，应执行右规处理，所谓右规格 化的规则，就是尾数右移1位，阶码加1，所以结果为 1.011(1) ，阶码为011 舍入处理,采用恒舍法处理，则有尾数为1.011

浮点数的运算方法

浮点数的运算方法
X = MX * 2
EX
X = Ms Es Em-1 ...E1 E0 M-1 M-2 ...M-n IEEE 标准：阶码用移码，基为2
按国际电子电气工程师协会规定的国际通用标准，浮点 数的阶码用整数给出，并且要用移码表示，用作为以 2为底 的指数的幂。既然该指数的底一定为 2 ，可以不必在浮点数 的格式中明确表示出来， 只需给出阶码的~+127，当阶码为-128时，其补码表 示为 00000000，该浮点数的绝对值<2-128,人们规定此浮点数的 值为零，若尾数不为 0 就清其为 0，并特称此值为机器零。 一位符号位和 n 位数值位组成的移码, 其定义为； [E]移 = 2n + E -2n<=E<2n 负数 正数 +127 表示范围： 00000000 ~ 11111111 8 位移码表示的机器数为数的真值 在数轴上向右平移了 128 个位置
注意：计算结果的阶码符号位在此变了一次反， 结果为 +6 的 移码
（2）尾数相乘：MX*MY = 0.1011*(-0.1101) = -0.10001111 (3) (4) (5) 已是规格化数, 不必舍入, 也不溢出 最众乘积 [MX]移 = 1 1110 10001111， 即 26 * （-0.10001111）
浮点数在计算机内的格式
X = MX * 2 浮点数: X = M s Es E m-1 ...E1 E 0 M-1 M-2 ...M-n IEEE 标准：尾数用原码
按国际电子电气工程师协会规定的标准，浮点数的尾数要 用原码表示，即符号位 Ms: 0 表示正，1 表示负，且非 0 值尾数 数值的最高位 M-1 必为 1, 才能满足浮点数规格化表示的要求；
（2）尾数求和：00 0011011011 + 11 01010100 11 1000101011

浮点运算

浮点运算

简介当我们用不同的电脑计算圆周率时，会发现一台电脑的计算较另一台来讲结果更加精确。

或者我们在进行枪战游戏的时候，当一粒子弹击中墙壁时，墙上剥落下一块墙皮，同样的场面在一台电脑上的表现可能会非常的呆板、做作；而在另外一台电脑上就会非常生动形象，甚至与我们在现实中看到的所差无几。

这都是浮点运算能力的差异导致的。

定点与浮点大学计算机基础中已经了解过计算机的实数表示方法可分为两种即定点与浮点1、定点数：定点数指小数点在数中的位置是固定不变的，通常有定点整数和定点小数。

在对小数点位置作出选择之后，运算中的所有数均应统一为定点整数或定点小数，在运算中不再考虑小数问题。

（1）定义：数据中小数点位置固定不变的数（2）种类：定点整数（3）小数点在符号位与有效位之间。

注：定点数受字长的限制，超出范围会有溢出。

2、浮点数：浮点数的表示形式有点像科学计数法（*.*****×10^***），它的表示形式是0.*****×10^***，在计算机中的形式为 .***** e ±***），其中前面的星号代表定点小数，也就是整数部分为0的纯小数，后面的指数部分是定点整数。

利用这样的形式就能表示出任意一个整数和小数，例如1024就能表示成0.1024×10^4，也就是 .1024e+004，3.1415926就能表示成0.31415926×10^1，也就是 .31415926e+001，这就是浮点数。

浮点数进行的运算就是浮点运算。

注：其浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码决定。

浮点数，这个复杂点，有三种格式单精度：_31_30________23_22___________0符号指数有效数双精度：_63_62__________52_51__________________0符号指数有效数扩展精度数：_79_78____________64_63___________________0符号指数有效数3、定点数与浮点数区别定点表示法运算直观，但数的表示范围较小，不同的数运算时要考虑比例因子的选取，以防止溢出。

