高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程 新人教A版选修2-1

立直角坐标系xOy.
· H yd M（x,y） K O··F x
设M（x，y）是抛物线上任意一点，
点M到l的距离为d．
l
设 F K p（p＞0），
则 焦 点 F的 坐 标 为 （ p ，0） ， 准 线 的 方 程 为 x p ．
2
2
由抛物线的定义，抛物线就是点的集合
P M MF d ,
y2=2px(p>0)
p F ( ,0)
2 x=- p
2
y2=-2px (p>0)
F(- p ,0) 2 p
x= 2
.
.
y轴的
y轴的
正半轴上 负半轴上
x2=2py (p>0)
p F (0, )
2 y=- p
2
x2=-2py (p>0)
F (0, -
p )
2
p y=
2
【提升总结】 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？ （1）若一次项的变量为X（或Y），则焦点就在X轴 （或Y轴）上；
点坐标是（2.88，0）.
1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)
的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆
过点(0,2),则 C 的方程为 ( C )
A.y2=4x 或 y2=8x
B.y2=2x 或 y2=8x
C.y2=4x 或 y2=16x
思考：如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H
是l上任意一点，经过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平
分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发
现点M满足的几何条件吗？
M H

x 2 =－8 y （3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程
y 2 =－4 x
（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程
y
2
=
4 3
x
x2=
9 2
y
课堂练习
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程
是x
=
1 4
；
y2 =12x y2 =x
方程. 解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，2 2 ）， 坐标轴
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为： y2 4x
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论
d M·
C
H
焦点 ·F
即:若 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线.
d
l
那么如何建立坐标系,使抛物线的方
准线
e=1
程更简单,其标准方程形式怎样?
d 为 M 到 l 的距离
新知探究
二、抛物线标准方程的推导
x 解法一：以 L为 y轴，过点 F垂直于 L 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定
F (0, p ) 2
y p 2
范围 x≥0 y∈R x≤0 y∈R
y≥0 x∈R
y≤0 x∈R
顶点 (0,0)
对称轴 e x轴 1 y轴
新知探究
特点：
y2=4x
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;

y=1.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
2.已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程.
(1)y2=6x;
(2)2y2+5x=0.
解:(1)∵2p=6,∴p=3,开口向右.
则焦点坐标是
3 2
,0
,准线方程为 x=-32.
(2)将 2y2+5x=0 变形为 y2=-52x.
∴2p=52,p=54,开口向左.
的距离与它到直线 l:x=-12的距离相等.
由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物
线,其方程应为 y2=2px(p>0)的形式,而���2��� = 12,所以 p=1,2p=2,故轨迹 方程为 y2=2x.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
(2)如图,由于点 M 在抛物线上,所以|MF|等于点 M 到其准线 l 的距离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,所以当 A,M,N 三点共线 时,|MA|+|MN|取最小值,即|MA|+|MF|取最小值,这时 M 的纵坐标为 2,可设 M(x0,2),代入抛物线方程得 x0=2,即 M(2,2).
6,
故所求的抛物线方程为 y2=-8x,m 的值为±2 6.
巧妙解法:设抛物线的方程为 y2=-2px(p>0),
则���2���+3=5,故 p=4.
所以抛物线的方程为 y2=-8x.将点(-3,m)代入抛物线方程得
m=±2 6.
案例探究
思悟升华
类题试解
1.常规解法思路易得出,但需要解二元二次方程组,稍有疏忽,则会解出错误的结果.而巧妙解法则是利用抛 物线的定义,得出简单一元一次方程,不易出错,解法简单.

l · M F ·
问题 2 抛物线方程中p有何意义？ 问题 3 标准方程有几种类型？
问题 4 根据抛物线方程如何求焦点坐标、 准线方程？
【例1】
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标 和准线方程． (2)已知抛物线的焦点是F(物线的焦点坐标与准线方程.
2 2 2 2
2
) B.y =2x 或 y =8x D.y =2x 或 y =16x
2 2 2 2
用数学的眼光看世界
用数学的眼光看世界
用数学的眼光看世界
谢 谢
(1) y 8x
2
(2) y 8x
2
2.根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点是 (0,3)
1 (2)准线是 x 2
随堂反馈
课堂小结
一、抛物线的定义
二、抛物线的标准方程
三、谈谈你的收获
(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y =2px(p>0)的 焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过 点(0,2),则 C 的方程为 ( A.y =4x 或 y =8x C.y =4x 或 y =16x
2.4.1抛物线及其标准方程
•
高中数学新课标人教A版选修2-1
天津的桥文化
天津的桥————解放桥
天津的桥————北安桥
天津的桥————直沽桥
天津的桥————金刚桥
二次函数
y ax bx c(a 0)
2
抛物线
点M(x,y)与一个定点F（1,0）和一条定直线l ：x=-1
的距离相等，求点M的轨迹
动动手
抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l 距离相 等的点的轨迹叫做抛物线（l 不经过点F）