高考数学 复习 第七章 不等式、推理与证明

少)
()
A．8
B．9
C．10
D．11
答案 C
解析 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元． 由已知，得 y＝10＋0.9x＋x0.2x2＋2 0.2x，
即 y＝1＋1x0＋1x0(x∈N＋)．
由基本不等式知 y≥1＋2 1x0·1x0＝3，当且仅当1x0＝1x0，即 x＝10 时取等号．因此使用 10 年报废最合算，年平均费用为 3 万元．
＝－2x＋3x3＋x2－2x1，x1≤x<x2， 3x3－x2－2x1，x2≤x≤x3.
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因此，函数 d(x)在区间[x1，x2]上是减函数， 在区间[x2，x3]上是常数． 故供应站位置位于区间[x2，x3]上任意一点时，均能使函数 d(x)取得最小值，且最小值为
3x3－x2－2x1. 10．某市政府为了打造宜居城市，计划在公园内新建一个如下图所示的矩形 ABCD 的休闲区，
x＋y≤8，
2y－x≤4， 3．(2013·四川)若变量 x，y 满足约束条件 x≥0，
y≥0，
且 z＝5y－x 的最大值为 a，最小值
为 b，则 a－b 的值是
A．48
B．30
C．24
D．16
答案 C
解析 画出可行域如图阴影部分(包括边界)易解得 A(4,4)，
B(8,0)，C(0,2)．对目标函数令 z＝0 作出直线 l0，上下平移易知
B 组 专项能力提升
(时间：25 分钟)
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1．某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30)的关系大致满足 f(t)＝t2＋10t＋16，
则该商场前 t 天平均售出(如前 10 天的平均售出为f1100)的月饼最小值为
()
A．18
B．27
C．20
D．16
答案 A 解析 平均销售量 y＝ftt＝t2＋10tt＋16
＝t＋1t6＋10≥18.
当且仅当 t＝1t6，即 t＝4∈(0,30]时等号成立，
即平均销售量的最小值为 18.
2．某蔬菜收购点租用车辆，将 100 吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别
为 10 辆和 20 辆．若每辆卡车载重 8 吨，运费 960 元，每辆农用车载重 2.5 吨，运费 360
占地总面积是(x＋4)·80x0＋2＝808＋2x＋1
600 x
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且仅当 x＝1 6x00，即 x＝40 时，取等号．
4．我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系 xOy 中， 利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 A(－3,4)，且其法向量为 n＝(1，－2)的直线 方程为 1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得 x－2y＋11＝0.类比上述方法，在空间直角 坐标系 Oxyz 中，经过点 A(1,2,3)，且其法向量为 n＝(－1，－2,1)的平面方程为__________． 答案 x＋2y－z－2＝0 解析 设 P(x，y，z)为空间内任意一点，则类比上述结论可得A→P·n＝(x－1，y－2，z－
()
过点 A(4,4)，z 最大＝16，过点 B(8,0)，z 最小＝－8，即 a＝16，b
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＝－8，
∴a－b＝24.选 C.
4．一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(α，β)(α>0)，则不等式 cx2＋bx＋a>0 的解集为
A.α1，1β
B.－1α，－1β
()
C.1β，α1
D.－1β，－α1
答案 C
解析 ∵不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(α，β)，则 a<0，α＋β＝－ba，αβ＝ac，而不等式
cx2＋bx＋a>0 可化为acx2＋bax＋1<0，即 αβx2－(α＋β)x＋1<0，可得(αx－1)(βx－1)<0，即
x－α1x－1β<0，所以其解集是1β，α1，故选 C.
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常考题型强化练——不等式、推理与证明
A 组 专项基础训练
(时间：40 分钟)
一、选择题
1．“|x|<2”是“x2－x－6<0”的什么条件
()
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
答案 A
解析 不等式|x|<2 的解集是(－2,2)，而不等式 x2－x－6<0 的解集是(－2,3)，于是当 x∈
内部是矩形景观区 A1B1C1D1，景观区四周是人行道，已知景观区的面积为 8 000 平方米， 人行道的宽为 5 米(如下图所示)．
(1)设景观区的宽 B1C1 的长度为 x(米)，求休闲区 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数； (2)规划要求景观区的宽 B1C1 的长度不能超过 50 米，如何设计景观区的长和宽，才能使 休闲区 ABCD 所占面积最小？ 解 (1)因为 AB＝10＋8 0x00，BC＝10＋x，
解 设供应站坐标为 x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为 d(x)． (1)由题设，知 x1≤x≤x3， 所以 d(x)＝x－x1＋|x－x2|＋x3－x＝|x－x2|－x1＋x3， 故当 x＝x2 时，d(x)取最小值，此时供应站的位置为 x＝x2. (2)由题设，知 x1≤x≤x3， 所以 d(x)＝2(x－x1)＋|x－x2|＋3(x3－x)
只需(x＋2y)min>m2＋2m 恒成立， 即 8>m2＋2m，解得－4<m<2.