浮点数运算方法

浮点数运算方法


“恒置1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值 位是“1”或“0”，都使右移后的尾数末位恒置 “1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种 可能。

特点：误差范围扩大，但正负误差可以相互抵消，实 现相对容易。
5. 溢出判断

在浮点规格化中已指出，当尾数之和(差)出现 01.××…×或10.××…×时，并不表示溢出，只有 将此数右规后，再根据阶码来判断浮点运算结果是否 溢出。



首先，对每一次运算的结果而言，要保证误差不超过 给定的范围。比如，设机器尾数长39位，要求每次运 算误差不超过末位（即第39位）的“1”，即小于 2-39。 其次在大量的运算过程中要保证误差的平衡，即在每 一次运算时，由于舍入处理，可能使运算结果增大了， 也可能减少了。但总的说来，增加和减少的机会必需 是均等的，否则会产生很大的积累误差。
① ②
Ex
Ey
尾数的加减运算规则与定点数完全相同。 当两浮点数阶码不等时，因两尾数小数点的 实际位置不一样，尾数部分无法直接进行加 减运算。如：x=0.123×103 y=4.56×102 = 0.456×103
浮点加减运算的步骤
1.
对阶，使两数的小数点位置对齐。
尾数求和，将对阶后的两尾数按定点加减运算规则求和(差)。

接上例，求和结果为[x+y]补=00,11;11.1001 尾数的第一数值位与符号位相同，需左规，即将其左 移一位，同时阶码减1，得[x+y]补=00,10;11.0010。

4. 舍入
在对阶和右规的过程中，可能会将尾数的低位丢 失，引起误差，影响精度，为此可用舍入法来提 高尾数的精度。
进行舍入时应满足两个要求

浮点运算

浮点运算

2.5浮点运算与浮点运算器2.5.1浮点数的运算规则浮点数的形式X=Mx * 2E x▲ 尾数的右移： 若尾数是原码表示，每右移一位，符号位不参加移位，尾数高位补0；若尾数是补码表示，每右移一位，符号位参加右移，并保持补码的符号不变。

一、浮点加法和减法设有两个浮点数：X=Mx * 2E x Y=My * 2E y它们的加减步骤是：1、对阶——使两个数的阶码相等，才能进行尾数的加减。

对阶原则——小阶向大阶看齐，即小阶的尾数向右移位（相当于小数点左移），每右移一位，其阶码加1，直到两数的阶码相等为止，右移的位数等于阶差△E 。

例1：两浮点数X=201*0.1101, Y=211*(-0.1010),将两个数对阶。

解：假设两数在计算机中以补码表示。

[△E]补=[Ex]补 – [Ey]补=[Ex]补 + [–Ey]补=00 01 + 11 01=11 10即△E=-2，表示Ex 比Ey 小2，因此将X 的尾数右移2位：右移一位，得[X]浮=00 10,00.0110再右移一位，得[X]浮=00 11,00.0011对阶完毕。

2、尾数求和+ 尾数和为：3、规格化（1）对于补码来说 规格化（2）规格化的方法浮点数的尾数相加后得到补码的形式M ，对比符号位和小数点后的第一位，如果它们不等，即为00. 1…和11. 0…的形式，就是规格化的数；如果它们相等，即00. 0…或11. 1…，就不是规格化的数，此时要进行左规格化，或左规。

向左规格化——尾数左移1位，阶码减1。

当结果出现01.…或10. …的形式时，要进行右规格化，或右规。

00 001111 011011 1001 正数：00. 1… 负数：11. 0…向右规格化——尾数右移1位，阶码加1。

4、舍入在对阶或向右规格化时，尾数要向右移位，这样，被右移的尾数的低位部分会被丢掉，从而造成一定的误差，因此要进行舍入处理。

舍入的方法——“0舍1入”：如果右移时，被丢掉数位的最高位是0则舍去，反之则将尾数的末位加“1”。

浮点数的运算方法

浮点数的运算方法
阶符 X： Y： 0 0 0 0 阶码 010 100 数符 0 0 1 1 尾 数
11011011 01010100
21
计算过程： ① 对阶操作 阶差∆E=［EX］补+［-EY］补 =00010+11100=11110 X阶码小，MX右移2位，保留阶码E=00100。 ［MX］补=00 00 110 110 11 下划线上的数是右移出去而保留的附加位。
权 22
010.01 110.1
23 ×0.01001 23 ×0.1101
对应位权值相同
对应位权不一样，不能直接相加减 对应位权不一样，
对阶：使两数阶码相等（小数点实际位置对齐）。 对阶：使两数阶码相等（小数点实际位置对齐）。
5
（1）“对阶”原则： ） 对阶”原则：
原则：小阶向大阶看齐。 原则：小阶向大阶看齐。
3.5 浮点数的运算方法
1
浮点数比定点数的表示范围宽， 浮点数比定点数的表示范围宽，有效精度 更适合于科学与工程计算的需要。 高，更适合于科学与工程计算的需要。当要 求计算精度较高时，往往采用浮点运算。 求计算精度较高时，往往采用浮点运算。
2
3.5.1 浮点数的加减法运算
浮点数的表示形式(以 为底进行讨论 为底进行讨论)： 浮点数的表示形式 以2为底进行讨论 ： N=M·2E M为浮点数的尾数，一般为绝对值小于1 为浮点数的尾数，一般为绝对值小于 为浮点数的尾数 的规格化二进制小数， 的规格化二进制小数，用原码或补码形式表 示； E为浮点数的阶码，一般是用移码或补码 为浮点数的阶码， 为浮点数的阶码 表示的整数。 表示的整数。
9
2、尾数的加/减运算（ MX±MY ） 、尾数的加 减运算 减运算（
执行对阶后，两尾数进行加 减运算 减运算， 执行对阶后，两尾数进行加/减运算，得到两数 之和/差 之和 差。

第6讲 浮点运算

第6讲 浮点运算

[EX＋EY]移=
[EX]移＋[EY]补
= 00011+00011=
+ 00011 00110
17
[例2] 浮点数，阶码为4位移码（含1符号位），尾数为8位补码 （含1符号位），阶码以2为底。 X＝0.1110011×2-101，Y=（－0.1110010）×2011，求X*Y=? [MX]补= 0.1110011 [MY]补= 1.0001110 [EX*Y]移= 00110 ② 尾数相乘 [MX]补×[MY]补= 0.1110011×1.0001110= 1.00110011001010
两浮点数相乘，乘积的尾数为相乘两数的尾数之积，阶码为 两数的阶码之和。即 X· Y＝ （MX· 2Ex ）· （MY· 2Ey）= （MX· MY）· 2 Ex+ Ey
浮点乘法运算可分为四个步骤： ①阶码相加 ②尾数相乘 ③规格化和舍入处理
④判断溢出
14
① 阶码相加 Add Exponent 乘数和被乘数的阶码按定点整数补码或移码加法的规则相加， 得到乘积的阶码。 ② 尾数相乘 Multiply Significands（Mantissa） 乘数和被乘数的尾数按定点小数（原码或补码）乘法运算的 方法相乘，得到乘积的尾数。 ③ 规格化和舍入处理 Normalizing & Round 一般情况下，两个规格化数相乘，尾数最多左规一次，因为 两个纯小数相乘是不会溢出的。但是有一个特例，当尾数做补码 乘法的时候，如果乘数和被乘数尾数的值都是-1，则乘积的尾数 的值是+1，此时需要做一次右规。 规格化和舍入方法与浮点加减法处理的方法相同。但两个数 值位是m位的数相乘，乘积的数值位为2m位。舍入处理后，尾数 只保留m个数值位。
两数的尾数按定点小数（原码或补码）除法的规则相除。