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7．已知点 P(x，y)在曲线 y＝1x上运动，作 PM 垂直于 x 轴于 M，则△OPM(O 为坐标原点)的
周长的最小值为_____________．
答案 2＋ 2 解析 三角形 OPM 的周长为
5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若存在正整数 m，n(m<n)，使得 Sm＝Sn，则 Sm＋n＝0.类比
上述结论，设正项等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn.若存在正整数 m，n(m<n)，使 Tm＝Tn，
则 Tm＋n 等于
()
A．0
B．1
C．m＋n
D．mn
答案 B
解析 因为 Tm＝Tn，所以 bm＋1bm＋2…bn＝1， 从而 bm＋1bn＝1， Tm＋n＝b1b2…bmbm＋1…bnbn＋1…bn＋m－1bn＋m＝(b1bn＋m)·(b2bn＋m－1)…(bmbn＋1)·(bm＋1bn)＝1. 二、填空题
6．已知 x>0，y>0，且2x＋1y＝1，若 x＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是________． 答案 (－4,2) 解析 ∵x>0，y>0，且2x＋1y＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)2x＋1y＝4＋4xy＋xy
≥4＋2 4xy·xy＝8，当且仅当4xy＝xy，
即 4y2＝x2，x＝2y 时取等号，又2x＋1y＝1，此时 x＝4，y＝2， ∴(x＋2y)min＝8，要使 x＋2y>m2＋2m 恒成立，
元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为
()
A．11 280 元
B．12 480 元
C．10 280 元
D．11 480 元
答案 B
解析 设租用的卡车和农用车分别为 x 辆和 y 辆，
0≤x≤10 0≤y≤20
运完全部黄瓜支出的运费为 z 元，则 8x＋2.5y≥100 ， x∈N＋
y∈N＋
调递减函数．
∴当 x＝30 时， 函数 y＝－43x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)取得最大值，
最大值为－43×303＋3 600×30＝72 000(元)．
∴该厂的日产量为 30 件时，日利润最大， 最大值为 72 000 元．
|x|＋|1x|＋
x2＋x12≥
2· |x|·|1x|＋
2· x2·x12＝2＋ 2 (当且仅当|x|＝|1x|时，即|x|＝1 时取等号)． 8．已知对于任意实数 α，我们有正弦恒等式 sin αsin(π3－α)·sin(π3＋α)＝14sin 3α，也有余弦恒等 式 cos αcos(π3－α)·cos(π3＋α)＝14cos 3α，类比以上结论对于使正切有意义的 α，可以推理 得正切恒等式为___________________． 答案 tan αtan(π3－α)tan(π3＋α)＝tan 3α 三、解答题 9．在一条直线型的工艺流水线上有 3 个工作台，将工艺流水线用如下图所示的数轴表示，各 工作台的坐标分别为 x1，x2，x3，每个工作台上有若干名工人．现要在 x1 与 x3 之间修建 一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短． (1)若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置； (2)设工作台从左到右的人数依次为 2,1,3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站 的距离之和的最小值．
目标函数 z＝960x＋360y，此不等式组表示的可行域是△ABC(其中 A(10,8)，B(10,20)， C(6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点． 当直线 l：z＝960x＋360y 经过点 A(10,8)时，运费最低， 且其最低运费 zmin＝960×10＋360×8＝12 480(元)，选 B. 3．如图所示，要挖一个面积为 800 平方米的矩形鱼池，并在鱼池的 四周留出左右宽 2 米，上下宽 1 米的小路，则占地总面积的最小 值是________平方米． 答案 968 解析 设鱼池的长 EH＝x，则 EF＝80x0，
所以 S＝10＋8 0x00(10＋x)
＝8 100＋80 x000＋10x(x>0)． 所以休闲区 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数是 S＝8 100＋80 x000＋10x(x>0)． (2)S＝8 100＋80 x000＋10x(0<x≤50)， 令 S′＝10－80x0200＝0，得 x＝40 5或 x＝－40 5(舍去)． 所以当 0<x≤50 时，S′<0， 故 S＝8 100＋80 x000＋10x 在(0,50]上单调递减． 所以函数 S＝8 100＋80 x000＋10x(0<x≤50)在 x＝50 取得最小值，此时 A1B1＝8 50000＝ 160(米)． 所以当景观区的长为 160 米，宽为 50 米时，休闲区 ABCD 所占面积 S 最小．