什么是浮点运算数据是怎样的

什么是浮点运算数据是怎样的

什么是浮点运算数据是怎样的浮点运算就是实数运算，因为计算机只能存储整数，那么你对浮点运算了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是浮点运算的内容，希望大家喜欢!浮点运算的简介当我们用不同的电脑计算圆周率时，会发现一台电脑的计算较另一台来讲结果更加精确。

或者我们在进行枪战游戏的时候，当一粒子弹击中墙壁时，墙上剥落下一块墙皮，同样的场面在一台电脑上的表现可能会非常的呆板、做作;而在另外一台电脑上就会非常生动形象，甚至与我们在现实中看到的所差无几。

这都是浮点运算能力的差异导致的。

如果是实数的话，就不是这样了，机器有两种办法表示实数，一种是定点，就是小数点位置是固定的，一种是浮点，就是小数点位置不固定，计算方法也比较麻烦，通常会比整数运算代价大很多FPU->Floating Point Unit，浮点运算部件BCD->Binary Coded Decimal 压缩的二进制数，是用4个位来表示数字0~9，一个byte表示两个十进制数，比如1001111表示79 科学计数法:a×10的n次幂的形式。

将一个数字表示成(a×10的n次幂的形式)，其中1≤|a|<10，n表示整数，这种记数方法叫科学记数法浮点运算的数据浮点运算使用三种不同的数据：1)整数(Integer)，又分为字，短整数(Short Integer)和长整数(longint)2)实数(Real)分单精度(Single Real)和双精度(Double Real)3)压缩的二十进制数(BCD)下面是其位数(bits)和能表示的大致范围和Type Length Range-----------------------------------------------Word Integer 16 bit -32768 to 32768Short Integer 32 bit -2.14e9 to 2.14e9Long Integer 64 bit -9.22e18 to 9.22e18Single Real 32 bit 1.18e-38 to 3.40e38Double Real 64 bit 2.23e-308 to 1.79e308extended Real 80 bit 3.37e-4932 to 1.18e4932Packed BCD 80 bit -1e18 to 1e18双精度数和扩展精度数表示范围对一般应用来说已经足够大了!1)整数，以补码形式存储，正数的补码是其本身，负数补码是其绝对值的各位变反后加1，下面是实际存储的例子：0024 var1 dw 24FFFE var2 dw -2000004D2 var3 dd 1234FFFFFF85 var4 dd -1230000000000002694var5 dq 98762)BCD数在FPU中用80位表示正好是浮点堆寄存器的宽度，在其格式如下存储：Bit79___72_71________________________________________0符号 ---18个二十进制数——————————---看下面的例子：00000000000000012345 var1 dt 1234580000000000000000100 var2 dt -1003)浮点数，这个复杂点，有三种格式单精度：_31_30________23_22___________0符号指数有效数双精度：_63_62__________52_51__________________0符号指数有效数扩展精度数：_79_78____________64_63___________________0符号指数有效数浮点运算的格式单精度：_31_30________23_22___________0符号指数有效数双精度：_63_62__________52_51__________________0符号指数有效数扩展精度数： _79_78____________64_63___________________0符号指数有效数例子：C377999A var1 dd -247.640000000 var2 dd 2.0486F4200 var3 real4 2.45e+54059100000000000 var4 dq 100.253F543BF727136A40 var5 real8 0.00123C377999A var1 dd -247.640000000 var2 dd 2.0486F4200 var3 real4 2.45e+54059100000000000 var4 dq 100.253F543BF727136A40 var5 real8 0.001235400487F34D6A161E4F76 var6 real10 33.9876DD和real4都可以在asm中来定义单精度浮点数,4 bytesDQ和real8都可以在asm中来定义双精度浮点数,8 bytesDT和real10都可以在asm中来定义扩展精度浮点数，10 bytes。

第2章(5)浮点运算

第2章(5)浮点运算
[例26] ｘ＝＋011,ｙ＝＋110,求[ｘ＋ｙ]移 和 [ｘ－ｙ]移,并判断是 否溢出。 [解:]
[ｘ]移＝01 011, [ｙ]补＝00 110, [－ｙ]补＝11 010
[ｘ＋ｙ]移＝[ｘ]移＋[ｙ]补＝10 001, 结果上溢。
[ｘ－ｙ]移＝[ｘ]移＋[－ｙ]补＝00 101, 结果正确,为－3。
的定义为
[ｙ]补＝2n＋1＋ｙ
则求阶码和用如下方式完成：
[ｘ]移＋[ｙ]补＝2n＋ｘ＋2n＋1＋ｙ ＝2n＋1＋(2n＋(ｘ＋ｙ)) ＝2n＋1＋[ｘ＋ｙ]移
即
[ｘ＋ｙ]移＝[ｘ]移＋[ｙ]补 (mod 2n＋1)
(2.42)
同理
[ｘ－ｙ]移＝[ｘ]移＋[－ｙ]补
(2.43)
上二式表明执行阶码加减时,对加数或减数 ｙ来说,应送移
阶码上溢 超过了阶码可能表示的最大值的正指数值,一般将其 认为是＋∞和－∞。
阶码下溢 超过了阶码可能表示的最小值的负指数值,一般将其 认为是0。
尾数上溢 两个同符号尾数相加产生了最高位向上的进位,将尾 数右移,阶码增1来重新对齐。
尾数下溢 在将尾数右移时,尾数的最低有效位从尾数域右端流 出,要进行舍入处理。
[例25] 设ｘ＝2010×0.11011011,ｙ＝2100×(－0.10101100),求 ｘ＋ｙ。 [解:]
为了便于直观理解,假设两数均以补码表示,阶码采用双符 号位,尾数采用单符号0 010, [ｙ]浮＝00 100,
0.11011011 1.01010100
码符号位正常值的反码。
如果阶码运算的结果溢出,上述条件则不成立。 此时,使用双符号位的阶码加法器,并规定移码的第二个符号位, 即最高符号位恒用 0 参加加减运算,则溢出条件是阶码的最高符号 位为1。 此时,当两位符号位为 10时,表明上溢,为11时,表明下溢。 当最高符号位为0时,表明没有溢出； 两位符号位为01时,结果为正；为 00 时,结果为负。

浮点数计算公式

浮点数计算公式

浮点数计算公式浮点数的相关计算公式1. 浮点数的基本运算加法运算浮点数的加法运算可以使用以下公式表示：x + y = (x1 + y1) * 2^e其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e是两个浮点数的指数之差的最大值。

例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其加法运算结果为：+ = ( + ) * 2^(-2) = * 2^(-2) = * =减法运算浮点数的减法运算可以使用以下公式表示：x - y = (x1 - y1) * 2^e其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e是两个浮点数的指数之差的最大值。

例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其减法运算结果为：- = ( - ) * 2^(-2) = * 2^(-2) = * =乘法运算浮点数的乘法运算可以使用以下公式表示：x * y = (x1 * y1) * 2^(e1 + e2)其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e1和e2分别是两个浮点数的指数。

例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其乘法运算结果为：* = ( * ) * 2^(3 + 3) = * 2^6 = * 64 =除法运算浮点数的除法运算可以使用以下公式表示：x / y = (x1 / y1) * 2^(e1 - e2)其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e1和e2分别是两个浮点数的指数。

例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其除法运算结果为：/ = ( / ) * 2^(3 - 3) = 10 * 2^0 = 10 * 1 = 102. 特殊情况处理零值处理在浮点数的计算中，存在零值的处理，在零值与其他浮点数进行运算时，会有一些特殊的规则。

•当零值与非零值相加时，结果为非零值。

•当零值与非零值相减时，结果为非零值。

浮点运算 整数运算

浮点运算 整数运算

浮点运算整数运算
浮点运算与整数运算是计算机中的算法的重要组成部分，在绝大多数
情况下，它们不仅能够提供数据处理的性能，还为用户提供数据分析
等有效方法。

一、浮点运算
1、什么是浮点运算
浮点运算指的是处理带进位数据的计算，这是一种具有特殊特性的数
字运算，其运算结果可以在较大范围内浮动，因此，该运算技术当中，除了可以计算非定点数以外，也可以计算有限精度的定点数。

2、浮点运算的优势
（1）可以直接处理带有进位的数据，在处理大量数据时，能够获得更
高的计算性能；
（2）能够计算浮动的数据，可以准确的处理多个体积较小的数据，在
某些精度要求较高的应用中，可以显著提高处理的精度；
（3）能够实现一系列数值计算，如函数逼近、平均数据插值等，提高
了计算的精度。

二、整数运算
1、什么是整数运算
整数运算是指计算机使用一系列算法，处理整数数据的运算，这是一
种以八进制、十六进制等形式处理数据的运算，其结果可以是正数或
负数，例如加减乘除等一系列整数运算操作。

2、整数运算的优势
（1）操作简单，数据具有唯一性，处理时可以使用一系列的简单的算法；
（2）具有良好的稳定性，处理数据时，具有可预测性，可以实现信息精准的传输；
（3）容量小，在处理大量数据时，代价小，效率高，运算时间短，适合大规模并行处理。

综上，浮点运算与整数运算在数字计算和信息处理当中，各司其职，都能为不同的应用领域提供有效的解决方案，两者的综合使用，能够进一步提高计算能力，更好地支持用户解决相关的计算问题。

计算机浮点运算详解深入学习计算机组成原理

计算机浮点运算详解深入学习计算机组成原理

深入剖析浮点运算性能优化
04
策略
减少不必要的数据转换和传输延迟
数据重用
避免不必要的数据类型转换
尽量保持数据在运算过程中的类型一致，避免频繁 进行数据类型转换，以减少转换带来的性能开销。
通过缓存最近使用过的数据，减少从主存中 加载数据的次数，从而降低数据传输延迟。
优化数据布局
合理安排数据在内存中的布局，使得访问局 部性更好，减少缓存失效和页面换入换出的 次数。
性能问题
浮点运算通常比整数运算更复杂，需要更多的CPU周期和内存带宽。这可能导致性能瓶颈，特别是在需要大量浮点运 算的应用中。
兼容性问题
不同的计算机系统和编程语言可能采用不同的浮点表示方法和运算规则，这可能导致兼容性问题。例如， 一个系统上的计算结果可能在另一个系统上无法重现。
未来发展趋势预测及建议
• 精度提升：随着计算机硬件和算法的不断进步，未来浮点运算的精度将得到进 一步提升。例如，采用更高精度的浮点数表示方法和更精确的运算算法。
• 性能优化：为了提高浮点运算的性能，未来可能会采用更高效的硬件设计、并 行计算技术和优化算法。例如，利用GPU和TPU等专用硬件加速浮点运算， 以及采用分布式计算等技术提高大规模浮点运算的效率。
进行实验和编程实践
通过编写程序和使用相关工具 进行实验，加深对浮点数运算 的理解和掌握程度。
THANKS
感谢观看
数值积分与微分
利用浮点运算进行数值积分和微 分，可以求解函数的定积分、不 定积分、导数等。
图形图像处理领域应用
01
3D图形变换
02
03
图像滤波与处理
计算机视觉
在3D图形处理中，浮点运算用于 实现各种复杂的图形变换，如旋 转、缩放、平移等。
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STM32-F4属于Cortex-M4构架，与M0、M3的最大不同就是有硬件浮点运算FPU，数学计算速度相比普通cpu运算快上几十倍。

想要使用FPU首先包含#include “arm_math.h”，还有在keil的target选项中勾选use single precision。

1.1 简单的FPU运算性能测试测试条件是开启一个100ms定时器，定时串口打印计算次数，优化级别是0，main函数中运行的代码如下：float a=1.1,b=1.2,c=1.3,d=1.4;1、FPU运算474566次，CPU运算64688次，除法速度快了7.3倍多。

c = b / d;2、FPU运算722169次，CPU运算244271次，乘法运算快了3倍。

FPU的乘法运算比除法运算快1.5倍。

c = b * d;3、FPU运算19398次，CPU运算19628次，FPU的双精度除法运算没有优势，比单精度运算慢了24.5倍c = b / 1.4;4、FPU运算503321次，CPU运算65450次，单精度常数和变量的运算差不多，单精度常数的除法快6%左右，这根编译器的关系比较大。

c = b / 1.4f;5、FPU运算519073次，跟下面比较说明整形常数和单精度常数的除法运算速度几乎一样。

c = b / 3;6、FPU运算519057次c = b / 3.0f;7、FPU运算263643次c = arm_cos_f32(1.3f);8、FPU运算3949次，说明IT给的DSP库运算速度还是很给力的，速度快了67倍c = cos(1.3f);1.2 代码设置旧版本的keil设置如下，但是发现我使用的keil5包含的新固件库已经不需要这一步了。

如果没有启动FPU而使用数学函数运算时，CPU执行时认为遇到非法指令而跳转到HardFault_Handler()中断函数中死循环。

因此，需要在系统初始化时开启FPU。

在system_stm32f4xx.c中的SystemInit()函数中添加如下代码：/* FPU settings ------------------------------------------------------------*/#if (__FPU_PRESENT == 1) && (__FPU_USED == 1)SCB->CPACR |= ((3UL << 10*2)|(3UL << 11*2)); /* set CP10 and CP11 Full Access */#endif当__FPU_PRESENT=1且__FPU_USED=1时，编译时就加入了启动FPU的代码，CPU也就能正确高效的使用FPU进行简单的加减乘除。

需要使用固件库自带的arm_math.h而非编译器自带的math.h，这个文件根据编译控制项（__FPU_USED ==1）来决定是使用哪一种函数方法：如果没有使用FPU，那就调用keil的标准math.h头文件中定义的函数；如果使用了FPU，那就是用固件库自带的优化函数来解决问题。

1.3编译控制在arm_math.h开头部分有一些编译控制信息：[cpp] view plain copy#ifndef _ARM_MATH_H#define _ARM_MATH_H#define __CMSIS_GENERIC /* disable NVIC and Systick functions */#if defined (ARM_MATH_CM4)#include "core_cm4.h"#elif defined (ARM_MATH_CM3)#include "core_cm3.h"#elif defined (ARM_MATH_CM0)#include "core_cm0.h"#else#include "ARMCM4.h"#warning "Define either ARM_MATH_CM4 OR ARM_MATH_CM3...By Default building on ARM_MATH_CM4....."#endif#undef __CMSIS_GENERIC /* enable NVIC and Systick functions */#include "string.h"#include "math.h"从中可以看出，为了使用STM32F4的arm_math.h，我们需要定义ARM_MATH_CM4；否则如果不使用CMSIS的库，就会调用Keil自带的math.h。

另外，定义控制项__CC_ARM在某些数学函数中会使用VSQRT指令（浮点运算指令），运算速度比Q指令要快很多。

总结一下，需要添加宏定义ARM_MATH_CM4, __CC_ARM。

1.4添加库根据使用的器件和运算模式，添加arm_cortexMxx_math.lib到工程文件中，位于\Libraries\CMSIS\Lib\ARM中。

* The library installer contains prebuilt versions of the libraries in the <code>Lib</code> folder.* - arm_cortexM4lf_math.lib (Little endian and Floating Point Unit on Cortex-M4)* - arm_cortexM4bf_math.lib (Big endian and Floating Point Unit on Cortex-M4)* - arm_cortexM4l_math.lib (Little endian on Cortex-M4)* - arm_cortexM4b_math.lib (Big endian on Cortex-M4)* - arm_cortexM3l_math.lib (Little endian on Cortex-M3)* - arm_cortexM3b_math.lib (Big endian on Cortex-M3)* - arm_cortexM0l_math.lib (Little endian on Cortex-M0)* - arm_cortexM0b_math.lib (Big endian on Cortex-M3)注：如果存储空间不允许，也可以不添加库，只添加\Libraries\CMSIS\DSP_Lib\Source中需要的源文件和arm_math.h。

其他DSP使用示例见\Libraries\CMSIS\DSP_Lib\Examples。

1.5 DSP_Lib的文件结构BasicMathFunctions：提供浮点数的各种基本运算函数，如加减乘除等运算。

对于M0/M3只能用Q运算，即文件夹下以_q7、_q15和_q31结尾的文件；而M4F能直接硬件浮点计算，属于文件夹下以_f32结尾的文件。

CommonTables：arm_common_tables.c文件提供位翻转或相关参数表。

ComplexMathFunctions：复述数学功能，如向量处理，求模运算的。

ControllerFunctions：控制功能，主要为PID控制函数。

arm_sin_cos_f32/-q31.c函数提供360点正余弦函数表和任意角度的正余弦函数值计算功能。

FastMathFunctions：快速数学功能函数，提供256点正余弦函数表和任意任意角度的正余弦函数值计算功能，和Q值开平方运算：FilteringFunctions：滤波函数功能，主要为FIR和LMS（最小均方根）滤波函数。

MatrixFunctions：矩阵处理函数。

StatisticsFunctions：统计功能函数，如求平均值、计算RMS、计算方差/标准差等。

SupportFunctions：支持功能函数，如数据拷贝，Q格式和浮点格式相互转换，Q任意格式相互转换。

TransformFunctions：变换功能。

包括复数FFT（CFFT）/复数FFT逆运算（CIFFT）、实数FFT （RFFT）/实数FFT逆运算（RIFFT）、和DCT（离散余弦变换）和配套的初始化函数。

1.6常用库函数需要包含头文件：#include <arm_math.h>float32_t arm_sin_f32(float32_t x);float32_t arm_cos_f32(float32_t x);static __INLINE arm_status arm_sqrt_f32(float32_t in, float32_t *pOut)使用STM32F4XX自带数学库"arm_math.h"分类：STM32| 标签：STM32 arm_math DSP2013-08-28 16:24 阅读(12285)评论(0)使用STM32F4XX自带数学库"arm_math.h"STM32-F4属于Cortex-M4F构架，这与M0、M3的最大不同就是具有FPU（浮点运算单元），支持浮点指令集，因此在处理数学运算时能比M0/M3高出数十倍甚至上百倍的性能，但是要充分发挥FPU的数学性能，除了#include “arm_math.h”（而非用编译器自带的math.h）以外，（arm_math.h位于\Libraries\CMSIS\Include文件夹）还需要进行设置。

1、代码设置如果没有启动FPU而使用数学函数运算时，CPU执行时认为遇到非法指令而跳转到Hard Fault_Handler()中断函数中死循环。

因此，需要在系统初始化时开启FPU。

在system_ stm32f4xx.c中的SystemInit()函数中添加如下代码：/* FPU settings ------------------------------------------------------------*/#if (__FPU_PRESENT == 1) && (__FPU_USED == 1)SCB->CPACR |= ((3UL << 10*2)|(3UL << 11*2)); /* set CP10 and CP11 F ull Access */#endif2、编译控制从上面的代码可以看出，当__FPU_PRESENT=1且__FPU_USED=1时，编译时就加入了启动FPU的代码，CPU也就能正确高效的使用FPU进行简单的加减乘除了。